Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A. Vásquez Concha EJERCICIOS SEGUNDA UNIDAD. DERIVADA Y SUS APLICACIONES 1. Determine el ingreso marginal cuando x=100. Si la ecuación de demanda está dada por: x 1000 2 p Donde X: cantidad y p: precio y (6x 8)(4x 3 7 x) su derivada es: 2. Sea 2 3. Si el PNB (producto nacional bruto) de una nación al tiempo t es I 0,01t 0,4t 10 (en miles de millones de dólares) y el tamaño de la población (en millones) es P 0,01t 2 0,1t 4 . Determine la tasa de cambio del ingreso per cápita 4. Hallar la derivada de y 3x 2 5 x entonces 4x2 6x 5. Hallar la derivada de las siguientes funciones: 3x 3 x 2 1: y 5x 2 1 4. y 9 x2 5x 3 x 2. y x 2 1 x 3 3x 6x 7 3. y 8x 9 Re spuesta y ! 5 x 2 1 2 Re spuesta y ! 5 x 4 6 x 2 3 110 Re spuesta y ! 8 x 92 Re spuesta y ! 15x 4 4 x 2 20x 1 5. y 6 x 2 7 2 x 2 3 5 x 4 136x 2 9 (5 x 3 x) 2 Re spuesta y ! 48x 3 8 x 6. Para determinar el precio de un modelo de nuevos televisores Led, la tienda “El gallo” utiliza la función p( x) 1000x 50000 con 1 x 440 donde “x” corresponde al número de unidades demandadas y p(x) es el precio en miles de pesos por unidad Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A. Vásquez Concha Determinar: a) El ingreso marginal cuando la demanda de televisores es de 200 unidades C ( x) b) Si la función de costo es x3 50000x 2 3 ¿cuál es la utilidad marginal si la producción es de 350 unidades? 2 7. Dada la función f ( x) x 6x 5 determinar en qué intervalos la función es creciente o decreciente. 3 2 8. Dada la función f ( x) x 6 x 9 x determinar en qué intervalos la función es creciente o decreciente. 2 9. La función de costo C( x) 0,02x 40x 4000 de la producción de un determinado artículo. Encuentre en que intervalo el costo crece y en que intervalo decrece. 10. Encuentre en que intervalo, las siguientes funciones, crecen y decrecen 1. f ( x) 3x x 3 2. f ( x) x 4 2 x 2 8 3. f ( x) x 3 6 x 2 15x 4 4. f ( x ) x 5. f ( x) 4 x x3 x 12 Definida en IR 0 Definida en IR 1 2 11. La función de costo C( x) 4000 40x 0,02x p 50 y la función de demanda x 100 Encuentre en que intervalo la función de Utilidad (utilidad=Ingreso-costo) es creciente y decreciente. Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A. Vásquez Concha 12. Calcular, mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los puntos que se indican: a) f(x) = 3x2 en x = 2. b) f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1. c) f(x) = x2 − x + 1 en x = −1, x = o y x = 1. d) f(x) = 2x2 – 6x + 5 en x= -5 13. Calcular, mediante la tabla de derivadas las siguientes funciones. a) b) c) d) e) f) e) f) g) h) Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A. Vásquez Concha i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) 14. Calcular, mediante la tabla de derivadas las siguientes funciones. a) b) c) d) Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A. Vásquez Concha e) f) g) h) i) j) k) l) 15. Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable 16. Calcule dy/dx para las funciones dadas en forma paramétrica, considerando para t real. a) X (t) = 2t -1 b) X (t) = t2 + 3t -1 Y (t) = t3 Y (t) = 1 – 4t2 c) X (t) = 2 cos (t) Y (t) = 3 sen (t) d) X (t) = 3t / (t+2) Y (t) = 4t2 / (t + 2) Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A. Vásquez Concha 17. Sea f función tal que f(2) = -3 y f’(x) = √ x2 + 5 si g(x) = x2 f( x / (x-1) ) Calcule g’(2) 18. Calcule dy / dx para: a) X (t) = 3t +2 Y (t) = 1 – t2 b) X (t) = 2t Y (t) = cos (t) 19. Calcule la tercera derivada de: F(x) = X8 + 7X6 – 5X + 4 G(x) = X cos (x) 20. Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45° 21. Calcular las siguientes derivadas implícitas 22. La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si una ley del tipo: Donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas: a) ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima? Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A. Vásquez Concha b) ¿Cuándo entrega el mayor premio? 23. Una estación de telecomunicaciones situada en un bosque está a 3 km del punto más cercano de la carretera (recta) La distancia de este punto a una tienda situada en la carretera es de 9 km Si una persona desea caminar de la estación a la tienda en un tiempo mínimo ¿Qué ruta debe seguir, si puede caminar a la velocidad de 4 km/hr por el bosque y 5 km/h por la carretera? Solución 24. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo? Instituto Profesional AIEP Módulo: Calculo Docente Manuel A. Vásquez Concha 25. Calcule los límites de las siguientes funciones usando L’Hopital 26. Usando L’Hopital determine el valor de k para que se cumpla la igualdad