Velocidad relativa

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1.-Velocidad relativa
Introducción
1 La velocidad es siempre relativa a un sistema de referencia determinado.
Obviamente se trata de un concepto de capital importancia en la teorı́a de
la relatividad especial. Sin entrar en detalles, podrı́amos decir que si un
objeto Ob se mueve a una velocidad uniforme u con respecto a un sistema
de referencia inercial RFo , eso significa que u es la relación de do /to , donde
to es el tiempo que tarda Ob en recorrer la distancia do , estando tanto do
como to medidos con las reglas y los relojes propios del sistema de referencia
RFo .
2 Si RFv es otro sistema de referencia en movimiento relativo con respecto a RFo , entonces RFo y el objeto Ob se mueven con respecto a RFv , el
primero con una cierta velocidad v y el segundo con una velocidad combinada que es la suma relativista de v y u que analizaremos en la próxima
sección. Pero hay una tercera posibilidad: la velocidad relativa de Ob con
respecto a RFo medida desde RFv .
e a través de un mineral transparente
3 Imagine el movimiento de un fotón a
e isótropo m en el sistema de referencia propio RFo de m. Los observadores
a a través de m. Los
de este último sistema pueden medir la velocidad de e
observadores en RFv pueden medir:
1) La velocidad de m con respecto a RFv .
2) La velocidad de e
a con respecto a RFv .
3) La velocidad de e
a con respecto a m.
Llamaremos velocidad relativa indirecta a la tercera de las velocidades anteriores. Será denotada por un triple subı́ndice, como en uvam , que se lee:
a respecto a m.
velocidad relativa u, medida en RFv , de e
4 Aunque la teorı́a de la relatividad especial la ignora, la velocidad relativa indirecta será el objetivo de este capı́tulo. Es una legı́tima relación
1
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2 —— Velocidad relativa
formal entre dos magnitudes fı́sicas, una distancia y un tiempo, ambas medidas en el mismo sistema de referencia por observadores en otro sistema
de referencia. En efecto, no cabe duda de que los observadores en RFv
pueden medir:
1) La longitud Lvm del mineral m.
2) La longitud Lv que el fotón e
a atraviesa con respecto a RFv durante
el tiempo tv .
3) El tiempo tv que tarda el fotón e
a en recorrer Lv , que es el mismo
que tarda en recorrer Lvm .
5 La teorı́a de la relatividad permite considerar la relación de Lv /tv como
la velocidad cv del fotón e
a con respecto a RFv , que es la suma relativista
de dos velocidades: la velocidad de e
a con respecto a m y la velocidad de
m con respecto a RFv (véase más abajo). ¿Qué otra cosa sino la velocidad
del fotón e
a con respecto al mineral m, medida desde RFv podrı́a ser la
relación Lvm /tv , es decir, la longitud de m atravesada por el fotón divida
por el tiempo que el fotón tarda en atravesarla? En cualquier caso, y siendo
tanto Lvm como tv dos magnitudes fı́sicas bien definidas, la razón Lvm /tv
es también una magnitud bien definida, tenga o no significado fı́sico, que
podremos usar legı́timamente en cualquier argumento. En lo que sigue nos
referiremos a esa magnitud como velocidad relativa indirecta. En este caso
la velocidad cvam medida en RFv de e
a respecto a m.
Composición de velocidades
6 La transformación clásica de Galileo establece que si un objeto B1 se
mueve a una velocidad u con respecto a otro objeto B2 y este objeto B2
se mueve, a su vez, respecto a un tercer objeto B3 a una velocidad v en
la misma dirección que u, entonces B1 se mueve con respecto a B3 a una
velocidad w, en la misma dirección que u, y dada por:
w =u±v
(1)
donde el signo más se aplica si u y v tienen el mismo sentido, y el signo
menos si tienen sentido contrario. Si w resulta positiva tendrá el mismo
sentido que u, y si resulta negativa el mismo sentido que v. Puesto que u y
v no son escalares sino vectores, su suma tendrı́a que ser vectorial, aunque
esa distinción es irrelevante para nuestro propósito.
