MODULACION DE PULSOS CODIFICADOS Capítulo 6

Capítulo 6
MODULACION DE
PULSOS CODIFICADOS
En el presente capítulo se realizará una breve reseña sobre distintos métodos de
modulación de pulsos codificados, abarcando los siguientes tópicos:

Cuantización de señales.

Error de cuantización.

Modulación Delta

Error de pendiente.

Modulación delta adaptiva.

Ruido de Cuantización en DM.
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Modulación de pulsos codificados – Capítulo 6
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6.1
Introducción.
Los sistemas y métodos considerados hasta ahora son ANALOGOS: se tiene una
portadora, que puede ser una sinusoidal o un tren de pulsos, a la cual se varía
alguna de sus características de acuerdo a la información la cual puede asumir o
tener cualquier valor dentro de un rango continuo.
A diferencia de lo anterior, la modulación Digital de pulsos se caracteriza por la
representación de la información como un valor discreto perteneciente a un
conjunto finito de valores.
El problema común a los sistemas análogos es la adición de ruido durante la
transmisión junto con la atenuación producida.
La atenuación puede ser superada mediante amplificación adecuada pero se
amplificará también el ruido incorporado hasta ese punto: la situación puede
agravarse hasta el extremo que la señal útil o información sea completamente
enmascarada por el ruido haciendo imposible su recuperación.
En ambiente “ruidoso” debemos disminuir la cantidad de información
“transportada” por la señal.
La aseveración anterior responde a todo proceso de comunicación o adquisición
de información y puede ser apreciada en cualquier situación práctica:
Consideremos la observación de un objeto, si la iluminación es buena y la
distancia no es excesiva podremos apreciar claramente sus detalles y coloridos.
Al disminuir la iluminación se perderán algunos detalles y se confundirán
algunos colores.
Reduciendo aún más la iluminación o aumentando la distancia apreciaremos sólo
su forma, tamaño relativo, y si es “claro “ u “oscuro”, esto es, se ha reducido la
cantidad de información que podemos adquirir en forma inequívoca.
Otro ejemplo de la vida real:
Una conversación en un ambiente donde hay cierto número de personas
conversando.
•Si el número de conversaciones adicionales es reducido y si lo hacen en voz baja
(bajo nivel de ruido) podremos entender claramente a nuestro interlocutor.
•A medida que aumenta el número de personas conversando, o éstas elevan su
nivel de voz, comenzaremos a perder algunas de las palabras.
•Cuando el nivel de ruido es muy alto, todos prácticamente gritando, podemos
llegar al extremo de saber solamente si nuestro interlocutor está hablando o en
silencio, sin entender lo que nos dice. (eventualmente cambiaremos de mecanismo
Modulación de pulsos codificados – Capítulo 6
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y la comunicación se hace por gestos y muecas pertenecientes a un código tácito
preestablecido).
Aplicamos ahora este proceso intuitivo a los sistemas de comunicaciones en que
estamos interesados: reducir la cantidad de información transportada por la señal
y llevamos la situación al extremo.
La mínima información que puede llevar una señal es su presencia o ausencia.
Cuando la información a transmitir es más compleja, se debe “parcializar” y cada
parte significará una información mínima: uno de dos sucesos equiprobables.
Para información muy compleja o que se desee transmitir con mucha exactitud,
se tendrá un muy alto número de partes resultantes de la descomposición y la
transmisión de éstas tomará mucho tiempo, volviendo muy lento el sistema,
ineficiente.
Para aumentar la velocidad del sistema, debemos usar un número reducido de
partes para representar la información, perdiendo entonces precisión, esto es, el
valor transmitido no es cualquiera dentro de un rango continuo, sino uno discreto
perteneciente a un conjunto finito y entonces la señal transmitida no será
exactamente la original, sino una aproximación de ella. El proceso descrito se
conoce como CUANTIZACIÓN.
6.2
Cuantización de señales
mq(t)
t
m(t)
t
Figura 6.2-1. Cuantización de señales
Modulación de pulsos codificados – Capítulo 6
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Al cuantizar se crea una nueva señal, mq, que es una sincronización de la señal
original m(t).
mM+S/2
mM
mM-S/2
valor real
m(t)
mi+S/2
MS
mi
S
mi-S/2
valor aproximado
muestra
m1+S/2
m1
m1-S/2
Figura 6.2-2. Niveles de Cuantización de Señales
Se aprecia que la aproximación puede mejorarse reduciendo el tamaño de
escalones, lo cual aumenta el número de niveles discretos que puede asumir vq(t).
6.3
Error de cuantización.
Cada vez que se aproxima la señal m(t) a un nivel de cuantizción mí se comete un
error dado por:
e  m(t )  mi
(6.3-1)
El valor máximo de este error es S/2
Sea f(m)dm la probabilidad de que m(t) esté en el rango (m-dm/2) a (m+dm/2), el
error de cuantización será:
e 
2
m1  s / 2
m2  s / 2
 f (m)m  m  dm   f (m)m  m  dm  ...
2
2
1
m1  s / 2
2
m2  s / 2
(6.3-2)
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Si M es grande de modo que S es pequeño en comparación con la amplitud peakto-peak de la señal, podemos aceptar que f(m) es constante dentro de cada rango:
–
–
Para el primer rango:
Para el 2º rango
:
f(m)=f1
f(m)=f2
e 2   f1  f 2  ...  f M 
S /2
 m  m  dm
2
k
(6.3-2)
S / 2
dado que los intervalos son iguales entre sí
S /2
e 2  ( f1  ...  f M )  x 2 dx
S /2
e 2  ( f1  ...  f M )
Además,
e 2  (1fs  ...  fM s )
e2 
s3
12
(6.3-3)
s2
12
s2
12
(6.3-4)
Se confirma que el error de cuantización depende del tamaño del escalón.
Hemos obtenido el error cuadrático medio del ruido de cuantización.
Ahora, para calcular la SNR a la salida, debemos calcular la potencia de la señal
codificada. Supongamos el caso más sencillo: una señal sinusoidal que ocupa
todo el rango del conversor.
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Señal Sinusoidal:
Rango de la señal:
cero.
M·S peak to peak o ± MS/ con valor medio igual a
MS/2
-MS/2
Generalmente M=2n, con n bits utilizados.

