Grafos - Departamento de Ingeniería de Sistemas e Industrial

7. GRAFOS
Se consideran los árboles como una generalización del concepto de lista porque permiten que un
elemento tenga más de un sucesor. Los grafos aparecen como una extensión del concepto de árbol, ya
que en este tipo de estructura cada elemento puede tener, además de más de un sucesor, varios
elementos predecesores. Esta propiedad hace a los grafos la estructura más adecuada para representar
situaciones donde la relación entre los elementos cambia según el contexto.
El origen de la palabra grafo es griego y significa "trazar". Un grafo es con frecuencia la respuesta a
problemas de la vida cotidiana. Algunos ejemplos podrían ser: un gráfico de una serie de tareas a
realizar indicando su secuenciación (un organigrama), grafos matemáticos representando las relaciones
binarias, una red de carreteras o de tránsito, la red de enlaces ferroviarios o aéreos, la red eléctrica de
una ciudad, sistemas de telecomunicaciones, circuitos impresos o redes de computadores. En muchos
casos un problema es conveniente representarlo gráficamente como un conjunto de puntos (nodos o
vértices) conectados por líneas (arcos) según los requerimientos.
Hoy en día es rara la disciplina científica o humanística que no utilice la teoría de grafos. se puede citar
la sicología en dinámica de grupos, la sociología en los sociogramas, la física teórica que emplea los
diagramas de Feynmann, donde se presenta mediante líneas las partículas elementales, en
programación lineal e investigación operativa el estudio de flujo en redes, los cambios de variables en
Figura 7.1 Ejemplo de un grafo.
el cálculo diferencial,...
Los grafos son estructuras de datos dinámicas no-lineales, utilizadas comúnmente en el análisis de
redes, en diseño de circuitos eléctricos, en estrategias de mercados, cartografía, mapas conceptuales,
matemática, planificación de procesos y muchas áreas del conocimiento.
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Definición. Un grafo lineal (o simplemente un grafo), es una dupla G=(V,E), donde V={v1, v2, v3,
..., vn} es un conjunto de vértices, y E={e1, e2, e3, ..., en} es un conjunto de arcos.
Los vértices contendrán información referente a objetos, mientras que los arcos establecen
dependencia entre los objetos a los que relaciona directamente. Un arco queda determinado por los
vértices a los que une. Cada arco ej esta identificado con un par de vértices (vi, vi+1).
Ejemplo. En la figura 7.1 el arco e7 o V3V4 es enlace entre V3 y V4; el arco e6 o V2V4 es enlace entre
V2 y V4.
Notese que la definición no inhibe que un par de vértices tengan asociados dos o más arcos diferentes
e7 y e10, en este caso se dice que los arcos son paralelos. El arco e9 en la figura 7.1 es llamado loop.
Si se desea representar mediante un grafo la red de vuelos de una compañía aérea entre diferentes
ciudades, tendríamos el siguiente grafo G = {V, A}; V = {Bogotá, Neiva, Cali, Medellín}; A =
{(Bogotá, Neiva), (Bogotá, Medellín), (Neiva, Medellín), (Cali, Medellín)}.
Figura 7.2 Puentes de Konigsberg.
Un grafo G es un conjunto en el que hay definida una relación binaria, G=(V,R) tal que V es un
conjunto de objetos a los que se denominan vértices o nodos y R ⊆ 0VxV es una relación cuyos
elementos se denominan arcos o enlaces.
Dados x, y en V, puede ocurrir que:
*
(x,y) ∈ 0R, en cuyo caso se dirá que x e y están unidos mediante un arco.
*
(x,y) _ 0R, en cuyo caso se dirá que no lo están.
La más común representación de un grafo es por medio de una figura o diagrama en la cual los vértices
se representan por puntos o círculos y los arcos por un segmento de línea. Un grafo se usa para
representar situaciones físicas envolviendo objetos discretos y relaciones entre ellos. Se usan en
ingeniería, en física, en ciencias biológicas y sociales, en lingüística y numerosas áreas.
Problema del puente KONIGSBERG
Es el mejor ejemplo de teoría de grafos, fue solucionado por Leonard Euler (1707-1783) en 1736. Dos
islas C y B se hallan en el río Pregel en Konigsberg (la capital del este de Prusia, pero llamada
Kaliningrad en el oeste de Rusia soviética) fueron conectadas la una a la otra y a las orillas por siete
puentes (figura 7.2). El problema es iniciar en cualquiera de las áreas A, B, C o D y caminar por cada
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uno de los siete puentes exactamente una vez, y retornar al punto de partida.
