131 Reflexión y transmisión de ondas planas

Reflexión y transmisión de ondas planas
131
8
REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE
ONDAS PLANAS
Un espacio que contenga dos medios de características distintas, y separados por
una superficie plana se puede considerar como un medio no homogéneo. Los problemas
electromagnéticos para este tipo de medios requieren para su solución del uso de las
condiciones de contorno. El problema de contorno más simple lo constituye el análisis
de la incidencia de una onda plana sobre una interfaz plana entre dos medios
homogéneos.
8.1. Coeficientes de Fresnel para reflexión y de
transmisión de ondas planas.
Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.
Consideremos una onda plana de frecuencia , propagándose en un medio
homogéneo, de extensión indefinida y de características eléctricas 1,1 y 1, que incide
sobre la superficie plana de separación con el segundo medio, de características
eléctricas 2,2 y 2, como se indica en la figura 8
z
1
Ei
Er
1
Hr
Hi
i
r
y
2
Et
Ht
Figura 8-1 Reflexión de onda plana con E  al plano de incidencia
132
i = ángulo de incidencia = 1, r = ángulo de reflexión = 1 y 2 = ángulo de
transmisión.
Onda incidente; 0  z

E r, t   l x E 0 exp  jt  exp  1  r
i
i

(8.1a)
donde,
r  l y y  lz z , y
i
1  l r 1 , constante de propagación del medio 1

H r, t   H 0 l y cos   l z sen  exp  jt  exp  1  r
i

(8.1b)
donde, H0 = E0 / 1, y 1 representa la impedancia intrínseca del medio 1.
Onda reflejada; 0  z
E r r , t   l x  E E0 exp  jt  exp(  1  r r )
(8.1c)
 E 
r
r
H r , t   l y cos  l z sen  E 0  exp jt  exp( 1  r )

 1 
(8.1d)


donde E representa el coeficiente de reflexión de Fresnel para polarización
horizontal (campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia), y
r  l y y  lz z
r
(8.1e)
Onda transmitida; z  0
E r, t   l x  E E 0 exp  jt  exp(   2  r )
t
t
(8.1f)
donde E representa el coeficiente de transmisión de Fresnel para polarización
vertical (campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia).
 2  l r  2 , constante de propagación del medio 2.
133
 E 
t
t
(8.1g)
H r , t    l y cos  l z sen   E 0  exp jt  exp( 2  r )

 2 
t
donde, r  l y y  l z z , y 2 representa la impedancia intrínseca del medio 2.


En z = 0, deben satisfacerse las siguientes condiciones de contorno:
a) H tan1  H tan2
b) E tan1  E tan2
H tan1  H tan2  H y
z 0

E0
 1  E  cos1   E 0 E cos2 
1
2
Etan1  Etan2  Ex z0  E0 1  E 
(8.1h)
(8.1i)
De estos resultados obtenemos las siguientes relaciones:
1  E   E
(8.1j)
  cos  2 
 E
1   E   1

cos

1
 2
(8.1k)
A partir de las expresiones (8.1j) y (8.1k) se obtienen los coeficientes de Fresnel
E y E, coeficientes de reflexión y de transmisión para una onda plana con polarización
horizontal (E  al plano de incidencia).
E 
E 
 2 cos 1   1 cos 2
 2 cos 1   1cos 2
2 2 cos 1
2 cos 1   1cos
(8.1l)
(8.1m)
2
Para observar el comportamiento de estos coeficientes procedemos a
representarlos gráficamente para el caso de dos medios dieléctricos, no magnéticos(1=
2 = 0), y sin pérdidas(1'' = 2'' = 0), como se indica en las figuras 8-2 y 8-3.
134
1 (radianes)
Figura 8-2 E en función del ángulo de incidencia (0  1  /2)
Podemos observar en la figura 8-2, que el coeficiente de reflexión de Fresnel para
una onda plana cuando el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia,
nunca es igual a cero. Esto indica la imposibilidad de eliminar la reflexión bajo las
condiciones existentes en este caso.
Analíticamente, podemos ver que el numerador de la ecuación (8.1l), que define
el coeficiente E, sólo será igual a cero cuando las constantes de propagación de ambos
medios sean iguales. Condición trivial, que nos indica que la onda se estaría propagando
en un medio homogéneo indefinido, es decir, no existe una zona reflectante donde la
reflexión pueda ser eliminada. Esto en el caso de que la onda incidente tenga una
polarización perpendicular al plano de incidencia.
Para este tipo de polarización, como veremos mas adelante, puede existir
reflexión total. La reflexión total puede tener lugar en la la interfaz entre dos medios
dieléctricos, para una onda que pasa de un medio con permitividad mayor a otro con
permitividad menor.
135
1 (radianes)
Figura 8-3 E en función del ángulo de incidencia (0  1  /2)
Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia
Ei
z
Hr
H
i
Er
i r
y

