TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

Álgebra y Estructuras Discretas
Grupo B de la Ingenierı́a Técnica de Sistemas
TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.
1.
Definición de Grupo. Propiedades Básicas.
Definición 1.
Dado un conjunto no vacı́o G, una operación binaria sobre G es una aplicación de
G × G en G.
Definición 2.
Un grupo viene definido por un conjunto G y una operación binaria (representada por
∗)
G×G →
G
(g1 , g2 ) 7→ g1 ∗ g2
verificando en primer lugar la propiedad asociativa, es decir, ∀g1 , g2 , g3 ∈ G,
(1)
g1 ∗ (g2 ∗ g3 ) = (g1 ∗ g2 ) ∗ g3 .
En segundo lugar, existe un elemento e ∈ G tal que para todo g ∈ G,
(2)
g ∗ e = e ∗ g = g,
y para todo g ∈ G, existe h ∈ G verificándose
(3)
g ∗ h = h ∗ g = e.
Si además g ∗ h = h ∗ g para cualesquiera g, h ∈ G, entonces el grupo se dice que es
conmutativo (o abeliano).
El elemento e es (tal y como justificaremos en breve) único y se denomina el elemento
neutro o identidad del grupo.
Si g y h son dos elementos de un grupo verificando g ∗ h = h ∗ g = e, en tal caso h se
denomina un inverso de g. Veremos dentro de poco que cada elemento de un grupo tiene
un único inverso.
Por tanto, dado un conjunto y una operación binaria definida sobre dicho conjunto, para
que éste sea un grupo tendremos que comprobar: asociatividad, existencia de un elemento
identidad y existencia de inverso.
Proposición 3 (Unicidad del elemento identidad).
Sea (G, ∗) un grupo y sean e1 , e2 ∈ G tal que para todo g ∈ G se verifica
e1 ∗ g = g ∗ e1 = g,
e2 ∗ g = g ∗ e2 = g.
Entonces e1 = e2 .
1
2
Proposición 4 (Unicidad del inverso).
Sea (G, ∗) un grupo, e el (único) elemento identidad de G y g, h, k elementos arbitrarios
de G. Supongamos además que
g ∗ h = h ∗ g = e,
g ∗ k = k ∗ g = e.
Entonces h = k.
Por tanto todo elemento de un grupo tiene un único elemento inverso.
Proposición 5. Sea (G, ∗) un grupo, e el elemento identidad de G, y sean g, h ∈ G tales
que h ∗ g = e. Entonces g ∗ h = e, con lo cual h es el (único) inverso de g.
Al ver la demostración de esta proposición (véase el Apéndice 2), observamos que para
demostrar que h ∗ g = e ⇒ g ∗ h = e, nos hemos basado en el hecho de que g tiene un
inverso, ya que es un elemento de un grupo. Se pueden presentar situaciones más generales
(que no corresponden a la estructura de grupo), en las cuales puede ocurrir que h ∗ g = e
pero no g ∗ h = e (véase el Ejercicio 4).
Notación 6. Para cualquier elemento g de un grupo, representaremos a su único inverso
como g −1 .
Proposición 7 (Propiedades de los inversos).
Sea (G, ∗) un grupo, e su elemento identidad y g, h elementos arbitrarios de G. Entonces
−1
g −1
= g, (g ∗ h)−1 = h−1 ∗ g −1 , e−1 = e.
Cuando se refiere a operaciones binarias abstractas, se suele usar una notación multiplicativa, es decir, escribir la operación binaria del grupo usando un punto que es el sı́mbolo
usual para el producto. En tal caso, el resultado de operar dos elementos g1 y g2 se escribe
como g1 · g2 (ó simplemente g1 g2 ), en vez de g1 ∗ g2 , y el elemento neutro del grupo se
representa como 1.
Además, la propiedad asociativa nos permite escribir g1 g2 g3 en lugar de (g1 g2 )g3 ó g1 (g2 g3 ).
Si n ≥ 0, escribimos g n para representar el resultado de operar g consigo mismo n veces.
También definimos g 0 = 1 y g −n = (g −1 )n .
Ejercicio 8. Si g es un elemento de un grupo G, demostrar para todo n ≥ 0 que g −n =
(g n )−1 (sugerencia: aplicar inducción).
Ejercicio 9 (Propiedades de potencias). Sea G un grupo. Entonces para cualesquiera
g, h ∈ G y ∀m, n ∈ Z se verifica que:
g m+n = g m · g n
(g m )n = g m·n
Si g · h = h · g, entonces (g · h)m = g m · hm
Diremos por último que para algunas operaciones conmutativas como es la suma, a veces
se emplea la notación aditiva, siendo el sı́mbolo el usual “ + ” (en vez de “ · ”) y el elemento
neutro el 0. En este caso escribiremos n · g para indicar el resultado de operar g consigo
3
mismo n veces. Además se habla de elementos opuestos en vez de elementos inversos; como
es de esperar, −g es el opuesto de g. Se pueden escribir propiedades similares a las del
ejercicio anterior para esta situación.
2.
Ejemplos de Grupos.
1. El grupo trivial
Todo conjunto formado por un único elemento e es un grupo bajo la operación
definida por e · e = e. Este grupo es claramente conmutativo, la asociatividad es
trivial, e es la identidad y su propio inverso. Un grupo de esta forma diremos que
es un grupo trivial.
2. El conjunto de los números enteros
El conjunto Z de los números enteros tiene estructura de grupo con respecto de
la suma usual.
La suma es asociativa y el elemento neutro es el número cero, es decir, 0 + n =
n + 0 = n, para todo n ∈ Z. Además cada número entero n tiene un inverso aditivo
que se representa como −n. Puesto que la suma de números enteros es conmutativa,
(Z, +) es un grupo abeliano.
