Optimización Global Usando Ensamblaje de Modelos

Optimización Global Usando Ensamblaje de Modelos
Definición del problema:
El problema es evaluar la eficacia de usar múltiples modelos sustitutos para resolver el
siguiente problema de optimización global:
min f(x)
s.a.
ai < xi < bi
donde f(x) es una función costosa de evaluar, y por lo tanto debe sustituirse por una
aproximación basada en unas pocas evaluaciones.
Antecedentes:
Las técnicas usadas para resolver este tipo de problemas consisten en usar un modelo
sustituto que, en base a unos pocos puntos evaluados en el modelo numérico, lo
aproxime, para luego realizar la optimización sobre este modelo sustituto o metamodelo, que resulta más rápido de evaluar que el original [Queipo et al. In press JPAS]
[Jin et al. 2000 AIAA].
En estos casos el proceso sigue las siguientes fases:
1) “Diseño del experimento”: Se escogen los puntos del espacio del problema a ser
evaluados en el modelo original.
2) Muestreo: Se evalúan los puntos seleccionados en el paso anterior ejecutando el
modelo original.
3) Modelado: Se construye el modelo sustituto, estimando sus parámetros a partir
de la muestra obtenida.
4) Optimización: Se ejecuta el proceso de optimización sobre el modelo sustituto.
En optimización por ciclos el óptimo encontrado en el último paso es evaluado en el
modelo original, y esta información adicional se incorpora al modelo sustituto,
modificándolo (quizás parcialmente), para luego buscar otro óptimo sobre este modelo
actualizado. Estos pasos son iterados hasta cumplir algún criterio de convergencia.
El uso de estos modelos sustitutos para el diseño y optimización de sistemas complejos
es cada vez más extendido en la industria petrolera (N. V. Queipo, J. Goicochea, y S.
Pintos, 2002; L. Zerpa, et al. 2005; N. V. Queipo, A. Verde, J. Canelón y S. Pintos,
2002; N. V. Queipo, S. Pintos, N. Rincón, N. Contreras y J. Colmenares, 2002),
aeroespacial (Simpson et al. 2001; Queipo N. V et al. In press), entre otros sectores.
En la mayoría de los casos prácticos el número de evaluaciones del modelo original (y,
por lo tanto, el número de puntos de la muestra) está severamente limitado, por lo cual
el diseño del experimento debe maximizar la cantidad de información por punto
evaluado y se intenta que cumpla ciertos criterios a tal fin: uniformidad de la
distribución de los puntos, maximizar la distancia mínima entre puntos de la muestra,
etc.
Algunos de los métodos más usados hasta ahora para tratar este problema son Hipercubo Latino, Arreglos Ortogonales y variaciones y combinaciones de ellos dos. [Queipo
et al. In press JPAS] [Simpson et al.(Metamodels SURVEY)] [Sasena et al. (Sampl)].
Una vez determinados los puntos que constituirán la muestra estos son evaluados en la
función que se intenta modelar, y en base a esto se construye el modelo sustituto.
Entre otros tipos de modelos usados frecuentemente como sustitutos se encuentran:
Regresión Polinómica, Redes Neuronales y Kriging [Queipo et al. In press JPAS] [Jin et
al. 2000 AIAA].
Regresión Polinómica es el modelo usado en la metodología clásica para este tipo de
problemas: “Response Surface Methodology” [Simpson et al, 2001]. Esta técnica ha
sido usada en aplicaciones que van desde el diseño de turbinas [Simpsonm et al, AIAA
98], el diseño de un vehículo aéreo para el “Transporte Civil de Alta Velocidad”
[Srivastava et al.] hasta para relacionar los presupuestos estructurales de la Fuerza
Aérea de EE.UU. a objetivos de campaña [Grier et al. 1997].
Dentro del campo de las Redes Neuronales las Funciones de Base Radial [Ghosh, Nag]
han sido frecuentemente usadas en este campo [Jin, Chen y Simpson 2000] [Goel et al,
In press (Ensamble)].
Kriging es un método interpolante basado en procesos estocásticos que tiene cada vez
más uso en el área de modelos sustitutos: [Simpson et al. 2001 (Kriging)] [Simpson et
al. 1998 AIAA] [Srivastava et al.] [Queipo et al. In press JPAS]
Otro enfoque que se ha usado para la optimización global de funciones costosas es el
llamado EGO [ref EGO] y sus variantes [¿Queipo? NEGO]. Este enfoque está basado
en Kriging y en él lo que se trata de maximizar es una “figura de mérito” que combina
el valor de la predicción y el grado de incertidumbre que presenta el modelo de Kriging
en un punto dado para obtener una medida de la “mejoría esperada”. Dicha “figura de
mérito” permite un balance entre búsqueda global y local. Este método también avanza
por ciclos, pues en el punto donde se maximiza la figura de mérito se vuelve a evaluar la
función original, se actualiza el modelo (de Kriging) con la información de ese punto y
se repite el procedimiento maximizando de nuevo la “figura de mérito”.
Una limitante de estos trabajos ha sido el usar un solo modelo sustituto. Sin embargo,
el problema de encontrar un meta-modelo que aproxime a otra función (el modelo
numérico original) basado en unos pocos puntos conocidos, es inverso y no lineal; de
manera que existen múltiples soluciones, es decir, muchos (meta-) modelos que se
pueden ajustar bien a los puntos dados, aunque (probablemente) pocos de ellos se
parezcan a la función costosa tipo caja negra que se quiere sustituir. Por otro lado
distintos modelos sustitutos pueden desempeñarse mejor en distintas condiciones [Goel
et al, In press (Ensamble)] [Jin et al. 2000 AIAA] [Simpson et al. 1998 AIAA]; o en
distintas zonas del dominio de un problema dado.
En [Zerpa et al. 2005] sí se usó más de un modelo para un problema de optimización,
sin embargo, en dicho trabajo se evaluó un solo caso de estudio, de manera que no se
realizó un análisis comparativo que permitiera determinar la efectividad, en general, de
usar más de un modelo sustituto para un problema de optimización.
Sin embargo, el uso de ensamblaje de modelos sí ha sido largamente estudiado en el
área específica de modelado, es decir, independientemente de posibles aplicaciones en
optimización. El énfasis en estos estudios ha sido explorar las distintas maneras en que
pueden ser integrados los distintos modelos.