7 En el caso de la transformación de Lorentz, la adición de velocidades
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Composición de velocidades —— 3
no es una simple suma algebraica como en el caso de la transformación de
Galileo. Esa suma algebraica ha de ser corregida por un factor relativista:
w = (u ± v)
1
uv
1±
cc
= (u ± v)
c2
c2 ± uv
(2)
(3)
que es una consecuencia de la Transformación de Lorentz.
8 Es inmediato probar que la adición relativista de velocidades (2) establece un lı́mite inalcanzable. En efecto, si u y v son ambas menores que c,
su suma relativista también será menor que c:
u(c − v) < c(c − v)
(4)
cu − uv < c2 − cv
(5)
cu + cv < c2 + uv
(6)
c(u + v) < c2 + uv
(7)
c2 (u + v) < c(c2 + uv)
(8)
c2 (u + v)
<c
c2 + uv
(9)
u+v
<c
1 + uv/c2
(10)
donde el término izquierdo de la última desigualdad es la suma relativista
de las velocidades u y v. Es, por tanto, imposible alcanzar la velocidad de
la luz mediante la suma de dos velocidades menores que la velocidad de
la luz, no importa cuán cerca de c estén ambas velocidades. Por tanto, si
un observador mide una velocidad menor que c todos los observadores en
todos los sistemas de referencia medirán también una velocidad menor que
c.
9 Si u o v, o ambas, son iguales a c entonces su suma relativista es también
igual a c:
c+u
c+u
=c
(11)
=c
2
1 + cu/c
c+u
c+c
c+c
=c
=
2
1 + cc/c
2
(12)
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4 —— Velocidad relativa
10 Por simetrı́a, es imposible disminuir la velocidad de la luz c restándole
cualquier otra velocidad menor que la velocidad de la luz, no importa lo
cerca de c que esté. Sea v cualquier velocidad menor que c. De acuerdo con
la sustracción de relativista velocidades tendremos:
c−u
c−u
cu = c − u = c
1− 2
c
c
(13)
11 Al contrario que en 9, existe una especie de asimetrı́a en el caso de la
sustracción relativista de velocidades: como acabamos de ver si restamos
de c cualquier velocidad menor que c obtenemos c. Pero si restamos c de c
obtendremos una velocidad no definida:
c−c
0
c−c
=
=
1 − c2 /c2
1−1
0
(14)
12 Como ya se dijo, en este capı́tulo trataremos la composición de velocidades desde una perspectiva diferente. Para captar la idea, consideremos
un cuerpo B moviéndose a una velocidad uniforme con respecto a una plataforma P que a su vez se mueve uniformemente con respecto a un sistema
de referencia inercial RFv . Obviamente, los observadores de la plataforma
pueden medir fácilmente la velocidad de B con respecto a ellos (la velocidad de B respecto a P ). Los observadores del sistema de referencia RFv ,
en movimiento relativo respecto a P , también pueden medir la velocidad
de P y la de B con respecto a ellos (la velocidad de P y de B respecto a
RFv ), pero esos observadores también puede medir la velocidad de B con
respecto a P , midiendo la longitud de P atravesada por B y el tiempo
empleado en atravesarla.
