UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

UNIDAD 1
PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE
Propósitos. Explorar diversos problemas que involucren procesos infinitos a través de la manipulación
tabular, gráfica y simbólica para propiciar un acercamiento al concepto de límite.
En la Unidad siguiente, pretendemos que:
• Resuelvas problemas de diversos contextos que involucran en su solución, procesos infinitos.
• Utilices las representaciones gráfica, tabular y algebraica de un proceso infinito para analizar su
comportamiento en cuanto a: cómo cambia la variable, qué comportamiento sigue, cuáles son los valores
siguientes, qué tan parecidos son y a la larga, cómo son éstos.
• Utiliza procedimientos aritméticos para resolver problemas que involucran procesos infinitos.
• Reconoce características de los procesos infinitos utilizando diversas representaciones: material concreto,
diagramas, gráficas, tablas o explicaciones verbales.
• Reconoce un proceso como una acción que produce un resultado, este proceso será infinito cuando se
pueda producir siempre un resultado más.
• Distingue un proceso infinito de uno que no lo sea.
• Resuelve problemas de diversos contextos que involucran en su solución, procesos infinitos.
 INTRODUCCIÓN.
En esta primera unidad centraremos nuestra atención en el concepto de límite, para lo cual iniciaremos
con el estudio de los procesos infinitos, su tendencia, estabilización, reconocimiento de patrones,
predicción de comportamientos y resultados, mediante el tratamiento tabular, gráfico y algebraico. Los
ejemplos y situaciones que trataremos de los procesos infinitos nos servirán para ir construyendo el
concepto de límite, así como la compresión y manejo de su notación.
Iniciemos recordando la manera en que podíamos expresar un número racional en su forma
decimal, por ejemplo nos hacían realizar ejercicios como los siguientes;
Escribe en su forma decimal los números racionales
1 15 2
, ,
2 75 25
al efectuar la división respectiva, los resultados son:
1
= 0.5,
2
15
= 0.2,
75
2
= 0.08
25
En estos casos la expresión decimal es finita, se termina, pero cuando nos planteaban la misma pregunta
para números racionales como;
1 5 7
, ,
3 14 81
los resultados nos sorprendían ya que no podíamos terminar la división, la expresión decimal, no se
termina, la división continuaba y en algún momento decíamos, hasta aquí, pero observamos algo que es
muy importante, en el proceso de dividir, a partir de cierto número de dígitos, estos se volvían a repetir,
encontrábamos lo siguiente:
!
!
= 0.3333333 ⋯
2
!
!"
!
!"
= 0.357142857142857142 ⋯
= 0.0864197530864 ⋯
En el primer caso, aparecía el número 3 indefinidamente, en el segundo aparece todo un bloque
de decimales que se repiten, en este caso el bloque es: 714285, lo mismo ocurre en el tercer caso.
Decimos que estos números tienen una expansión decimal infinita.
Con el fin de ir creando un lenguaje común, hagamos las definiciones siguientes:
Definiciones:
a) Un proceso es una acción que produce un resultado.
b) Un proceso es infinito si cada vez que se realiza la acción se puede realizar otra.
c) Un proceso es finito si en algún momento la acción termina.
Por ejemplo, se tiene un número entero positivo, digamos 1, le aplicamos la acción de sumar
otro uno.
1,
1 + 1 = 2,
2 + 1 = 3,
3 + 1 = 4, ⋯ Como a la acción sumarle uno se puede seguir realizando, este proceso será infinito, también
cada resultado de la suma es diferente a las sumas anteriores, por lo que el conjunto resultante es
infinito1.
Claro que también se tiene un proceso infinito cuando tenemos la suma de cero,
4 + 0 = 4,
4 + 0 = 4,
4 + 0 = 4,
4 + 0 = 4, ⋯ . lo cual obviamente es igual a 4 en cada acción. Este proceso tiene como diferencia con respecto al
anterior, que cada nueva suma que se realiza no modifica el resultado, en este caso el conjunto
resultante, no es infinito.
Existen otros números cuyas representaciones decimales también son infinitas, como 2, y que
!
se pueden también representar como el resultado de un proceso infinito. Recordarás que y 2 tienen
!
una diferencia fundamental cuando se hace su desarrollo decimal. ¿Recuerdas cuál es esa diferencia?
Ahora, te invitamos a realizar cuidadosamente cada una de las actividades siguientes. Te
recomendamos que después de hacerlas, o bien mientras la efectúas, intercambies puntos de vista con
tus compañeros, y corroboren sus resultados.
