Multiplicadores / Divisores
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Universidad Rey Juan Carlos ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA DE COMPUTADORES Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Luis Rincón Córcoles Licesio J. Rodríguez-Aragón Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Programa 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Bibliografía. Multiplicación binaria en coma fija. Multiplicación por una constante. Multiplicación por suma - desplazamiento. Multiplicación por grupos solapados. Circuitos para multiplicación rápida. División binaria en coma fija. División por una constante. División con restauración. Instrucciones para multiplicación y división en ensamblador. 2 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Bibliografía  D.A. PATTERSON, J.L. HENNESSY. Estructura y Diseño de Computadores. Reverté, 2000.  DORMIDO, S. CANTO M.A., MIRA J., DELGADO A.E. Estructura y Tecnología de Computadores. 2ª edición. Sanz y Torres, 2000.  PARHAMI, B. Computer Arithmetic. Oxford University Press, 2000.  P. DE MIGUEL. Fundamentos de los Computadores. 7ª edición. Paraninfo, 1999.  W. STALLINGS. Organización y Arquitectura de Computadores. 5ª edición, Prentice Hall, 2000. 3 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija 1. Multiplicación binaria en coma fija  La operación de multiplicación de números en coma fija no suele estar contemplada directamente por las UAL, sino que se suele realizar mediante circuitos específicos: •Construir un circuito multiplicador rápido exige una circuitería compleja, y las UAL sólo realizan directamente las operaciones aritméticas y lógicas más básicas. •La multiplicación se puede realizar en la UAL mediante una secuencia de sumas y desplazamientos controlados por la unidad de control (UC), si bien no resulta demasiado eficiente. •La multiplicación puede realizarse también mediante un programa en ensamblador que conste de un bucle con una secuencia de sumas y desplazamientos, aunque esto es mucho menos eficiente aún.  Terminología de la multiplicación: Mxm=P •M: multiplicando. •m: multiplicador. •P: producto o resultado. 4 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación binaria en coma fija A PRODUCTO BINARIO (×) 0 1 0 0 0 1 0 1 B × 12 6 × 72 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 × 64 + 8 M m R M3 R6 R5 multiplicador Productos parciales resultado = 72 M3·m0 M2 m2 M2 ·m0 M1 m1 M1 ·m0 M3·m1 M2 ·m1 M1 ·m1 M0 ·m1 M2 ·m2 M1 ·m2 M0 ·m2 × M3·m2 multiplicando R4 R3 R2 R1 M0 m0 M0 ·m0 R0 multiplicando multiplicador Productos parciales resultado 5 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación binaria en coma fija  La multiplicación en coma fija es una secuencia de desplazamientos y sumas con extensión de signo. •Si los operandos están en binario puro, se rellenan con ceros a la izquierda. •Los operandos en complemento a 2 se rellenan a su izquierda con el bit de signo. •En cualquier caso, a la derecha se rellena con ceros. Ejemplo: multiplicar M=101001102=16610 por m=000110012=2510 0000000010100110 + 0000000000000000 + 0000000000000000 + 0000010100110000 + 0000101001100000 + 0000000000000000 + 0000000000000000 + 0000000000000000 0001000000110110 M*m0*20 = M*1: M sin desplazar M*m1*21 = 0 M*m2*22 = 0 M*m3*23 = M*8: M desplazado 3 lugares M*m4*24 = M*16: M desplazado 4 lugares M*m5*25 = 0 M*m6*26 = 0 M*m7*27 = 0 M*m  El producto de dos números binarios de n bits produce un resultado que puede tener hasta 2n bits de ancho. 6 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija 2. Multiplicación por un valor constante  La multiplicación es una operación costosa en tiempo de ejecución. Por tanto, es aconsejable evitar las multiplicaciones en los programas siempre que sea posible.  Si uno de los operandos (por ejemplo el multiplicador) es una constante conocida en tiempo de compilación (o ensamblaje), es frecuente que el compilador (o ensamblador) sustituya la multiplicación por otras operaciones.  Cuando el multiplicador es una constante potencia de 2, la multiplicación se puede sustituir por un desplazamiento del multiplicando hacia la izquierda. •Si el multiplicador es 2k, se desplazará el multiplicando k lugares a la izquierda. N = a n-1 ⋅ 2 n-1 + ........ + a 0 ⋅ 2 0 N ⋅ 2 m = a n-1 ⋅ 2 n-1+m + ........ + a 0 ⋅ 2 0 +m •Ejemplo: 11010012 · 23 = 11010010002 7 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por un valor constante  Cuando el multiplicador es una constante que no es una potencia de 2, la multiplicación puede descomponerse en una secuencia de instrucciones de desplazamiento y de suma. •Ejemplo: multiplicar M=101001102=16610 por m=000110012=2510 Descomponemos el multiplicador m=25=16+8+1. Así, la operación será M*25 = M*(16+8+1) = M*16+M*8+M que se traduce en dos desplazamientos (de 3 y 4 lugares respectivamente) y dos sumas (consumiríamos una variable intermedia). 