Velocidad relativa indirecta
13 Considérese el siguiente escenario. Una plataforma P , que está en
reposo en RFo , está colocada paralelamente a su eje Xo y de modo que su
extremo izquierdo A coincide con el origen de RFo . Una bola S se encuentra
insertada, como las cuentas de un ábaco, en un alambre horizontal de
longitud propia Lo que se extiende desde A hasta B, el extremo derecho
de P , tal como se muestra en la parte inferior de la Figura 1.1. En el
instante t = 0, S comienza a deslizarse sobre el alambre a una velocidad
constante u, de modo que en el instante t = to , alcanza B. En consecuencia
tenemos:
to = Lo /u
(15)
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Velocidad relativa indirecta —— 5
RFv
t=tv
S
P
A
t=0
S
Xv
B
u vBP
P
A
v
B
Xv
vtv
g -1Lo
g -1Lo + vtv
RFo
S
t=to
P
A
u
t=0
Xo
Lo
alambre
S
A
B
P
B
Xo
Figura 1.1: Abajo: En RFo , el sistema de referencia propio de la plataforma P , el objeto
S se desliza con respecto al alambre a una velocidad uniforme u. Arriba: En RFv , desde
el cual P se mueve a una velocidad uniforme v de izquierda a derecha, S se desliza con
respecto al alambre con una velocidad uniforme uvsp , que se puede ser calculada a partir
de observaciones realizadas en RFv .
14 RFv es otro sistema inercial cuyo diagrama espaciotemporal coincide
con el de RFo en el instante t = 0, y desde el que RFo se mueve en la
dirección de Xo , de izquierda a derecha y a una velocidad uniforme v.
Para los observadores en RFv la longitud Lv de P es:
Lv = γ −1 Lo
Con respecto a RFv , S se mueve a una velocidad w:
u+v
w=
1 + uv/c2
(16)
(17)
El tiempo tv que tarda la bola S en llegar al extremo derecho de P es tal
que:
γ −1 Lo + vtv
dv
(18)
= 2
tv =
c (u + v)
w
c2 + uv
Y entonces:
tv c2 (u + v) = (γ −1 Lo + vtv )(c2 + uv)
(19)
Reagrupando términos:
u(c2 − v 2 )tv = c2 γ −1 Lo + γ −1 Lo uv
(20)
Multiplicando ambos lados de (20) por γ 2 /c2 :
utv γ 2
c2 − v 2
γLo uv
= γLo +
2
c
c2
(21)
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6 —— Velocidad relativa
Y teniendo en cuenta que γ 2 = c2 /(c2 − v 2 ) y que Lo /u = to , obtenemos
finalmente:
tv = γto + γvLo /c2
(22)
que naturalmente coincide con el tiempo calculado directamente a partir
de la transformación de Lorentz.
→ la velocidad relativa de S con respecto a P tal como se
15 Sea uvsp
observa en RFv , donde la flecha simplemente indica que S se mueve de
→ los observadores en
izquierda a derecha respecto a RFv . Para calcular uvsp
RFv necesitan conocer la distancia que S se mueve respecto a P , ası́ como
el tiempo que dura el recorrido. El tiempo es obviamente tv ; y teniendo
en cuenta que S se desliza sobre la longitud total del alambre, i.e desde el
extremo izquierdo A hasta el extremo derecho B de P , con respecto a la
plataforma P la bola S atraviesa la distancia AB = γ −1 Lo . Pero puesto
que P se mueve una distancia vtv con respecto a RFv al mismo tiempo
que S se mueve con respecto a P , se podrı́a argumentar que S se mueve
una distancia total γ −1 Lo + vtv con respecto a P . Pero si ese fuera el caso
tendrı́amos:
−1
→ tv = γ
Lo + vtv
(23)
uvsp
y teniendo en cuenta que (18) tendrı́amos:
→ tv =
uvsp
c2 (u + v)
tv = wtv
c2 + uv
(24)
→ = w
uvsp
(25)
Por lo tanto:
→ de S con respecto a P serı́a la misma que
Ası́, la velocidad relativa uvsp
la velocidad relativa w de S con respecto a RFv , como si P estuviese en
reposo en RFv , o como si la longitud de P fuera γ −1 Lo + vtv , lo que no
es el caso. Como no podı́a ser de otra manera, con respecto a P , y desde
el punto de vista de RFv , la bola S atraviesa la longitud completa del
alambre, o lo que es lo mismo la longitud completa de P .
