Clase 3

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 3
(7 feb. 2012)
Cambio de Variables en las Integrales Dobles
1.– Ejemplo: Área de la elipse. 2.– Cambio de Variables I. Punto de vista de la transformación. 3.– Cambio de Variables II. Punto de vista geométrico. 4.– Observación: Dirección de la transformación y cálculo del determinante
jacobiano. 5.– Ejemplo. 6.– Resumen de los tres pasos para realizar un cambio de variable: Elemento de área, Integrando, y Lı́mites de integración.
1 Ejemplo: Área de la elipse.
Para entender la clave del cambio de variables vamos a empezar con un ejemplo muy sencillo: Supongamos
que queremos calcular el área de una elipse.
Consideremos la elipse de semiejes a y b. Su ecuación es:
⇣ x ⌘2
+
⇣ x ⌘2
+
a
⇣ y ⌘2
= 1.
⇣ y ⌘2
1
b
b
�a
a
Esta elipse encierra una región R cuyos puntos verifican
a
b
�b
y una de las formas de calcular su área es calcular la integral doble
ZZ
dx dy .
( ax )2 +( by )2 1
Se puede calcular esta integral expresándola como integrales iteradas en coordenadas cartesianas y eso
es un ejercicio que debéis de saber hacer, pero esa no es la forma más sencilla de calcularla.
La forma más sencilla de calcularla es usar un cambio de variables que transforme la región de integración (una elipse) en un cı́rculo para luego integrar en coordenadas polares.
Fijaos que la ecuación de una elipse es casi como la de una circunferencia de radio 1. De hecho una
elipse de semiejes a y b es una circunferencia de radio 1 que ha sido estirada por un factor igual a a en la
dirección del eje x y por un factor igual a b en la dirección del eje y. Esto sugiere que utilizemos el cambio
de variables
x
y
u= ,
v= .
a
b
En términos de u y v la ecuación de la elipse es u 2 + v 2 = 1 ¡El cı́rculo unitario en plano uv!.
Para cambiar de variables en nuestra integral tenemos que calcular dx = a du, dy = b dv; entonces el
elemento de área se convierte en
dx dy = ab du dv
y nuestra integral se convierte en:
ZZ
( ax )2 +( by )2 1
dx dy =
ZZ
u 2 +v 2 1
ab · du dv = ab
ZZ
u 2 +v 2 1
du dv
y ahora es fácil integrar usando coordenadas polares.
En realidad, la integral que nos aparece en este caso no harı́a falta ni calcularla porque representa el
área del cı́rculo unitario y ya sabemos que el área del cı́rculo unitario es igual a ⇡. Por tanto, podemos
poner directamente que el área de la elipse es igual a ab⇡.
1
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Cambio de Variables en las Integrales Dobles
Curso 2011-12
Fijaros que el razonamiento anterior sirve para simplificar también cualquier integral doble sobre una
región que sea una elipse ya que obtendrı́amos:
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy = ab
f (au, bv) du dv
u 2 +v 2 1
( ax )2 +( by )2 1
y hemos reducido nuestra integral a una que se puede pasar fácilmente a coordenadas polares.
2 Cambio de Variables I. Punto de vista de la transformación.
2.1 Caso Lineal.
El ejemplo de la elipse es muy sencillo porque en él las dos variables se tranforman de forma independiente
y el cambio de variables se reduce a dos cambios de variable independientes. En general, la cosa no es
tan sencilla porque una transformación de coordenadas puede mezclar las coordenadas de forma que no
puedan tratarse separadamente.
Por otro lado, el ejemplo de la elipse tiene la virtud de mostrarnos que la clave de un cambio de
variables es el hecho de que la transformación de las variables viejas a las nuevas produce cambios de
escala que alteran las áreas. En otras palabras, la transformación convierte una región de área 1A en otra
región con área 1A0 6= 1A. Por ejemplo, en el caso anterior tenı́amos 1A = ab1A0 o equivalentemente
dx dy = ab du dv. En general tendremos 1A = k1A0 , donde k es el factor por el que se multiplican las
áreas al aplicar la transformación, de forma que tendremos
dx dy = k du dv.
Vamos a ver ahora un ejemplo, todavı́a bastante sencillo, pero que muestra
RR el efecto de la “mezcla” de
variables y el cambio de las áreas. Supongamos que en cierta integral doble, R · · · d A, decidimos realizar
el siguiente cambio de variable:
u = 3x 2y ,
v = x + y.