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Figura 7.3 Diagrama de los puentes de Konigsberg.
La figura 7.3 indica el diagrama respectivo. Se han considerado las áreas de la figura 7.2 como nodos
en la figura 7.3, mientras que los puentes se representan por arcos o enlaces entre los nodos.
Problema de servicios
Hay 3 casas C1, C2, C3 cada una conectada con los tres servicios: Agua (A), Gas (G) y Electricidad
(E). Es posible hacer las conexiones sin sobreponer ninguna línea?
Figura 7.4 Grafo del problema de los servicios.
La figura 7.4 muestra como este problema puede ser representado por un grafo. Los conductos son
mostrados como arcos, mientras que las casas y los servicios se muestran como nodos.
Problema de la red eléctrica
Las propiedades de una red eléctrica son funciones de solamente dos factores:
1.
La naturaleza y valor de los elementos que forman la red, tales como resistencias, inductores,
transistores.
2.
La manera como esos elementos se conectan, esto es, la topología de la red.
Puesto que hay pocos tipos diferentes de elementos eléctricos, la variación en la red son
principalmente vistos en la variación de la topología. Así, el análisis de la red eléctrica y la síntesis son
principalmente el estudio de la topología de red.
Problema de asientos
Nueve miembros de un club se reúnen cada día a almorzar en una mesa redonda. Ellos deciden
sentarse de tal manera que cada miembro tenga diferentes vecinos cada día. Cuándo vuelven a tener
un mismo ordenamiento? Esta situación se representa en el grafo de la figura 7.5.
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Pueden verse dos posibles ordenamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 3 5 2 7 4 9 6 8 1. Demuéstrese que
hay sólo otros dos ordenamientos 1 5 7 3 9 2 8 4 6 1 y 1 7 9 5 8 3 6 2 4 1.
En general, para n personas el número posible de ordenamientos es: (n-1)/2 si n es impar y (n-2)/2 si n
es par.
Figura 7.5 Grafo del problema generalizado de los asientos.
De aquí se podría deducir que un grafo es básicamente un objeto geométrico basado en un conjunto de
puntos (vértices) y un conjunto de líneas que unen cada par de puntos (vértices). Por otro lado, debido
a su generalidad y a la gran diversidad de formas que pueden usarse, resulta complejo tratar con todas
las ideas relacionadas con un grafo.
Definición. Un grafo que no tiene arcos loop's, ni arcos paralelos se llama grafo simple.
Definición. Un arco es incidente en un vértice, si una de sus puntas llega a ese vértice.
En la figura 7.1, e2 y e1, son incidentes del vértice v1.
Dos arcos no paralelos se dicen son adyacentes si son incidentes en un vértice común, por ejemplo, e2
y e8, son adyacentes en la figura 7.1.
En algunos casos es necesario imponer un sentido a los enlaces, por ejemplo, al representar la red vial
de una ciudad con sus inevitables orientaciones, así que, el estudio de los grafos podría dividirse en
dos grandes bloques; grafos dirigidos y grafos no dirigidos, pueden ser considerados un caso particular
de los anteriores.
Definición. Un grafo dirigido o digrafo, es aquel grafo en el que sus arcos tienen una orientación1.
Un grafo dirigido es simétrico si para todo arco (x,y) ∈ 0A también aparece el arco (y,x) ∈ 0A y es
antisimétrico si dado un arco (x,y) ∈ 0A implica que (y,x) _ 0A.
Proposición. En un grafo simple el número máximo de arcos que puede contener es de n(n-1)/2,
donde n es el número de vértices del grafo. En un grafo dirigido el número máximo de arcos es n(n-1).
1
Un ejemplo de grafo dirigido lo constituye la red de aguas de una ciudad ya que cada tubería sólo admite que el
agua la recorra en un único sentido, por el contrario, la red de carreteras de un país representa en general un
grafo no dirigido, puesto que una misma carretera puede ser recorrida en ambos sentidos.
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Se prueba por inducción.
Sea n=1 (un nodo), luego el número de arcos sería: 1(1-1)/2=0.
Sea n=2 (dos nodos), el número de arcos es: 2(2-1)/2=1.
Sea n=3 (tres nodos), el número de arcos es: 3(3-1)/2=3.
Se considera que n=k es válido, es decir, arcos=k(k-1)/2
Sea n=k+1, arcos= (k+1)((k+1)-1)/2 = (k+1)k/2
Es decir, se cumple la condición.