101001100000 +010100110000 +000010100110 Desplazamiento de M cuatro posiciones Desplazamiento de M tres posiciones M sin desplazar 1000000110110 Resultado de la suma (del producto) 8 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija 3. Multiplicación por suma – desplazamiento  Vamos a ver: 1) El algoritmo de lápiz y papel (o de suma-desplazamiento) para multiplicar números en binario puro (sin signo) de n bits. 2) Un circuito que permite realizar la operación utilizando dicho algoritmo. 3) Una versión optimizada del algoritmo, con el correspondiente circuito. 4) La versión final del algoritmo, aún más optimizada, acompañada del correspondiente circuito.  Los circuitos se basan en: • Un sumador, que puede ser el de la UAL. • Varios registros de desplazamiento. • Un circuito secuencial de control, que puede ser parte de la UC. 9 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 1ª versión  La multiplicación será un proceso iterativo, y en cada ciclo se realizarán las siguientes operaciones: 1. Se realiza el producto del multiplicando por el bit 0 del multiplicador, con lo cual obtendremos productos parciales que pueden valer lo mismo que el multiplicando desplazado (cuando el bit del multiplicador sea 1) o bien 0 (cuando dicho bit sea nulo). 2. Se desplazará el multiplicando un lugar hacia la izquierda para alinear correctamente los productos parciales, que estarán convenientemente rellenados con ceros a la izquierda y/o a la derecha (para ello, doblaremos el tamaño del multiplicando, e inicialmente lo rellenaremos con ceros a la izquierda). 3. Se desplaza o se rota el multiplicador un lugar hacia la derecha (por esto siempre se multiplica por el bit 0 del multiplicador). 4. Se sumará el producto parcial con la suma acumulada de los productos parciales obtenidos en los pasos anteriores (al principio el producto acumulado será 0). 10 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 1ª versión Circuitería necesaria: •Un registro de 2n bits capaz de realizar desplazamientos unitarios hacia la izquierda para el multiplicando. •Un registro de n bits capaz de realizar desplazamientos unitarios hacia la derecha para el multiplicador. •Un registro de 2n bits para el producto. •Un contador de 0 a n para contar el número de iteraciones. •Un sumador de 2n bits. •Un controlador para generar la secuencia de señales necesaria. Multiplicand Shift left 64 bits Circuito para n = 32 bits con las conexiones y señales de control necesarias. Multiplier Shift right 64-bit ALU 32 bits Product Control test Write 64 bits 11 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 1ª versión Operaciones de la fase de inicio: Inicio 1 Producto ← Producto + Multiplicando ¿Bit 0 del Multiplicador = 0? 0 Desplazamiento del registro Multiplicando a la izquierda 1. Iniciar el registro Multiplicando (mitad superior con todos los bits a 0, mitad inferior con el multiplicando) 2. Iniciar el registro Multiplicador 3. Producto ← 0 4. Contador ← 0 No Desplazamiento del registro Multiplicador a la derecha Multiplicand Shift left 64 bits Contador ← Contador+1 Multiplier Shift right 64-bit ALU 32 bits ¿ Contador = n ? Product Write Sí Control test 64 bits Fin Ejercicio: dibujar el diagrama de estados del controlador del circuito. 12 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 1ª versión  Ejemplo: n=4, multiplicar M=10102=1010 por m=00112=310 Iteración Paso Multiplicador Multiplicando Producto 0011 0000 1010 0000 0000 0 Valores iniciales 1 Producto ← Producto + Multiplicando “ “ 0000 1010 Desplazar Multiplicando a la izqda. “ 0001 0100 “ Desplazar Multiplicador a la derecha 0001 “ “ Producto ← Producto + Multiplicando “ “ 0001 1110 Desplazar Multiplicando a la izqda. “ 0010 1000 “ 0000 “ “ Ninguna operación “ “ “ Desplazar Multiplicando a la izqda. “ 0101 0000 “ 0000 “ “ Ninguna operación “ “ “ Desplazar Multiplicando a la izqda. “ 1010 0000 “ 0000 “ 0001 1110 2 Desplazar Multiplicador a la derecha 3 Desplazar Multiplicador a la derecha 4 Desplazar Multiplicador a la derecha 13 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 2ª versión  En el circuito anterior sucede que: •La mitad de los bits del registro Multiplicando siempre son 0, con lo cual sólo la mitad contiene datos útiles. •También sobra la mitad de la UAL, pues está sumando en cada paso el doble de datos de lo estrictamente necesario.  Por tanto, se ideó un algoritmo similar al anterior, pero sin duplicar el tamaño del multiplicador, y utilizando un sumador de n bits.  