3. El conjunto 2Z formado por todos los números enteros pares es un grupo respecto
de la suma usual.
4. Los números reales y Rn
El conjunto R de los números reales tiene estructura de grupo conmutativo con
respecto de la suma (aunque no con respecto del producto). Similarmente, el conjunto Rn forma un grupo conmutativo con respecto de la operación
(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
y su elemento neutro es (0, . . . , 0). El opuesto de (x1 , x2 , . . . , xn ) es (−x1 , −x2 , . . . , −xn ).
5. (R∗ , ·)
El conjunto de los números reales no nulos tiene estructura de grupo abeliano
con respecto del producto usual. La identidad multiplicativa es el número 1 y cada
número real no nulo x tiene un inverso multiplicativo que se representa como x1 o
bien x−1 .
De manera similar, el conjunto C∗ de los números complejos no nulos, tiene
estructura de grupo abeliano respecto del producto usual (a + ib) · (c + id) =
(ac − bd) + i(ad + bc).
6. Las raices n-ésimas de la unidad
Dado un número natural n ≥ 1, una raı́z n-ésima de 1 es cualquier número
complejo z tal que z n = 1. Denotamos por Un el conjunto de todas las raı́ces
n-ésimas de 1. Entonces Un tiene estructura de grupo abeliano con respecto del
producto usual de números complejos.
7. (Zm , +)
El conjunto cociente de Z respecto de la congruencia módulo m, es decir, Zm =
{[0], [1], · · · , [m − 1]}, tiene estructura de grupo conmutativo con respecto de la
suma de clases. El elemento neutro es [0] y el opuesto de [x] es [−x].
4
8. El conjunto {[a] ∈ Zm | mcd{a, m} = 1} es un grupo con respecto del producto de
clases llamado el grupo de las unidades de Zm .
9. El grupo simétrico o grupo de las permutaciones
Denotamos por Sn el conjunto formado por todas las aplicaciones biyectivas del
conjunto {1, 2, . . . , n} en sı́ mismo. Entonces Sn es un grupo con respecto de la
composición de aplicaciones.
Para n = 1 resulta un grupo trivial y para n = 2 resulta un grupo de dos
elementos que es por tanto también abeliano. Sin embargo, Sn no es abeliano para
n ≥ 3. Basta considerar las aplicaciones f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 1 y g(1) =
1, g(2) = 3, g(3) = 2 y comprobar que g ◦ f 6= f ◦ g.
Sn se denomina el grupo simétrico de grado n o grupo simétrico sobre n
letras y sus elementos se denominan permutaciones del conjunto {1, 2, . . . , n}.
3.
Subgrupo de un Grupo.
Definición 10. Dado un grupo (G, ∗), un subgrupo de G es un subconjunto H of G el
cual verifica las siguientes propiedades:
1. si h1 , h2 ∈ H, entonces h1 ∗ h2 ∈ H,
2. el elemento identidad de G es un elemento de H,
3. si h ∈ H, entonces h−1 ∈ H.
Estas condiciones sobre H garantizan que H sea un grupo, con la misma operación de
G (pero restringida a H). Observar que la propiedad asociativa para H es una consecuencia de la propiedad asociativa que se verifica en G. Además el elemento neutro de H es
precisamente el elemento neutro de G.
Ejemplos 11.
Todo grupo no trivial G tiene al menos dos subgrupos: G y el subgrupo {e}. Ambos se
denominan los subgrupos triviales de G.
El conjunto de los números enteros pares es un subgrupo de (Z, +): la suma de dos
enteros pares es par, el número cero es par y el opuesto o negativo de un número par es de
nuevo par.
El subconjunto A = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 + 3x2 = 0} es un subgrupo de R2 , aunque el
subconjunto B = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 + 3x2 = 1} no lo es (¿por qué?).
La siguiente proposición da un criterio más compacto para comprobar si un subconjunto
de un grupo es un subgrupo suyo. Su demostración aparece en el Apéndice 2.
Proposición 12. Sea H un subconjunto no vacı́o de un grupo G. Entonces H es un
subgrupo de G si y sólo si x · y −1 ∈ H, para cualesquiera x, y ∈ H.
Ejemplo 13. Aplicamos la propiedad anterior para comprobar que
A = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 + 3x2 = 0}
es un subgrupo de R2 .
5
En primer lugar observamos que (0, 0) ∈ A, con lo cual A 6= ∅. Dados (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ A
hemos de probar que (a1 − b1 , a2 − b2 ) ∈ A, es decir, que (a1 − b1 ) + 3(a2 − b2 ) = 0. Pero
(a1 − b1 ) + 3(a2 − b2 ) = (a1 + 3a2 ) − (b1 + 3b2 ) = 0 − 0 = 0.
4.
Sistemas de generadores para un grupo. Grupos cı́clicos.
Sea G un grupo y X un subconjunto de G. Definimos
hXi = {x11 · x22 · · · xnn | n ∈ N, xi ∈ X, i = ±1 para cada i}
siendo hXi = {1} si X = ∅.
Se puede demostrar que hXi es un subgrupo de G, el cual se denomina el subgrupo de
G generado por el subconjunto X.
Observar que X ⊆ hXi. Además si H es un subgrupo de G tal que X ⊆ H, entonces
hXi ⊆ H. Por tal motivo se dice que hXi es el menor subgrupo de G que contiene al
subconjunto X.
De la definición anterior para hXi vemos que éste está formado por todos los productos
posibles que se pueden formar a partir de elementos o inversos de elementos pertenecientes
a X. A veces, si X = {g1 , g2 , . . .}, escribiremos también hg1 , g2 , . . .i para denotar a hXi.
Por ejemplo, son elementos de ha, bi:
1, a, a2 , a3 , . . . , a−1 , a−2 , a−3 , . . . b, b2 , b3 , . . . , b−1 , b−2 , b−3 , . . . ab, a2 b, a2 ba−3 , bab2 a−5 , etc
Por supuesto, muchos de estos elementos pueden ser iguales.
