Clase 28

CLASE 28: FUNCIÓNES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Dado un número a real y positivo, llamamos función exponencial de base a, a la función f(x) = ax
cuyas propiedades generales son:
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Es una función inyectiva.
Si a = 0 la función siempre vale 1.
Es siempre positiva: su recorrido es R+ y la gráfica está en el semiplano positivo de ordenadas.
La recta y = 0 es una asíntota horizontal.
Si a > 1
 Es una función creciente. Una función f(x) es creciente si cuando x crece, f(x) también crece.
 Para x > 0 la función siempre es mayor que 1.
 Para x < 0 la función siempre está en [0, 1
Si a   0, 1 [
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Es una función decreciente. Una función f(x) es decreciente si cuando c crece, f(x) decrece.
Para x > 0 la función siempre está en [ 0, 1 .
Si x < 0 la función es mayor que 1.
La recta y = 0 es una asíntota horizontal.
Ejemplos:.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Dado un número "a" positivo y distinto de 1. Llamamos función logarítmica de base a la función f(x)
= logax cuyas propiedades son:
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Es la función inversa de y = ax
Esta bien definida sólo para valores positivos.
En x = 0 la función no existe y presenta una asíntota vertical.
Para x = 1 la función siempre vale 0, sea cual sea la base a, la gráfica pasa por el punto (1,0).
 Si a >1 la función es creciente y si a <1 la función es decreciente.
Ejemplos:
Definición:
Logaritmo de base a de un número n, es el exponente al que debemos elevar el número a,
positivo y distinto de 1, para obtener el número n:
loga n  X  a x  n
 Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal, y no se indica la base en su escritura
así escribimos:
log x
en vez de log10 x
 Si la base del logaritmo es el número e, se llama logaritmo natural ó neperiano, en honor a
John Neper, o Napier, un matemático escocés de la segunda mitad del siglo XVI que estudió e
inventó los logaritmos.
Para estos logaritmos se usa la notación ln x, así escribimos:
ln x
en vez de loge x
Propiedades de los logaritmos
1 ) El logaritmo del producto de dos números:
log (A·B) = log A + log B
Ejemplo:
log 6 = log (2·3) = log 2 + log 3
2 ) El logaritmo del cociente de dos números:
log (A/B) = log A - log B
Ejemplo:
log 12 = ( log 36/3 ) = log 36 - log 3
3 ) El logaritmo de una potencia:
log An = n·log A
Ejemplo:
log 36 = log 62 = 2·log 6
4 ) El logaritmo de una raíz:
log
n
A =
1
·log A
n
Ejemplo:
log 7 = log
49 = 1/2·log 49
5 ) El logaritmo de 1:
loga 1 = 0
Ejemplo:
log51 = 0
6 ) El loga a = 1
Ejemplo:
log77 = 1
7) Se cumple que:
log b x 
logaritmos a base 10, o sea
log a x
siendo la más utilizada aquella en que debemos trasformar
log a b
log b x 
log x
log b