Figura 7.6 Ejemplo de un grafo.
Proposición. A todo grafo no dirigido se puede asociar un grafo denominado dual construido de la
siguiente forma: G (V, A) ------> G' (V', A' )
Donde A' se construye de la siguiente forma: si e1,e2 ∈ A son adyacentes => (e1,e2) ∈ A' con e1,e2 ∈ V;
en definitiva, para construir un grafo dual se cambian vértices por arcos y viceversa.
Definición. Si un grafo dispone de todos los posibles arcos entre sus vértices entonces se denomina
completo.
Definición. Dos vértices que son extremos de un arco se denominan adyacentes.
Un grafo puede tener diferentes diagramas. El grafo es determinado por la incidencia de los arcos y los
vértices (figura 7.6).2
Figura 7.7 Diagramas o figuras de un grafo.
2
En un grafo, algunos arcos pueden mostrar intersección para un punto que no representa un vértice, debe
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Un grafo también es llamado un lineal complejo, 1-complejo, o unidimensional complejo. Un vértice
es referenciado como un nodo, una juncion, un punto, 0-celda, 0-simple. Términos usados para un arco
son: línea, 1-celda, 1-simple.
Figura 7.9 Diagramas de grafos infinitos.
Figura 7.10 Grafos regulares.
En ciertos casos es necesario asociar información a los arcos del grafo. Esto se logra mediante una
etiqueta que contenga información útil, como el nombre, peso, coste o un valor de cualquier tipo de
datos dado. En este caso se habla de grafos etiquetados. La etiqueta podría significar el tiempo que se
tarda el vuelo entre dos ciudades o indicar cuáles son los parámetros de entrada y de salida en la
llamada a un subprograma. Un grafo no etiquetado es un grafo donde los arcos no tienen etiquetas. En
el caso del grafo que representa el sentido del tráfico se pueden etiquetar los arcos con el nombre de las
calles. Tanto a los arcos como a los vértices se les puede asociar información.
Grafos finitos e infinitos
En la definición de un grafo, ni el conjunto de vértices V, ni el conjunto de arcos E, necesitan ser
finitos, en muchas aplicaciones y en la teoría esos conjuntos son finitos. Un grafo con un número de
vértices y arcos finito, es llamado grafo finito, de otra forma es infinito.
Definición. El número de arcos incidentes en un vértice vk (un loop se cuenta dos veces) es llamado el
grado G(vk), del vértice vk. En la figura 7.1, G(v1)=3. El grado de un vértice es en algunas veces
también referido como valencia.
Considerando un grafo G con m arcos e1, e2, ..., em y n vértices v1, v2, ..., vn. Dado que cada arco
contribuye con 2 grados, la suma de los grados de todos los vértices en G es dos veces el número de
arcos, esto es ΣG(vi) = 2m
Teorema 1. El número de vértices de grado impar en un grafo es siempre par.
mejorarse el diagrama.
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Dem. Considerando los vértices con grados par e impar por separado, se tiene que:
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ΣG(vi) = ΣG(vj) + ΣG(vl) (1) con l impares, j pares
Puesto que el lado izquierdo de (1) es par y el primer elemento de la suma en (1) es par, el segundo
elemento debe ser también par, es decir: ΣG(vl) = 2m1 (2)
Como en (2), cada g(vl) es impar, el total de términos de la suma debe ser par para que la suma sea par.
Un grafo en la cual todos los vértices tienen igual grado se llama grafo regular.
Vértices aislados, pendientes y grafo nulo
Un vértice que no tiene arcos de incidencia es llamado vértice aislado. En otras palabras, un vértice
aislado tienen grado cero.
Un vértice con grado 1 se llama vértice pendiente o vértice final.
Dos arcos adyacentes se dicen están en serie si el vértice en común es de grado 2.
Figura 7.11 Diagramas de grafos.
En la definición de grafo G=(V,E), es posible que el conjunto E de arcos sea vacío, en tal caso, se dice,
es un grafo nulo3. En otras palabras, todo vértice en un grafo nulo es un vértice aislado. El conjunto V
de vértices nunca puede ser vacío, si lo es, no hay grafo. En otras palabras, un grafo debe tener al
menos un vértice.
Definición. Dos grafos son equivalentes (isomorfos) si tienen idéntico funcionamiento y similares
propiedades.
