colección de problemas de modelizar y resolver con ordenador

COLECCIÓN DE PROBLEMAS DE
MODELIZAR Y RESOLVER CON
ORDENADOR
MATEMÁTICAS II
GRADO EN A.D.E.
GRADO EN ECONOMÍA
GRADO EN F.Y.C.
CURSO ACADÉMICO 2010-11
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
PROGRAMACIÓN NO LINEAL
Problema del consumidor
Este problema es el origen de toda la teoría de demanda en microeconomía.
Consiste en maximizar la utilidad del consumidor. Las variables representan las
cantidades consumidas de cada bien. La función de utilidad que mejor representa
las preferencias de un consumidor racional es aquélla con utilidades marginales
estrictamente positivas (se prefiere más a menos) y cóncava (es preferible una
mezcla de consumos de varios bienes que especializarse en el consumo de un sólo
bien). La restricción de este problema es de tipo presupuestario, con un primer
miembro que representa el gasto en el consumo (precios por cantidades) y un
segundo miembro que es la renta disponible del consumidor. Adicionalmente,
pueden existir restricciones de consumos mínimos o máximos de algún producto.
1.
Un consumidor puede elegir entre dos bienes cuyos precios son
respectivamente de 5 y 9 euros. Dispone de una renta de 450 euros que debe
gastar enteramente entre ambos bienes. La función de utilidad es
,
20 , , , siendo x las unidades consumidas del primer bien e y las del
segundo.
a) Obtén las unidades consumidas de cada bien, el valor de la función de
utilidad y el valor del multiplicador de Lagrange asociado a la restricción que
maximiza la utilidad.
b) Interpreta el significado del multiplicador. ¿Cuál sería aproximadamente la
nueva utilidad óptima si la renta disponible pasara a valer 452 €?
c) Resuelve de nuevo el problema para el caso en que la renta disponible del
consumidor sea de 452 €. Compara el resultado con el obtenido en el
apartado b).
2.
Un consumidor desea maximizar su función de utilidad que depende del
, ,
consumo de tres bienes en cantidades (x,y,z). Dicha función es
,
. Los precios unitarios de los tres bienes son 12, 8 y 5 €
25 , ,
respectivamente, y su renta presupuestaria es de 540 €. El tercer bien está
sometido a un consumo mínimo de subsistencia de 20 unidades, mientras que
el primero y el segundo lo están a unos niveles máximos de saturación en el
consumo de 40 unidades cada uno.
a) Obtén los consumos óptimos para maximizar la utilidad y la utilidad máxima.
¿Se gasta el consumidor toda su renta?
b) Calcula el valor del multiplicador y su interpretación económica.
1
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
Problema de producción de la empresa
Este problema puede tener varias formulaciones. En su versión más básica se
trata de minimizar costes con una restricción de producción mínima. También
puede ser el de maximizar la producción con una restricción de limitación de costes.
En ambos casos, en lugar de trabajar con la función de costes se puede pasar a
función de beneficios añadiendo el precio de venta del producto. Las variables son
las cantidades utilizadas de cada input en la producción, normalmente capital y
trabajo, que se transforman en producción de un único bien. La función de
producción es habitualmente cóncava con productividades marginales positivas. La
más utilizada es la de rendimientos constantes a escala y, dentro de ellas, la de
tipo Cobb-Douglas.
3.
Una empresa en competencia se plantea minimizar los costes de producción.
Los costes unitarios de los dos factores que utiliza (capital -K- y trabajo -L-)
son de 4 y 5 unidades monetarias, respectivamente. La producción mínima
que ha de cubrir la empresa es de 1000 unidades físicas. La empresa tiene la
siguiente función de producción
,
10 , , .
a) Obtén los valores del capital y del trabajo que minimizan el coste de
producción de la empresa, así como el coste mínimo.
b) Interpreta el multiplicador. Calcula aproximadamente los nuevos costes de
producción si la producción mínima es de 1001 unidades. Resuelve de nuevo
el problema para este caso y compara la aproximación anterior con el valor
exacto.
4.
Supongamos que una empresa vende su producto a un precio de 2 euros por
unidad y adquiere sus inputs a unos precios de 4 céntimos por cada euro de
capital que toma prestado y a 5 euros la hora de trabajo. La cantidad vendida
de producto no debe sobrepasar la producción, que viene dada por la función:
,
,
.