Ejemplos 14.
1. El subgrupo de (C∗ , ·) generado por X = {i} es {±1, ±i}.
2. El subgrupo de Z formado por todos los números pares está generado por el subconjunto {2}.
3. El subconjunto X = {12, −8} de Z genera el subgrupo formado por todos los
números enteros múltiplos de 4. En este caso hXi = {n1 ·12+n2 ·(−8) | n1 , n2 ∈ Z}.
Pero los números de la forma n1 · 12 + n2 · (−8) son exactamente los múltiplos de
4 ya que 4 = mcd{12, −8}.
Definición 15. Dado un grupo G y un subconjunto X de G, decimos que X es un sistema
de generadores para G, si hXi = G.
Por supuesto un grupo puede tener diversos sistemas de generadores.
Definición 16. Un grupo G se denomina cı́clico si existe un elemento g ∈ G tal que
G = hgi, es decir, G = {g n | n ∈ Z}. En notación aditiva se escribe G = {n · g | n ∈ Z}.
Por tanto un grupo cı́clico es aquel que se puede generar usando un único elemento. Un
grupo cı́clico puede tener distintos generadores posibles. Por ejemplo, si G = hgi entonces
también G = hg −1 i. Además es inmediato que todo grupo cı́clico es conmutativo.
Ejemplos 17.
El grupo (Z, +) es un grupo cı́clico, pues Z = h1i.
También son cı́clicos los grupos de la forma (Zm , +), pues Zm = h1i.
El grupo (Q∗ , ·) no es cı́clico (¿por qué?).
6
Definición 18. Para un grupo G y un elemento h ∈ G, se define el orden de h en G
como el menor entero positivo n tal que hn = 1, y se denota por |h|. En tal caso decimos
que h es un elemento de orden n. Si ninguna potencia positiva de h es igual al elemento
identidad, entonces el orden de h se define como ∞ y decimos que h tiene orden infinito.
Observar que el orden de un elemento es el cardinal del subgrupo cı́clico que genera
dicho elemento.
Ejemplos 19.
1. Un elemento de un grupo tiene orden 1 si y sólo si es el elemento identidad.
2. En los grupos aditivos Z, Q, R ó C, cualquier elemento no nulo tiene orden infinito.
3. En el grupo (C∗ , ·) el elemento i tiene orden 4.
4. En el grupo (Z9 , +) el elemento h = 6 tiene orden 3, ya que h 6= 0, 2 · h = 3 6= 0,
pero 3 · h = 18 = 0.
5.
Homomorfismos e Isomorfismos de Grupos.
Definición 20. Sean (G, ∗) y (H, •) dos grupos. Una aplicación f : G → H se denomina
un homomorfismo de grupos si
f (a ∗ b) = f (a) • f (b)
para cualesquiera a, b ∈ G. Si además f es biyectiva, entonces se dice que f es un isomorfismo de grupos. Un isomorfismo de un grupo G en él mismo se dice que es un
automorfismo de G.
Si existe un isomorfismo f de G en H, entonces se demuestra facilmente que f −1 es un
isomorfismo de H en G, por lo que se dice que G y H son grupos isomorfos, y se escribe
G ∼
= H. El hecho de que dos grupos sean isomorfos nos indica que a efectos prácticos
podemos considerarlos como el mismo grupo.
Los homomorfismos de grupos verifican las siguientes propiedades:
Proposición 21. Sean G y H dos grupos, e1 el elemento identidad de G y e2 el elemento
identidad de H. Si f : G → H es un homomorfismo, entonces f (e1 ) = e2 y f (a−1 ) =
f (a)−1 para todo a ∈ G.
La demostración se propone como ejercicio.
Con la notación de la proposición anterior, se define el núcleo de f como el conjunto
N (f ) = {a ∈ G | f (a) = e2 }.
Se demuestra facilmente que N (f ) es un subgrupo de G. Además el conjunto imagen
Im(f ) es un subgrupo de H.
Ejemplos 22.
Dados dos grupos G y H, siempre es posible definir el homomorfismo trivial de G en H:
f (x) = eH para todo x ∈ G. El núcleo de este homomorfismo es todo G y la imagen es el
subgrupo trivial de H.
7
Para cualquier grupo G, la aplicación identidad sobre G es un automorfismo de G, cuyo
núcleo es {e} y cuya imagen es G.
Para G = H = Z, definimos f (n) = 2n. Esta aplicación es un homomorfismo de Z en Z,
pero no es un automorfismo. El núcleo es {0} y la imagen es 2Z, es decir, el conjunto de
todos los enteros múltiplos de 2.
La aplicación proyección p : Z → Zm , p(x) = [x], es un homomorfismo sobreyectivo de
grupos.
La aplicación f (x) = log(x) es un isomorfismo del grupo (R+ , ·) en el grupo (R, +), ya
que aparte de ser biyectiva se verifica que log(x1 · x2 ) = log(x1 ) + log(x2 ) para cualesquiera
x 1 , x2 ∈ R + .
6.
Grupos Simétricos
En esta sección estudiamos con más detalle los grupos simétricos. Dado un conjunto X
no vacı́o, definimos el conjunto SX de todas las aplicaciones biyectivas de X en X. Bajo la
operación “composición de aplicaciones”, SX es un grupo ya que
la composición de dos aplicaciones biyectivas es una aplicación biyectiva,
se verifica la propiedad asociativa para la composición de aplicaciones, y en particular cuando éstas son biyectivas,
la aplicación identidad en X, representada como 1X , es biyectiva por lo cual pertenece a SX ,
y por último toda aplicación biyectiva tiene una inversa (la cual también es biyectiva).