La potencia de la señal resulta M2S2/8.

La relación señal a ruido de cuantización queda definida por:
2 2
 S  M S 12 3 2 3 2 n
* 2  M  2
 
8
S
2
2
N

(6.3-5)
En general, la relación señal a ruido se define
S
2
   k ·M
N
 
(6.3-6)
donde k depende del tipo de señal
En prácticamente todos los casos la codificación se realiza en alguno de los 2n
niveles, donde n es el número de bits de la palabra digital con que se transmiten
las muestras. Ahora, n es proporcional al ancho de banda necesario, BW, del
canal común, donde se transmitirán las muestras codificadas, por lo tanto,
S
   exp(BW )
N
(6.3-7)
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Es decir, la SNR de salida que se puede conseguir con transmisión PCM crece
exponencialmente con el ancho de banda del canal de transmisión.
6.4
Modulación Delta
La modulación delta es una técnica de modulación digital de pulsos cuyo
atractivo reside en dos razones:
– La implementación para su transmisión, y especialmente para su
recepción, resultan bastante más simple que para PCM.
– Requiere menor velocidad de transmisión.
– Presenta menor “sensibilidad” a error de transmisión (pérdida de un
pulso).
Es un proceso de naturaleza diferencial, esto es, se transmite una señal
relacionada con una diferencia (o señal diferencia) y no con el valor actual de la
información.
Figura 6.4-1. Formas de onda modulación DM
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Figura 6.4-2. Sistema DM
6.4.1
Error de pendiente
Para variaciones muy rápidas de la información, el sistema no es capaz de
responder adecuadamente, a menos que
– Se aumente el tamaño del escalón: esto aumentará el error de
aproximación (error de cuantización).
– Se aumente la frecuencia de los pulsos; esto aumentará la velocidad de
transmisión necesaria (mayor ancho de banda).
Para una información “normalizada”, esto es, con su amplitud limitada a A [volts]
y su BW limitado a fm[Hertz], su máxima pendiente estará dada por:
2fm AV / s
Intentamos la aproximación integrando pulsos de amplitud S [volts] y de
frecuencia fs. La razón de crecimiento o pendiente de esta integración (se
supone el uso de un filtro pasabajos) será:
sf s
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Se produce entonces ERROR DE PENDIENTE o SOBRECARGA DE
PENDIENTE si
2 f m A  Sf s
(6.4.1-1)
Para una señal que puede contener diferentes combinaciones de
amplitud/frecuencias, la condición más estricta la impone la combinación cuyo
producto Afm es mayor
Para el caso de la aplicación más frecuente, esto es la transmisión de voz, se ha
determinado en forma experimental que la sobrecarga de pendiente representa
una distorsión no apreciable si
A
Sf s
2 800
donde A es la amplitud peak de la señal y s depende del ruido de cuantización
Aquí se ha considerado 800 Hz como la frecuencia en que se maximiza el
producto amplitud/frecuencia
.
El resultado anterior tiene como base que las componentes más altas presentan
una amplitud menor.
6.4.2
Modulación Delta Adaptiva.
Para resolver el error o sobrecarga de pendiente sin aumentar la frecuencia de los
pulsos ni agrandar a un tamaño mayor fijo los escalones, se efectúa una
adecuación de estos últimos a la variación de la señal: para una tasa rápida y de
gran amplitud (pendiente fuerte) se varía consecuentemente el tamaño de los
pulsos.
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6.4.3 Ruido de Cuantización en DM
El error de cuantización en modulación delta dependerá de S. A diferencia de
PCM, donde éste esta limitado entre +S/2 y –S/2, ahora está acotado entre +S y –
S. Es decir, el error máximo ahora es el doble del caso de PCM. Esto implica
que la potencia de ruido (valor cuadrático medio del error), será cuatro veces la
de PCM, para igual S, es decir:
e2 
S2
S2
 (4 
)
3
12
Ahora, este ruido ocupa una banda que se extiende más allá de la banda de la
señal (fm): éste incluye secuencias +S,-S,+S,-S....a una frecuencia fs. Asumiendo
que el espectro de este ruido es plano hasta fs, y que se puede filtrar hasta fm,
entonces la potencia de ruido queda:
e2 
s2  fm 
 
3  f s 
(6.4.3-1)
Luego para una señal senoidal m(t)=Acosωmt, la SNR se define:
2
 S  A 3  f s 
· 2
 
 N  2 s  f m 
(6.4.3-2)
 Para evitar sobrecarga de pendiente se debe escoger S talque:
Lo que resulta en:
3
3  f 
 S  3  f s  1
 2  s 
   
2
8  f m 
 N  2  f m  2 
f
A
 s
s 2f m
3
(6.4.3-3)
Si el canal de transmisión tiene un ancho de banda de B(Hz), es posible transmitir
pulsos (“unos” y “ceros”) a razón de fs = 2B(pulsos/seg), entonces, la SNR a la
salida es:
3
S 3 B
  2 3
 N   fm
6.4.3-4
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