Dos grafos G y G' se dicen son isomorfos si hay una correspondencia uno-uno entre sus vértices, entre
sus arcos, y tal que las relaciones de incidencia se preservan. En otras palabras, supongamos que el
arco ai es incidente en los vértices vi1 y vi2 en G; entonces, el correspondiente arco ai en G' debe ser
3
El número de elementos de V se denomina orden del grafo, un grafo nulo es un grafo de orden cero.
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incidente en los vértices vi1' y vi2' que corresponden a vi1 y vi2 respectivamente.
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En los grafos de la figura 7.11 existe la correspondencia:
a4 ~ v1 x6 ~ e6
a3 ~ v2 x2 ~ e5
Figura 7.12 Diagramas de grafos isomorfos.
a5 ~ v5 x1 ~ e3
a1 ~ v4 x4 ~ e4
a2 ~ v3 x5 ~ e1
x3 ~ e2
Excepto los nombres de los vértices y arcos, grafos isomorfos, son el mismo grafo. (figura 7.12)
Subgrafos
Un grafo H, se dice que es un subgrafo de G, si todos los vértices y todos los arcos de H están en G y
cada arco de H tiene el mismo vértice final en H como en G.
Obviamente al considerar un subgrafo, el grafo original no debe ser alterado al identificar los vértices o
adicionando nuevos arcos o vértices.
Las siguientes observaciones pueden ser hechas inmediatamente:
1. Todo grafo es así mismo un subgrafo.
2. Un subgrafo K de un subgrafo H de G, es a la vez un subgrafo de G.
3. Un vértice en un grafo G es un subgrafo de G.
4. Un arco en G, con sus vértices, es un subgrafo de G.
Definición. Dos subgrafos G1 y G2 de un grafo G, se dicen disjuntos en arcos, si G1 y G2 no tienen
arcos en común. Similarmente, si dos subgrafos no tienen vértices comunes se dicen son disjuntos en
vértices. Si no tienen ni vértices, ni arcos comunes, se dicen son disjuntos.
Camino y circuito
Se define cadena como una secuencia alternada de vértices y arcos empezando y finalizando con
vértice y tal que cada arco es incidente con el vértice precedente y siguiente.
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Ningún arco puede aparecer más de una vez en la cadena. (un vértice, sin embargo, puede aparecer
más de una vez).
El conjunto de vértices y arcos constituyendo la cadena es un subgrafo claramente. Los vértices con
los cuales inicia y termina la cadena son llamados vértices terminales.
Si una cadena inicia y termina en el mismo vértice, es cerrada, es un bucle o simplemente ciclo.
Una cadena en la cual ningún vértice aparece más de una vez es llamado camino.
El número de arcos en el camino, indica la longitud del camino.
Una cadena cerrada en la cual ningún vértice (excepto el inicial y final) aparecen más de una vez se
llama circuito.
Un nodo N se dice alcanzable desde un nodo M, si y sólo si, existe un camino desde M hasta N.
Más formalmente, un nodo N se dice alcanzable desde un nodo M si:
1) N y M son el mismo nodo.
2) N es alcanzable desde algún nodo que sea sucesor de M.
Para cada nodo de un grafo existe un conjunto de nodos alcanzables desde ese nodo, denominado
conjunto alcanzable.
Un nodo N se dice directamente alcanzable desde un nodo M, si y sólo si, son adyacentes y N es el
sucesor de M.
Definición. Un grafo se dice conexo si desde cualquier vértice puede llegarse a todos los demás.
Se llama componente conexa a un conjunto de vértices de un grafo tal que entre cada par de vértices
hay al menos un camino y si se añade algún otro vértice esta condición deja de verificarse.
Matemáticamente se puede ver que la conexión es una relación de equivalencia que descompone a V
en clases de equivalencia, cada uno de los subgrafos a los que da lugar cada una de esas clases de
equivalencia constituiría una componente conexa4.
Definición. Un digrafo se dice fuertemente conexo si desde cualquier vértice puede llegarse a todos los
demás.
Definición. Un grafo o digrafo se dice que es débilmente conexo, si por lo menos existe un vértice
desde el cual no puede llegarse a los demás.
Definición. Un grafo es disconexo si por lo menos existe un punto aislado o existe un conjunto de
vértices a los cuales no puede visitarse nunca.
4
Un grafo se dice conexo, si sólo existe una componente conexa que coincide con todo el grafo.
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Teorema. Un grafo G es disconexo, si y sólo si, su conjunto de vértices V puede ser particionado en
dos conjuntos no vacíos V1 y V2, tal que no existe arco alguno ex en G cuyos vértices a1 y a2, se de que
a1 este en V1 y a2 en V2.