,
a) Calcula el capital y el trabajo que debe emplear en la producción para
maximizar beneficios
b) Calcula la producción, la cantidad vendida del producto y los beneficios
máximos.
Problema de combinación de recursos
Este es el problema de producir varios productos con recursos productivos
limitados para maximizar los beneficios o los ingresos. Este es uno de los más
habituales en la empresa y, aunque suele ser lineal, también se puede plantear de
forma que alguna función sea no lineal, por ejemplo, si el precio de venta del
producto depende de la cantidad producida o si los costes unitarios son crecientes
debido a deseconomías a escala. En este problema las variables son las cantidades
producidas de cada producto y cada restricción representa la limitación de un
recurso productivo.
2
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5.
La gerencia de una empresa quiere producir tres artículos a los que llama
producto 1, producto 2 y producto 3. Dispone de tres máquinas de las cuales
conoce la capacidad disponible de cada máquina y el número de
horas-máquina que se requiere para cada producto:
Tipo de
máquina
Tiempo en horas-máquina
por semana
Productividad en horas-máquina
por unidad
Prod. 1
Prod. 2
Prod. 3
Fresadora
500
9
3
5
Torno
350
5
4
0
Pulidora
150
3
0
2
Los costes unitarios al producir los artículos 1, 2 y 3 son 25, 10 y 15 unidades
monetarias respectivamente y los precios de venta son 35
y 20
50
100
, 15
40
, respectivamente, siendo xi el número de unidades vendidas del
producto i.
Calcula las cantidades de los tres productos que maximizan los beneficios y el
beneficio máximo. Calcula e interpreta las variables de holgura y los
multiplicadores de Kuhn y Tucker.
6.
Una empresa produce tres tipos de productos en cantidades x, y, z. El
beneficio unitario de cada producto es:
• Beneficio unitario del producto 1: 24 – x.
• Beneficio unitario del producto 2: 20 – y.
• Beneficio unitario del producto 3: 20 – z.
Se sabe que para producir una unidad del producto 1 se utilizan cuatro horas
de trabajo, para producir una unidad del segundo se utilizan dos horas y para
producir una unidad del tercer producto se utilizan dos horas. Además, la
empresa dispone de 16 trabajadores que trabajan 8 horas cada uno.
a) Calcula las cantidades a producir de cada tipo de producto para maximizar el
beneficio de la empresa y el beneficio máximo.
b) Determina, según los resultados obtenidos en el apartado anterior, si a la
empresa le interesa aumentar o reducir el número de horas de trabajo de su
plantilla.
Problema de selección de cartera
Este problema se plantea con el objetivo de distribuir un capital a invertir entre
varios activos, atendiendo a la rentabilidad y el riesgo de cada uno de ellos. Se
puede plantear maximizando la rentabilidad de la cartera con una limitación del
riesgo o, alternativamente, minimizando el riesgo con una restricción de
rentabilidad mínima garantizada. Las variables representan las cantidades a invertir
en cada activo. Adicionalmente, pueden plantearse restricciones de diversificación
de la cartera.
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7.
Un inversor planea distribuir 100 € de inversión entre dos activos financieros
(cuyos importes son x e y). Las rentabilidades anuales esperadas son 12% y
6% respectivamente. El riesgo máximo que está dispuesto a asumir este
inversor es de 1360 unidades, siendo la función de riesgo
,
0,25
0,1 .
0,05
a) Calcula las cantidades a invertir en cada activo para maximizar el
rendimiento esperado y valor de éste.
b) Razona el efecto de un aumento en el riesgo que está dispuesto a asumir el
inversor (término independiente de la restricción).
8.
Un fons d’inversió global es planteja diversificar el seu capital d’un milió
d’euros entre renda fixa europea (x, en milions d’euros), renda variable
espanyola (y, en milions d’euros), renda variable europea (z, en milions
d’euros) i actius immobiliaris (t, en milions d’euros). El seu objectiu es
5,25
minimitzar el risc, que ve donat per la funció
, , ,
0,25
4
12,5
2
1,5 . La rendibilitat mínima que es vol assegurar és
8,5
del 6%, tenint en compte que la renda fixa europea té prevista una
rendibilitat de l’1%, la renda variable espanyola del 10%, la europea del 15%
i la immobiliària del 4%.
a) Calcula la distribució òptima del capital a invertir.
b) Calcula la distribució òptima del capital a invertir si s’exigix que la inversió
total en renda variable no supere el 25% del capital a invertir.
c) Interpreta econòmicament el valor del multiplicador de la restricció de
rendibilitat mínima.