 PROCESOS INFINITOS.
Ejemplo 1. Considera el proceso siguiente en el cual se muestran las primeras cuatro acciones a las que
le llamaremos pasos. Determina si es infinito o no.
5, 5 5, 5 5 5 ,
1
5 5 5 5 ,...
No se debe de confundir, proceso infinito con conjunto infinito. Un conjunto infinito es aquel que se le
puede asociar una biyección entre él y un subconjunto propio, nota de redacción.
3
Solución. En el primer paso debemos calcular la raíz de cinco, es decir,
5~2.236067977
(aproximación a 9 dígitos). En la segunda acción debemos calcular 5 5~3.343701525 cuya
aproximación a 9 dígitos es; 3.343701525, a cada nueva acción se le multiplica por cinco y se vuelve a
extraer la raíz cuadrada, como se puede hacer la acción siguiente, este proceso es infinito.
Ejemplo 2. Evalúa la función 𝑎 𝑛 = 𝑛! para sus primeros ocho valores, con 𝑛 un número natural.
Escribamos los primeros ocho valores de la función y resumamos los resultados en la tabla siguiente a
los que llamaremos términos de la función.
1
1
𝑛
𝑎(𝑛)
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
El ejercicio nos indica que debemos evaluar a la función en sus primeros ocho valores, la acción
termina al evaluar a la función para 𝑛 = 8, por lo que el proceso es finito.
En la literatura matemática a las funciones que tienen como dominio a los números naturales se
les llama sucesiones y se expresan con las letras iniciales del alfabeto, como; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ⋯ su notación
funcional como 𝑎! en lugar de 𝑎(𝑛), así en el ejemplo anterior, tendríamos como primer término
𝑎 1 = 𝑎! = 1, como segundo término 𝑎 2 = 𝑎! = 4 y así sucesivamente.
 ACTIVIDADES.
Actividad 1.
Considera un segmento de longitud uno. El proceso consiste en considerar la mitad del segmento como
primer paso y después la mitad del segmento restante, como segundo paso, así sucesivamente se toma
la mitad de lo que va quedando. ¿Si suponemos que siempre le es posible tomar la mitad siguiente,
tomaremos en algún momento todo el segmento?
1. Traza un dibujo que represente lo que va ocurriendo.
2. Después del primer paso ¿cuánto camino ha recorrido? ___________________________________
3. ¿Cuánto recorrió en el segundo paso? _________________________________________________
4. ¿Cuánto lleva recorrido en el segundo paso?____________________________________________
5. Para continuar con el proceso y analizar lo que ocurre, completa la tabla siguiente:
Número de
paso (𝑛)
1
2
3
4
5
Longitud del segmento
tomado (𝑎! )
1
2
Longitud total del segmento tomado (𝑆! )
1 1 3
+ = = 0.75
2 4 4
4
6
7
8
6. Generaliza y obtén una fórmula para 𝑎! ._________________________________
7. Ahora, con el fin de obtener la fórmula para 𝑆! te sugerimos que completes las sumas, observa el
resultado:
!
!
!
!
!
!!
𝑆! = , 𝑆! = +
!
!
!
!!
𝑆! = +
+
!
!!
+
!
!!
+
!
!
!
!
!
!!
= , 𝑆! = +
!
!!
+
!
!!
!
!
!
!
!
!!
= , 𝑆! = +
+
!
!!
+
!
!!
=
!"
!"
=_________, 𝑆! = ____________________________ ⋯
𝑆! = __________________________________________
Cuando obtengas el último resultado, verifica la fórmula para los valores de 𝑛 que encontraste en la
tabla.
8. ¿Si fuera posible que pudieras tomar siempre la mitad siguiente, llegaría a recorrer la unidad?
_____________________________.
! ! !
Como observaste, la longitud del camino recorrido en cada salto está dada por los números: . , , ⋯,
! ! !
!
en donde los denominadores son potencias de 2, por lo que en el enésimo salto recorre la distancia
!
!
!
!
!
!
!
!
!"
Los términos: 𝑎! = , 𝑎! = , 𝑎! = , 𝑎! =
representar como:
!!
!!
.
, ⋯, forman una sucesión infinita, la cual se puede
o bien 𝑎! .
Además de la tabla, podemos hacer una representación gráfica en un plano cartesiano, colocando en
el eje de las abscisas los valores de la variable 𝑛 y en el de las ordenadas los de 𝑎! .