Un grafo conexo acíclico no dirigido es un árbol libre. Un árbol libre puede convertirse en un árbol
general si se elige cualquier nodo deseado como raíz y se orienta el cada arco desde él.
Los árboles libres tienen dos propiedades interesantes:
Figura 7.13 Grafo y su matriz de adyacencia.
1. Todo árbol libre con n nodos tiene exactamente n-1 arcos.
2. Si se agrega cualquier arco a un árbol libre, se genera un ciclo.
Definición. Un grafo se dice que es un grafo de Euler si existe un camino cerrado que recorre todos los
arcos del grafo. Es decir, se pueden visitar todos los vértices (cuantas veces sea necesario), recorriendo
una sola vez los arcos.
Definición. Un grafo se dice que es un grafo de Hamilton si existe un circuito que recorra todos
vértices del grafo. Es decir, se visitan todos los vértices una única vez.
Definición. Un grafo se dice que es completo si cada vértice tiene un grado igual a n-1, donde n es el
número de vértices que componen el grafo.
Se denomina grado de entrada de un vértice x al número de arcos incidentes en él, se denota ge(x).
Se denomina grado de salida de un vértice x al número de arcos adyacentes a él, se denota gs(x).
Para grafos no dirigidos tanto el grado de entrada como el de salida coinciden y se habla simplemente
de grado y lo notamos por g(x).
Búsqueda de caminos mínimos en grafos
Supongamos que se tiene un grafo dirigido sencillo etiquetado G = {V, A} de grado n, V ={1,..., n} y
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con etiquetas en los arcos no negativas.
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Búsqueda entre un vértice y todos los demás vértices del grafo.
Se plantea el problema: dado un vértice, determinar el camino de costo mínimo de ese vértice a todos
los demás vértices de V.
Para resolver el problema se aplica un algoritmo debido a Dijkstra que esencialmente parte de un
conjunto S de vértices (S ⊂ V) cuya distancia más corta desde el origen es conocida y en cada paso se
agrega un nuevo vértice vi a S cuya distancia a su vez desde el origen siga siendo la más corta posible.
Si la suposición hecha de que las etiquetas son siempre no negativas se cumple, puede comprobarse
que siempre es posible encontrar un camino más corto desde el origen y un vértice v que sólo pase a
través de los vértices de S (camino "inherente"). Si se utiliza además un vector D donde se almacena
las longitudes de los caminos inherentes más cortos a cada vértice, una vez que S incluya a todos los
vértices, todos los caminos son inherentes de forma que D contendrá la distancia más corta del origen a
cada vértice.
Notación:
*
*
*
Origen = vértice 1 (obviamente esto no es una condición)
Sea S un vector de n componentes representando el conjunto de vértices cuya distancia más
corta desde el origen ya es conocida.
D es un vector de n componentes donde D[i] indica en cada paso la distancia más corta entre
el origen y el vértice i:
a. Por el camino directo si existe el arco (i,j).
b. A través de los vértices de S (de los que se conoce su distancia más corta al
origen).
Al final D contendrá el costo del camino mínimo entre el origen y cada vértice.
*
*
C es la matriz de costos del grafo. C [1,i] representa el costo del arco (1,i). Si el arco no
existe, se le asigna un valor fuera de rango ( ∝ )
P es un vector de dimensión n a través del cual se reconstruirá el camino más corto del origen
al resto de los vértices. Así P[i] contiene el vértice inmediato anterior a i en el camino más
corto.
Inicialmente es evidente que S = {1} y D[i] = C[1,i] con P[i]=1
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Figura 7.15 Grafo para el ejemplo.