Et
Ht
136
Figura 8-4 Refección de Onda Plana con E  al plano de incidencia
Onda incidente; 0  z

E (r, t )  l y cos 1  l z sen 1 E 0 exp( jt ) exp 1  r
i
H  lx
i
i

E0
i
exp(jt ) exp(1  r )
1
(8.1n)
(8.1o)
i = ángulo de incidencia = r = ángulo de reflexión = 1;
t = ángulo de transmisión = 2.
1  r  1 y sen 1  z cos 1 
i
(8.1p)
1 = constante de propagación del medio 1,
 = impedancia intrínseca del medio 1.
Onda reflejada; 0  z

E r, t   l y cos 1  l z sen 1  exp  jt  exp 1  r
r
H r, t   1x
r

H E 0
r
exp jt  exp 1  r
1
r


(8.1q)
(8.1r)
Onda transmitida; 0  z
H r, t   1x
t

H E 0
t
exp jt  exp  2  r
2

(8.1s)
2 = impedancia intrínseca del medio 2.
En z = 0 deben satisfacerse las siguientes condiciones de contorno:
a) Etan1 = Etan2
b) Htan1 = Htan2
E0 1  H  cos1  E0 H cos2
(8.1t)
E0
1  H   E 0 H
1
2
(8.1u)
137
De estos resultados obtenemos las siguientes relaciones:
cos 2
1 H 
H
cos 1
(8.1v)
E0
1  H   E 0 H
1
2
(8.1w)
A partir de las expresiones (8.v) y (8.1w) obtenemos:
H 
 2 cos 2  1 cos 1
1 cos 1   2 cos 2
(8.1x)
H 
2 2 cos 1
1 cos 1   2 cos 2
(8.1y)
H
i (radianes)
138
Figura 8-5 Coeficiente de reflexión para una onda plana con polarización
paralela
H
i (radianes)
Figura 8-6 Coeficiente de transmisión para una onda plana con polarización
paralela al plano de incidencia.
8.2. Transmisión y reflexión totales para la incidencia oblicua
Podemos observar en la figura 8-5 el coeficiente de reflexión de Fresnel para una
onda plana con polarización paralela al plano de incidencia. En el intervalo 0    /2
existe un valor del ángulo de incidencia para el cual este coeficiente se hace igual a
cero, es decir no existe reflexión. Esto corresponde, matemáticamente, a cuando el
numerador de la expresión (8.1w) es igual a cero. Con la ayuda de la ley de Snell para
refracción y la expresión (8.1x) obtenemos, que cuando 1 =  - 2 el coeficiente de
reflexión es igual a cero, lo cual corresponde al punto donde la función H = f(i) cruza
el eje horizontal en la figura 8-5.
 2 


   cos  B  cos  2  0
1


(8.2a)
Haciendo uso de la ley de Snell para refracción, obtenemos:
139
1 cos2 sen 1  1 cos1 sen 2  0
(8.2b)
 sen2  1  cos2  1   0
 