Puede haber varias razones por las que nos interese este cambio. Tal vez la región de integración sea mucho
más fácil de expresar en términos de u y v (caso en que la región esté comprendida entre dos curvas de
nivel de la función u(x, y) y dos curvas de nivel de v(x, y)) y se con este cambio de variables se simplifican
los lı́mites de integración, o tal vez la razón por la que interese ese cambio es simplemente que al hacerlo
se simplifica el integrando. Cualquiera que sea la razón, lo que necesitamos averiguar es cuál es el factor
por el que se multiplican las áreas al realizar el cambio.
La forma más sencilla de calcular ese factor es ver la relación que hay entre un elemento de área 1A y
el elemento de área 1A0 en el que 1A se transforma al aplicar el cambio de coordenadas.
Si 1A es un rectángulo con un vértice en el origen y de lados 1x, 1y, como el cambio de coordenadas
en este ejemplo es una transformación lineal, este elemento se transforma en el paralelogramo determinado
por los vectores imágenes de (1x, 0) y (0, 1y) que son:
(
(
u(1x, 0) = 31x
u(0, 1y) = 21y
y
v(1x, 0) = 1x
v(0, 1y) = 1y
y
v
v �A
u
T�v�
x
�A'
T�u�
u
El área de la región resultante es igual al valor absoluto del determinante de la matriz cuyas columnas son
esos dos vectores:
✓
◆
31x
21y
,
1x
1y
2
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la cual es justamente la matriz de la transformación lineal. Ası́ pues, 1A0 es:
✓
◆
31x
21y
1A0 = det
1x1y = |3 + 2|1A = 51A.
1x
1y
Esto nos dice que las áreas de regiones en el plano uv son cinco veces mayores que las de las regiones
correspondientes en el plano x y. Dicho de otra forma, du dv = 5dx dy, con lo cual el factor k en este
ejemplo es k = 15 y por tanto para este cambio de variables tendrı́amos:
1
5
dx dy =
y
ZZ
f (3x
R
du dv
2y, x + y) dx dy =
ZZ
R
f (u, v) 15 du dv .
2.2 Caso General.
En el ejemplo anterior, debido al hecho de que las ecuaciones del cambio de variables son lineales, el factor
k por el que se multiplican las áreas es constante, es decir, no depende de las variables u, v. En el caso
general dicho factor puede cambiar de valor de un punto a otro porque una transformación general dilatará
las áreas en unas zonas y las comprimirá en otras. Por tanto en el caso general k será una función de u y v:
k(u, v).
¿Cómo podemos determinar el factor k en esos casos?. La solución es la siguiente: Fijamos un punto
(x0 , y0 ) y calculamos en ese punto la aproximación lineal de la transformación, es decir, su polinomio de
Taylor de primer orden. Dadas las funciones u(x, y) y v(x, y), pequeñas desviaciones 1x y 1y de las
coordenadas x0 e y0 producen pequeñas desviaciones 1u, 1v que están aproximadas por:
@u
@u
1x +
1y
@x
@y
@v
@v
1v '
1x +
1y
@x
@y
1u '
o, en forma matricial,
0 @u
✓ ◆
B@x
1u
'B
@ @v
1v
@x
@u 1
✓ ◆
✓ ◆
@y C
C 1x = J (x0 , y0 ) 1x
1y
@v A 1y
@y
donde J (x0 , y0 ) es la matriz jacobiana de la transformación evaluada en el punto (x0 , y0 ).
En consecuencia, el factor por el que se multiplican las áreas cerca de (x0 , y0 ) está dado por el valor
absoluto del determinante de la matriz jacobiana. Este determinante se denota
det J (x, y) =
@(u, v)
@(x, y)
ası́ que tenemos en general:
du dv = | det J (x, y)| dx dy =
@(u, v)
dx dy.
@(x, y)
3 Cambio de Variables II. Punto de vista geométrico.
Supongamos que queremos realizar el siguiente cambio de variables en una integral doble:
u = u(x, y) ,
v = v(x, y)
y supongamos también que podemos invertir esas fórmulas despejando x e y como funciones de u y v:
x = x(u, v) ,
y = y(u, v).
Estas funciones nos proporcionan las ecuaciones paramétricas de dos familias de curvas que son las curvas
u = cte. por un lado y las curvas v = cte. por otro. Evidentemente v actúa de parámetro para las curvas
u = cte. y u para las curvas v = cte.
3
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Fijado un valor v0 de v tenemos las ecuaciones paramétricas de una curva:
x = x(u, v0 ) ,
y = y(u, v0 ).
