juegos con estrategias mixtas

J UEGOS
CON
E STRATEGIAS M IXTAS
E LISA S CHAEFFER
Programa de Posgrado en Ingenierı́a de Sistemas (P ISIS )
[email protected]
I NVESTIGACI ÓN
DE
O PERACIONES
J UEGOS DE SUMA CERO
Los pagos de cada combinación se suman en cero.
Lo que gana uno, pierde el otro.
Ejemplos: jugar poker, apostar.
Muchas veces no se juega solamente una vez, sino varias veces
de forma repetida.
A SIGNACI ÓN DE PRECIOS
Dos empresas producen una bebida. Tienen un costo fijo de
operación mensual y dos posibilidades de asignar precio a su
producto: precio bajo o precio alto.
Las ventas dependen del precio elegido; los consumidores no
tienen fondos infinitos a gastar. Además, ellos siempre compran lo
más barato.
R EGLAS DE JUEGO DE VENTAS
Costo de operación/mes = 200
Precio alto/botella es 2
Precio bajo/botella es 1
Se vende en total 200 botellas de precio alto entre las dos
empresas
Se vende en total 400 botellas de precio bajo entre las dos
empresas
Si las empresas venden al mismo precio, venden cantidades
iguales
Si uno vende caro y otro barato, nadie compra caro
F ORMA TABULAR
Cuauhtemoc
Corona
Precio bajo
Precio alto
Precio bajo
0, 0
200, -200
Precio alto
-200, 200
0, 0
¿C ÓMO ELEGIR QUE JUGAR ?
Si se manufactura siempre con precio caro, nunca se gana nada.
Tampoco si se manufactura siempre con precio bajo. La situación
es simétrica.
Hay que elegir una estrategia y justificar la elección...
Jugar barato las dos empresas es un NE, jugar caro las dos no lo
es (vale la pena cambiar). ¿Hay otro criterio?
C RITERIO MAX - MIN
= cada jugador elije la estrategia que maximiza el pago mı́nimo
Cuahutemoc: “si Corona vende barato, vender barato resulta en 0
y vender caro en -200; si Corona vende caro, vender barato resulta
en 200 y vender caro en 0 ⇒ vender barato maximiza el mı́nimo
beneficio”.
Corona razona igual, y ambos venden barato cada mes. No hay
ganancia nunca.
¿Realı́stico? Vamos a ver...
E MPAREJAMIENTO DE MONEDAS
(ingl. matching pennies)
Diferentes
Iguales
Sol
Águila
Sol
1, -1
-1, 1
Águila
-1, 1
1, -1
Un jugador se nombra a jugar “diferentes” y el otro “iguales”.
Cada jugador elije mostrar el sol o la águila de una moneda de un
peso. Si muestran diferentes los dos, el jugador de “diferentes”
gana la moneda del otro. Si iguales, el jugador de “iguales” gana.
E STRATEGIAS MIXTAS
No hay una solución max-min única para el juego de las
monedas.
En vez de jugar siempre “sol” o siempre “águila”, se puede elegir
al azar cuál jugar, con una probabilidad p para “sol” y una
probabilidad q = 1 − p para “águila”.
Elegir siempre una cierta opción es una estrategia pura; definir un
vector de probabilidades es una estrategia mixta.
J UEGO DE MONEDAS : SOLUCI ÓN
p = q = 0.5 para los dos.
Si se juega una cierta opción con probabilidad mayor que 0.5, el
otro jugador puede ganar con una estrategia pura — no es un NE
jugar otro valor.
(0.5, 0.5) es una estrategia max-min para los dos
S OLUCIONES DE JUEGOS DE SUMA CERO
Para cada juego de suma cero de dos jugadores existe una
solución max-min por lo menos de estrategias mixtas si no puras.
(von Neumann)
NE DE ESTRATEGIAS MIXTAS
En situaciones donde no existe un equilibrio Nash (EN) de
estrategias puras, puede ser que hay equilibrio(s) de estrategias
mixtas.
G ANANCIA ESPERADA
Si se conoce las estrategias de los demás, la ganancia esperada
por una estrategia mixta (p1 , p2 , . . . , pm ) sobre las m opciones
entre cuales el jugador i elija se calcula como
E(Gi ) =
m
X
pk · gk ,
k=1
donde gk es la pago de jugar la opción k cuando los demás juegan
sus estrategias fijadas.
F UNCI ÓN DE MEJOR RESPUESTA
La respuesta mejor del jugador i a una combinación de
estrategias de los demás es la estrategia con la ganancia
esperada más alta.
Se puede construir una función con las estrategias de los demás
como parámetros y la estrategia de mejor respuesta del jugador i
como el valor de la función.
Los ENs de están en las intersecciones de tales funciones.
(Las matemáticas involucradas son un poco pesadas para este curso.)
A CONTINUACI ÓN ...
Aplicaciones de la teorı́a de juegos (colaborativos y competitivos).