En consecuencia:  B  tan 1  2  , ángulo de Brewster.
 1 
H 

Angulo rasante (  90o - inc)
Figura 8-7 Magnitud del coeficiente de reflexión de Fresnel para polarización
paralela ( H  al plano de incidencia).
140
En el gráfico de la figura 8-7, se representa la variación de la magnitud del
coeficiente de Fresnel para reflexión de una onda plana incidiendo sobre la superficie
del mar (  = 20  ,  = 29 S/m), para frecuencias que varían entre 0,1 GHz y 20 GHz.
. Aquí podemos observar, claramente, el efecto de la variación del factor de disipación
(/), que hace que para cualquier medio exista un ángulo de mínima reflexión para
polarización paralela ( seudo ángulo de Brewster). Esta reflexión tiende a ser
insignificante para frecuencias muy elevadas.
De lo anteriormente expuesto, vemos que los coeficientes de Fresnel nos dan una
serie de valiosos datos sobre los procesos ondulatorios al ser plana la superficie de
separación entre los medios. El planteamiento general nos indica que una onda de
polarización arbitraria puede ser descompuesta en dos ondas cuya polarización se
muestra en las figuras (8-1) para polarización perpendicular y (8-4) para polarización
paralela.
Como se desprende de las fórmulas de Fresnel (8.1k), (8.1m), (8.1x) y (8.1y),
mientras mayor sea la diferencia entre las impedancias intrínsecas de ambos medios, la
reflexión será más acentuada. Lo mismo para el coeficiente de reflexión, se aproxima a
la unidad sí
1 2. Supongamos que el segundo medio es un conductor
perfecto, o sea.    y 2 = 0. En virtud de las expresiones (8.1k), (8.1m), (8.1x) y
(8.1y), tenemos:
E  1, H  1, E  0, H  0
Para el caso de incidencia normal (1 = 0).
Para el medio 1: 0  z
~ ~i ~r
~
E1  E  E  l x E 0  j2 sen 1z  exp jt 
(8.2d)
~
E0
~
~i ~r
2 cos 1z  exp jt 
H1  H  H  l y
1
(8.2e)
En las expresiones (8.2d) y (8.2e) podemos notar que las fases de los campos sólo
dependen del tiempo, mientras que las amplitudes varían en el espacio, como lo
podemos apreciar en la figura 8-7, que nos muestra el desplazamiento a lo largo del eje
z de E(t) con respecto a H(t) debido al desplazamiento (desfasaje) en el tiempo; la
figura 8-8 nos muestra la distribución de E(z) con máximos y ceros fijados en el espacio
como resultado de la coincidencia espacial de las fases de las oscilaciones del campo.
Si se trata de un conductor real, el coeficiente de reflexión para ambas
polarizaciones será igual:
141
 E ,H
 
1   2 
2
3
1 
 2 
 2 
22


 1 
 2   2   .....
1
 2 
 1 
 1 
1   
 1 
(8.2f)
Si consideramos que el medio 1 es un dieléctrico perfecto, el coeficiente de
1
reflexión, con una precisión de hasta (2/1)2, sería:  E , H  1  1  j 
2
Figura 8-8 Onda estacionaria creada por la reflexión de una onda plana
sobre un conductor ideal
H(t)
E(t)
Figura 8-9 Distribución de E(t) y de H(t) causada por un desfasaje en el
tiempo igual a T/4
142
La expresión (8.2d) nos indica, cómo se cumple la condición de continuidad de
las componentes tangenciales de E en la interfaz (z = 0), y la (8.2e), al ser E = 0 en el
medio conductor ideal, y cómo la componente tangencial de H en la interfaz (z = 0)
debe ser igual a la densidad superficial de corriente.
Cuando el medio 2 es absorbente y el medio 1 es un dieléctrico (aislante), caso
muy frecuente en aplicaciones prácticas, se tiene, de acuerdo a la ley de refracción de
Snell, lo siguiente:
sen  2 
1
sen 1
2
(8.2g)
donde 1 = j1, y 2 = 2 + j2.
En esencia el ángulo de incidencia  debe obligatoriamente encontrarse entre los
límites: 0  1  /2. Pero, debido a que el factor (12) es una cantidad compleja, sen2
será también complejo. Esto implica que existe una reflexión parcial en la interfaz.
Además, el campo en el segundo medio estará atenuado a medida que penetra en el
segundo medio.
En este medio, los planos paralelos a la interfaz (z = constante), representan
planos de amplitud constante para el campo electromagnético. Pero lo que se refiere al
frente de ondas, es decir, a las superficies de fase constante, éstas no coinciden con las
de amplitud constante, ya que los fasores que representan a 2 y 2 no son fasores
paralelos, nos encontramos en presencia de una onda plana no homogénea.
No tenemos que proseguir con el significado del ángulo imaginario que hemos
visto aparecer cuando sen2  1, ya que para la interpretación física de la reflexión total
no necesitamos de 2, sino sen2 y cos2, y ambos pueden relacionarse al ángulo real 1
por la ley de Snell. Para el caso de dos medios dieléctricos 1  sen-1 (1/2)½, donde el
ángulo sen-1 (1/2) = c representa el ángulo crítico de incidencia para reflexión total.
 