Puesto que las sumas son de n bits, el registro Producto estará dividido en dos mitades (Productoizq: mitad izquierda; Productoder: mitad derecha; P: registro completo). •En cada iteración se suma sólo sobre la mitad izquierda. •Los desplazamientos se realizan sobre el registro completo.  Deja de ser necesario desplazar el registro Multiplicando.  Sigue siendo preciso desplazar el registro Multiplicador para consultar siempre su bit 0. 14 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 2ª versión Circuitería necesaria: •Un registro de n bits para el multiplicando. •Un registro de n bits capaz de realizar desplazamientos lógicos unitarios hacia la derecha para el multiplicador. •Un sumador de n bits. •Un biestable para guardar el acarreo de las sumas (no aparece en el dibujo). •Un registro de 2n bits para el producto, que pueda cargarse en paralelo en su mitad izquierda dejando intacta la mitad derecha; este registro admitirá desplazamientos lógicos unitarios hacia la derecha del registro completo concatenando el biestable de acarreo por la izquierda. •Un contador de 0 a n para contar el número de iteraciones. •Un controlador para generar la secuencia de señales necesaria. Multiplicand Circuito para n = 32 bits con las conexiones y señales de control necesarias. 32 bits Multiplier Shift right 32-bit ALU 32 bits Product Shift right Write Control test 64 bits 15 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 2ª versión Operaciones de la fase de inicio: Inicio 1. Iniciar el registro Multiplicando 1 Productoizq ← Productoizq + Multiplicando 2. Iniciar el registro Multiplicador ¿Bit 0 del Multiplicador = 0? 0 Desplazamiento del registro Producto a la derecha 3. Producto ← 0 4. Contador ← 0 No Desplazamiento del registro Multiplicador a la derecha Multiplicand 32 bits Contador ← Contador+1 Multiplier Shift right 32-bit ALU ¿ Contador = n ? 32 bits Sí Product Fin Shift right Write Control test 64 bits Ejercicio: dibujar el diagrama de estados del controlador del circuito. 16 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 2ª versión  Ejemplo: n=4, multiplicar M=10102=1010 por m=00112=310 Iteración Paso Multiplicador Multiplicando Producto 0011 1010 0 0000 0000 0 Valores iniciales 1 Productoizq ← Productoizq + Multiplicando “ “ 0 1010 0000 Desplazar Producto a la derecha “ “ 0 0101 0000 0001 “ “ Productoizq ← Productoizq + Multiplicando “ “ 0 1111 0000 Desplazar Producto a la derecha “ “ 0 0111 1000 0000 “ “ Ninguna operación “ “ “ Desplazar Producto a la derecha “ “ 0 0011 1100 0000 “ “ Ninguna operación “ “ “ Desplazar Producto a la derecha “ “ 0 0001 1110 0000 “ 0001 1110 Desplazar Multiplicador a la derecha 2 Desplazar Multiplicador a la derecha 3 Desplazar Multiplicador a la derecha 4 Desplazar Multiplicador a la derecha 17 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 3ª versión  En el circuito anterior sucede que: •Al principio, el registro Producto tiene la mitad de sus bits desperdiciados. •A medida que van realizándose pasos del algoritmo, el espacio desaprovechado del registro Producto se va reduciendo. •Los bits del multiplicador van dejando de ser útiles a medida que se van realizando los productos parciales (en realidad se van perdiendo si hacemos desplazamientos sobre el registro Multiplicador y no rotaciones). •El espacio desaprovechado del registro Producto es exactamente igual que el número de bits del multiplicador que necesitamos mantener en cada instante.  Por tanto, se incorporó una mejora al circuito, de forma que el registro Multiplicador desaparece, y el multiplicador se carga inicialmente en la mitad derecha del registro Producto.  En cada iteración, cuando vayamos a consultar un bit del multiplicador, consultaremos el bit menos significativo del registro Producto. 18 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 3ª versión Circuitería necesaria: •Un registro de n bits para el multiplicando. •Un sumador de n bits. •Un biestable para guardar el acarreo de las sumas (no aparece en el dibujo). •Un registro de 2n bits para el producto, que pueda cargarse en paralelo en su mitad izquierda dejando intacta la mitad derecha, o cargarse en paralelo en su mitad derecha dejando intacta su mitad izquierda; este registro admitirá desplazamientos lógicos unitarios hacia la derecha del registro completo concatenando el biestable de acarreo por la izquierda. •Un contador de 0 a n para contar el número de iteraciones. •Un controlador para generar la secuencia de señales necesaria. Multiplicand 32 bits Circuito para n = 32 bits con las conexiones y señales de control necesarias. 32-bit ALU Product Shift right Write Control test 64 bits 19 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 3ª versión Operaciones de la fase de inicio: Inicio 1 Productoizq ← Productoizq + Multiplicando ¿Bit 0 del Producto = 0? 