Problemas variados
9.
En una urbanización se están construyendo dos tipos de viviendas:
apartamentos y áticos, cuyos precios son p1 y p2 en miles de euros,
200
respectivamente. La curva de demanda para los apartamentos es
2 y para los áticos es
300 3 . El constructor ha calculado que, debido
a los pedidos ya realizados a sus proveedores de materias primas, le conviene
construir 8 veces más apartamentos que áticos. Por otra parte, ha calculado
que la construcción de un apartamento le supone un coste total de 65 miles
de € y la de un ático, 80 miles de €. Sabiendo que tiene un presupuesto de 3
millones de euros:
a) Calcula los precios de ambos tipos de viviendas para que el constructor
maximice su ingreso. Calcula el número de apartamentos y áticos que debe
construir y los ingresos máximos.
b) ¿Le interesaría aumentar el presupuesto disponible?
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10. Una tienda de quesos tiene 20 kilos de una mezcla de frutas de estación y 60
kilos de un queso caro, con los cuales se prepararán dos tipos de queso para
untar, fino y normal, que son populares durante la semana de Navidad. Cada
kilo del queso fino para untar se compone de 0'2 kilos de la mezcla de frutas,
0'3 kilos del queso caro y 0'5 kilos de un queso de relleno, que es barato y del
cual se tiene abundante reserva. Cada kilo del queso normal para untar se
compone de 0'2 kilos de la mezcla de frutas, 0'2 kilos del queso caro y 0'6
kilos de un queso de relleno. Debido a las políticas de precios empleadas en el
pasado por la tienda, se sabe que la demanda de queso para untar fino es
190 25 y la demanda de queso para untar normal es
250 50
(demanda en kilos y precios en euros por kilo).
a) ¿Cuántos kilos de cada tipo de queso para untar deben prepararse, y qué
precios deben establecerse, si se desea maximizar el ingreso y vender
totalmente ambos tipos hacia el fin de la semana de Navidad?
b) ¿Qué le ocurrirá al ingreso si la tienda puede disponer de un kilo más de
queso caro?
c) ¿Cuánto estaría dispuesta a ofrecer por un kilo más de mezcla de frutas?
11. Una empresa produce tres artículos en cantidades x, y, z. La función de
ingresos de la empresa viene determinada por
20 .
, ,
20
10
La capacidad máxima productiva de la empresa es de 5000 unidades entre los
tres productos. Por razones de mercado no puede vender más de 1500
unidades del segundo producto ni puede ofertar menos de 1000 ni más de
3000 del primero.
a) Calcula las cantidades de cada artículo que debe producir la empresa si
desea maximizar sus ingresos y los ingresos máximos. Interpreta la variable
de holgura.
b) ¿Le convendría a la empresa aumentar su capacidad productiva?
12. Una empresa de transporte de viajeros tiene la concesión de tres rutas,
siendo x, y, z el número de viajes a realizar anualmente por cada ruta. Los
costes de la empresa son:
Coste
Coste
Coste
Coste
fijo: 4000 u.m.
variable por viaje 1ª ruta: 10
variable por viaje 2ª ruta: 10
variable por viaje 3ª ruta: z
10
20
Después de un estudio de mercado, la empresa llega a la conclusión de que
se deben realizar exactamente 2200 viajes anuales entre las tres rutas.
a) Determina el número de viajes a realizar por cada ruta para que el coste sea
mínimo y el valor de dicho coste.
b) A la empresa le proponen aumentar en uno el número total de viajes.
Razona, sin volver a resolver el problema, si le conviene aceptar la oferta.
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13. Un fabricante produce tres artículos en cantidades x, y, z. El precio de venta
de cada uno decrece con la producción:
Precio de venta de una unidad del producto 1: 210
.
Precio de venta de una unidad del producto 2: 106
.
Precio de venta de una unidad del producto 3: 65
.