Los elementos de SX se llaman permutaciones del conjunto X, y SX se denomina el
grupo simétrico o grupo de las permutaciones sobre X. Para σ ∈ SX y x ∈ X,
decimos que x es un punto fijo para σ si se verifica que σ(x) = x; en caso contrario
decimos que σ mueve a x. En esta sección estudiamos el caso en el que X = {1, 2, . . . , n},
escribiendo Sn en vez de SX .
Sn es el grupo simétrico de grado n o grupo simétrico sobre n letras.
En primer lugar consideramos distintas representaciones para los elementos de Sn . Una
primera forma consiste en representar las permutaciones σ ∈ Sn como
1
2
...
n−1
n
σ=
σ(1) σ(2) . . . σ(n − 1) σ(n)
1 2 3 4
Ası́ por ejemplo, σ =
es el elemento de S4 que verifica
2 3 1 4
Observar que σ −1
σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1, σ(4) = 4.
1 2 3 4
=
.
3 1 2 4
8
Si δ =
1 2 3 4
es otro elemento de S4 , entonces
4 3 2 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
δ◦σ =
◦
=
.
4 3 2 1
2 3 1 4
3 2 4 1
Existe otra notación usual para representar a los elementos de Sn . Suponganos que
Y = {i1 , i2 , . . . , ir } ⊆ X; entonces escribimos (i1 , i2 , . . . , ir ) para denotar la aplicación
σ ∈ Sn que verifica σ(i1 ) = i2 , σ(i2 ) = i3 , . . . , σ(ir−1 ) = ir , σ(ir ) = i1 y σ(x) = x cuando
x ∈ X − Y . La permutación σ ası́ definida se denomina un ciclo de longitud r o un
r-ciclo. Una transposición es un ciclo de longitud 2.
1 2 3 4
Ejemplo 23. La permutación σ =
es un 3-ciclo, exactamente, σ =
3 2 4 1
(1, 3, 4). Un mismo ciclo se puede representar de diferentes formas; por ejemplo, σ = (3, 4, 1)
o bien σ = (4, 1, 3). Observar además que σ −1 = (4, 3, 1), es decir, la permutación inversa
se obtiene escribiendo la lista de elementos en orden inverso.
Si τ = (1, 2) es una transposición, entonces τ = (2, 1) = τ −1 ; por tanto toda transposición
τ es igual a su inversa, es decir τ 2 = 1.
Ejemplo 24. Sean las permutaciones α = (3, 1, 4)(5, 2, 1, 7) y β = (1, 5)(2, 6, 7, 5, 3)(2, 7, 8).
Entonces β ◦ α = (1, 8, 6, 7, 3, 5)(2, 4) y α ◦ β = (1, 2, 7, 8, 6, 5)(3, 4).
Se dice que dos permutaciones σ, δ ∈ Sn son disjuntas, si para todo x ∈ {1, 2, . . . , n}
se verifican las condiciones siguientes:
si σ(x) 6= x, entonces δ(x) = x,
si δ(x) 6= x, entonces σ(x) = x.
Es decir, σ y δ nuncan mueven a un mismo elemento. En particular, los ciclos σ =
(i1 , i2 , . . . , ir ) y δ = (j1 , j2 , . . . , js ) son disjuntos si y sólo si {i1 , i2 , . . . , ir }∩{j1 , j2 , . . . , js } =
∅. Recordemos del Ejemplo 9 que el grupo simétrico Sn no es conmutativo para n ≥ 3.
Sin embargo podemos enunciar la siguiente propiedad cuya demostración es trivial y la
dejamos propuesta como un ejercicio:
Proposición 25. Dos permutaciones disjuntas conmutan entre sı́. Es decir, si σ y δ son
permutaciones disjuntas, entonces δ ◦ σ = σ ◦ δ.
Los ciclos son unas permutaciones a partir de las cuales se pueden construir todas las
demás:
Proposición 26. Todo elemento de Sn se puede escribir como producto de ciclos disjuntos.
Además dicha representación es única salvo el orden en el que aparecen escritos los ciclos.
La demostración se puede realizar por inducción sobre el número de puntos del conjunto
{1, 2, . . . , n} que no quedan fijos por la permutación dada (esta proposición también se
puede enunciar diciendo que el conjunto de todos los ciclos forma un sistema de generadores
para el grupo Sn ).
9
Ejemplo 27. Dada la permutación
1 2 3 4 5 6 7 8 9
σ=
,
6 2 1 9 8 3 7 5 4
al descomponerla en producto de ciclos disjuntos obtenemos σ = (1, 6, 3)(2)(4, 9)(5, 8)(7).
Los ciclos de longitud 1 suelen omitirse, sobreentendiéndose que los números que no
aparecen en ninguna lista corresponden a ciclos de longitud 1. Ası́, es usual escribir
σ = (1, 6, 3)(4, 9)(5, 8)
Ejemplo 28. Consideremos el ciclo σ = (5, 2, 3, 1). Entonces σ 2 = (5, 3)(2, 1), σ 3 =
(5, 1, 3, 2) y σ 4 = 1. Ésto significa que el orden de σ es igual a 4, es decir, la longitud
del ciclo.
Proposición 29. El orden de un ciclo de longitud r es igual a r. Más generalmente, el
orden de una permutación σ es igual al mı́nimo común múltiplo de las longitudes de los
ciclos disjuntos en los que se descompone σ.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ejemplo 30. Calcular el orden de la permutación σ =
6 9 4 1 8 3 5 7 2
Tenemos que σ = (1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7) es la descomposición en producto de ciclos
disjuntos para σ. Según la proposición anterior el orden de σ será igual a mcm{4, 2, 3} = 12.
Ejemplo 31. Para la permutación del ejemplo anterior, calcular σ 1000 .
