Antitransformada de Laplace (Transformada Inversa de Laplace

Antitransformada de Laplace (Transformada Inversa de Laplace) Utilizamos la transformada de Laplace para trabajar con modelos algebraicos en los bloques en lugar de modelos en Ecs. Diferenciales que son mucho más complejos en la operatoria. Ahora bien, nos interesa la evolución en el tiempo de las variables especialmente de la salida del sistema de control. Para ello usamos la antitransformada deLaplace. 1) Si la expresión a antitransformar es simple, se recomienda utilizar las tablas de transformadas. 2) Si la expresión es complicada, se recomienda descomponer la expresión en fracciones parciales. Descomposición en fracciones parciales Sea la expresión: La descomposición en fracciones parciales resulta: Esta expresión posee un polo doble en s=0 y dos polos simples en s=‐1 y en s=‐2. Luego, la antitransformada de F(s), es decir f(t), se puede obtener como: Luego, a partir de las tablas de transformadas de Laplace, se llega a: Volviendo a la descomposición en fracciones parciales, en general, la expresión a antitransformar puede escribirse así: …. Donde los R son los residuos. Generalizando, los polos de la expresión están en s=‐pi y tienen multiplicidad ni. Obtención de los residuos: Para un polo simple, por ejemplo p1: Para un polo múltiple, por ejemplo p2 con multiplicidad 3: En el caso de un polo simple que sea complejo, existe otro polo que es su complejo conjugado. En este caso, la antitransformación se facilita si se utilizan fracciones parciales del tipo: Donde los polos complejos conjugados son: s=‐σ‐jω y s=‐σ+jω. La expresión anterior se antitransforma utilizando las expresiones de la tabla de transformadas: Es decir que hay que jugar con A y B para llevar la expresión As+B a a s+σ y ω. Ejemplo: Luego, como: El numerador debe ser igual a 1, por lo que, ½+A=0 y 1+B=0, de donde surge que A=‐1/2 y B=‐1. Por lo tanto: Luego, Finalmente: Convergencia de f(t) Cuando se agrega control a un sistema, éste que originalmente era estable puede convertirse en inestable. Un sistema es estable cuando, para entradas convergentes la salida es también convergente. Vamos a analizar entonces la convergencia de la salida: Analizamos la convergencia, es decir a dónde tiende f(t) cuando t tiende a infinito: La función es convergente si ninguno de los límites tiende a infinito. Vamos a analizar el límite del término general: f(t) es convergente cuando este límite no tiende a infinito, lo que ocurre cuando: 1) El polo –pi<0. 2) Si el polo –pi=0, sólo si ni=1. No se trató todavía el caso de polos complejos conjugados. En este caso habrá términos del tipo: O del tipo: Donde ‐σi es la parte real y –ωi la imaginaria del polo ‐pi. Como Entonces la condición de convergencia se resume a que la parte real del polo, es decir de –pi, es decir ‐σi, sea < 0. CONCLUSION: f(t) es convergente si los polos de F(s) están en el semiplano izquierdo del plano s excluyendo el eje imaginario; además puede haber a lo sumo un polo nulo. Estabilidad Repetimos el concepto: Cuando se agrega control a un sistema, éste que originalmente era estable puede convertirse en inestable. Un sistema es estable cuando, para entradas convergentes, la salida es convergente. Ejemplo: Sea una entrada al sistema corgente como es: r(t) =u(t), es decir R(s)=1/s Transferencia del sistema Por lo tanto la salida del sistema es: ¿La salida c(t) es convergente? No. Porque si bien posee dos polos complejos conjugados en el semiplano derecho (con parte real negativa), también posee 2 polos en el origen. Entonces, el sistema G(s) es INESTABLE. En cambio, si Entonces ¿La salida c(t) es convergente? Sí. Porque posee dos polos complejos conjugados en el semiplano derecho (con parte real negativa), también posee sólo 1 polo en el origen. En este caso el sistema G(s) es ESTABLE. Existe otra definición de estabilidad, cuyos efectos son los mismos que los ya vistos: Un sistema G(s) es estable si, para una entrada impulso, δ(t), su salida tiende a 0 para t tendiendo a infinito. En este caso, Entonces C(S)=G(S).R(S)=G(s). Para cumplir con el requisito de estabilidad todos los límites tienen que dar 0. Analizamos la expresión del término genérico: Este límite sólo es 0 si el polo –pi<0. A diferencia de la condición de convergencia no admite ni siquiera uno sólo pi=0. En cuanto a los polos complejos conjugados, es decir los términos del tipo: O del tipo: Donde ‐σi es la parte real y –ωi la imaginaria del polo ‐pi. Como Entonces la condición de que el límite tienda a 0 se resume a que la parte real del polo, es decir de –pi, es decir ‐σi, sea < 0. CONCLUSION: Un sistema G(s) es estable sólo si posee polos en el semiplano izquierdo, excluyendo el eje imaginario.