Redes Equivalentes

Redes Equivalentes
Las redes equivalentes son utilizadas cuando el interés del análisis se centra en una parte
específica de la red o en un componente, de esta forma, circuito complejos pueden ser
transformados en redes más simples.
Concepto de Redes equivalentes
Las Redes R1 y R2 serán equivalentes respecto a la red arbitraria R, si al ser conectadas a
dicha red no se alteran los valores de voltajes y las corrientes de las componentes de R.
Red
R1
1
2
Red
R
Red
R2
1
2
Red
R
n
n
(a)
(b)
Figura 1. Redes equivalentes.
Obviamente la elección de R2 debe ser tal que los cálculos de R resulten más sencillos que
con los de R1.
Note que si se realizan mediciones externas a las redes R1 y R2 en R, se obtendrán idénticos
resultados. Además, R1 y R2 pueden contener componentes diferentes y en general tendrán
estructura distintas.
No es posible efectuar comparaciones entre las variables internas de R1 y R2. Finalmente R1
y R2 pueden ser consideradas como cajas negras en el sentido en que no tienen mayor interés para
el observador. Lo que se puede comparar entre R1 y R2 son las relaciones entre sus variables
terminales o sea los voltajes y las corrientes que están asociadas a la red R.
Al realizar mediciones externas a las redes R1 y R2, es decir en R, se obtendrán idénticos
resultados.
2
Teoría de Redes I
EQUIVALENCIAS DEBIDO A IGUALES CARACTERÍSTICAS DE TERMINALES
Propiedad de conmutatividad
• Conmutatividad en serie
En muchas situaciones es conveniente realizar el intercambio de dos componentes que se
encuentran serie, lo cual permite simplificar la ”visión” de la red.
i
+
C1 v
1
_
+
C 2 v2
_
i
+
C2
Red
v
R
C1
_
Red
R1
+
v2
_
+
v1
_
+
Red
v
R
_
Red
R2
Figura 2. Propiedad de conmutatividad serie.
Para la Fig. 2, las redes R1 y R2 son equivalentes respecto de R y tienen iguales características
terminales. Esto queda claramente demostrado al plantear las ecuaciones de Kircchoff. La corriente
que pasa por ambos componentes es la misma y la suma de los voltajes es la misma.
En el ejemplo mostrado en la Fig. 3 se observa que la conmutatividad no ha alterado el circuito
i
va
+
vb (t)
i
R1
+
R2
R3
va
R1
+
R2
R3
i
C
C
+
v b(t)
i
Figura 3. Ejemplo de la propiedad de conmutatividad serie.
Observe que se han agrupado las fuentes en un sector y las resistencias en otra. Esta
conmutatividad sólo se puede aplicar a componentes que están en serie.
• Conmutatividad en Paralelo
Sean las siguientes redes
i
i1
C1
i2
C2
i
+
v
i2
Red
C2
R
i1
C1
_
Red
R1
+
v
_
Red
R2
Figura 4. Propiedad de conmutatividad paralelo.
Red
R
Redes Equivalentes
3
En la Fig. 4 se observa que los componentes C1 y C2 se encuentran en paralelo, luego el
intercambio de lugar no presenta ninguna variación en las ecuaciones de Kircchoff planteadas, el
voltaje será el mismo en los componentes y la corriente no sufre modificaciones.
En la Fig. 5, se han intercambiado los componentes.
i1
R
I
i2
R
Kv
x
1
I
2
i1
i2
Kv
x
R
R
2
1
Figura 5. Ejemplo de la Propiedad de conmutatividad paralelo.
Al aplicar la LCK, las ecuaciones son idénticas.
Propiedad de redundancia
• Redundancia serie
Considere la siguiente situación
i
C1
i
+
v
i s (t)
+
Red
v
i s (t)
R
_
Red
R
_
Red
R1
Red
R1
Figura 6. Propiedad de redundancia serie.
Se tiene en ambos casos, para todo t, i=is(t) y v es independiente de R1 y R2. Su forma de
onda dependerá de R, por lo tanto R1 red equivalente a R2, respecto de R. El componente C1 es
redundante serie.
Todo componente en serie con una fuente de corriente es redundante y se puede eliminar,
reemplazándolo por un cortocircuito. En la Fig. 7 se muestra una aplicación de la redundancia en
serie.
R
b
+
+
I
R
c
C
R
a
v
R
_
I
R
a
v
R
_
Figura 8. Ejemplo de Propiedad de redundancia serie.
Como se puede ver en la Fig. 8 , el voltaje en la resistencia Ra siempre está dado por la
expresión vR=iRa
4
Teoría de Redes I
• Redundancia paralelo
i
i
+
+
vs
_
v
C1
+
Red
vs
R
+
Red
v
_
R
_
_
Red
R2
Red
R1
Figura 9. Propiedad de redundancia en paralelo.