Puesto que el orden era 12, dividimos 1000 entre 12 y obtenemos 1000 = 12 · 83
4, con lo cual σ 1000 = σ 12·83+4 = (σ 12 )83 ◦ σ 4 = σ 4 . Como también sabı́amos que σ
(1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7) y los ciclos disjuntos conmutan entre sı́, obtenemos que σ 1000 = σ 4
((1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7))4 = (1, 6, 3, 4)4 ◦ (2, 9)4 ◦ (5, 8, 7)4 = 1 ◦ 1 ◦ (5, 8, 7)4 = (5, 8, 7)1
(5, 8, 7).
+
=
=
=
Proposición 32. Todo ciclo puede descomponerse como producto de transposiciones.
Demostración. Basta comprobar la igualdad siguiente
(i1 , i2 , i3 , . . . , ir−1 , ir ) = (i1 , ir )(i1 , ir−1 ) · · · (i1 , i3 )(i1 , i2 ),
recordando que la composición de aplicaciones se evalúa de derecha a izquierda.
Como una consecuencia de las proposiciones 26 y 32 obtenemos el siguiente corolario:
Corolario 33. Toda permutación se puede escribir como un producto de transposiciones.
Notamos que la descomposición a la que se refiere el corolario anterior ya no es única.
Basta observar que 1 = (1, 2)(1, 2), con lo cual, si σ = (3, 6)(1, 3)(2, 5), entonces también
es correcto escribir σ = (3, 6)(1, 3)(2, 5)(1, 2)(1, 2), o bien σ = (1, 2)(1, 2)(3, 6)(1, 3)(2, 5),
entre otras posibilidades (también podemos enunciar este corolario diciendo que el conjunto
de todas las transposiciones es un sistema de generadores para el grupo simétrico).
10
7.
Paridad de una permutación.
Acabamos de ver que toda permutación se puede escribir como un producto de transposiciones, aunque esta descomposición no es única. Sin embargo existe una propiedad que
se mantiene en todas las descomposiciones posibles como producto de transposiciones para
una permutación dada.
Definición 34. Decimos que una permutación σ ∈ Sn es par, si σ se puede escribir
como producto de un número par de transposiciones. De igual forma, decimos que σ ∈ Sn
es impar, si σ se puede escribir como producto de un número impar de transposiciones.
Cabe preguntarse: ¿existen permutaciones que sean simultaneamente pares e impares?
Veremos a continuación que ello no es posible. Antes intoducimos los siguientes elementos:
Sea el polinomio f = (x1 − x2 )(x1 − x3 ) · · · (x1 − xn ) · (x2 − x3 ) · · · (x2 − xn ) · · · (xn−1 − xn )
en las indeterminadas x1 , x2 , . . . , xn , es decir,
Y
(xi − xj ).
f=
1≤i<j≤n
Para una permutación σ ∈ Sn , definimos
Y
σ(f ) =
(xσ(i) − xσ(j) ).
1≤i<j≤n
Lema 35. Si τ es una transposición, entonces τ (f ) = −f .
Proposición 36. Si α ∈ Sn , entonces α no puede ser simultaneamente par e impar.
Demostración.
Si α se escribe como producto de n transposiciones, entonces α(f ) = (−1)n · f . Pero
este resultado es independiente del modo de representar a α, ya que sólo depende de la
permutación α. Por tanto, si además α se escribe como el producto de m transposiciones,
entonces α(f ) = (−1)m · f , con lo cual (−1)n · f = (−1)m · f , es decir, (−1)n = (−1)m ,
y por tanto m y n deben ser ambos pares o ambos impares. En conclusión α será par o
impar, pero no ambas cosas.
Se define la aplicación signatura sgn : Sn → {1, −1} como
+1 si α es par,
sgn(α) =
−1 si α es impar.
Diremos que el valor sgn(α) es la signatura de la permutación α.
Dada una permutación α, para saber si es par o impar, y por tanto para calcular su
signatura, no es necesario descomponer α en producto de transposiciones; basta escribirla
como producto de ciclos disjuntos y sumar cada longitud menos 1 por cada uno de los
ciclos resultantes.
Observar que la aplicación identidad 1 es par, ya que admite la descomposición 1 =
(1, 2)(1, 2). Por supuesto toda transposición es impar. Observamos que pueden haber permutaciones pares (similarmente impares) cuyo orden sea un número impar o bien un número par.
11
Ejemplo 37. Para la permutación σ = (1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7) del Ejemplo 30, el número
de transposiciones resultantes es igual a 3 + 1 + 2 = 6, con lo cual σ es una permutación
par y sgn(σ) = +1.
8.
Ejercicios.
1. En el conjunto R − {1} se considera la operación x ∗ y = x + y − xy. Demostrar que
(R − {1}, ∗) es un grupo conmutativo.
2. En R∗ × R definimos la operación (u, v) ∗ (x, y) = (u · x, v · x + y). Probar que
(R∗ × R, ∗) es un grupo no conmutativo.
3. Probar las propiedades de los inversos en la Proposición 7.
4. Consideremos el conjunto N= {0, 1, 2, · · · } de los números naturales y el conjunto
F de todas las aplicaciones de N en sı́ mismo con la operación “composición de
aplicaciones”.
Dar un ejemplo de dos aplicaciones f, g ∈ F tales que f ◦ g = 1N , pero g ◦ f 6= 1N .
Comparar este resultado con el enunciado de la Proposición 5.
5. Dados dos grupos (G, ⊕) y (H, ~), consideramos el conjunto G × H producto cartesiano de G y H, es decir, el conjunto formado por todas las parejas ordenadas
(g, h) con g ∈ G, h ∈ H. Definimos una nueva operación ⊗ sobre G × H:
(g1 , h1 ) ⊗ (g2 , h2 ) = (g1 ⊕ g2 , h1 ~ h2 ).
6.
7.
8.
9.