Con estas premisas el algoritmo de Dijkstra se puede esquematizar así:
Algoritmo Dijkstra()
1. S = {1}
2. Para (i = 2; i<=n; i++)
{ D[i] = C[I,i]
P[i] = 1
}
3. MQ (S ≠ V)
{ elegir w ∈ V-S / D[w] sea mínimo
S= S U {w}
PC (vértice v∈ V-S)
SI (D[v] > D[w] + C[w, v])
{ D[v] = D[w] + C[w, v]
P[v] = w
}
}
Un ejemplo del algoritmo. Sea que se desea encontrar el camino mínimo del vértice 1 al resto en el
grafo de la figura 7.15:
En principio:
*
*
*
S= {1}
D[2]=60; D[3]=10; D[4]=100; D[5]= ∞
P[i]=1 _ i
Iteración 1:
V -S = {2,3,4,5}, w =3 -> S = {1,3} -> V -S = {2,4,5}
D[2] = min(D[2], D[3] + C[3,2]) = min(60, 50) = 50 -> P[2] = 3
D[4] = min(D[4], D[3] + C[3,4]) = min(100, 40) = 40 -> P[4] = 3
D[5] = min(D[5], D[3] + C[3,5]) = min ( ∞ , ∞ )= ∞
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Así D[2]=50; D[4]=40; D[5]= ∞ ; P[2]=3; P[4]=3; P[5]= 1
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Iteración 2:
V -S = {2,4,5}, w = 4 -> S = {1,3,4} -> V- S = {2,5}
D[2] = min(D[2], D[4] + C[4,2]) = min(50, ∞ ) = 50 -> P[2]=3
D[5] = min(D[5], D[4] + C[4,5]) = min( ∞ ,60) = 60 -> P[5]=4
Así D[2]=50; D[5]=60; p[2]=3; P[5]=4
Iteración 3:
V -S = {2,5}, w = 2 -> S = {1,3,4,2} -> V- S = {5}
D[5] = min(D[5], D[2] + C[2,5]) = min(60, 58) = 58 -> P[5]=2
Así D[5]=58; P[5]=2
Finalmente w = 5 -> S = {1,3,4,2,5} -> FIN DEL ALGORlTMO
Para reconstruir el camino más corto del origen a cada vértice, se asignan los predecesores en orden
inverso. Por ejemplo, si se quiere conocer el camino desde el origen al vértice S, se tiene que:
P[5]=2-+ P[2]=3-+P[3]=1 siendo por tanto el camino (1,3,2,5) con costo 58.
Aunque la implementación de este algoritmo es simple al realizarla con base a una matriz de
adyacencia, en la práctica se utiliza normalmente una implementación con base a listas de adyacencia.
La razón de esta elección es que en la primera la eficiencia es O(n2) para cualquier grafo; sin embargo,
la mayoría de los grafos encontrados en la práctica tiene un número de arcos bastante pequeño (grafos
que pueden denominarse dispersos o no densos) y por tanto el uso de listas de adyacencia se presenta
como una solución más eficiente. Para conseguir una mejor eficiencia en la implementación del
algoritmo de Dijkstra se ha echado mano de una estructura de datos formada por un APO que tiene
como etiqueta los vértices del grafo y como clave el coste de ir desde el vértice inicial en el problema a
ese vértice de tal forma que obtener el vértice con mínimo coste sería O(log n).
Búsqueda entre cada par de vértices del grafo.
En lugar de buscar los caminos mínimos de un vértice a los demás podemos plantear, buscar el camino
más corto entre cualquier par de vértices, es decir, dado un grafo dirigido etiquetado G = {V, A} en el
que las etiquetas son no negativas encontrar el camino de longitud más corta entre dos vértices
cualesquiera de ese grafo.
Podría pensarse, para resolver el problema, en aplicar el algoritmo de Dijkstra n veces, una por vértice,
pero en lugar de eso, se aplica un nuevo algoritmo creado por Floyd que va encontrando los caminos
de forma iterativa.
Notación:
*
*
V = {1, ..., n} conjunto de vértices.
A es una matriz de tamaño n x n en la que se calculará en cada Aij la longitud más corta del
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*
*
camino que va de i a j.
P es una matriz de tamaño n x n que se utiliza para recuperar los caminos más cortos.
C es una matriz de dimensión n x n conteniendo los costos de los arcos. Si no existe arco de
un vértice i a otro j el correspondiente valor C[i,j]=?
Inicialmente A[i,j] = {C[i,j] si i≠j, 0 si i=j}.
A continuación se itera sobre A n veces de forma que tras hacer la iteración k, A[i,j] tiene un valor
correspondiente a la longitud más pequeña de cualquier camino de i a j que no pase por un vértice de
índice mayor que k, es decir, cualquier vértice intermedio entre i y j (extremos del camino) ha de ser
menor o igual que k. Por tanto, en cada iteración k se usará la siguiente fórmula:
Ak[i,j] = min(Ak-1[i,j] ,Ak-1[i,k] +Ak-1l[k,j])3, es decir, cada Ak[i,j] se obtiene comparando
Ak-1[i,j], el coste de ir de i a j sin pasar por k o cualquier vértice de índice mayor, con
Ak-1[i,k] +Ak-1[k,j], el costo de ir primero de i a k y después de k a j sin pasar por un vértice de índice
mayor que k de forma que si el paso por el vértice k produce un camino i más corto que el indicado
por Ak-1[i,j], se elige ese coste para Ak[i,j]. Así mismo, cada iteración P[i,j] contendrá el vértice k que
permitió al algoritmo de Floyd encontrar el valor más pequeño de A[i,j]. Inicialmente P[i,j]=0, puesto
que inicialmente el camino más corto de i a j es el propio arco.