Todo componente en paralelo con una fuente ideal de voltaje es redundante y se puede
eliminar reemplazándolo por un circuito abierto.
+
+
+
v
a
R
Red
R
C
1
2
v
Red
+
v
a
R
R
_
_
Figura 10. Ejemplo de la Propiedad de redundancia en paralelo.
Características equivalentes de componentes de igual tipo
Un ejemplo clásico son las transformaciones estrella- delta (Y-∆) y delta- estrella (∆-Y).
a
R
R
1
Red
R
2
3
R1
a
R
ca
R
R
ab
Red
b
b
R
bc
c
R
c
R2
Figura 11. Ejemplo de la equivalencia estrella- delta (Y-∆).
La red R2 es equivalente a R1, respecto de la red R si se tiene que:
R ca R ab
R ab + R ca + R bc
R ab R bc
R2 =
R ab + R ca + R bc
R ca R bc
R3 =
R ab + R ca + R bc
R1 =
Para pasar de Y a ∆, se debe aplicar
Redes Equivalentes
5
R1 R2 + R 2 R3 + R3 R1
R3
R R + R2 R3 + R3 R1
R bc = 1 2
R1
R R + R2 R3 + R3 R 1
R ca = 1 2
R2
R ab =
Para no olvidarse, se dice que:
YResistencias =
Producto de las resistenci as adjuntas
Suma de las resistenci as ∆
∆ Resistencias =
Suma de producto de las resistenci as en Y tomadas en par
La resistenci a opuesta Y
EQUIVALENCIAS DEBIDO A VALORES IGUALES DE LAS VARIABLES
Teorema de sustitución de fuentes independientes de voltaje
Se conoce que el voltaje terminal de la red R1 es vs(t), la red R1 puede sustituirse por la red R2
equivalente indicada; siempre que la red R tenga una característica controlada por voltaje. Si la red
R no tiene esta característica no puede aplicarse.
i
+
Red
R1
v
_
i
Red
R
+
+
vs
_
v
Red
R
_
Red
R2
Figura 12. Sustitución por una fuente de voltaje.
Teorema de sustitución de fuentes independientes de corrientes
Si se conoce que la corriente terminal de R1 es is(t) y si la red R tiene una característica
controlada por corriente, se puede sustituir la red R1 por una fuente de corriente is(t) sin alterar la
solución de la red R.
6
Teoría de Redes I
i
i
+
Red
R1
+
Red
v
R
Red
v
is
_
R
_
Red
R2
Figura 13. Sustitución por fuente de corriente.
Para esta situación, la red R debe tener característica controlada por corriente, decir,
independiente de la red que se le conecte entre los terminales, la corriente debe mantenerse.
Teorema de sustitución por cortocircuito
Si se sabe que el voltaje terminal de la red R1 es cero, y si R tiene características controlada
por voltaje, la red R2 equivale a un cortocircuito.
i
_
vs
+
i
+
v
_
vs
+
Red
v
R
_
+
Red
R
_
Red
R2
Red
R1
Figura 14. Sustitución por cortocircuito.
Teorema de sustitución por circuito abierto
Como se sabe que is(t)=0, se puede reemplazar por la red R1 por un circuito abierto.
i
i
+
is
is
v
+
Red
v
R
_
Red
R1
Red
R
_
Red
R2
Figura 15. Sustitución por cortocircuito
Para la situación de la Fig. 15. Al plantear la LCK se observa que la corriente i=0. Un ejemplo
clásico es el circuito puente, el cual si está equilibrado, no permite el paso de la corriente por la
resistencia Ra.
Redes Equivalentes
7
+
R
+
R
Red
v
R
a
R
R
R
_
Red
v
R
R
R
R1
R
a
R
R
_
R2
Figura 16. Sustitución de la resistencia Ra por circuito abierto.
La corriente por Ra es cero, luego, esta resistencia puede ser reemplazada por un circuito
abierto, como se indica en la Fig. 16.
EQUIVALENCIAS DEBIDO A MOVILIDAD DE FUENTES
Teorema de movilidad de fuentes independientes de corrientes
i
C1
+
i s(t)
v
C2
i
C1
Red
R
+
Red
i (t)
s
_
i (t)
s
C3
Red
R1
v
C2
i (t)
s
R
_
C3
Red
R2
Figura 17. Movilidad de fuentes de corrientes.
Es posible demostrar esto, aplicando la LCK, pues, se observa que la corriente que pasa por
C1 y C3 es is(t) y la corriente que pasa por C2 es is(t)-i, en ambos circuitos de laFig. 17.
