S-polinomios

S-polinomios
Definición de s-polinomio
Dados dos polinomios P y Q, el s-polinomio s(P,Q) es un nuevo polinomio que se obtiene igualando los términos líderes de P y de Q , para luego eliminarlos.
Es necesario pues multiplicar, tanto P como Q, por términos adecuados, y después restar.
Una de las acciones que necesitaremos hacer es determinar los términos líderes de P y de Q;
esto ya sabemos cómo hacerlo.
In[99]:=
LeaderCoefficient@P_, L_, O_D := CoefficientRules@P, L, OD@@1, 2DD
LeaderMonomial@P_, L_, O_D := CoefficientRules@P, L, OD@@1, 1DD
LeaderTerm@P_, L_, O_D := LeaderCoefficient@P, L, OD *
Product@L@@iDD ^ LeaderMonomial@P, L, OD@@iDD, 8i, 1, Length@LD<D
Una vez que tenemos LT(P) y LT(Q), vamos a igualarlos: buscar el mínimo cómún múltiplo y
ajustar los coeficientes.
In[102]:=
Mcm@X_, Y_D := Table@Max@X@@iDD, Y@@iDDD, 8i, 1, Length@XD<D
Esta orden nos da el mínimo común múltiplo de dos elementos de Nn :
In[103]:=
Out[103]=
Mcm@81, 2, 3, 4, 5<, 82, 5, 3, 1, 6<D
82, 5, 3, 4, 6<
Una vez que hemos calculado el exponente del mcm, vamos a deterina el monomio asociado:
In[104]:=
Monomio@M_, L_D := Product@L@@iDD ^ M@@iDD, 8i, 1, Length@LD<D
Veamos un ejemplo:
In[105]:=
Out[105]=
Monomio@82, 5, 3, 4, 6<, 8X1 , X2 , X3 , X4 , X5 <D
X21 X52 X33 X44 X65
Podemos ya calcular el s-polinomio de dos polinomios; evidentemente necesitarremos indicar
las variables y el orden monomial utilizado.
In[106]:=
Spol@P_, Q_, L_, O_D :=
Expand@LeaderCoefficient@Q, L, OD * Monomio@Mcm@LeaderMonomial@P, L, OD,
LeaderMonomial@Q, L, ODD - LeaderMonomial@P, L, OD, LD * P LeaderCoefficient@P, L, OD * Monomio@Mcm@LeaderMonomial@P, L, OD,
LeaderMonomial@Q, L, ODD - LeaderMonomial@Q, L, OD, LD * QD
Veamos un ejemplo del funcionamiento de estas órdenes.
2
Polinomios-02.nb
In[107]:=
Out[107]=
Out[108]=
Out[109]=
Out[110]=
Out[111]=
8P = X ^ 2 Y - 2 Y Z, LeaderCoefficient@P, 8X, Y, Z<, LexicographicD,
LeaderMonomial@P, 8X, Y, Z<, LexicographicD,
LeaderTerm@P, 8X, Y, Z<, LexicographicD<
8Q = 2 X Y ^ 2 + 1, LeaderCoefficient@Q, 8X, Y, Z<, LexicographicD,
LeaderMonomial@Q, 8X, Y, Z<, LexicographicD,
LeaderTerm@Q, 8X, Y, Z<, LexicographicD<
Mcm@LeaderMonomial@P, 8X, Y, Z<, LexicographicD,
LeaderMonomial@Q, 8X, Y, Z<, LexicographicDD
Monomio@%, 8X, Y, Z<D
Spol@Q, P, 8X, Y, Z<, LexicographicD
9X2 Y - 2 Y Z, 1, 82, 1, 0<, X2 Y=
91 + 2 X Y2 , 2, 81, 2, 0<, 2 X Y2 =
82, 2, 0<
X2 Y2
X + 4 Y2 Z
Vamos ahora a aplicar directamente estas funciones para determinar los s-polinomios de dos
polinomios dados, utilizando distintos ódenes monomiales.
In[112]:=
Out[112]=
Out[113]=
Out[114]=
Out[115]=
Out[116]=
P = X^3 Y^4 + 5 X^2 Y Z^5 + Y ^4 Z^4 + 2
Q = X^2 + X Y + 3 Y Z - 2 Y^2
8Aux = Spol@Q, P, 8X, Y, Z<, LexicographicD,
LeaderMonomial@Aux, 8X, Y, Z<, LexicographicD<
8Aux = Spol@Q, P, 8X, Y, Z<, DegreeReverseLexicographicD,
LeaderMonomial@Aux, 8X, Y, Z<, DegreeReverseLexicographicD<
8Aux = Spol@P, Q, 8X, Y, Z<, DegreeLexicographicD,
LeaderMonomial@Aux, 8X, Y, Z<, DegreeLexicographicD<
2 + X3 Y4 + Y4 Z4 + 5 X2 Y Z5
X2 + X Y - 2 Y2 + 3 Y Z
9- 2 + X2 Y5 - 2 X Y6 + 3 X Y5 Z - Y4 Z4 - 5 X2 Y Z5 , 82, 5, 0<=
9- 2 X2 - X5 Y4 + X Y5 Z4 - 2 Y6 Z4 - 5 X4 Y Z5 + 3 Y5 Z5 , 81, 5, 4<=
92 + X3 Y4 + Y4 Z4 - 5 X Y2 Z5 + 10 Y3 Z5 - 15 Y2 Z6 , 81, 2, 5<=
FIN