16 Desde el sistema de referencia RFv , y con respecto a la plataforma
P , la bola S atraviesa la distancia AB = γ −1 Lo en un tiempo tv . Por lo
→ de
tanto, para los observadores de RFv , la velocidad relativa indirecta uvsp
S respecto a P será:
γ −1 Lo
→ =
(26)
uvsp
tv
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Velocidad relativa indirecta —— 7
Y teniendo en cuenta 18 podemos escribir el sistema:

−1

→ tv = γ
Lo
uvsp
u+v


tv = γ −1 Lo + vtv
1 + uv/c2
Y entonces:
(27)
u+v
→ tv = vtv
tv − uvsp
1 + uv/c2
u+v
→ = v
− uvsp
1 + uv/c2
Por tanto:
→ =
uvsp
=
(28)
(29)
u+v
−v
1 + uv/c2
(30)
u + v − v − uv 2 /c2
1 + uv/c2
(31)
=u
1 − v 2 /c2
1 + uv/c2
(32)
u (km/s)
40000
30000
uvsp = u
20000
1 - v 2/c 2
1 + u v/c2
10000
v (km/s)
75000
150000
225000
300000
Figura 1.2: Velocidad relativa indirecta uvsp
→ de S con respecto a P en función de v
(u = 40000km/s).
17 Es posible entonces medir tres velocidades relativas en RFv :
1) La velocidad relativa v de P con respecto a RFv .
2) La velocidad relativa w de S con respecto a RFv .
→ de S con respecto a P .
3) La velocidad relativa indirecta uvsp
De acuerdo con la ecuación (32), y tal como muestra la Figura 1.2, la
→ disminuye a media que v aumenta, de modo que es máxima
velocidad uvsp
→ = w) para v = 0 y mı́nima (u → = 0) cuando v = c.
(uvsp
vsp
→ es una magnitud
18 Obsérvese que la velocidad relativa indirecta uvsp
fı́sica bien definida en tanto que las magnitudes Lv y tv sean también
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8 —— Velocidad relativa
magnitudes fı́sicas bien definidas, lo que siempre es el caso porque ambas
se calculan de acuerdo con la transformación de Lorentz.
19 Un argumento similar probarı́a que si S se mueve en las mismas condiciones anteriores, excepto que haciéndolo desde B hasta A en lugar de
desde A hasta B, tendremos
← = u
uvsp
1 − v 2 /c2
1 − uv/c2
(33)
donde la flecha indica que S se mueve ahora de derecha a izquierda respecto
a RFv .
20 Escribamos v como k1 c y u como k2 c, 0 < k1 < 1; 0 < k2 < 1. Las
→ y u ← también se pueden escribir como
velocidades relativas indirectas uvsp
vsp
k3 c y k4 c respectivamente, siendo k3 y k4 números reales. Con respecto a
k3 tendremos:
k3 c = k2 c
= k2 c
1 − k12 c2 /c2
1 + k1 ck2 c/c2
(34)
1 − k12
1 + k1 k2
(35)
De modo que:
k3 = k2
= k2
1 − k12
1 + k1 k2
(36)
1/k1 − k1
1/k1 + k2
(37)
Puesto que cada uno de los dos términos del lado derecho de (37) es siempre menor que 1, k3 será siempre menor que 1. O con otras palabras, la
→ es siempre menor que c (Figura 1.3, izvelocidad relativa indirecta uvsp
quierda).
21 Como veremos ahora, el caso de k4 plantea un serio problema relativista. En efecto, podemos escribir:
1 − k12 c2 /c2
(38)
k4 c = k2 c
1 − k1 ck2 c/c2
= k2 c
1 − k12
1 − k1 k2
(39)
De modo que:
k4 = k2
1 − k12
1 − k1 k2
(40)
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Asimetrı́a de la velocidad relativa indirecta —— 9
= k2
1/k1 − k1
1/k1 − k2
(41)
Aunque k2 es siempre menor que 1, el segundo término del lado derecho de
(41) es mayor que 1 siempre que k1 < k2 , lo que hace posible que k4 > 1,
por ejemplo si k1 = 0,4 y k2 = 0,85 (véase la Figura 1.3, derecha).