0 1. Iniciar el registro Multiplicando 2. Iniciar el registro Producto (mitad izquierda a 0, mitad derecha con el multiplicador) 3. Contador ← 0 No Desplazamiento del registro Producto a la derecha Multiplicand 32 bits Contador ← Contador+1 32-bit ALU ¿ Contador = n ? Sí Fin Product Shift right Write Control test 64 bits Ejercicio: dibujar el diagrama de estados del controlador del circuito. 20 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: 3ª versión  Ejemplo: n=4, multiplicar M=10102=1010 por m=00112=310 Iteración Paso Multiplicando Producto 1010 0 0000 0011 0 Valores iniciales 1 Productoizq ← Productoizq + Multiplicando “ 0 1010 0011 Desplazar Producto a la derecha “ 0 0101 0001 Productoizq ← Productoizq + Multiplicando “ 0 1111 0001 Desplazar Producto a la derecha “ 0 0111 1000 Ninguna operación “ “ Desplazar Producto a la derecha “ 0 0011 1100 Ninguna operación “ “ Desplazar Producto a la derecha “ 0001 1110 2 3 4  Los números utilizados están en binario puro.  El algoritmo se puede adaptar a números en complemento a 2. Con multiplicador negativo en la última iteración hay que restar en vez de sumar. 21 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Multiplicación por S – D: ruta de datos 3ª versión Ini CONTROLADOR Clr CE Contador 0-3 Fin TC Cuenta INICIO Desplaza Carga BitZ0 A3 A2 A1 A0 L Multiplicando B3 B2 B1 B0 Sumador de 4 bits Clr Reloj D CE c Clr Producto Z7 Z6 Z5 Z4 L S Multiplicador Z3 Z2 Z1 Z0 L S 22 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija 4. Multiplicación por grupos solapados  El algoritmo de lápiz y papel (o suma – desplazamiento) considera los bits del multiplicador uno a uno, y va generando productos parciales que va sumando y acumulando.  Los algoritmos de multiplicación por grupos solapados (G-S) generan productos parciales considerando los bits del multiplicador por grupos.  Los algoritmos de multiplicación por G-S analizan una “ventana” o grupo de n bits del multiplicador en cada iteración.  En función de los bits de la ventana, se generan uno o varios productos parciales.  De cara a la siguiente iteración, la ventana de bits analizados se desplaza un lugar hacia la derecha (las ventanas o grupos de bits del multiplicador se solapan en las sucesivas interaciones).  El caso de G-S más sencillo es el algoritmo de Booth, que considera grupos solapados de 2 bits en el multiplicador para generar los productos parciales. 23 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Algoritmo de Booth  El algoritmo de Booth presentado funciona para operandos en complemento a 2 (para binario puro habría que realizar una pequeña adaptación).  En un número binario, una cadena de bits a 1 equivale a una diferencia de dos potencias de 2 (es una suma de elementos de una progresión geométrica de razón 2). k k-1 j+1 j ... 0 1 1 ... 1 1 0 ... = 2k+1-2j  El algoritmo analiza los bits del multiplicador 2 a 2 de derecha a izquierda: •Si detecta que está al final de una cadena de bits a 1 resta la mitad izquierda del registro producto menos el multiplicando •Si detecta que está al principio de una cadena de bits a 1 suma la mitad izquierda del registro producto más el multiplicando. Multiplicadori Multiplicadori-1 Operación 0 0 Nada (en medio de cadena de ceros) 0 1 Sumar (inicio de cadena de unos) 1 0 Restar (final de cadena de unos) 1 1 Nada (en medio de cadena de unos) 24 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Algoritmo de Booth  En definitiva, el algoritmo de Booth se basa en recodificar el multiplicador y convertirlo en una secuencia de dígitos con valores 1, 0 y –1 (codificación de dígitos con signo). 1 cuando comienza cadena de bits a 1 (implica hacer una suma). -1 cuando termina cadena de bits a 1 (implica hacer una resta). 0 en otro caso. Ejemplo: recodificación del número 01001110C2 Número original 0 1 0 0 1 1 1 0 Número recodificado 1 -1 0 1 0 0 -1 0 Ejemplo: recodificación del número 11100011C2 Número original 1 1 1 0 0 0 1 1 Número recodificado 0 0 -1 0 0 1 0 -1 Los números en binario puro se recodifican añadiendo un bit a 0 a la izquierda del todo (ejercicio: probarlo). 