En la Fig. 18, se muestra un ejemplo de movilidad de fuentes de corriente.
+
R1
R
Red
3
v
Is
R2
R
4
R
_
R1
R1
+
R3
Red
R2
Is
Is
v
R4
_
R2
Figura 18. Ejemplo de Movilidad de fuentes de corrientes.
Teorema de movilidad de fuentes independientes de tensión
Considerando las siguiente configuración
R
8
Teoría de Redes I
1
i
+
+
n
v
vs
vs +
2
...
Red
R
vs
+
vs
+
Red
R
_
Red
R2
Red
R1
Figura 19. Movilidad de fuentes de voltaje .
Aplicando la LVK, se demuestra que la redR1 es equivalente a R2.
EQUIVALENCIAS DEBIDO A TRANSFORMACIÓ N DE FUENTES
Rs
i(t)
i(t)
+
vs(t)
+
v
+
Red
R
v s(t)
Rs
_
Red
R1
Rs
v
Red
R
_
Red
R2
Figura 20. Transformación de fuente de voltaje a fuente de corriente.
Planteando un LKV en la redR1 se tiene
− vs (t )+ Ri(t )+ v(t )= 0
vs (t )= Ri (t )+ v(t )
i (t )=
vs (t ) v(t )
−
Rs
Rs
Observe que la corriente i(t) esta definida como la resta de dos corrientes. Si se observa la
red R2, la corriente i(t) se determina (a través de la LCK) como la corriente generada por la fuente y
menos la corriente que circula por la resistenciaRs.
Planteando la LKC para la redR2 se tiene
vs (t )
−
Rs
vs (t )
−
Rs
v(t )
− i (t )= 0
Rs
v(t )
= i (t )
Rs
Redes Equivalentes
9
Finalmente, las redesR1 y R2 son equivalentes. Este razonamiento tiene específica aplicación
para una fuente de voltaje en serie con unresistor, sin embargo, esto puede ser extendido para
capacitores e inductores en la misma posición serie
.
L
i L(t)
iL(t)
+
vs(t)
+
Red
R
v
is=
1
L
∫
+
vs dt
L
v
_
Red
R
_
Red
R1
Red
R2
Figura 21. Transformación de fuente de voltaje en serie con un inductor.
di(t )
+ v(t )= 0
dt
di(t )
vs (t )= L
+ v(t )
dt
1
1
i (t )= ∫vs (t )dt − ∫v(t )dt
L
L
− vs (t )+ L
C
i c(t)
i c(t)
+
vs(t)
+
+
Red
R
v
i s = C d vs
dt
C
_
v
Red
R
_
Red
R1
Red
R2
Figura 22. Transformación de fuente de corriente en serie con un capacitor.
1
∫i(t )dt + v(t )= 0
C
dv (t )
dv(t )
i (t )= C s − C
dt
dt
− vs (t )+
EQUIVALENCIAS RESPECTO DE UN INSTANTE DE REFERENCIA
Cuando se desea saber el comportamiento de una parte de la red para tiempos mayores que
un tiempo de referencia, este tiempo de referencia se elige como cero.
Redes con interruptores
10
Teoría de Redes I
t=0
+
vs(t)
+
v
+
Red
R
+
vs(t) u(t)
Red
R
v
_
_
Red
R1
Red
R2
Figura 23. Fuente con interruptor.
La red R2 es equivalente aR1 para tiempos mayores que cero, respecto deR.
Los voltajes y corrientes deR1 conectados a R2, sólo podrán determinarse para tiempos mayores
que cero.
Redes con capacitores cargados
Si se tiene un condensador con una carga inicial, éste puede ser representado como un
condensador sin carga en serie con una fuente de voltaje, la cual representa el voltaje inicial (carga)
del condensador.
i c(t)
i c(t)
+
+
C
v
c
_
Red
R
v
C
+
v (0)u(t)
c
_
Red
R1
+
+
v'
_ c
Red
R
v
_
Red
v'c (0)=0
R2
v (0)=0
c
Figura 24. Condensador con carga inicial.
La red R1 es equivalente a la redR2 para t>0.
Redes con inductores con energía almacenada
Un inductor el cual tiene energía almacenada, puede ser representado por un inductor sin
energía en paralelo con una fuente de corriente, la cual dará cuenta de la energía inicial.
i L(t)
L
_
vL
i'L (t)
i(t)
+
+
v
+
Red
R
L
i (0)u(t)
L
_
i L(0)=0
Red
R1
Red
R
_
i'L (0)=0
(a)
v
Red
R2
(b)
Figura 25. (a) Inductor con energía inicial. (b) Equivalente.