1
k4
k3
2
0,5
1
0
0
1
1
0,5
k2
0,5
0,6
0,4
0,2
00
0,8
1
k2
0,2
00
0,2
0,4
0,6
1
k1
k1
0
0,8
0,6
0,4
0,8
1
0
0,5
1
1,5
Figura 1.3: Los factores k3 (izquierda) y k4 (derecha) en función de los factores
k1 y k2 . Nótese que mientras k3 es siempre menor que 1 (y por tanto la velocidad
uvsp
֌ menor que c), k4 puede ser mayor que 1 (y entonces la correspondiente u ֋
vsp
serı́a mayor que c).
22 De acuerdo con la transformación de Lorentz, si (por ejemplo) v = 0,4c
y u = 0,85c, en RFv se observarı́a que S se mueve con respecto a P a una
velocidad uvsp
֋ mayor que c, lo que es imposible de acuerdo con los principios
de la relatividad. Como se acaba de indicar, el problema aquı́ es que uvsp
֋
es una legı́tima magnitud fı́sica definida de acuerdo con la interpretación
clásica de la transformación de Lorentz.
Asimetrı́a de la velocidad relativa indirecta
23 Consideremos como sistema de referencia RFo la plataforma anterior
P , ahora con dos bolas idénticas S y T insertadas en el alambre y situadas en los extremos A y B respectivamente (Figura 1.4). En RFo y en el
instante t = 0, las dos bolas S y T comienzan a deslizarse sobre el alambre a la misma velocidad constante u, aunque en direcciones opuestas. Sea
ahora RFv otro sistema de referencia inercial desde el que RFo se mueve
a una velocidad constante v de izquierda a derecha, en la dirección de Xo .
En lugar de calcular la velocidad relativa de S y T con respecto a RFv ,
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10 —— Velocidad relativa
calcularemos la velocidad relativa indirecta uvst de S respecto a P y la
velocidad relativa indirecta uvtp de T con respecto a P , ambas desde el
punto de vista de RFv .
24 Supongamos que RFo y RFv coinciden en instante t = 0 en el que S
y T empiezan a deslizarse (en RFo ). En RFo , y después de un tiempo to ,
ambos objetos chocan en el centro CP de P . En RFv la colisión también
tiene lugar en el centro CP de P , aunque S y T no empiezan a moverse
en el mismo instante. Empecemos por considerar el movimiento de S con
respecto a P desde la perspectiva de RFv .
Lo /2
Lo /2
t=to
S
T
O
Xo
Yo
t=0
Lo
u
u
BT
S
O
P
A
CP
Xo
B
Figura 1.4: S y T se deslizan a una velocidad constante hacia el centro de P , cuyo
sistema propio de referencia es RFo . El movimiento relativo de S y T respecto a P
no solo se puede calcular desde RFo sino desde cualquier otro sistema de referencia en
movimiento relativo respecto a RFo .
