MATEMATICAS ESPECIALES I - Curso 2015 PR´ACTICA 10 1

MATEMATICAS ESPECIALES I - Curso 2015
PRÁCTICA 10
1. Demuestre las siguientes proposiciones.
(a) Una combinación lineal de funciones armónicas es una función armónica.
(b) Si las variables de una función armónica u(x, y) se someten a la transformación x = ϕ(ξ, η) e
y = ψ(ξ, η), donde ϕ y ψ son funciones armónicas conjugadas, la función transformada será armónica.
∂(u, v)
diferente de
(c) Sean u(x, y) y v(x, y) dos funciones armónicas conjugadas y sea el jacobiano J =
∂(x, y)
cero en un dominio D. Entonces, las funciones inversas x(u, v) e y(u, v) serán armónicas conjugadas
en D.
2. (a) Demostrar que para toda función u(x, y), armónica en un dominio simplemente conexo D, existe
una familia de funciones armónicas conjugadas dada por
v(x, y) =
Z
(x,y)
−
(x0 ,y0 )
∂u
∂u
dx +
dy + C,
∂y
∂x
donde C es una constante.
(b) Compruebe que u(x, y) = x2 − y 2 + x es armónica en
conjugada correspondiente.
0 ≤ |z| < ∞ y encontre la función armónica
3. Hallar la función analı́tica f (z) = u(x, y) + iv(x, y) a partir de la parte real o imaginaria dada. Expresar
a f como una función de z.
(a) u(x, y) = 2sen xsh y + x3 − 3xy 2 + y
y
(b) v(x, y) = 3 + x2 − y 2 −
2
2(x + y 2 )
4. Existe una función analı́tica f (z) = u(x, y) + iv(x, y) tal que u(x, y) = ey/x ?
5. Demostrar que si en cierto dominio, v es una función armónica conjugada de u y, a su vez, u es una
armónica conjugada de v, entonces u y v deben ser funciones constantes.
6. Será armónica la función u2 si es armónica la función u ?
7. Hallar una función v(x, y) que satisfaga la ecuación de Laplace en el recinto definido por la franja infinita
−∞ < x < ∞, a < y < b y tal que verifique
(
v(x, a) = 2
v(x, b) = 1
.
Indicación: Si z = x + iy, v(x, y) dependerá solamente de y. Luego, se propone como solución v(x, y) =
Ay + B = Im (Az + iB), con A y B constantes reales que se calculan teniendo en cuenta las condiciones
de borde.
1
8. Hallar una función armónica v(x, y) definida en el disco unitario x2 + y 2 < 1 y tal que
v(x, y) =
(
10 si x2 + y 2 = 1, y < 0
.
−10 si x2 + y 2 = 1, y > 0
Indicación: Llevar la región a un semiplano mediante el mapeo w(z) = i
1−z
. (Tansf. bilineal)
1+z
9. Hallar una función armónica v(x, y) definida en el semicı́rculo x2 + y 2 < 1, 0 < y < 1 y tal que
v(x, y) =
(
0 si x2 + y 2 = 1, y > 0
.
1 si − 1 < x < 1, y = 0
10. Hallar la expresión de la temperatura estacionaria T (x, y) en la región exterior de un cilindro cuya sección
transversal es x2 + (y − 1)2 = 1 de modo que verifique:
T (x, y) =
(
50 si x2 + (y − 1)2 = 1
.
0 si y = 0
Indicación: Llevar la región a una franja horizontal infinita usando el mapeo w(z) =
2
1
.
z