Por otra parte, el coste de producción de cada uno de ellos se compone de un
coste fijo de mantenimiento de 100, 60 y 30 unidades monetarias,
respectivamente, y un coste variable por unidad producida de 10, 6 y 5
unidades monetarias.
a) Determina las cantidades de cada producto que maximizan el beneficio de la
empresa, teniendo en cuenta que se deben producir exactamente 360
unidades entre los tres productos. ¿Cuál es ese beneficio máximo?
b) Si el empresario pudiera producir más de 360 unidades, ¿aumentaría su
beneficio?
14. Una panadería produce cuatro tipos de pan en cantidades x, y, z, t, usando
harina, levadura, agua y fibras vegetales de las que dispone en abundantes
existencias. La función de ingresos depende de las cantidades fabricadas
3
2 . Los costes de producción de cada tipo de
como
, , ,
pan son, respectivamente 1, 2, 3 y 4 unidades monetarias. La demanda
máxima de cada uno de los tres primeros productos es de 100 unidades y de
10 para el cuarto. Además, se dispone de 400 horas para elaborar todos los
panes y las necesidades de tiempo en horas son respectivamente 0’2, 0’5, 0’1
y 0’7 para cada unidad de los diferentes tipos de pan. Se pide:
a) Resolver el problema de maximizar el beneficio.
b) Si cada hora extraordinaria se paga a 3 unidades monetarias, ¿interesa
contratar una hora adicional?
c) Determina si el máximo es o no global.
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PROGRAMACIÓN LINEAL
Problema de combinación de recursos
Este es uno de los problemas más comunes en Programación Lineal. Al igual
que en el caso de problemas No Lineales, se trata de producir varios productos con
recursos productivos limitados para maximizar los beneficios o los ingresos. En este
problema las variables son las cantidades producidas de cada producto y cada
restricción representa la limitación de un recurso productivo.
1.
La empresa de elaboración de zumos ZUMOS CINIL S.A. dispone de
concentrado de zumo de melocotón, piña y pera, para mezclarlos con agua y
producir zumos comerciales aptos para el consumo humano. La tabla
siguiente incluye la disponibilidad de cada zumo concentrado en kilogramos
(última fila); la composición en Kgs. de zumo concentrado por litro de zumo
comercial (matriz sombreada); y el precio de venta de cada zumo comercial
en euros por litro (primera columna):
Concentrado de zumo por litro de zumo
comercial (Kgs/l)
Zumos comerciales
Nombre
Precio (€/l.)
Melocotón
Piña
Pera
Melocotón
0,6
0,5
0
0
Melocotón-Piña
0,65
0,25
0,5
0
Melocotón-Pera
0,75
0,2
0
0,4
Piña
0,7
0
0,9
0
Pera
0,8
0
0
0,6
150
100
80
Disponibilidad (Kgs.)
También tiene en cuenta que la demanda de los 3 primeros zumos debe ser al
menos el doble que la de los dos últimos. Y que de zumo de melocotón, piña y
pera debe elaborar al menos 30 litros de cada uno. Con estas condiciones la
empresa desea maximizar sus ingresos. Se pide:
a) Define las variables y modeliza el problema.
b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.
c) Solución óptima en términos económicos para las variables principales y la
función objetivo.
d) Valor óptimo y significado económico del marginal de la 3ª restricción.
e) Valor óptimo y significado económico de la variable de holgura de la 1ª
restricción.
f) Razona si la solución es única o hay solución múltiple.
g) Intervalo de sensibilidad e interpretación económica del precio del zumo de
melocotón-piña.
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2.
La panadería PAN CREAS S.L. utiliza harina refinada, harina integral, centeno
y aceite (además de levadura, agua y sal) para elaborar cinco tipos de barras
de pan: normal, rústico, gallego, integral y de aceite. En la siguiente tabla
aparece la cantidad (en gramos o mililitros) de cada ingrediente que son
necesarios para elaborar cada barra pan:
Pan
Harina refinada
(gr.)
Harina integral
(gr.)
Centeno
(gr.)
Aceite
(ml.)
Normal
120
0
10
10
Rústico
80
10
30
10
Gallego
100
10
50
10
Integral
30
80
20
10
Aceite
70
0
20
30
Los precios de venta al público son: 65 céntimos de euro por cada barra de
pan normal, 70 céntimos el rústico, 80 céntimos el gallego, 80 céntimos el
integral y 90 céntimos el de aceite.