9. En la siguiente gráfica coloca todos los puntos que te sea posible realizando las tabulaciones que te
falten.
1
𝑎!
0.8
0.6
0,4
0.2
𝑛 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
5
10. Tanto en el registro tabular como en el gráfico se puede observar qué ocurre con
!
!
!!
conforme 𝑛 se
hace cada vez más grande. ¿Si 𝑛 se va haciendo cada vez más y más grande, ! se va acercando
!
más y más a algún valor?___________, en caso afirmativo ¿a qué valor?________________ ¿Si
llamamos 𝐿 a ese valor y tomamos valores de 𝑛 todavía mayores que los anteriores, la diferencia
!
!
entre ! y 𝐿 se hace cada vez menor?______________, o dicho de otra forma, ¿ ! − L se va
!
!
acercando cada vez más a cero? __________________ ¿Siempre que hacemos lo anterior ocurre lo
mismo?__________________
11. Retoma los valores que encontraste de 𝑆! y calcula otros para graficar la mayor cantidad de puntos
que puedas en el siguiente sistema de coordenadas:
1
𝑆!
0.8
0.6
0,4
0.2
𝑛 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
12. También en este caso, tanto en el registro tabular como en el gráfico se puede observar qué ocurre
con 𝑆! conforme 𝑛 se hace cada vez más grande. ¿Si 𝑛 se va haciendo cada vez más y más grande
𝑆! se va acercando más y más a algún valor?____________, ¿a qué valor?___________ ¿Si
llamamos 𝐿 a ese valor y tomamos valores de 𝑛 todavía mayores que los anteriores, la diferencia
entre 𝑆! y 𝐿 se hace cada vez menor, o dicho de otra forma, 𝑆! − 𝐿 se va acercando cada vez
más a cero? ________ ¿Siempre que hacemos lo anterior ocurre lo mismo?____________ . Por todo
lo ello, ¿a qué es igual lim Sn ?_________________.
n→∞
Actividad 2. Los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado 1, se unen para formar un cuadrado
nuevo. Este procedimiento se repite para cada nuevo cuadrado (se muestran los primeros tres pasos).
Calcula la suma de las áreas de los triángulos sombreados.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
6
Solución: Denotaremos por 𝑎! el área de cada triángulo en cada paso, y por 𝑆! el área total sombreada,
hagamos un resumen en la tabla siguiente.
Área de cada
triangulo 𝑎!
1
8
1
32
1
128
Paso
1
2
3
Área total sombreada 𝑆!
1
1
=
8
2
1
1
1 1
+4
= +
2
32
2 8
1
1
1
1 1
1
+4
+4
= + +
2
32
128
2 8 32
4
1. Realiza los pasos 4 a 6.
Área de cada
triangulo 𝑎!
Paso
Área total sombreada 𝑆!
4
5
6
Podemos observar que:
3
5
7
1 !1$
1 !1$
1 !1$
=# & ,
=# & ,
=# & , 
8 " 2 % 32 " 2 % 128 " 2 %
La variable 𝑎! , área de cada triángulo, es cada vez más pequeña, decrece en
área 𝑎! se aproxima a cero, en símbolos
! !
!
en cada paso, así el
lim an = 0
n→∞
2. Por otra parte la suma de las áreas 𝑆! se hace cada vez más grande. Conjetura un valor al que se
esta acercando la suma 𝑆! _____________________
para calcular la suma de manera exacta, procedamos de la manera siguiente:
3
5
!1$ !1$ !1$
!1$
Sn = # & + # & + # & ++ # &
"2% "2% "2%
"2%
2
!1$
# & Sn =
"2%
2
3
5
2n−1
!1$ !1$
!1$
# & + # & ++ # &
"2% "2%
"2%
"1%
"1% "1%
Sn − $ ' Sn = $ ' − $ '
#2&
#2& #2&
2n−1
2n+1
2
Como
Tenemos
"1%
3
Sn − $ ' Sn = Sn
#2&
4
3
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
Sn = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
4
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
!1$
"2%
2
Multiplicamos por # & a S n
2 n +1
!1$
+ # &
"2%
2n+1
Restamos
7
En este caso −1 < r =
1
< 1,
2
#1&
lim % (
n→∞ $ 2 '
2n+1
=0
!
De esta manera, 𝑆! se aproxima a .
!