Comprobar que el conjunto G × H tiene estructura de grupo con respecto de esta
operación, siendo el elemento identidad la pareja (e1 , e2 ), con e1 el elemento identidad para G, y e2 el elemento identidad para H. Al grupo G × H ası́ construido
se le denomina el producto directo de G y H.
Probar que si G es un grupo tal que x2 = 1 para todo x ∈ G, entonces G es abeliano.
Dado un número entero k ≥ 0, definimos kZ = {k · x | x ∈ Z}. Probar que todos
los subgrupos de (Z, +) son de la forma kZ, con k ∈ N.
Sea H un subconjunto finito y no vacı́o de un grupo G, verificando que si x, y ∈ H
entonces x · y ∈ H (es decir, H es cerrado con respecto de la operación de G).
Probar que H es un subgrupo de G.
En los distintos apartados (a)-(i), se da un grupo G y un subconjunto H de G. En
cada caso, estudiar si H es o no es un subgrupo de G:
(a) G = (Z, +), H = {enteros impares}
(b) G = (Z, +), H = {enteros múltiplos de 3}
(c) G = (Z∗11 , ·), H = {1, 5, 7}
(d) G = (Z9 , +), H = {0, 2, 4, 6, 8}
(e) G = (Z21 , +), H = {0, 7, 14}
(f) G = (R∗ , ·), H = R+
(g) G = (Z∗13 , ·), H = {1, 5, 8, 12}
(h) G = S8 , H = {σ ∈ S8 | σ(4) = 4}
(i) G = S8 , H = {σ ∈ S8 | σ 2 = 1}
12
10. Demostrar que la intersección de subgrupos de un grupo G es de nuevo un subgrupo
de G. Dar un ejemplo para poner de manifiesto que en general la unión de subgrupos
de un grupo G no tiene por qué ser un subgrupo de G.
11. Dados los subgrupos H1 = 28Z y H2 = 63Z de (Z, +), calcular el subgrupo H1 ∩H2 .
12. El centro de un grupo G es el conjunto C(G) formado por todos los elementos
g ∈ G tales que g · h = h · g, para todo h ∈ G. Probar que C(G) es un subgrupo de
G.
13. Sea X = Q − {0, 1} y f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 las aplicaciones de X en X definidas por
x−1
1
f1 (x) = x, f2 (x) =
, f3 (x) =
,
1−x
x
1
x
f2 (x) = , f5 (x) = 1 − x, f6 (x) =
.
x
x−1
Se pide:
a) Probar que el conjunto F = {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } tiene estructura de grupo con
respecto de la composición de aplicaciones.
b) Hallar todos los subgrupos de F.
14. Sea G un grupo y g ∈ G. Demostrar las siguientes propiedades sobre órdenes de
elementos:
a) Si g tiene orden n, entonces hgi = {1, g, g 2 , . . . , g n−1 }.
b) Si g tiene orden infinito, entonces g n 6= 1 para todo n 6= 0, y g n1 6= g n2 para
cualesquiera n1 6= n2 de Z.
c) Si g tiene orden n y g m = 1, entonces n divide a m.
d ) Si g tiene orden n, entonces para cualquier m ∈ Z se verifica que el orden de
n
g m es mcd{n,m}
. En particular, si mcd{n, m} = 1, es decir, si n y m son primos
relativos, entonces g m genera el mismo subgrupo que g.
e) Si g1 tiene orden n1 , g2 tiene orden n2 , y g1 · g2 = g2 · g1 entonces g1 · g2 tiene
orden igual a mcm{n1 , n2 }.
15. Sabemos que el grupo (Z56 , +) es cı́clico, pues h1i = Z56 . Encontrar todos los
elementos g ∈ Z56 tales que hgi = Z56 .
16. Comprobar que (Z∗7 , ·) es un grupo cı́clico y encontrar todos los g ∈ Z∗7 tales que
hgi = Z∗7 .
17. Dado un subgrupo H de un grupo G, consideramos la siguiente relación binaria RH
definida sobre G:
x RH y ⇐⇒ x · y −1 ∈ H.
Se pide:
a) Probar que RH es una relación de equivalencia sobre G.
b) Probar que para todo x ∈ G, la clase de equivalencia de x viene dada por
[x] = {h · x | h ∈ H} y por tanto [e] = H.
c) Probar que para todo x ∈ G, existe una aplicación biyectiva de [e] en [x].
Deducir de aquı́ que en el caso en que G sea finito, el cardinal de H divide al
cardinal de G (este hecho se denomina el Teorema de Lagrange).
d ) Describir el conjunto cociente G/RH para los casos H = {e} y H = G.
13
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
e) Usar el teorema de Lagrange para demostrar que si G es un grupo finito cuyo
cardinal viene dado por un número primo, entonces G es un grupo cı́clico
(indicación: dado x ∈ G, con x 6= e, considerar H = hxi).
Supongamos un homomorfismo f entre los grupos (Z × Z, +) y (G, +) tal que
f (1, 3) = g1 y f (3, 7) = g2 . Calcular f (4, 6) en función de g1 y g2 .
Sea f : G → G0 un homomorfismo de grupos, y sean H y H 0 subgrupos de G y G0 ,
respectivamente. Probar que f∗ (H) es un subgrupo de G0 y f ∗ (H 0 ) es un subgrupo
de G.
√
Dados los conjuntos A = {m + 2n | m, n ∈ Z} y B = {3r · 2s | r, s ∈ Z},
comprobar √
que (A, +) y (B, ·) son grupos, y que la aplicación f : A → B definida
por f (m + 2n) = 3m · 2n es un isomorfismo de grupos.
Demostrar que los grupos Z6 y Z2 ×Z3 son isomorfos. Dar un argumento para poner
de manifiesto que los grupos Z4 y Z2 × Z2 no pueden ser isomorfos.