Las existencias para el día de cada ingrediente son: 3 sacos de 25 Kg. de
harina refinada, 5 sacos de 10 Kg. de harina integral, 2 sacos de 10 Kg. de
centeno y 12 litros de aceite.
La demanda máxima diaria es de 700 barras de pan conjuntamente entre pan
normal, rústico y gallego; y de 150 barras entre pan integral y de aceite. Otra
característica de la demanda de pan es que se venden más del triple de panes
normales que de integrales. La demanda mínima diaria de cada tipo de pan es
de 150 barras para el normal, 120 para el rústico, 150 para el gallego, 50
para el integral y 40 para el de aceite.
Plantea el problema para determinar cuántas barras debe elaborar de cada
tipo de pan para maximizar los ingresos suponiendo que vende todos los que
produce.
Problema de la dieta
El problema de la dieta, conocido por este nombre, fue uno de los primeros
problemas sobre optimización, motivado por el deseo del ejército americano de
asegurar unos requerimientos nutricionales al menor coste. El problema fue
analizado y resuelto por George Stigler usando la programación lineal en 1947.
3.
Un veterinario desea elaborar la dieta de coste mínimo para un grupo de
cebras del zoo, que cumpla unos requisitos vitamínicos que ha estimado
como: debe contener entre 26 y 32 unidades de vitamina A, al menos 25
unidades de vitamina B, al menos 30 de C y, al menos, 10 de vitamina D. La
tabla siguiente nos da el número de unidades de las distintas vitaminas por
unidad de alimento elegido entre seis tipos disponibles así como el coste de
cada unidad del alimento correspondiente.
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Colección problemas ordenador Matemáticas II
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Vitaminas
Coste por
Alimentos
A
B
C
D
unidad
1
1
1
0
1
10
2
1
2
1
0
14
3
0
1
2
0
12
4
3
1
0
1
18
5
2
1
2
0
20
6
1
0
2
1
16
a) Define las variables y modeliza el problema.
b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.
4.
Un granjero quiere planificar la alimentación de su ganado al menor coste
posible. El ganado puede alimentarse de tres maneras diferentes: con forraje
que el grajero puede adquirir a 20 céntimos de euro el kilo, con un pienso A a
50 céntimos el kilo o con un pienso B a 40 céntimos el kilo. Cada cabeza de
ganado debe obtener diariamente al menos 400 gramos de proteínas, al
menos 800 gramos de hidratos de carbono y no más de 100 gramos de
grasas. El forraje contiene un 10% de proteína, un 80% de hidratos y un 10%
de grasas. El pienso A contiene un 40% de proteína, un 60% de hidratos de
carbono y no contiene grasas. El pienso B contiene un 30% de proteína, un
50% de hidratos de carbono y un 20% de grasas. El granjero quiere
obviamente minimizar los costes.
a) Define las variables y modeliza el problema.
b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.
c) Escribe cuál es la dieta óptima, el coste óptimo y el valor de las variables de
holgura.
d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución obtenida.
e) ¿Es única la solución? ¿Es degenerada?
f) ¿Sigue siendo válida la solución si las necesidades de proteína del ganado
pasaran a ser de 600 gramos diarios? Explica tu respuesta.
g) La Unión Europea decide subvencionar el pienso B con 3 céntimos de euro
por Kg. ¿Es válida la solución actual en esas condiciones?
h) ¿En cuánto aumentaría el coste si las necesidades de hidratos de carbono
pasaran a ser de 900 gramos?
i) Escribe entre qué valores puede oscilar el precio del pienso A para que siga
siendo válida la solución actual.
Problemas de blending o de mezclas
En algunos problemas, como por ejemplo los de blending o mezclas, aparecen
algunas restricciones formuladas mediante ratios o cocientes entre variables, es
decir, de la forma:
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Colección problemas ordenador Matemáticas II
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∑α
∑β
ij
xj
ij
xj
= r
Ante este tipo de restricciones lo usual es linealizarlas, es decir, suponiendo
que Σ βij xj ≠ 0, transformarla es una restricción de la forma:
Σ ( αj - r βij )xj = 0
5.
