UNIVERSIDAD DE ATACAMA ALGEBRA I GUÍA No1 DE

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ALGEBRA I
GUÍA No 1 DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Profesor: David Elal Olivero
Primer año Plan Común de Ingenierı́a
Primer Semestre 2009
1. Hallar la distancia entre los puntos:
a) P1 (3, 1) y P2 (7, −2)
b) P1 (3, −3) y P2 (−5, 3)
c) P1 (−1, −5) y P2 (2, −3)
2. Hallar el perı́metro de los triángulos cuyos vértices son:
a) P1 (−2, 5), P2 (4, 3) y P3 (7, −2)
b) P1 (0, 4), P2 (−4, 1) y P3 (3, −3)
3. Pruebe que los triángulos son isósceles si sus vértices están dados por:
a) P1 (3, 8), P2 (−11, 3) y P3 (−8, −2)
b) P1 (2, −2), P2 (−3, −1) y P3 (1, 6)
4. Pruebe que los triángulos son rectángulos si sus vértices están dados por:
a) P1 (7, 5), P2 (2, 3) y P3 (6, −7)
b) P1 (0, 9), P2 (−4, −1) y P3 (3, 2)
5. Pruebe que los puntos siguientes son los vértices de un paralelógramo:
a) P1 (−1, −2), P2 (0, 1), P3 (−3, 2) y P4 (−4, −1)
b) P1 (2, 4), P2 (6, 2), P3 (8, 6) y P4 (4, 8)
6. Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos:
a) P1 (1, 7), P2 (8, 6), y P3 (7, −1)
b) P1 (3, 3), P2 (6, 2), y P3 (8, −2)
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7. Pruebe, usando fórmula de distancia, que los puntos siguientes son colineales:
a) P1 (−3, −2), P2 (5, 2), y P3 (9, 4)
b) P1 (0, 4), P2 (3, −2), y P3 (−2, 8)
8. Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento determinado por
P1 (1, 7) y P2 (6, −3) en la razón r = 32 . Haga el grafico.
9. Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento determinado por P1 (4, 7) y
P2 (6, −3)
10. Si M (7, 4) es el punto medio del segmento de recta P1 P2 y uno de los puntos extremos
es P1 (13, 6). Encuentre el otro extremo.
11. Encuentre, en cada caso, el punto que divide al segmento de recta P1 P2 en la razón
que se indica e interprete el resultado:
a) P1 (3, 5),
P2 (5, 7)
y
r = − 12
b) P1 (2, 3),
P2 (4, 5)
y
r = − 13
c) P1 (2, 3),
P2 (5, 9)
y
r = − 52
12. Hallar dos puntos A1 (x1 , y1 ) y B2 (x2 , y2 ) que dividan al segmento que une a P1 (3, −1)
con P2 (9, 7) en tres partes iguales.
13. Hallar la ecuación de la recta que sea:
a) Paralela al eje Y y que corte al eje X cinco unidades a la izquierda del origen
b) Paralela al eje X y que corte al eje Y siete unidades por encima del origen
c) Paralela y a la derecha de la recta x + 4 = 0 y que diste de ella 10 unidades
d ) Paralela y por debajo de la recta y = 2 y que diste de ella 5 unidades
e) Paralela a la recta y + 8 = 0 y que diste 6 unidades del punto P (2, 1)
f ) Perpendicular a la recta y − 2 = 0 y que diste 4 unidades del punto P (−1, 7)
14. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) que equidisten de los
puntos fijos A(−2, 3) y B(3, −1)
15. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) que equidisten de los
puntos fijos A(−3, 1) y B(7, 5)
16. Hallar la ecuación de la recta que pase:
a) por el punto P (−4, 5) y cuya pendiente sea m =
2
3
b) por los puntos P (3, −1) y Q(0, 6)
c) por el punto P (2, −1) y sea perpendicular a la recta que une los puntos P (4, 3) y
Q(−2, 5)
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d ) por el punto P (−4, 1) y sea paralela a la recta que une los puntos P (2, 3) y
Q(−5, 0)
17. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuya distancia al punto
fijo C(2, −1) sea igual a 5.
Sol: x2 + y 2 − 4x + 2y − 20 = 0
18. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuya distancia al punto
fijo C(−2, 3) sea igual a 4.
Sol: x2 + y 2 + 4x − 6y − 3 = 0
19. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuyas distancias al punto
fijo A(3, 2) sean la mitad de sus distancias al punto B(−1, 3)
Sol: 3x2 + 3y 2 − 26x − 10y + 42 = 0
20. Dado dos puntos P1 (2, 4) y P2 (5, −3). Hallar la ecuación del lugar de los puntos P (x, y)
de manera que la diferencia de las pendientes de P P1 y P P2 sea igual a la unidad.
Sol: x2 + 3y − 16 = 0
21. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos P (7, 4) y
Q(−1, −2)
Sol: 4x + 3y − 15 = 0
22. Hallar el valor de k de forma que:
a) 3kx + 5y + k − 2 = 0 pase por el punto P (−1, 4)
b) 4x − ky − 7 = 0 tenga pendiente 3
c) kx − y = 3k − 6 intercepte al eje X en el punto P (5, 0)
23. Hallar la ecuación(es) de la(s) recta(s) de pendiente − 43 que forme(n) con los ejes
coordenados un triángulo de área 24 unidades de superficie
Sol: 3x + 4y − 24 = 0 y 3x + 4y + 24 = 0
24. Hallar la ecuación(es) de la(s) recta(s) que pasa por el punto P (4, −2) y dista(n) 2
unidades del origen
Sol: y + 2 = 0 y 4x + 3y − 10 = 0
25. Hallar la distancia d desde:
a) la recta 8x + 15y − 24 = 0 al punto P (−2, −3)
b) la recta 6x − 8y + 5 = 0 al punto P (−1, 7)
Sol: a) d = 5 y b) d = 5, 7
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DESAFÍOS
1. Calcular el área del triángulo de vértices A(−4, −1), B(3, −2) y
C(2, 1)
2. Determinar las coordenadas del pie de la perpendicular bajada desde el punto P (1, 2)
a la recta de ecuación 3x + 4y + 9 = 0.
3. Un punto P (x, y) del plano se mueve de modo tal que su distancia a la recta de ecuación
5x + 12y + 20 = 0 es igual a su distancia a la recta de ecuación 4x − 3y + 7 = 0
4. Determinar el área del paralelógramo tres de cuyos vértices son A(−2, 3), B(4, −5)
y C(−3, 1)
5. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos
puntos fijos A(c, 0) y B(−c, 0) sea igual a 2a, (2a¿2c).
6. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos
puntos fijos A(2, 3) y B(2, −3) sea igual a 8.
7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(−5, 4), sabiendo que la longitud
de su trazo comprendico entre las rectas de ecuaciones x + 2y + 1 = 0 y x + 2y − 1 = 0
es igua a 5.
8. Demostrar que por el punto A(2, 5) se pueden trazar dos rectas de manera que sus
distancias al punto B(5, 1) sean iguales a 3. Hallar las ecuaciones de ellas.
9. Los lados de un triángulo ABC yacen sobre las rectas de ecuaciones x + 5y − 7 = 0,
3x − 2y − 4 = 0 y 7x + y + 19 = 0. Calcular su área.
10. Hallar el punto Q simétrico del punto P (−5, 13) con respecto a la recta de ecuación
2x − y − 3 = 0
11. El área de un triángulo es 8. dos de sus vértices son los puntos A(1, −2) y B(2, 3)
y el tercer vértice C está sobre la recta de ecuación 2x + y − 2 = 0. Determinar las
coordenadas de C.
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