Dado un grupo G y un elemento g ∈ G, se define la aplicación ωg : G → G como
ωg (h) = ghg −1 . Probar que ωg es un automorfismo de G.
Dadas las permutaciones α = (4, 7, 1, 5)(2, 7, 3)(6, 2, 1, 8, 9, 5) y β = (6, 7, 1)(2, 5, 4),
calcular la representación como producto de ciclos disjuntos para α ◦ β ası́ como
para β ◦ α.
Probar que la aplicación signatura sgn es un homomorfismo del grupo Sn en el
grupo multiplicativo {+1, −1}.
Razonar que una permutación y su inversa tienen el mismo orden y la misma
signatura.
¿Cual es la paridad de un permutación de orden 26 perteneciente a S15 ?
¿Cual es el máximo orden posible que puede tener una permutación de S15 ?
Sea
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
σ=
.
4 3 2 7 6 9 1 10 8 5
Calcular σ 1000 y σ −1234 .
29. Determinar en función de n la paridad de la permutación
1
2
··· n − 1 n
σ=
n n − 1 ···
2
1
30. Demostrar que toda transposición de Sn puede escribirse como una composición de
transposiciones de la forma (i, i + 1).
31. Demostrar la siguiente identidad sobre descomposición en transposiciones:
(i1 , i2 , i3 , . . . , ir−1 , ir ) = (i1 , i2 )(i2 , i3 ) · · · (ir−2 , ir−1 )(ir−1 , ir )
32. Sea An = {α ∈ Sn | α es una permutación par}.
a) Probar que An es un grupo respecto de la composición de aplicaciones. An
recibe el nombre de grupo alternado.
b) Para n ≥ 2, considerar la aplicación f : Sn → Sn definida por f (α) = (1, 2) ◦ α.
Probar que f es una aplicación biyectiva, la cual verifica además que si α es
par (impar) entonces f (α) es impar (par).
14
c) Deducir del apartado anterior que en Sn existen tantas permutaciones pares
como impares, y por tanto |An | = 1/2 · |Sn | = 1/2 · n!.
d ) Listar los elementos de A4 .
33. Una secretaria recibe una máquina de escribir un tanto inusual. Cuando se pulsa
la tecla correspondiente a un carácter, sobre el papel aparece un carácter distinto.
Sin embargo, todo carácter marcado en el teclado puede ser obtenido pulsando
alguna tecla del mismo. La secretaria decide escribir el texto siguiente en la forma
usual: “algunas veces encontrar una razón me deja exhausta pero
yo persisto”, obteniendo la siguiente frase: “rulvzrh xojoh ozjtzemrm vzr
mrstz yo ionr ogcrvher aomt dt aomhphet”. Ella retoma el resultado y lo
escribe en la forma usual, obteniendo otra copia (indescifrable); de nuevo escribe
el resultado en la forma usual, etc. Si la secretaria repite este proceso de forma
indefinida, ¿obtendrá eventualmente un copia del texto original? ¿Cual es el texto
que imprimirá la máquina de escribir tras repetir el proceso de escritura 2327 veces?
9.
EJERCICIOS APARECIDOS EN EXÁMENES ANTERIORES.
1. Sea la permutación σ =
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 5 7 8 6
a) Calcular σ 1528
b) Sean α = (2, 3, 4, 5) y β = (1, 3, 5, 7). Calcular una permutación δ tal que
α · δ · β −1 = σ 2 , escribiéndola como producto de ciclos disjuntos.
c) Calcular el conjunto {n ∈ Z | σ n es par}
2. Sea (G, ·) un grupo y a ∈ G. Definimos la aplicación f : G → G como f (x) =
a · x · a−1 .
a) ¿Es f un homomorfismo de grupos?
b) ¿Es f biyectiva? 1 2 3 4 5 6 7 8
3. Sea la permutación σ =
. Entonces σ 1206 es igual a
2 3 4 1 5 7 8 6
a) σ 4
b) σ
c) σ 8
d) σ 6
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) Existe σ ∈ S8 tal que σ tiene orden 15 y paridad par.
b) Existe σ ∈ S8 tal que σ tiene orden 15 y paridad impar.
c) Existe σ ∈ S8 tal que σ tiene orden 6 y paridad par.
d ) Existe σ ∈ S8 tal que σ tiene orden 6 y paridad impar.
15
5. Dados los grupos (Z, +) y ({1, −1}, ·) (con el producto usual), definimos la aplicación
f : Z −→ {1, −1}
(
1
si x es par,
x 7−→
−1 si x es impar.
Entonces
a) f es un homomorfismo sobreyectivo de grupos no inyectivo,
b) f es un homomorfismo inyectivo de grupos no sobreyectivo,
c) f es un isomorfismo (homomorfismo biyectivo) de grupos,
d ) f no es un homomorfismo de grupos.
6. Sea σ = (12345)(246)−1 . Entonces σ 327 es igual a
a) Identidad
b) σ
c) σ 2
d) σ 3
7. Dado un grupo (G, ∗) y la aplicación f : G → G definida por f (a) = a ∗ a, entonces
a) f es un homomorfismo de grupos, aunque no es inyectivo,
b) f es un homomorfismo de grupos, aunque no es sobreyectivo,
c) f es un isomorfismo de grupos,
d ) f no es necesariamente un homomorfismo de grupos.
8. En el conjunto Z de los números enteros la operación se define mediante la
ecuación a b = ab + 2a + 2b + 2. Entonces
a) la operación no es asociativa,
b) la operación no tiene elemento neutro,
c) la operación tiene elemento neutro, pero no todo entero tiene un elemento
simétrico o inverso respecto de esta operación,
d ) (Z, ) es un grupo conmutativo.