El procedimiento llevado a cabo en este ejercicio (para obtener el valor del límite de 𝑆! ) es típico
para las series geométricas, primero se obtiene su suma en términos de 𝑛 y posteriormente se calcula su
límite.
En los ejemplos que hemos ilustrado, se han realizado sumas de áreas en un proceso infinito,
estas sumas, reciben el nombre de sumas parciales, y en general, cuando se tiene una sucesión 𝑎! , se
van formando las sumas parciales de ella, de la manera siguiente:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
.
.
.
Sn = a1 + a2 + a3 ++ an
Observa que las sumas parciales, forman a su vez una nueva sucesión, al límite de esta
sucesión (en caso de existir), se le conoce con el nombre de serie. Esta observación nos permite hacer la
definición siguiente:
Definición: La serie infinita
𝑎! + 𝑎! + 𝑎! + ⋯ + 𝑎! + ⋯
Se dice que tiene una suma 𝑆, si los términos de su sucesión de sumas parciales
𝑆! , 𝑆! , 𝑆! , ⋯ , 𝑆! , ⋯
Se acercan arbitrariamente a 𝑆 conforme el valor de 𝑛 crece indefinidamente.
El método que utilizamos para calcular las sumas de las áreas de los cuadrados se ilustra con la
conocida serie geométrica, a saber, a + ar + ar 2 + ar 3 + consideremos su suma parcial 𝑆! que en
este caso es:
Sn = a + ar + ar 2 + ar 3 ++ ar n
Multiplicando por 𝑟
rSn =
ar + ar 2 + ar 3 ++ ar n + ar n+1
Las restamos
(1− r)Sn = a − ar n+1 = a(1− r n+1 )
De esta manera
a(1− r n+1 )
Sn =
1− r
siempre que 𝑟 ≠ 1
8
a(1− r n+1 )
a
=
1− r
1− r
n→∞
a + ar + ar 2 + ar 3 + = lim Sn = lim
n→∞
el límite es cierta siempre que 𝑟 < 1.
Actividad 3. Considera a la sucesión 𝑎! = 1, 𝑎! = −1, 𝑎! = 1, 𝑎! = −1, ⋯ , 𝑎! = −1
!!!
, ⋯. a) Traza una gráfica donde representes a la sucesión.
𝑎!
1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
𝑛 - 0,5
-1
b) Determina si 𝑎! es una sucesión convergente, si lo es calcula su límite.
Actividad 4. En un triángulo equilátero de área 𝐴 se unen los puntos medios de sus lados para formar 4
triángulos equiláteros, de los cuales el del centro se pinta de negro. Luego con cada uno de los triángulos
restantes se hace lo mismo. Dicho proceso se repite indefinidamente. Encuentra el área sombreada al
final de cada paso (A este triángulo se le conoce como el triángulo de Sierpinski, más famoso aún que su
carpeta).
a) Completa la tabla procurando escribir los
resultados indicando las operaciones sin
efectuarlas y también efectuándolas.
b) Encuentra en el paso 𝑛 del proceso las
expresiones generales para calcular el área de
los triángulos.
c) Traza una gráfica del número de paso contra el
área de todos los triángulos sombreados.
d) ¿Cuando 𝑛 se va haciendo más y más grande
el área de los triángulos sombreados se va
aproximando a algún resultado?
e) ¿Cuando 𝑛 → ∞, a qué tiende el área total? Justifica tu respuesta.
Paso
𝑛
1
2
Área de cada
triángulo
𝑎!
Número de
Triángulos
𝑝!
Área de los nuevos
Triángulos formados
𝑇!
Área de todos los
triángulos sombreados: 𝑆!
9
3
4
5
6
7
8

𝑛

𝑛→∞
Actividad 5. Como en el problema anterior, considera un triángulo equilátero de área 𝐴 y une los puntos
medios de sus lados para formar otro triángulo el cual se pinta de negro. Luego considera sólo uno de los
triángulos restantes y haz lo mismo que en la actividad anterior. Dicho proceso se repite indefinidamente.
Encuentra el área total sombreada al final de cada paso.
a) Completa la tabla procurando escribir los
resultados indicando las operaciones sin
efectuarlas y también efectuándolas.
b) Encuentra en el paso 𝑛 las expresiones
generales que representen el proceso.
c) Traza una gráfica del número de paso contra
el área de todos los triángulos sombreados.
d) ¿Cuando n se va haciendo más y más grande
el área de todos los triángulos sombreados se
va aproximando a algún número?
e) ¿Cuando 𝑛 → ∞, a qué tiende el área total?
