Tema 6 Campos y movimiento en campos centrales - OCW-UV

Tema 6. Campos y movimiento en campos centrales
1. Campos centrales
Tema 6. Campos y movimiento en campos centrales
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07/11/2008
Campos centrales.
Campos newtoniano/coulombiano.
Movimiento en un potencial central.
Problema de los dos cuerpos. Órbitas
en un campo gravitatorio.
J. Pellicer Porres
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Tema 6. Campos y movimiento en campos centrales
1. Campos centrales
- Definición de fuerza central:
r
F
O
- Las fuerzas centrales son conservativas, ya que:
(La fuerza no depende explícitamente del tiempo)
- Las fuerzas centrales tienen asociado un potencial central:
r
rF
dl
f
II r
dl
O
- Los potenciales centrales originan fuerzas centrales:
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I
r
F
i
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2. Campos newtoniano/coulombiano
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Campos centrales.
Campos newtoniano/coulombiano.
Movimiento en un potencial central.
Problema de los dos cuerpos. Órbitas
en un campo gravitatorio.
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2. Campos newtoniano/coulombiano
r
FQq
- Campo newtoniano/coulombiano:
r
uR
r
R
- Principio de superposición:
-
q
+
r
FQq
-
Q
-
∞
r
F
r
dl
- Cálculo de la energía potencial tomando el origen en el infinito
R
q
Q
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2. Campos newtoniano/coulombiano
- Campos:
r
E
- Principio de superposición para los campos:
Q
- Potencial:
- Principio de superposición para el potencial:
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2. Campos newtoniano/coulombiano
- Características vectoriales:
- Rotacional, circulación:
(forma diferencial)
(forma integral)
- Divergencia, flujo:
r
ur
θ
r
dS
r
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2. Campos newtoniano/coulombiano
- T. Gauss- (forma integral)
- Buscamos la forma diferencial del T. Gauss:
- T. Gauss- (forma diferencial)
- Ecuación de Poisson:
- Ec. Poisson-
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3. Movimiento en un potencial central
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Campos centrales.
Campos newtoniano/coulombiano.
Movimiento en un potencial central.
Problema de los dos cuerpos. Órbitas
en un campo gravitatorio.
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3. Movimiento en un potencial central
Conservación del momento angular
- El momento angular de una partícula moviéndose en el seno de un potencial central
se conserva.
r
L
- Consecuencias:
1. El movimiento se desarrolla en un plano.
2. Ley de las áreas: la velocidad aerolar (va) es constante.
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r
r
r
v
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3. Movimiento en un potencial central
Ecuaciones del movimiento
- Lagrangiana de masa puntual moviéndose en un plano:
- φ es cíclica. Recuperamos la conservación del momento angular:
- Ecuación de movimiento para la coordenada radial:
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Análisis del potencial
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3. Movimiento en un potencial central
T azimutal o de rotación o “barrera
centrífuga”
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3. Movimiento en un potencial central
Órbita circular:
Movimiento no acotado
Órbita circular
Movimiento acotado entre el
pericentro (rp) y el apocentro
(ra)
Mov. acotado
entre rp y ra
Movimiento
no acotado
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4. Problema de los dos cuerpos. Órbitas…
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Campos centrales.
Campos newtoniano/coulombiano.
Movimiento en un potencial central.
Problema de los dos cuerpos. Órbitas
en un campo gravitatorio.
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4. Problema de los dos cuerpos. Órbitas…
Planteamiento del problema:
Dos partículas sobre las que no actúa ninguna fuerza externa y que interaccionan
con un potencial del tipo coulombiano
(6 grados de libertad)
-El movimiento se descompone en movimiento del CM más
movimiento alrededor del CM
El CM se mueve como una partícula libre
- El movimiento es un plano:
El mov. relativo se ve afectado por una F
central. El momento angular relativo al
CM se conserva
Sólo hay una coordenada de interés.
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4. Problema de los dos cuerpos. Órbitas…
Análisis del potencial
1. Órbita circular.
2. Pericentro (r min, rp) y apocentro (r max, ra)
3. Tipos de movimiento:
3.1.1 Potencial atractivo (α<0): órbita acotada si E<0.
3.1.2 Potencial atractivo (α<0): órbita no acotada si E≥0.
3.2. Potencial repulsivo (α>0): órbita no acotada. E>0 necesariamente.
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4. Problema de los dos cuerpos. Órbitas…
Ecuaciones del movimiento
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4. Problema de los dos cuerpos. Órbitas…
Trayectoria
- Partimos de:
- Idea feliz:
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4. Problema de los dos cuerpos. Órbitas…
Estudio de la trayectoria
- Acabamos de ver:
- Ecuación de una cónica (ved complemento):
- Escogemos φ0=0. Pero, y A?
- Excentricidad ε
- Resumen:
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4. Problema de los dos cuerpos. Órbitas…
Leyes de Kepler
1. Los planetas se mueven describiendo elipses con el sol
ocupando uno de los focos (Astronomia Nova, 1609).
2. El radio vector que conecta el sol con el planeta barre áreas
iguales en tiempos iguales (Astronomia Nova, 1609).
3. El cuadrado del período es proporcional al cubo de la
distancia promedio a sol (Harmonices Mundi, 1619).
- La tercera ley es consecuencias de la ley de las áreas aplicada a la trayectoria elíptica:
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4. Problema de los dos cuerpos. Órbitas…
- Datos del Sistema Solar:
- Como la masa Ms del sol es mucho
más grande que la de cualquier
planeta:
(¡ pero a es el semieje
mayor, no la distancia
media!)
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4. Problema de los dos cuerpos. Órbitas…
Complemento. Secciones cónicas:
- Desde F’-
07/11/2008
- Rama negativa-
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