25 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Algoritmo de Booth  Ejemplo: multiplicar M=10100110C2=-9010 por m=00011001C2=2510 Recodificamos el multiplicador y realizamos la operación: Multiplicador original 0 0 0 1 1 0 0 1 Multiplicador recodificado 0 0 1 0 -1 0 1 -1 0000000001011010 + 1111111101001100 + 0000000000000000 + 0000001011010000 + 0000000000000000 + 1111010011000000 + 0000000000000000 + 0000000000000000 1111011100110110 M*m0*(-20) = -1*M M*m1*21 = 2*M M*m2*22 = 0 M*m3*(-23) = -8*M M*m4*24 = 0 M*m5*25 = 32*M M*m6*26 = 0 M*m7*27 = 0 M*m 26 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Algoritmo de Booth  Podría emplearse la circuitería del algoritmo de suma-desplazamiento con algunas pequeñas modificaciones (se parte de la versión 3): •Utilizar un sumador-restador. •Despreciar el bit de acarreo superior, ya que se manejan datos en complemento a 2. •Realizar desplazamientos aritméticos (extendiendo el signo). •Añadir un bit que se concatenará a la derecha del registro Producto, iniciado con un 0 y que se modificará cada vez que se haga un desplazamiento sobre Producto (la ventana de bits analizada en cada iteración está formada por el bit menos significativo del registro Producto y el bit añadido a su derecha). Multiplicand 32 bits 32-bit ALU Product Shift right Write Control test 64 bits 27 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Algoritmo de Booth Multiplicand Inicio 32 bits 32-bit ALU ¿ p0p-1 ? 10 Productoizq ← Productoizq Multiplicando 00 11 01 Product Shift right Write Control test 64 bits Productoizq ← Productoizq + Multiplicando No Desplazar Producto # p-1 a la derecha Contador ← Contador+1 ¿ Contador = 0 ? Sí  Operaciones de la fase de inicio: 1. Iniciar el registro Multiplicando 2. Iniciar el registro Producto (mitad izquierda a 0, mitad derecha con el multiplicador, bit p-1 a 0) 3. Contador ← 0 Fin  Aclaraciones: •p0: bit menos significativo del registro Producto. •p-1: bit añadido a la derecha del registro Producto. •Producto # p-1: registro Producto concatenado con el bit p-1. Ejercicio: dibujar el diagrama de estados del controlador del circuito. 28 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Algoritmo de Booth  Ejemplo: n=4, multiplicar M=1010C2= -610 por m=0011C2=310 El multiplicando cambiado de signo es –M=0110C2 Iteración Paso Multiplicando Producto 1010 0000 0011 0 0 Valores iniciales 1 Productoizq ← Productoizq - Multiplicando “ 0110 0011 0 Desplazar Producto a la derecha “ 0011 0001 1 Ninguna operación “ “ Desplazar Producto a la derecha “ 0001 1000 1 Productoizq ← Productoizq + Multiplicando “ 1011 1000 1 Desplazar Producto a la derecha “ 1101 1100 0 Ninguna operación “ “ Desplazar Producto a la derecha “ 1110 1110 2 3 4  Los números utilizados están en complemento a 2.  El algoritmo se puede adaptar a números en binario puro. Si el multiplicador comienza por 1, realizar un ajuste final sumando el multiplicador a la mitad izquierda del registro Producto. 29 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija 5. Circuitos para multiplicación rápida  En vez de ejecutar la multiplicación a través de un proceso iterativo de sumas y desplazamientos regulado por un controlador secuencial, el producto se puede realizar a partir de un sumador de múltiples sumandos (los productos parciales) convenientemente organizados.  Para construir multiplicadores de altas velocidades caben dos posibilidades: •Sumar los productos parciales rápidamente. •Reducir el número de productos parciales que hay que sumar.  Para sumar los productos parciales más rápido se puede recurrir por ejemplo a: •Las matrices de sumadores. •Los sumadores en árbol.  Para reducir el número de productos parciales se puede recurrir por ejemplo a: •Multiplicadores en base mayor que 2 (normalmente en base 4). •Recodificación de Booth utilizando grupos solapados de 3 ó más bits.  Otra técnica: guardar todos los posibles resultados en una ROM. •¡La ROM tendría 22n posiciones de 2n bits cada una! 30 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija Matriz de sumadores con acarreo propagado  Multiplicar consiste en sumar varios productos parciales desplazados.  Primer enfoque para multiplicar rápidamente: 1) Calcular los productos parciales mediante puertas AND 2) Sumar dichos productos parciales mediante sumadores tradicionales.  Pega: retardo total grande.  Para mejorar las prestaciones del circuito, pueden utilizarse otros enfoques: • Matriz de CSA. • Árbol de Wallace. • Árbol de Dadda.  También es posible multiplicar números con signo: • Multiplicador de Pezaris. • Multiplicador de Baugh-Wooley. 31 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija 6. División binaria en coma fija  La operación de división de números en coma fija no suele estar contemplada directamente por las UAL, sino que se suele realizar mediante circuitos específicos: •Construir un circuito divisor rápido es aún más complicado que en el caso del multiplicador. •La división se puede realizar en la UAL mediante una secuencia de sumas, restas, comparaciones y desplazamientos controlados por la unidad de control (UC), si bien no resulta demasiado eficiente. •La división puede realizarse también mediante un programa en ensamblador que conste de un bucle con una secuencia de sumas, restas, comparaciones y desplazamientos, aunque esto es mucho menos eficiente aún. •Antes de dividir, los circuitos deben comprobar obligatoriamente si el divisor es igual o distinto de 0 para evitar desbordamientos.  