A un incremento du del parámetro u le corresponde sobre esta curva un desplazamiento dado por el vector
⇣@x @x ⌘
dru = Vu du =
,
du
@u @u
Con un razonamiento análogo se deduce que un incremento dv del parámetro v sobre una curva u =
cte. da lugar a un desplazamiento
⇣@x @x ⌘
drv = Vv dv =
,
dv.
@v @v
Estos dos desplazamientos determinan un elemento de área que es un paralelogramo elemental adaptado a las coordenadas uv. Este área elemental es igual a:
0
1
@x @y
B @u @u C
@(x, y)
C
d A = kdru ⇥drv k = det B
@ @ x @ y A du dv = @(u, v) du dv.
@v
@v
En consecuencia para expresar una integral doble como integrales iteradas en las coordenadas uv necesitamos poner:
ZZ
ZZ
@(x, y)
f (x, y) d A =
f x(u, v), y(u, v)
du dv.
@(u, v)
R
R
4 Observación: Dirección de la transformación y cálculo del determinante jacobiano.
Las ecuaciones del cambio de variables o transformación de coordenadas pueden darse ya sea como transformación de las variables x e y a las u, v o al revés, siendo una la transformación inversa de la otra. Por
ejemplo, en el caso de las coordenadas polares podemos escribir
q
r = x 2 + y2
x = r cos ✓
o, equivalentemente,
y
y = r sen ✓
✓ = arctan
x
Si en un punto dado una de las transformaciones dilata las áreas multiplicaándolas por un factor k, en ese
mismo punto la transformación inversa contrae las áreas dividiéndolas por el mismo factor k, es decir, los
determinantes jacobianos de una y otra son inversos el uno del otro:
✓
◆
@(u, v) 1 @(x, y)
=
@(x, y)
@(u, v)
Esto hace que en la práctica solamente sea necesario calcular el que sea más sencillo. Por ejemplo, en
el caso de las coordenadas polares es más sencillo calcular el jacobiano de las ecuaciones x = r cos ✓,
y = r sen ✓, obteniéndose:
✓
◆
cos ✓
r sen ✓
= r.
det J (r, ✓) = det
sen ✓
r cos ✓
Ciertamente también se puede calcular el jacobiano de la transformación inversa calculando la derivadas
parciales @@rx = p 2x2 2 , etc. y llegarı́amos a
2
x +y
det J (x, y) = p
1
x 2 + y2
=
1
.
r
Obsérvese que estos cálculos muestran que para realizar en una integral doble un cambio de variables
a coordenadas polares, tendremos que poner:
dx dy = | det J (r, ✓)| dr d✓ = r dr d✓,
lo cual coincide con lo obtenido en la segunda clase.
4
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5 Ejemplo.
Supongamos que queremos aplicar a la integral doble
Z
0
1Z 1
x 2 y dx dy
0
el cambio de variables: u = x, v = x y.
Primer paso: Elemento de área:
Segundo paso: Integrando:
du dv =
✓
@(u, v)
1
dx dy = det
y
@(x, y)
0
x
◆
dx dy = x dx dy.
x 2 y dx dy = v du dv.
Tercer paso: Lı́mites de integración: Vamos a plantear las integrales iteradas con la integral sobre u en
el interior:
!
Z ? Z ?
v du dv.
?
?
Claramente, los valores mı́nimo y máximo de v = x y son respectivamente 0 y 1. Ahora suponemos dado
un valor fijo de v. Esto significa que estamos sobre una curva x y = v y queremos saber para qué valores
de u = x los puntos de esa curva están dentro de nuestra región. Para que y sea menor que 1, la x tiene
que ser mayor que v, pero al mismo tiempo la x tiene que ser menor que 1, luego el intervalo para u es:
v  u  1 y el resultado final es:
!
Z 1 Z 1
v du dv.
0
v
6 Resumen de los tres pasos para realizar un cambio de variable:
Elemento de área, Integrando y Lı́mites de integración.
Resumiendo lo visto hasta ahora, los pasos a seguir para realizar un cambio de variables en una integral
doble
ZZ
f (x, y) dx dy
R
son los siguientes:
Elemento de área: Expresar el elemento de área dx dy como | det J (u, v)| du dv.
Integrando: Escribir el integrando f (x, y) en términos de las nuevas variables.
Lı́mites de integración: Describir la región de integración en términos de las nuevas variables y hallar
los nuevos lı́mites de integración de las integrales iteradas.
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