Algoritmo Floyd()
1. Para (i = 1; i <= n; i++)
Para (j = 1; j <=n ; j++)
{
A[i,j]= C[i,j]
P[i,j]= 0
}
2. Para (i = 1; i <= n; i++)
A[i,i]= 0
3. Para (k = 1; k <= n; k++)
Para (i = 1; i <= n; i++)
Para (j = l; j <=n ; j++)
SI ((i≠j) && (A[i,k]+A[k,j] < A[i,j]))
{ A[i,j]= A[i, k]+A[k,j]
P[i,j]= k
}
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Estructuras de Datos
Veamos un ejemplo con el grafo de la figura 7.16.
07* 5*
0 0 0 0 0
* 0 2 * _6
0 0 0 0 _0
A0 = 5 * 0 * *
P0 = 0 0 0 0 0
** 30 8
0 0 0 0 0
* * 7 * _0
0 0 0 0 _0
07* 5*
0 0 0 0 0
+ 0 2 _* 6
0 0 0 0 _0
A1 = 5 [12] 0 [10] *
P1 = 0 [1] 0 [1] 0
+* 3 0*
0 0 0 0 0
+* 7 * 0
0 0 0 0 _0
Figura 7.16 Grafo para el ejemplo.
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A2 =
A3 =
0 7 [9] 5 [13]
0 0 [2] 0 2
+ 0 _2 * 6
0 0 0 0 _0
5 12 0 10 18
P1 = 0 1 0 1 [2]
+ * 3 0 _*
0 0 0 0 0
+* 7 * 0
0 0 0 0 _0
0 7 9 5 [13]
0 0 2 0 2
[7] 0 2 [12] 6
3 0 0 3 _0
P1 =
5 12 0 10 18
0 10 12
[8] [15] 3 0 _ [21]
[3] [3] 0 0 [3]
[12] [19] 7 [17] 0
[3] [3] 0 _ [3] 0
0 7 [8] 5 13
0 0 [4] 0 2
7 0 2 12 6
3 0 0 3 _0
A4 = 5 12 0 10 18
P1 =
96
0 10 12
8 15 3 0 _ 21
3 30 0 3
12 19 7 17 0
3 3 0 3 _0
0 7 8 5 13
0 0 4 0 2
7 0 2 _12 6
3 0 0 3 _0
A5 = 5 12 0 10 18
P1 = 0 1 0 1 2
8 15 3 0 21
3 30 0 3
12 19 7 17 0
3 3 0 3 _0
A5=A4 con lo que el algoritmo termina.
Con el objeto de recuperar los caminos de cualquier vértice i a cualquier otro j puede usarse el
siguiente algoritmo:
Algoritmo recuperar_camino (i, j de tipo vértice)
Luis Carlos Torres Soler
Estructuras de Datos
1. k= P[i,j]
2. SI (k≠ 0)
{
recuperar_camino (i, k)
escribir (k)
recuperar_camino (k, j)
}
97
Por ejemplo, el camino más corto entre los vértices 2 y 4 se determinaría llamando a:
recuperar-camino (2,4)
k = 3 -> recuperar-camino (2,3) -> 0
[3]
recuperar-camino (3,4) -> k = 1 -> recuperar-camino (3,1) -> 0
[1]
recuperar-camino (1,4) -> 0
con la que el camino es (2,3,1,4) con costo 12.
Existen diversas representaciones de naturaleza muy diferente que resultan adecuadas para manejar un
grafo, y en la mayoría de los casos no se puede decir que una sea mejor que otra siempre ya que cada
una puede resultar más adecuada dependiendo del problema concreto al que se desea aplicar, así, si
existe una representación que es peor que otra para todas las operaciones excepto una es posible que
aún así nos decantemos por la primera porque precisamente esa operación es la única en la que
tenemos especial interés en que se realice de forma eficiente.
Matriz de adyacencia
La matriz de adyacencia, es una matriz en que cada elemento M(i,j), se le asigna un 1 si el vértice i es
adyacente del vértice j, y un 0 en caso contrario. Las filas y las columnas de la matriz son los vértices
del grafo5.