Terminología de la división: •D: dividendo. •d: divisor. •C: cociente. •R: resto. D/d=C dxC+R=D 32 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División binaria en coma fija Es fácil elegir cada dígito del cociente, ya que sólo puede valer 0 ó 1.  Si el dividendo parcial es mayor o igual que el divisor, el siguiente dígito del cociente es 1, si no es 0. 112 0 8 14 dividendo - 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 -100 0 1 0 - 10 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 divisor cociente resto 33 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija 7. División por un valor constante  La división es una operación costosa en tiempo de ejecución. Por tanto, es aconsejable evitar las multiplicaciones en los programas siempre que sea posible.  Si el divisor es una constante conocida en tiempo de compilación (o ensamblaje), el compilador (o ensamblador) puede sustituir la división por otras operaciones.  Cuando el divisor es una constante potencia de 2, el cociente de la división se puede obtener mediante por un desplazamiento del dividendo hacia la derecha (¡esto es cierto sólo para números en binario puro!). •Si el divisor es 2k, el cociente se obtiene desplazando el dividendo k lugares a la derecha. •Los bits sobrantes (parte fraccionaria del resultado) constituirían el resto de la división entera, convenientemente escalado por 2k. N = a n-1 ⋅ 2 n-1 + ........ + a 0 ⋅ 2 0 N = a n-1 ⋅ 2 n-1−m + ........ + a 0 ⋅ 2 0 −m 2m •Ejemplo: 11010012 / 23 ⇒ cociente = 11012, resto = 0012  Si el divisor es una constante que no es potencia de 2, el cálculo es complicado. 34 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija 8. División con restauración  En primer lugar se presentará un algoritmo básico para dividir números en binario puro (sin signo) de n bits.  A continuación se presentará un circuito que permite realizar la operación utilizando dicho algoritmo.  Seguidamente se presentará una versión optimizada del algoritmo, con el correspondiente circuito.  Se incluirá una tercera versión del algoritmo aún más optimizada acompañada del correspondiente circuito.  Finalmente se indicarán las modificaciones que será preciso introducir en los circuitos para poder dividir números con signo.  Los circuitos que vamos a ver a continuación se basan en: •Un sumador/restador, que puede ser el de la UAL. •Varios registros de desplazamiento. •Un circuito secuencial de control, que puede ser parte de la UC. 35 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 1ª versión  La división se realizará más o menos igual que como se hace con lápiz y papel.  Será un proceso iterativo de n+1 ciclos, en cada uno de los cuales se realizarán las siguientes operaciones: 1. Se resta el dividendo parcial menos el divisor. Si la resta es positiva seguimos por el paso 2, y si es negativa vamos al paso 3. 2. Resta positiva: el dividendo parcial cabe en el divisor. Por tanto, se añade un 1 al cociente, y se desplaza el mismo un lugar a la derecha. Ir a 4. 3. Resta negativa: el dividendo parcial no cabe en el divisor. Por tanto, se añade un 0 al cociente y se desplaza el mismo un lugar a la derecha. Se restaura el dividendo parcial sumándole el divisor. Ir a 4. 4. Se desplaza el divisor un lugar a la derecha. 36 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 1ª versión Circuitería necesaria: •Un registro de 2n bits que inicialmente contendrá el dividendo. •Un registro de 2n bits capaz de realizar desplazamientos unitarios hacia la derecha para el divisor. •Un registro de n bits capaz de realizar desplazamientos unitarios hacia la izquierda para el cociente. •Un contador de 0 a n+1 para contar el número de iteraciones. •Un sumador / restador de 2n bits. •Un controlador para generar la secuencia de señales necesaria. Divisor Sh ift right 64 bits Circuito para n = 32 bits con las conexiones y señales de control necesarias. Q uotie nt Sh ift left 64-bit ALU 32 bits Control test R em ainder W rite 64 bits 37 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 1ª versión Operaciones de la fase de inicio: Inicio Resto← Resto-Divisor ¿Resto < 0? No No Sí Resto← Resto+Divisor Desplazar Cociente 1 bit hacia la izquierda Cociente0← 0 Desplazar Cociente 1 bit hacia la izquierda Cociente0← 1 Desplazar Divisor 1 bit hacia la derecha 1. Iniciar el registro Resto (mitad superior con todos los bits a 0, mitad inferior con el dividendo). 