Una cooperativa vinícola produce dos tipos de vinos cuya graduación depende
de las zonas de la comarca y del tipo de uva de sus asociados, de acuerdo con
el siguiente cuadro:
GRADUACIÓN
CANTIDAD
VINO 1
15
200.000
VINO 2
10
100.000
La cooperativa ha observado que estos dos tipos de vinos son difíciles de
comercializar dado que el primero tiene una graduación excesiva y el segundo
una graduación demasiado baja, motivo por el cual la demanda del primero
nunca es superior a 100.000 litros y la del segundo a 60.000 litros, por lo que
todos los años se producen excedentes de ambos tipos de vinos que la
cooperativa debe destinar a la producción de alcohol que vende posteriormente
a un precio de 1 euro por litro.
Por este motivo se plantea realizar una mezcla de ambos tipos de vino con el
fin de obtener una nueva marca de vino (v3) con una graduación intermedia
que tiene una mayor aceptación en el mercado.
Después de un exhaustivo estudio, la cooperativa ha determinado que el vino
que tiene una mayor aceptación en el mercado es el que tiene una graduación
comprendida en los 12 y 13 grados y que en este caso tendría garantizada una
comercialización total de la producción sí el precio fuera de 5 euros el litro.
Sabiendo que los precios de coste del vino 1 (v1) es de 2,5 euros por litro y el
del vino 2 (v2) es de 1,5 euros por litro. Los precios de venta actuales de
ambos vinos es de 4 y 2,5 euros respectivamente.
Determinar la cantidad a producir y comercializar de cada uno de los tipos de
vino y del vino de mezcla (v3).
Problema de transporte
La primera referencia escrita de este problema se remonta a 1781, cuando el
matemático francés Gaspard Monge describe el problema de la construcción y
abastecimiento de fortificaciones militares de los ejércitos de Napoleon. Monge era
entonces general de los ejércitos napoleónicos. Para resolver este problema usó el
método de “cortar y llenar”, es decir, ir abasteciendo las diferentes trincheras desde
los depósitos de material existentes.
Formalmente, este problema aparece en 1941 cuando F.L. Hitchcock publica
una solución analítica para este problema, aunque su desarrollo se produce a
10
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
finales de los años 40, cuando Koopmans (un joven holandés) realiza su tesis
doctoral sobre los problemas de embarque de la marina holandesa.
A partir de ese momento el campo de aplicación del problema del transporte
empieza a crecer de una forma muy rápida, no solo en aplicaciones militares, sino
también en el campo de la producción, la distribución, las finanzas, etc.
6.
Una compañía de transporte terrestre puede comprar gasolina a tres
proveedores. Los proveedores disponen mensualmente de 2.000, 6.000 y
6.000 litros respectivamente. La compañía necesita gasolina en tres
localidades que requieren 5.000, 3.000 y 2.000 litros mensuales
respectivamente. El precio por litro de gasolina a la entrega de cada localidad
es el siguiente:
localidad
proveedor
1
2
3
1
2
3
1
2
4
2
5
3
1
8
9
La compañía desea minimizar el coste.
Define las variables y modeliza el problema.
Resuelve el problema con LINGO/GAMS.
¿Cuál es la solución óptima del problema? ¿Y el coste mínimo?
¿Entre qué valores puede variar el precio que paga la ciudad 1 al proveedor
2 sin que cambie la solución óptima?
e) Los requerimientos de la localidad 3 han disminuido y ahora sólo se
necesitan 1800 litros mensuales. ¿Qué información conoces de la nueva
solución óptima sin resolver de nuevo el problema?
a)
b)
c)
d)
7.
MONDESCOR es una empresa que fabrica dos modelos de coches en dos
plantas de producción y los vende en Madrid, Barcelona y Valencia. Los costes
de transportar un coche, independientemente del modelo, de cada fábrica a
cada ciudad, vienen dados en unidades monetarias en la siguiente tabla:
Madrid
Barcelona
Valencia
Planta 1
30
20
40
Planta 2
100
90
40
Y la demanda de cada modelo en cada ciudad es:
Madrid
Barcelona
Valencia
Modelo 1
800
2000
4500
Modelo 2
1200
1000
1500
La capacidad máxima de producción de cada planta es de 10000 y 8000
coches, respectivamente, sumando los dos modelos.
a) Determina cuántos coches de cada modelo se deben transportar desde cada
planta a cada ciudad para satisfacer la demanda y minimizar los costes de
transporte.
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Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
b) ¿Qué ocurrirá con la solución anterior si en Madrid se produce un aumento
de demanda del 10% para el Modelo 1?
Problemas variados
8.