9. El orden de la permutación
σ=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1 4 5 6 3 8 9 7
es
a) 6
b) 8
c) 12
d) 24
10. Sean σ1 = (2, 3, 8, 6)(4, 2, 5) y σ2 = (4, 5)(7, 1, 6)(6, 8)(4, 5). Entonces la permutación σ que satisface la igualdad σ 7 = σ −4 σ1 σ2−1 σ 12 es
a) (3, 4, 5, 2, 8)(7, 1, 6)
b) (1, 6, 8)(2, 5, 4, 7, 3)
c) (2, 5, 1, 8, 7, 3, 4)
d ) (7, 5, 2, 1, 6)(8, 3, 4)
16
10.
Apéndice 1
En 1812 A.L. Cauchy definió la signatura de una permutación α ∈ Sn como el valor de
la expresión
Y α(j) − α(i)
j−i
1≤i<j≤n
Se puede demostrar que esta definición coincide con la anterior. Sin embargo esta nueva
definición nos permite calcular la signatura de una permutación sin tener que recurrir a su
descomposición en transposiciones o en ciclos disjuntos.
Dada una secuencia a1 , a2 , . . . , ak de números enteros, definimos el número de inversiones asociado a dicha secuencia como el número de elementos de la secuencia que son
menores estrictamente que el primer entero que aparece en la secuencia. Ası́ por ejemplo,
el número de inversiones de la secuencia 4, 7, 2, 5, 1, 8 es igual a dos. Usamos el concepto
de inversión para saber si una permutación
1
2
...
n−1
n
σ=
σ(1) σ(2) . . . σ(n − 1) σ(n)
es par o impar. Para ello deberı́amos de calcular el valor de
Y α(j) − α(i)
j−i
1≤i<j≤n
Pero muchos de los cálculos son redundantes; de hecho nosotros tenemos que determinar
sólo el signo de esta expresión, ya que su valor absoluto es igual a 1. En el denominador
siempre aparecerán números positivos, mientras que en el denominador habrá un valor
negativo en α(j) − α(i) si α(i) > α(j). Para un i fijo, y variando j, el número de factores
negativos que aparecen es el número de valores de j tales que j > i y α(i) > α(j). Pero esta
cantidad es el número de inversiones que aparecen en la fila α(i), α(i+1), . . . , α(n). Por tanto el número total de factores negativos es el número de inversiones en α(1), α(2), . . . , α(n),
más el número de inversiones en α(2), α(3), . . . , α(n), más ... el múmero de inversiones en
α(n − 1), α(n). Si el valor de esta suma es t entonces sgn(α) = (−1)t .
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ejemplo 38. Calcular la signatura de la permutación σ =
6 9 4 1 8 3 5 7 2
Las secuencias a tener en cuenta y los números de inversiones resultantes son:
6 9 4 1
9 4 1
4 1
1
8
8
8
8
8
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
5
5
7
7
7
7
7
7
7
7
2
2
2
2
2
2
2
2
La suma total es 22, luego α es una permutación par.
=
=
=
=
=
=
=
=
5
7
3
0
4
1
1
1
17
11.
Apéndice 2
Incluimos en este apéndice las demostraciones de algunas propiedades vistas anteriormente.
La unicidad del elemento identidad (Proposición 3)
Demostración. Ya que e1 es un elemento identidad, se verifica
e1 ∗ e2 = e2 .
Puesto que e2 también es un elemento identidad, tenemos
e1 ∗ e2 = e1 .
Por tanto e1 = e1 ∗ e2 = e2 .
La unicidad de los inversos (Proposición 4)
Demostración. Partimos de g ∗ h = g ∗ k (= e). Multiplicando por la izquierda por
h resulta
h ∗ (g ∗ h) = h ∗ (g ∗ k).
Aplicando la propiedad asociativa,
(h ∗ g) ∗ h = (h ∗ g) ∗ k,
y por tanto
e∗h=e∗k
h = k.
Criterio práctico para inversos (Proposición 5)
Demostración. Supongamos que h ∗ g = e. Entonces tenemos que comprobar que
ésto implica g ∗ h = e.
Ya que h ∗ g = e, podemos escribir
g ∗ (h ∗ g) = g ∗ e = g.
Aplicando la propiedad asociativa, resulta
(g ∗ h) ∗ g = g.
Pero según la definición de grupo, g tiene un elemento inverso. Sea k dicho inverso
(de hecho, al final de la demostración, concluiremos que k = h). Multiplicando por
la derecha por k y usando de nuevo la propiedad asociativa resulta
((g ∗ h) ∗ g) ∗ k = g ∗ k = e
(g ∗ h) ∗ (g ∗ k) = e
(g ∗ h) ∗ e = e
g ∗ h = e.
18
Criterio para comprobar que es subgrupo (Proposición 12)
Demostración. La implicación hacia la derecha es inmediata por la propia definición
de subgrupo. Veamos la implicación hacia la izquierda. Supongamos un subconjunto
H no vacı́o verificando la condición del enunciado. Si y ∈ H, tomando x = y,
entonces y · y −1 = e ∈ H, con lo cual H contiene al elemento identidad de G.
Aplicando de nuevo dicha propiedad para los elementos e, y obtenemos que e·y −1 =
y −1 ∈ H, es decir, H es cerrado para los inversos. Finalmente, si x, y ∈ H acabamos
de probar que y −1 ∈ H, con lo cual también contendrá a x · (y −1 )−1 = x · y, es decir,
H también es cerrado para la operación de G.
Lema 35
Demostración. Supongamos que τ = (i, j) con i < j. Observamos en primer lugar
que τ (xi − xj ) = −(xi − xj ). Si k < i, entonces τ intercambia xk − xi con xk − xj .
Similarmente, si k > j. Cuando k es tal que i < k < j, entonces xi − xk y xk − xj
son reemplazados por −(xk − xj ) y −(xi − xk ), respectivamente. Ası́, el efecto total
es cambiar el signo de (xi − xj ), con lo cual τ (f ) = −f .