sen  2   1  sen 1
 2 



cos  2  1  1 sen 2  
 2



  j  1 sen 2 1  1
 2

(8.2h)
143
Una manera más directa de interpretar qué ocurre en la reflexión total entre dos
medios dieléctricos es considerar las expresiones de E y H para 1  c. Ambos
coeficientes se reducen a la forma (a+jb)(a-jb) = exp(j), donde  = 2 tan-1(b/a), que
muestra el módulo unidad de ambos coeficientes. Bajo estas condiciones, las
expresiones (8.1l) y (8.1x) se convierten en:
E 

 
cos 1  j  sen 2 1  2 
1 


 
cos 1  j  sen 2 1  2 
1 

H 
 1exp j E 
2 


  cos 1  j  1 sen 2 1  1
 1 
2

2 
  cos 1 
 1 
 1

 sen 2 1  1
 2

 1exp j H 
(8.2i)
(8.2j)
Así, la onda está reflejada totalmente y con un desfasaje E ó H.
Aunque bajo estas condiciones de reflexión total no hay energía transferida al
medio 2, existe un campo en este medio, de otro modo las condiciones de contorno que
requieren continuidad de las componentes tangenciales del campo a través de la
interfaz, se infringirían. Tomando como ejemplo el caso de polarización perpendicular
(E  al plano de incidencia), el campo eléctrico transmitido será de la forma:
E x  l x E Ei0 exp jy exp z
donde,