25 Desde el punto de vista de los observadores de RFv , la bola S se desliza
sobre el alambre una distancia ACP ; es decir, una distancia γ −1 (Lo /2). En
atravesar esa distancia S tarda un tiempo tv dado por:
γv(Lo /2)
(42)
c2
donde to es el tiempo propio que tarda S en realizar su recorrido, y
γv(Lo /2)/c2 es la diferencia de fase en la sincronización, en términos del
tiempo de RFv , del (reloj colocado en el) punto A con respecto al punto CP
debida a la velocidad relativa v, diferencia que es nula desde el punto de
vista de RFo . En consecuencia, y teniendo en cuenta que to = (Lo /2)/u,
desde RFv la velocidad uvsp de S con respecto a P (o con respecto al
alambre) será:
tv = γto +
uvsp =
γ −1 (Lo /2)
γv(Lo /2)
γto +
c2
(43)
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Asimetrı́a de la velocidad relativa indirecta —— 11
γ −1 (Lo /2)
(Lo /2) γv(Lo /2)
+
γ
u
c2
−2
γ
=
1
v
+ 2
u c
=
=
(44)
(45)
γ −2 uc2
c2 + uv
=u
(46)
c2 − v 2
c2 + uv
(47)
26 Para el caso de T , y desde la misma perspectiva de RFv , debemos
tener en cuenta la diferencia de fase en la sincronización de B respecto a CP
debida a la velocidad relativa v, que ahora es −γv(Lo /2)/c2 y que también
es nula en RFo . Un razonamiento similar a 25 nos lleva la conclusión de
que, desde la perspectiva de RFv , la velocidad uvtp de T con respecto a P
es:
c2 − v 2
(48)
uvtp = u 2
c − uv
u ≡ 50000 Km/s
·104
u ≡ 250000 Km/s
·105
uvsp (azul) uvtp (rojo)
uvsp (azul) uvtp (rojo)
3
4
2
0
2
1
0
0
0,5
1
1,5
v
2
2,5
3
·10
5
0
0,5
1
1,5
v
2
2,5
3
·105
Figura 1.5: La asimetrı́a entre uvsp y uvtp aumenta con la velocidad de deslizamiento u de las bolas S y T . izquierda: asimetrı́a para u = 50000 Km/s. Derecha:
asimetrı́a para u = 250000 Km/s.
27 De conformidad con (47) y (48), uvtp siempre es mayor que uvsp ,
excepto para v = 0 donde son iguales a u, y para v = c donde ambas se
anulan. Como veremos en el Capı́tulo ?? sobre la relatividad del ı́ndice de
refracción, esta asimetrı́a tiene algunas consecuencias conflictivas sobre el
ı́ndice de refracción en medios ópticamente isótropos.
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12 —— Velocidad relativa
28 Calculemos ahora la asimetrı́a entre uvsp y uvtp en términos de v y de
u. Para ello sea v = k1 c y u = k2 c, (0 < k1 < 1; 0 < k2 < 1). Podemos
escribir:
1 − k12
1 − k12
− k2 c
1 − k1 k2
1 + k1 k2
2k1 k2
= k2 c(1 − k12 )
1 − k12 k22
uvtp − uvsp = k2 c
(49)
(50)
La asimetrı́a uvtp − uvsp cambia con la velocidad relativa k1 c y con la
velocidad de deslizamiento k2 c, como muestra la Figura 1.6. Nótese que
esa diferencia de velocidades puede ser mayor que la velocidad de la luz.
·105
·105
uvtp − uvsp
6
5
4
4
2
3
0
2
1
1
0,5
k2
00
0,2
0,6
0,4
0,8
1
0
k1
Figura 1.6: Asimetrı́a entre uvtp y uvsp en función de v = k1 c y de u = k2 c
(0 < k1 < 1; 0 < k2 < 1). Nótese de nuevo que la asimetrı́a (la diferencia
uvtp − uvsp ) puede ser mayor que la velocidad de la luz.
29 Una consecuencia inmediata de la asimetrı́a anterior es el comportamiento conflictivo de la máquina de pistones que se muestra en la Figura
1.7, cuando se observa en movimiento relativo. La máquina consiste básicamente en una plataforma P y dos pistones idénticos PA y PB colocados
respectivamente en el extremo izquierdo (A) y en el derecho (B). En el
instante t = 0 de su sistema de referencia propio RFo , PA y PB impulsan
simultáneamente hacia adelante dos bolas idénticas S y T respectivamente
de forma que se deslizan sobre el alambre con la misma velocidad u hacia
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Asimetrı́a de la velocidad relativa indirecta —— 13
el centro de la plataforma, donde chocan en el instante t = to , de nuevo
medido en RFo .