2. Iniciar el registro Divisor (mitad superior con el divisor, mitad inferior con todos los bits a 0). 3. Cociente ← 0 4. Contador ← 0 Divisor Sh ift right 64 bits Contador← Contador+1 ¿Contador=n+1? Q uotie nt Sh ift left 64-bit ALU 32 bits Sí Fin R em ainder W rite Control test 64 bits Ejercicio propuesto: dibujar el diagrama de estados del controlador del circuito. 38 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 1ª versión  Ejemplo: n=4, dividir D=10102=1010 por d=00112=310 Iteración Paso Cociente Divisor Resto 0000 0011 0000 0000 1010 “ “ 1101 0000 Resto<0⇒+Divisor, sll Cociente, Cociente0=0 0000 “ 0000 1010 Desplazar Divisor a la derecha 0001 0001 1000 “ “ “ 1111 0010 0000 “ 0000 1010 Desplazar Divisor a la derecha “ 0000 1100 “ Resto ← Resto - Divisor “ “ 1111 1110 0000 “ 0000 1010 Desplazar Divisor a la derecha “ 0000 0110 “ Resto ← Resto - Divisor “ “ 0000 0100 0001 “ “ Desplazar Divisor a la derecha “ 0000 0011 “ Resto ← Resto - Divisor “ “ 0000 0001 Resto≥0⇒ sll Cociente, Cociente0=1 0011 “ “ Desplazar Divisor a la derecha 0011 0000 0001 0000 0001 0 Valores iniciales 1 Resto ← Resto - Divisor 2 Resto ← Resto - Divisor Resto<0⇒+Divisor, sll Cociente, Cociente0=0 3 Resto<0⇒+Divisor, sll Cociente, Cociente0=0 4 Resto≥0⇒ sll Cociente, Cociente0=1 5 39 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 2ª versión  En el circuito anterior sucede que: •La mitad de los bits del divisor no contienen información útil. •Como consecuencia de lo anterior, también sobra la mitad de la UAL, pues está sumando y/o restando en cada paso el doble de datos de lo estrictamente necesario.  Por tanto, se ideó un algoritmo similar al anterior, pero sin duplicar el tamaño del divisor, y utilizando un sumador / restador de n bits.  Puesto que las sumas y restas son de n bits, el registro Resto estará dividido en dos mitades (Restoizq: mitad izquierda; Restoder: mitad derecha; Resto: registro completo). •En cada iteración se suma y/o resta sólo sobre la mitad izquierda. •Los desplazamientos se realizan sobre el registro completo.  Deja de ser necesario desplazar el registro Divisor.  Sigue siendo preciso desplazar el registro Cociente para escribir en su bit 0 el nuevo dígito calculado en cada paso.  El resto queda en la mitad izquierda del registro Resto.  Nunca puede haber un 1 en el primer dígito del cociente: por consiguiente, pueden reordenarse el desplazamiento y la resta de forma que se elimine una iteración del algoritmo. 40 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 2ª versión Circuitería necesaria: •Un registro de n bits para el divisor. •Un registro de n bits capaz de realizar desplazamientos lógicos unitarios hacia la izquierda para el cociente. •Un sumador / restador de n bits. •Un registro de 2n bits para el resto, que pueda cargarse en paralelo en una mitad dejando intacta la otra mitad; este registro admitirá desplazamientos lógicos unitarios del registro completo hacia la izquierda. •Un contador de 0 a n para contar el número de iteraciones. •Un controlador para generar la secuencia de señales necesaria. Divisor 32 bits Circuito para n = 32 bits con las conexiones y señales de control necesarias. Quotient Shift left 32-bit ALU 32 bits Remainder Control test Shift left Write 64 bits 41 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 2ª versión Inicio Operaciones de la fase de inicio: Desplazar Resto 1 bit hacia la izquierda Restoizq← Restoizq-Divisor ¿Resto < 0? No No Sí Restoizq← Restoizq+Divisor Desplazar Resto 1 bit hacia la izquierda Desplazar Cociente 1 bit hacia la izquierda Cociente0← 0 Desplazar Resto 1 bit hacia la izquierda Desplazar Cociente 1 bit hacia la izquierda Cociente0← 1 1. Iniciar el registro Divisor 2. Iniciar el registro Resto (mitad inferior con el dividendo, mitad superior con todos sus bits a 0) 3. Cociente ← 0 4. Contador ← 0 Divisor 32 bits Contador← Contador+1 Quotient Shift left 32-bit ALU 32 bits ¿Contador=n? Sí Desplazar Restoizq 1 bit hacia la derecha Remainder Shift left Write Control test 64 bits Fin Ejercicio propuesto: dibujar el diagrama de estados del controlador del circuito. 42 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 2ª versión  Ejemplo: n=4, dividir D=10102=1010 por d=00112=310 Iteración 0 Paso Cociente Divisor Resto 0000 0011 0000 1010 Desplazar Resto a la izquierda “ “ 0001 0100 Restoizq ← Restoizq – Divisor “ “ 1110 0100 0000 “ 0010 1000 “ “ 1111 1000 0000 “ 0101 0000 “ “ 0010 0000 0001 “ 0100 0000 “ 0001 0000 Valores iniciales 1 Resto<0⇒ +Divisor, sll Resto, sll Cociente, Cociente0=0 Restoizq ← Restoizq – Divisor 2 Resto<0⇒ +Divisor, sll Resto, sll Cociente, Cociente0=0 Restoizq ← Restoizq – Divisor 3 Resto≥0⇒ sll Resto, sll Cociente, Cociente0=1 Restoizq ← Restoizq – Divisor 4 Ajuste final Resto≥0⇒ sll Resto, sll Cociente, Cociente0=1 0011 “ 0010 0000 Desplazar Restoizq a la derecha 0011 “ 0001 0000 43 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 3ª versión  En el circuito anterior sucede que: •Al principio, el registro Resto está completamente ocupado. •A medida que van realizándose pasos del algoritmo, parte del contenido del registro Resto comienza a estar desaprovechado. •Según realizamos pasos, obtenemos los bits del cociente uno a uno. •El espacio desaprovechado del registro Resto es exactamente igual que el número de bits del cociente que tenemos calculados en cada instante.  