2 cos 1
E  
 cos 1  j sen 2 1   2

1

   2
1
sen 1
2







(8.2k)
(8.2l)
(8.2m)
144
 2    2 2 
  2
2
2
1
sen 2 1  1
2
(8.2n)
(8.2o)
Por lo tanto, existe un campo en el medio 2. El factor exp(-j'y) indica la
existencia de una onda que se propaga con dirección paralela a la interfaz con una
velocidad de fase aparente v'f = /' = /(2 1 / 2  sen 1 ), que es menor que la
velocidad de fase (/2) de una onda plana ordinaria en el medio 2. El factor exp(-z)
indica que la amplitud de esta onda está amortiguada exponencialmente en una
dirección normal a la interfaz. Este amortiguamiento es muy rápido y, a una distancia de
unas pocas longitudes de onda, a efectos prácticos, el campo es inobservable. Por tanto,
la onda está estrechamente ligada a la superficie del contorno (interfaz) y se atenúa en
dirección perpendicular a ella. Este tipo de ondas que se propagan a reducida velocidad
se les conoce como ondas superficiales.
8.3. Incidencia oblicua sobre una superficie conductora
ideal
De acuerdo al análisis presentado en la sección 8.1, el campo en el medio 1,
cuando éste es un dieléctrico y el medio 2 es un conductor perfecto, está representado
por las siguientes expresiones:
a) Para polarización perpendicular (E  al plano de incidencia)
E 1  y, z   E i  E r
 l x E0 exp j1 y sen 1  z cos1 exp j1 y sen 1  z cos1 
 l x E0 2 j sen1 cos1 exp j1  y sen1 
(8.3a)
H 1  y, z   H i  H r
2
E0
l y cos1 cos1z cos1   lz j sen 1 sen1z cos1  exp j1y sen 1 
1
145
(8.3b)
Los resultados presentados en las expresiones (8.3a) y (8.3b) denotan la existencia
de:
1) Una onda con dirección de propagación normal a la interfaz, la cual
corresponde a una distribución estacionaria, como se indica en la figura 8-7. Esta onda,
con componentes Ex y Hy, tiene un vector de Poynting cuyo promedio temporal es igual
a cero, por consiguiente, no transporta energía neta, ya que es el resultado de la
superposición de dos ondas con amplitudes iguales que se propagan en sentidos
inversos, figura 8-7.
2) Una onda viajera que se propaga en dirección paralela a la interfaz, cuyos
campos asociados, Ex y Hz, constituyen una onda superficial. Esta onda es no uniforme
y su amplitud varía en dirección perpendicular a la interfaz. Por consiguiente, el vector
de Poynting (Ex x Hz) asociado con esta onda está dado por la siguiente expresión:
S y  l x   l z 
4 E0
1
2
sen 2 1z cos 1  exp  j1 y sen 1 
3) La intensidad del campo eléctrico E1 es igual cero cuando sen(1zcos1) = 0, es
decir, cuando z cos1  m , de forma tal, que podemos insertar planos conductores en
m1
z
; m  1,2,3,  y no ocurrirán cambios en el patrón de ondas existente.
2 cos 1
Esto constituye el principio básico que justifica y explica el transporte de energía
eléctrica utilizando ondas transverso-eléctricas guiadas entre planos conductores
paralelos.
4) En la superficie conductora (z = 0), existe una densidad superficial de corriente
que es igual en magnitud a la componente tangencial de H:
Jx 
2E 0
cos 1 exp j1 y sen 1 
1
(8.3c)
b) Para polarización paralela(E al plano de incidencia)
Los resultados obtenidos a partir del análisis presentado en la sección 8.1,
ecuaciones (8.1o) – (8.1s), nos permiten obtener la expresión representativa del campo
en el medio 1:
E1 y, z   E  E
i
r
 2E0 l y cos1 j sen 1 1z cos1   lz sen 1 cos1z cos1  exp j1z sen 1 
(8.3d)
146
H1  l x
2E 0
 j cos1z cos1  exp j1y sen 1 
1
(8.3e)
Los resultados presentados en las expresiones (8.3d) y (8.3e) denotan la existencia de:
1) Un patrón de ondas estacionarias en dirección normal a la interfaz, creado por
las componentes Ey y Hx. El vector de Poynting resultante (Sz) tiene un promedio
temporal igual a cero, por consiguiente no transporta energía neta, por ser el resultado
de dos ondas de igual amplitud que viajan en sentido inverso.
2) Una onda viajera paralela a la interfaz, con componentes Ez y Hx. Se trata de
una onda plana no uniforme del tipo tranverso-magnética (no tiene componente H en la
dirección de propagación).
m1
; m  1,2,3,  donde el
2 cos 1
campo eléctrico es nulo, y por lo tanto la inserción de planos conductores en estas
superficies no afecta la distribución del campo existente. Esto constituye el principio
que explica y justifica el transporte de señales electromagnéticas mediante el uso de
ondas transverso-magnéticas guiadas entre planos conductores paralelos.
3) Planos paralelos a la interfaz, ubicados en z 
4) Una densidad de corriente superficial en la interfaz, cuya magnitud es igual a la
componente tangencial de la intensidad del campo magnético:
Jy 
2E 0
exp j1 y sen 1 
1
(8.3)
Se ha descrito la manera clásica cómo una onda de frecuencia fija viaja a
velocidades diferentes, según se propague en el espacio libre o en algun otro medio. Si
la permitividad relativa del medio es mayor que la unidad, la onda se retarda. ¿ Cuál es
la descripción microscópica del proceso de retardación de la onda? Al plantear esta
pregunta se ha sobrepasado ya los límites del medio continuo. La teoría de los medios
continuos se quebranta en todo caso en el que la longitud de onda de la radiación es
comparable con el espaciamiento entre moléculas.Este espaciamiento es de unos
cuantos angstroms en los sólidos. Con las frecuencias altas, y para hacer una
descripción microscópica de mucho de los fenómenos estudiados, será conveniente
considerar el acampo electromagnético en forma diferente.
La teoría clásica considera que la energía del campo electromagnético está
distribuida de manera continua, con densidad (E.D + H.B)/2, y que fluye continuamente
a un ritmo indicado por el vector de Poynting (ExH). La teoría cuántica considera que
en un campo electromagnético la energía existe en cuantos discretos, llamados fotones.
Cada fotón se mueve en el espacio libre a lkavelocidad de la luz y sus masa en reposo es
147
cero. La energía de los fotones depende de la frecuencia ν de radiación y está dada por
la expresión: W = hν, donde h es la constante de Plenck (6,626x10-34 Joule seg.
Una visión microscópica para describir el retardo de una onda en un bloque de
material dieléctrico, puede obtenerse imaginando una nube de fotones que entran en el
bloque y son intercambiados entre las moléculas antes de emerger. Esto incrementa el
tiempo que invierten los fotones en atravesar el bloque y corresponde a una velocidad
de traslación menor en el medio que en el espacio libre.
8.4. Reflexión y transmisión de ondas planas en medios
estratificados
En la sección 8.1 estudiamos las características de los campos resultantes de la
incidencia de una onda plana sobre la superficie entre dos medios dieléctricos
homogéneos de diferentes propiedades eléctricas. En esta oportunidad analizaremos una
región formada por tres estratos planos de materiales dieléctricos diferentes, y de
características homogéneas, como se indica en la figura 8-9. Concretaremos nuestro
análisis en el caso de una incidencia normal.
Campo en el medio 1; -  z  0:


E1  l x Ei0 exp j1z  E0r exp j1z
 Ei

Er
H1  l y  1 exp j1z   1 exp j1 
1
 1

Campo en el medio 2; 0  z  d:


(8.4a)
(8.4b)
E 2  l x Ei2 exp j2 z   E r2 exp j2 z 
aa
(8.4c)
 Ei

Er
H 2  l y  2 exp j2 z   2 exp j 2 z 
2
 2

(8.4d)
Campo en el medio 3; d  z  :
148


E3  l x Ei3 exp j3z 
(8.4e)
 E i3 
H 3  l y   exp j3 z 
 3 
(8.4f)
Un problema como el que estamos tratando en esta sección, corresponde al tipo de
problemas electromagnéticos donde es necesario definir el campo (E,H) ubicado en el
interior de una región limitada, y donde el flujo de la energía electromagnética llega
desde un medio exterior a través de su frontera. Por consiguiente, es necesario enunciar
condiciones de contorno para poder obtener soluciones únicas. También este problema
representa un caso límite de refracción, su tipo más sencillo, donde la onda plana
atraviesa un medio estratificado con características constantes para cada estrato. Exige
una particular atención cuando la incidencia no es perpendicular y las características de
los medios son funciones de las coordenadas.
Nuestra tarea va a consistir en el estudio de los campos que se encuentran en los
diferentes estratos por los que al pasar la onda sufre modificaciones debidas a la
variación brusca de los parámetros eléctricos. Podríamos, simplemente, admitir que la
superficie de separación entre estratos continuos no es ostensible, sino que hay una
finísima separación, en cuyo interior, las propiedades del medio varían suavemente.
Esto sería un hecho inconsecuente con los planteamientos macroscópicos del
electromagnetismo, a pesar de la existencia de continuidad en la naturaleza. Sin
embargo, de acuerdo con el concepto general sobre superficies idealizadas de
separación entre los diferentes estratos, o sea, la falta de transición continua, usamos la
condiciones de frontera que fueron ya establecidas en el capítulo 4º de estos apuntes.
x
Hr1
Medio 2
r
Err1
Sr1
Si2 Hi2
Ei2
Hi3
i
Hi2
H1
Si1
Ei1
Si3
Si2
Ei3
Ei2
Medio 1
0
Medio 3
d
z
Figura 8-10 Propagación a través de tres medios dieléctricos
149
Condiciones de contorno:
a)
En z = 0
E1 0   E 2 0  

H1 0   H 2 0 
b)
(8.4g)
En z = d
E 2 d   E 3 0  

H 2 d   H 3 d 
(8.4h)
La aplicación de esas condiciones de contorno nos conduce a la obtención de un
sistema de cuatro ecuaciones lineales, cuya solución es simplemente algebraica.
E1i  0  E1r 0  Ei2 0  Er2 0
(8.4i)
E1i 0 E1r 0 Ei2 0 E r2 0



1
1
2
2
(8.4j)
Ei2 dexp j2d  Er2 d exp j2d  Ei3 dexp j3d
(8.4k)
E i3 0
E i2 0
E r2 0
exp j2 d  
exp j2 d  
exp j3d 
2
2
3
(8.4l)
La solución de este sistema de ecuaciones simultáneas nos da como resultado lo
siguiente:

E1i  0  
 3   2 
 exp 2 j 2 d 
E 0  
1  2   1  2 
K 
 3   2 

r
1
E i2 (0) 
2E1i 0
2
K
E r2 0  
2E1i 0 2
K
(8.4m)
(8.4n)
 3  2 

 exp j 2 d 
 3  2 
(8.4o)
150
E i3 0 
4E1i 0  2 3 

 exp j 2  1 d
K  2  3 
(8.4p)
donde,
K  2  1   2  1 
3  2
exp 2 j 2 d 
2  3
(8.4q)
Obtenidos los resultados expresados en las relaciones (8.4m) – (8.4p),
determinaremos las condiciones bajo las cuales es posible eliminar la reflexión en un
medio dieléctrico estratificado. Consideremos dos casos generales, de interés práctico:
1.- Una lámina dieléctrica inmersa en un medio dieléctrico de gran extensión. Es
decir, que 1 = 3. Por lo tanto, y bajo estas condiciones, la expresión (8.4m) se
convierte en:


E1r
22  12 1  exp 2 j 2d 

E1i 2  1 2  2  1 2 exp 2 j 2d 
(8.4r)
Con exclusión del caso trivial cuando 1 = 2 = 3, podemos observar la
existencia de la posibilidad de eliminar la reflexión en la superficie de la lámina
dieléctrica (medio 2), cuando se cumple la siguiente condición:
exp 2 j2d   1
(8.4s)
Es decir, cuando
22d  2m
dm
2
, m  1,3,5....
2
(8.4t)
El grosor de la lámina (medio 2) debe ser un múltiplo impar de media longitud de
onda en ese medio (2/2).
2.- Cuando los tres medios dieléctricos son diferentes (1  2  3). En este caso
el fenómeno se complica debido a la existencia de los desfasajes causados por las
diferentes constantes de fase (1  2  3).
151
Cuando 22d  (2m  1)
E1r 22  13