Matriz de incidencia
La matriz de incidencia, es una matriz en que cada elemento M(i,j), representa la relación incidencia
que existe entre el arco i y el vértice j, se le asigna un 1 si el arco i incide en el vértice j, y un 0 en caso
contrario (es la matriz de adyacencia para digrafos).
La principal desventaja de la matriz de adyacencia es la cantidad de elementos que quedan
desaprovechados si el grafo a representar dispone de gran cantidad de vértices y pocos arcos; los
algoritmos que tengan que inspeccionar la totalidad de la matriz deberán acceder a n2-n elementos,
siendo n el número de vértices del grafo.
5
En el caso de digrafos, la adyacencia se expresa desde o hacia.
Facultad de Ingeniería
98
Figura 7.17 Digrafo y su matriz de incidencia.
Si el grafo es etiquetado, entonces, tanto bi,j como bi,j representan al coste o valor asociado al arco (i,j)
y se suelen denominar matrices de coste. Si el arco (i,j) no pertenece a A entonces se asigna bi,j o bi,j un
valor que no puede ser utilizado como una etiqueta valida.
La principal ventaja de la matriz de adyacencia es que el orden de eficiencia de las operaciones de
obtención de etiqueta de un arco o ver si dos vértices están conectados son independientes del número
de vértices y de arcos, por el contrario, existen dos grandes inconvenientes:
*
*
Es una representación orientada hacia grafos que no modifica el número de sus vértices ya
que una matriz no permite que se le o supriman filas o columnas.
Se puede producir un gran derroche de memoria en grafos poco densos (con gran número de
vértices y escaso número de arcos).
Operaciones en grafos
Como en el caso de muchas entidades matemáticas, es conveniente considerar un gran grafo como la
combinación de uno o más subgrafos y derivar sus propiedades de ellos.
Sean los grafos G1=(V1,A1) y G2=(V2,A2)
G = G1 ∪ G2 = (V1 ∪ V2, A1 ∪ A2)
G = G1 ∩ G2 = (V1 ∩ V2, A1 ∩ A2)
Si G1 y G2, son disjuntos-arcos, entonces G1 ∩ G2 = grafo nulo.
Si G1 y G2, son disjuntos-vértices, entonces G1 ∩ G2 es vacío.
Un grafo G se dice que puede ser descompuesto en dos subgrafos g1 y g2 si, g1 ∪ g2 = G y, g1 ∩ g2 =
grafo nulo.
Definición. Un árbol es un grafo conexo sin circuitos.
Teorema. Un árbol con n vértices tiene n-1 arcos.
Luis Carlos Torres Soler
Estructuras de Datos
99
En 1987, Arthur Cayley descubrió árboles mientras contaba el número de isomeros estructurales de
hidrocarburos saturados CkH2k+2. Se usa un grafo conexo para representar la molécula CkH2k+2.
correspondiendo a su valencia química, un carbono puede ser representado por un vértice de grado 4 y
el hidrógeno por un vértice de grado 1. El número total de vértices en tal grafo es n=3k+2, y el número
de arcos es 1/2(suma de grados)=1/2(4k+2k+2)=3k+1.
Así el problema de conteo de isomeros estructurales de un hidrocarburo es contar árboles. La primera
pregunta de Cayley; ¿Cuál es el número de diferentes árboles que se pueden construir con n distintos
vértices?
Teorema. El número de árboles marcados con n vértices (n>=2) es nn-2.
Cubo unitario y su grafo
Figura 7.18 Diagrama de Q1, Q2 y Q3.
Considérese un conjunto de m variables x1, x2, ..., xm. Cada xi puede tomar los valores 0 o 1. Por tanto
se pueden formar 2m distintas m-tuplas. Cada una de esas m-tuplas puede ser representada por un
vértice de un cubo unitario m-dimensional.
Los arcos y vértices de un m-dimensional cubo unitario forman un grafo con 2m vértices. Cada vértice
es marcado con una secuencia binaria distinta de m-bits tal que dos vértices son adyacentes, si y
solamente si, ellos difieren en exactamente un bit. Tal grafo es llamado un m-cubo y es designado por
Qm.
Algunas propiedades de un m-cubo Qm
1.
Hay exactamente m distintas marcas que difieren en una posición. Por tanto cada vértice en
Qm es de grado m. Así Qm es un grafo regular de n=2m vértices y m*2m-1 arcos.
2.
La distancia d(vi,vj) entre dos vértices vi y vj, en un m-cubo, es igual al número de posiciones
en que los labels de vi y vj difieren.
3.
La máxima distancia posible entre dos vértices en un m-cubo es m.
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