Por tanto, se incorporó una mejora al circuito, de forma que el registro Cociente desaparece.  El dividendo se carga inicialmente en la mitad derecha del registro Resto.  En cada iteración, cuando obtengamos un bit del cociente, lo almacenaremos en el bit menos significativo del registro Resto.  Al final el cociente queda en la mitad menos significativa del registro Resto, mientras que el resto queda en la mitad más significativa de dicho registro. 44 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 3ª versión Circuitería necesaria: •Un registro de n bits para el divisor. •Un sumador / restador de n bits. •Un registro de 2n bits para el resto y el cociente, que pueda cargarse en paralelo en su mitad izquierda dejando intacta la mitad derecha, o cargarse en paralelo en su mitad derecha dejando intacta su mitad izquierda; este registro admitirá desplazamientos lógicos unitarios hacia la izquierda del registro completo. •Un contador de 0 a n para contar el número de iteraciones. •Un controlador para generar la secuencia de señales necesaria. Divisor 32 bits Circuito para n = 32 bits con las conexiones y señales de control necesarias. 32-bit ALU Remainder Shift right Shift left Write Control test 64 bits 45 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 3ª versión Inicio Desplazar Resto 1 bit hacia la izquierda Restoizq← Restoizq-Divisor ¿Resto < 0? No No Sí Restoizq← Restoizq+Divisor Desplazar Resto 1 bit hacia la izquierda Resto0← 0 Desplazar Resto 1 bit hacia la izquierda Resto0← 1 Operaciones de la fase de inicio: 1. Iniciar el registro Divisor 2. Iniciar el registro Resto (mitad izquierda a 0, mitad derecha con el dividendo) 3. Contador ← 0 Divisor 32 bits Contador← Contador+1 32-bit ALU ¿Contador=n? Sí Desplazar Restoizq 1 bit hacia la derecha Remainder Shift right Shift left Write Control test 64 bits Fin Ejercicio propuesto: dibujar el diagrama de estados del controlador del circuito. 46 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración: 3ª versión  Ejemplo: n=4, dividir D=10102=1010 por d=00112=310 Iteración 0 1 2 3 4 Ajuste final Paso Divisor Resto 0011 0000 1010 Desplazar Resto a la izquierda “ 0001 0100 Restoizq ← Restoizq – Divisor “ 1110 0100 Resto<0⇒ Restoizq ← Restoizq + Divisor Desplazar Resto a la izquierda Resto0=0 “ 0001 0100 0010 1000 0010 1000 Restoizq ← Restoizq – Divisor “ 1111 1000 Resto<0⇒ Restoizq ← Restoizq + Divisor Desplazar Resto a la izquierda Resto0=0 “ 0010 1000 0101 0000 0101 0000 Restoizq ← Restoizq – Divisor “ 0010 0000 Resto≥0⇒ Desplazar Resto a la izquierda Resto0=1 “ 0100 0000 0100 0001 Restoizq ← Restoizq – Divisor “ 0001 0001 Resto≥0⇒ Desplazar Resto a la izquierda Resto0=1 “ 0010 0010 0010 0011 Desplazar Restoizq a la derecha “ 0001 0011 Valores iniciales 47 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija División con restauración  Los algoritmos y circuitos mostrados dividen números dados en binario puro. •Puede hacerse división con restauración para números en complemento a 2, aunque el algoritmo es complicado.  División de números en complemento a 2: se puede hacer pasando los operandos a positivos antes de hacer la división, y ajustando los signos del cociente y/o el resto si es preciso: •Si el signo del dividendo y el del divisor coinciden, el cociente es positivo, y en caso contrario es negativo. •El signo del resto es el mismo que el del dividendo. 48 Circuitos para multiplicación y división de números en coma fija 9. Multiplicación y división en ensamblador  MIPS •La multiplicación y la división emplean dos registros especiales para guardar los resultados: Hi y Lo. •En la multiplicación, la parte más significativa del resultado queda en Hi y la menos significativa en Lo. •En la división, el cociente queda en Lo y el resto en Hi. •Instrucciones de multiplicación: Con signo: mult. Sin signo: multu. •Instrucciones de división: Con signo: div. Sin signo: divu.  MC68000: •Multiplicación (muls, mulu): operandos de 16 bits, resultado de 32 bits. •División (divs, divu): dividendo de 32 bits, divisor de 16 bits, cociente de 16 bits, resto de 16 bits. 49