E1i 22  13
(8.4u)
Estos resultados indican, que para eliminar la reflexión se deben satisfacer dos
condiciones simultáneamente:

d  2m  1 2
(8.4v)
4
El grosor de la lámina debe ser un múltiplo impar de un cuarto de la longitud de la
onda en el medio, y la impedancia de la lámina debe igual a la media geométrica entre
las impedancias intrínsecas del medio 1 y del medio 3:
2  13 
½
(8.4w)
8.5. Impedancia de onda para un medio estratificado
El concepto de impedancia de onda del campo total existente en cualquier plano
paralelo a las interfaces de un medio estratificado es de gran utilidad práctica para
determinar las características de la propagación en este tipo de medios.
x
Ei 1
Si 2 Si 3
i
S1
Sr1
Medio 1
S
Er1
i
2
Medio 2
Medio 3
z
0
d
Figura 8–11 Propagación en medios estratificados
Consideremos nuevamente la propagación a través de un medio estratificado
conformado por una sección de espesor d entre dos regiones indefinidas de propiedades
eléctricas diferentes.
Se define el concepto de impedancia total como la relación entre las intensidades
del campo E y del campo H para un punto determinado:
Zz  
E x z 
H y z 
(8.5a)
152
Para un punto en el medio 1, a una distancia z de la interfaz con el medio 2,
tenemos:
Z1  z  
E1x z  E i0 exp j1z   E exp j1z 

H1y z  E i0
exp j1z   E exp j1z 
1
(8.5b)
Para un punto ubicado en z = -L (medio 1), tenemos:
Z L  
E1x  L 
exp j1L   E exp j1L 
 1
H1y  L 
exp j1L   exp j1L 
(8.5c)
Para una incidencia perpendicular sobre la interfaz (i = 0),
E 
2  1
2  1
Z1  L   1
 1
(8.5d)
2  1  exp j1L  2  1  exp j1L
2  1  exp j1L  2  1  exp j1L
2 cos1L  j1 sen 1L
1 cos1L  j2 sen 1L
(8.5e)
La impedancia del campo total para el medio 2 será, entonces, igual a:
Z 2 0  2
3 cos 2 d  j2 sen  2 d
2 cos 2 d  j3 sen  2 d
(8.5f)
Para el medio 1 la onda ha encontrado una discontinuidad en z = 0, con una
impedancia intrínseca Z2(0). Por lo tanto, el coeficiente de reflexión en z = 0, para una
onda plana con incidencia perpendicular, será igual a:
0 
E 0r
H 0r Z2 0  1



E i0
Hi0 Z2 0  1
(8.5g)
153
Por consiguiente, la inserción del medio 2 entre los medios 1 y 3 tiene el efecto de
transformar la impedancia 3 en una impedancia Z2 (0). Es decir, que dados unos
valores 1 y 3, podemos ajustar el valor de 0 de acuerdo a ciertos valores de 2 y de d.
Por ejemplo, para eliminar la reflexión en z = 0, que 0  0, Z2(0) debe ser igual a 1.
Es decir:
2 3 cos2d  j2 sen 2d   1 2 cos2d  j3 sen 2d 
(8.5h)
Separando partes reales e imaginarias, obtenemos:
3 cos2d  1 cos2d
(8.5i)
(2 )2 sen 2d  13 sen 2d
(8.5j)
La igualdad (8.5i) se satisface cuando 1 = 3, o cos2 = 0. Esto implica:
 2 d  2m  1
d  2m  1

2
2
; m  1,3,5,....
4
La igualdad (8.5h) se satisface cuando 1= 2 = 3 (solución trivial), y cuando 2d
= m, es decir, d = m2/2.
Estos resultados nos conducen a la obtención de las mismas condiciones
establecidas en la sección 8.4, al analizar la eliminación de la reflexión en medios
estratificados, es decir, no habrá reflexión sobre la superficie del medio dieléctrico 2,
para una onda plana con incidencia perpendicular, bajo las siguientes condiciones:
Cuando,
3  1


 2 
d  m 2 , m  1,3,5,...
 