Yo
Lo /2
Lo /2
S
T
Xo
t=to
Yo
PA
u
S
Lo
alambre
P
PB
u
T
Xo
t=0
Figura 1.7: En su sistema de referencia propio RFo , S y T son impulsadas siempre con la
misma velocidad. Sin embargo, cuando se observan en movimiento relativo de izquierda
a derecha en la dirección de Xo , la bola izquierda (sea S o T ) siempre es impulsada con
menor velocidad que la bola derecha.
30 Según los observadores de RFo , la máquina siempre funciona correctamente, lo que significa que S y T se deslizan con la misma velocidad u
hacia el centro de P . Pero debido a la asimetrı́a 27, cuando la máquina se
observa en movimiento relativo de izquierda a derecha en la dirección Xo
(sistema de referencia RFv ), la bola S siempre se mueve más despacio que
la bola T , por lo que debemos concluir que el pistón PA (originalmente colocado en el extremo izquierdo de la plataforma) empuja con menos fuerza
que el pistón PB .
31 Si la máquina se gira horizontalmente 180◦ de modo que PA y PB
intercambien sus posiciones originales, entonces es el pistón PB el que empuja con menos fuerza. Por tanto, sea PA o PB , el pistón colocado en el
extremo izquierdo de la máquina siempre empujará con menos fuerza que
el otro, lo que es chocante porque ambos pistones son idénticos, como los
observadores de RFo podrı́an confirmar. ¿Es esta asimetrı́a real o aparente? ¿Podrı́an los observadores de RFv confiar en sus observaciones para
obtener conclusiones sobre lo que sucede en RFo ?
32 Se podrı́a argumentar que, desde el punto de vista de RFv , S y T
se mueven a diferentes velocidades debido a la velocidad relativa v que
ambas bolas heredan y mantienen mientras se deslizan sobre el alambre.
Pero este hecho no tiene efecto alguno sobre la velocidad relativa indirecta
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14 —— Velocidad relativa
de las bolas respecto del alambre simplemente porque el alambre se mueve
también con la misma velocidad relativa v con respecto a RFv . Además,
si ese fuera el caso S se moverı́a más rápido que T porque la velocidad
heredada v tiene la misma dirección que la velocidad uvsp y la dirección
opuesta de uvtp , y hemos demostrado la conclusión contraria, es decir que
uvsp < uvtp .
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Bibliografı́a
[1] Carlos Barceló and Gil Jannes, A real lorentz-fitzgerald contraction, Foundations
of Physics 38 (2008), 1199–199.
[2] David Bohm, The special theory of relativity, A. Benjamin Inc., London and New
York, 1965.
[3] Max Born, Einstein’s theory of relativity, Dover Publications Inc., New York, 1965.
[4] George Francis FitzGerald, The ether and the earth’s atmosphere, Science 13
(1889), 390.
[5] A. P. French, Special relativity, W. W. Norton and Company Inc., New York, 1968.
[6] David Halliday, Robert Resnick, and Jearl Walker, Fundamentals of physics, John
Wiley and Sons, 2008.
[7] Hendrik Antoon Lorentz, De relatieve beweging van de aarde en den aether,
Zittingsverlag Akad. V. Wet. (1892), 74–79.
[8] N.C. Mcgill, Apparent shape of rapidly moving object in special relativity,
Contemporary Physics Vol. 9. no 1 (1968), 33.
[9] R. Penrose, The apparent shape of a relativistic moving sphere, Proceedings of the
Cambridge Philosophical Society 55 (1959), 137–139.
[10] Daniel F. Styer, Relativity for the questioning mind,
http://www.oberlin.edu/physics/dstyer, 2009.
[11] James Terrell, Invisibility of the lorentz contraction, Physical Review 116 (1959),
1041–1045.
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