En general, se pueden reemplazar los elementos con energía inicial almacenada, por
elementos sin energía inicial, con sus correspondientes fuentes de voltaje en serie (para el caso de
un condensador) y las fuentes de corriente en paralelo (para el caso de los inductores).
Redes Equivalentes
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REDES EQUIVALENTES DEBIDO A APROXIMACIONES NUMÉRICAS
Algunas veces se está interesado en ver el comportamiento cualitativo de la red, o bien , la
tolerancia de los componentes hace aconsejable simplificar los cálculos, debido a que sólo ciertas
cifras tendrán significado.
Redes equivalentes al 10%
Cuando los valores de los componentes difieren mucho en sus valores, es posible no
considerarlos en el análisis, pues su efecto no incide mucho en el resultado. Un criterio muy
utilizado resulta ser la equivalencia al 10%, esto quiere decir por ejemplo si dos resistores se
encuentran en serie y uno de ellos tiene un valor equivalente al 10% del otro, el menor podría
despreciarse. Esto es factible de considerar, ya que comúnmente se trabajan con resistores que
tienen una tolerancia entre el 5 y 10%, luego, no se cometería ningún error grave al despreciar el
componente con menor valor.
Ra
Ra
i
i
+
Rb
v
+
Red
R
v
_
Red
R
_
Red
R1
Red
R2
(a)
(b)
Figura 26. (a) Inductor con energía inicial. (b) Equivalente.
R2 es equivalente al 10% conR1 si se cumple que
Rb <
Ra
10
Observe que al calcular la resistencia en serie, siRa es mucho mayor que Rb, entonces el
valor de Ra es casi igual al equivalente.
Para la siguiente situación
i
i
+
Ra
Rb
v
+
Red
R
Rb
v
_
_
Red
R1
Red
R2
(a)
(b)
Figura 27. (a) Inductor con energía inicial. (b) Equivalente.
R2 es equivalente al 10% conR1 si se cumple que
R a > 10 Rb
Red
R
12
Teoría de Redes I
En este caso, se puede calcular una expresión del paralelo entreRa y Rb, se observa que si
Ra es mucho más grande queRb, el equivalente tenderá aRb.
Redes con valores de componentes que tienden a cero
Si un resistor lineal e invariante en el tiempo tiende a cero, puede aplicarse el teorema de
sustitución por cortocircuito, al igual que para un inductor lineal invariante
e
en el tiempo. Esto
ocurre porque para el caso de unresistor se tienevr=Ri, luego si R tiende a cero entonces vr tiende a
cero. Por otro lado, el voltaje en un inductor está definido comoLdiL/dt, luego si L tiende a cero,
dicho voltaje se hace cero.
i
i
+
+
R
0
Red
R
v
Red
R
v
_
_
Red
R2
Red
R1
(a)
i
i
+
+
L
0
Red
R
v
Red
R
v
_
_
Red
R2
Red
R1
(b)
Figura 28. (a) reemplazo de una resistencia por un Cortocircuito. (b) Reemplazo de inductor por Cortocircuito.
Si un condensador lineal e invariante en el tiempo tiende a cero se puede aplicar la
sustitución por circuito abierto, pues, la expresiónCdvc/dt que establece la corriente se hace cero la
corriente.
i (t)
i (t)
+
C
0
v
+
Red
R
v
_
Red
R1
Red
R
_
Red
R2
Figura 29. Reemplazo de un Capacitor por un circuito abierto.
De manera similar se procede en el caso de una fuente independiente de corriente cuyos
valores tienden a cero.
Redes con valores de componentes que tienden a infinito
En el caso del resistor e inductor linealinvariante en el tiempo, se aplica la sustitución por
circuito abierto, esto es porqueir=v/R lo cual tiende a cero. Si un condensador tiende a infinito, se
reemplaza por un cortocircuito, pues el voltaje en elcondesador tiene un factor 1/C que lo hace
tender a cero.
Redes Equivalentes
13
i
i
+
+
R
∞
Red
R
v
Red
R
v
_
_
Red
R2
Red
R1
(a)
i (t)
i (t)
+
C
∞
v
+
Red
R
v
_
Red
R
_
Red
R1
Red
R2
(b)
Figura 30. (a) Reemplazo de una resistencia por un circuito abierto. (b) Reemplazo de un Capacitor por un
cortocircuito.
Redes equivalentes debido al rango de operación
Si se conoce que algunas variables están limitadas dentro de un rango dado, no se pueden
efectuar aproximaciones. Las características no lineales pueden aproximarse por segmentos
lineales, dentro de un rango de operación, permitiendo así un tratamiento más simple. La
importancia práctica de esta situación es que permite modelar dispositivos eléctricos y electrónicas
con características no lineales, a través de los métodos estudiados.