154
 2  1 3 ½

y también, cuando 
 2 
d  2m  1  , m  1,3,5,....
 4 

8.6. Eliminación de la reflexión en un conductor ideal.
Medio 1
Medio 2
Medio 3
Hi
Si
Z
Ei
Lámina resistiva
z=0
z=d
Figura 8-12
La figura 8-12 nos presenta un esquema para la eliminación de la reflexión de una
onda plana que incide perpendicularmente sobre una superficie perfectamente
conductora. La reflexión se elimina anteponiendo una lámina metálica a la superficie
conductora, de manera tal, que la intensidad del campo eléctrico reflejado que existía en
la región z  0, sea ahora igual a cero, debido a la presencia de esta lámina, que absorbe
la energía reflejada por la superficie conductora ideal, no dejando, de esa manera, que
regrese energía al medio 1.
Consideremos lo siguiente:
Medio 1 (z 0) y medio 2 (0 z  d), condiciones de espacio libre: (0,0).
En z = 0, una lámina metálica de conductividad superficial igual s.
Campo en el medio 1:


r
E1  lx Ei01 exp j0 z  E01
exp j0 z
(8.6a)
155
 Ei

Er
H1  l y  01 exp j 0 z   01 exp j 0 z 
0
 0

(8.6b)
Campo en el medio 2:


r
E2  lx Ei02 exp j0z  E02
exp j0z
r
 i

E02
E02

H 2  1y
exp j  0 z  
exp j  0 z 
 0

0


(8.6c)
(8.6d )
Suponiendo conocida la intensidad del campo incidente, al aplicar a las
ecuaciones (8.6a) – (8.6d) las condiciones de borde obtenemos:
En z = 0
E 1  E 2

H 1  H 2   S E 1
r
1
1
 1 E01
1
i
i
1  
1
 1 E02  E01 1   S
0
exp 2 j 0d  1 E02r
0
(8.6e)
Por consiguiente,
r
E 01
i
E 01
r
E 01




S  1 exp 2 j0d   S
2  S 1  exp 2 j0 d 
(8.6f)
Este resultado representa el coeficiente de reflexión en z = 0 (superficie de la
lámina metálica). Por consiguiente, para eliminar la reflexión debemos establecer
condiciones físicas que se traduzcan matemáticamente en la obtención de un valor igual
a cero del numerador de la expresión (8.6f). Estas condiciones son las siguientes:
156

d  2m  1 ; m  1,3,5, 
4
(8.6g)
y, S  1
(8.6h)
Estos resultados corroboran las derivaciones hechas en la sección 7.3, sobre
propagación de ondas planas en medios conductores. En consecuencia, como la
penetración en los materiales metálicos es débil, resulta suficiente una capa muy fina
para reducir la amplitud de un campo eléctrico cuando se desea aislar un recinto de la
influencia de un campo electromagnético exterior. Esto justifica el blindaje por medio
de materiales metálicos, tan utilizado para proteger equipos cuyo funcionamiento se
pueda ver alterado por influencias de campos externos. Los metales, como buenos
conductores actúan como elementos cortocircuitantes, no permitiendo, así, la existencia
de una apreciable intensidad del campo eléctrico en su interior, y por lo tanto, limitando
ampliamente la transmisión de energía electromagnética a través de ellos.
La razón para que el campo eléctrico pueda ser apantallado completamente por
un recinto metálico, es debido a que el metal actúa, en efecto, como un dieléctrico de
permitividad infinita, tal como podemos inferir al analizar el comportamiento de una
esfera dieléctrica sumergida en un campo eléctrico uniforme.
Para campos estáticos y para campos con variaciones lentas con el tiempo, o sea
campos cuasi-estáticos, el único medio de apantallar un espacio es rodearlo con un
material metálico de alta permeabilidad. Sin embargo, para frecuencias más elevadas
una lámina metálica actúa muy efectivamente como blindaje, para los campos
magnéticos, a causa de las corrientes de Foucault inducidas en él. El campo
electromagnético variable en el tiempo, dentro del metal, está limitado por la
profundidad de penetración. Así que un material no magnético, pero altamente
conductor, hace una excelente pantalla; el espesor del blindaje puede ser menor sí la
frecuencia es más elevada. Blindajes delgados de aluminio se usan mucho en
radiofrecuencia. Por supuesto que si la frecuencia es baja, la profundidad de penetración
[ = (1/f)1/2 ] será mayor. Entonces debe usarse una combinación de blindaje
magnetostático y de corrientes de Foucault. Un blindaje práctico toma la forma de capas
alternadas de metal Mu y cobre. (tabla T- 2.3) En general podemos decir que, para un
espesor dado de pantalla, el hierro (material ferromagnético conductor) es un material
mejor que el cobre (material diamagnético altamente conductor) para bajas frecuencias
y el recíproco es cierto para altas frecuencias. En ciertas pruebas, el hierro y el cobre
resultaron ser igualmente buenos a 1.300 Hz. Pero a más elevadas frecuencias el cobre
resulta ser mejor.
157