Paso
𝑛
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Área del triángulo
sombreado: 𝑎! .
Área de todos los triángulos sombreados 𝑆!
𝑛

𝑛→∞
Actividad 6. Considera el siguiente proceso en el cual se muestran los primeros cuatro pasos:
5, 5 5, 5 5 5 ,
5 5 5 5 , ...
a) Completa la tabla procurando escribir en cada paso la expresión utilizando exponentes.
b) Encuentra en el paso 𝑛 la expresión general utilizando exponentes.
c) Traza una gráfica del número de paso contra el resultado obtenido en tu calculadora.
10
d) ¿Cuando 𝑛 se va haciendo más y más grande el resultado de la expresión se va aproximando a
algún valor?
e) ¿Cuando 𝑛 → ∞, el resultado de la expresión a qué valor tiende?
Paso
𝑛
1
2
3
Expresión
𝑎!
5
5 5
5 5 5
4
5 5 5 5
5
6
7
8
9
10

𝑛

𝑛→∞
Expresión escrita con
exponentes
Resultado con ayuda de la calculadora
11
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
ESCUELA NACIONAL
HUMANIDADES
COLEGIO
DE
CIENCIAS
Y
HAY QUE TRABAJAR BIEN LA PRIMERA VEZ. . .
DOBLE. Suzanne Cane
PARA NO TRABAJAR
PROCESOS INFINITOS.
En los siguientes problemas, es importante que contestes a las preguntas que a
continuación se enlistan
•
•
•
•
•
•
•
Variación.
Predicción.
Comparación.
Seriación.
Promediación.
Acumulación.
Estabilización.
¿Qué es y cómo cambia la variable?
¿Cuál es el estado próximo?
¿Quién es más grande?
¿Quién va primero?
¿Qué tan parecidos son?
¿Cómo cambian los cambios?
¿A la larga a qué se parece?
Problemas
1. Considera un segmento de longitud 1, como el que se muestra en la figura
0
1
Queremos expresar la longitud del segmento mediante el siguiente proceso. Primero
nos aproximamos con el número 0.9, después (segundo paso) le aumentamos 0.09,
en el tercer paso 0.009 y continuamos este proceso, ¿el número así construido, es
menor, igual o mayor a 1?
3. Una conocida leyenda sobre el inventor del ajedrez afirma que el rey de Persia
estaba complacido con el juego que ofreció un premio al inventor. El inventor dijo
que quería tanto trigo como el que pudiese poner en un tablero de ajedrez colocando
un grano en el primer cuadro, 2 granos en el segundo, 4 en el tercero, 8 en el cuarto
y así sucesivamente hasta que todos los cuadros quedaran cubiertos. El rey pensó
que era una petición extraña ¿Lo era realmente? Por ejemplo ¿cuántos granos se
deberían poner en el cuadro veinticuatro?
4. Considera un segmento de línea de longitud 1, como se muestra en la figura, se
divide este segmento en tres partes iguales (de longitud un tercio cada uno) y en el
segmento de en medio se trazan dos segmentos (igualmente de un tercio cada uno),
en cada nuevo segmento se procede de manera similar, calcula la longitud de cada
segmento y di a que longitud se aproxima el total así construido..
12
Paso inicial
Primer paso
Segundo paso
Tercer paso.
5. Un cuadrado de lado 1 se divide en 9 cuadros menores, y el cuadro central se pinta
de negro como se muestra en la figura. Cada uno de los cuadros restantes se divide,
a su vez, en 9 cuadrados y cada cuadrado intermedio se pinta de negro. Si se repite
este proceso indefinidamente ¿cuál será el área total pintada de negro?
6. Consideramos la siguiente situación del profesor Carlos, al comprar un automóvil
nuevo. Después de recoger su automóvil en la agencia, y al acudir por primera vez a
la gasolinera pide que le llenen el tanque y le pongan un litro de aditivo. La segunda
vez que acude a la gasolinera, el tanque de combustible está a la mitad y le pone
otro litro de aditivo y llena el tanque de gasolina, nuevamente. La tercera vez que
acude a la a la gasolinera hace lo mismo, al estar el tanque a la mitad le pone otro
litro de aditivo y llena el tanque. Y así sucesivamente. ¿A La larga, cuánto aditivo
va a contener el tanque de gasolina de su automóvil?