MULTIPOT es una empresa especializada en la fabricación y comercialización
de barriles de tres capacidades diferentes: de 100, 50 y 20 litros de
capacidad. Tras realizar un estudio de mercado, la empresa piensa que le
resultaría rentable comercializar como máximo 1062 barriles en total, siempre
que sean al menos 100 de 100 litros y 300 de 20 litros. Bajo estas
condiciones, los beneficios que obtendría por cada barril serían de 52, 50 y 48
unidades monetarias respectivamente. Sabiendo que la empresa dispone de
un total de 1500 horas de mano de obra y fabricar cada barril de cada
capacidad cuesta 100, 80 y 90 minutos, MULTIPOT quiere saber cuántos
barriles de cada tipo debe fabricar para maximizar sus beneficios.
a) Define las variables y modeliza el problema.
b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.
c) ¿Cuántos barriles de cada tipo comercializará MULTIPOT? ¿Qué beneficio
obtendrá?
d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución óptima y
justifica si la solución es única y/o degenerada.
e) Si la empresa decide fabricar un barril menos de 20 litros, ¿qué ocurrirá con
los beneficios?
f) Si el beneficio por barril de 100 litros desciende hasta 50 unidades
monetarias, ¿la solución sigue siendo óptima? Escribe la solución óptima y el
valor de la función objetivo en el óptimo.
g) Si la empresa decide fabricar como mínimo 1100 barriles en total, ¿la
solución sigue siendo óptima? Escribe la solución óptima y el valor de la
función objetivo en el óptimo.
9.
La empresa de elaboración de derivados de la leche LECHE UGA S.A. dispone
de yogur de leche, jarabe de plátano y jarabe de fresa, para mezclarlos con
azúcar y producir 5 yogures comerciales aptos para el consumo humano. La
tabla siguiente incluye la disponibilidad de cada ingrediente en Kgs. (última
fila); la composición en Kgs. de ingrediente por litro de yogur comercial
(matriz sombreada); y el beneficio por litro de cada yogur comercial en euros
por litro (primera columna):
Yogures comerciales
Nombre
Ingredientes (Kgs/l.)
Benef. (€/l.)
Yogur leche
Jar. Plátano
Jar. fresa
Natural
0,91
0,9
0
0
Plátano
1,03
0,5
0,3
0
Fresa
1,22
0,4
0
0,4
Plátano-Fresa
1,24
0,3
0,25
0,25
Nat.azucarado
0,79
0,8
0
0
250
50
50
Disponibilidad (Kgs.)
12
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
También tiene en cuenta que la demanda de los yogures de plátano y fresa no
puede superar las 50 unidades de cada uno y que de natural y natural
azucarado debe producir al menos tantos como de los otros tres. La empresa
desea maximizar sus beneficios. Se pide:
a) Define las variables y modeliza el problema.
b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.
c) Solución óptima en términos económicos para las variables principales y la
función objetivo.
d) Valor óptimo y significado económico del multiplicador de K-T de la 3ª
restricción.
e) Valor óptimo y significado económico de la variable de holgura de la 1ª
restricción.
f) Razona si la solución es única o hay solución múltiple.
g) Intervalo de sensibilidad e interpretación económica del precio del yogur
azucarado.
10. Una empresa editorial publica y comercializa tres tipos de libro: novela,
ensayo y poesía. El proceso de publicación y comercialización de cada uno de
estos libros pasa por 4 secciones: edición del texto, diseño de dibujos y fotos,
impresión y encuadernado, y distribución y comercialización. La tabla adjunta
proporciona el número de horas empleadas en cada sección por unidad y los
beneficios estimados (en cientos de euros) para cada tipo de libro.
Tipo de
Libro
Edición
Texto
Dibujos
y Fotos
Impresión y
Distribución y
Beneficios
Encuadernado Comercialización
Novela
10
6
24
8
28
Ensayo
9
15
28
20
15
Poesía
15
5
48
50
25
Sabiendo que dispone de 1620 horas en la sección de edición del texto, 748
horas en la sección de diseño de dibujos y fotos, 4392 horas en la sección de
impresión y encuadernado, y 5200 horas en la sección de distribución y
comercialización, la empresa desea conocer cuántos libros tiene que publicar
y comercializar de cada tipo para maximizar sus beneficios.
a) Define las variables y modeliza el problema.
b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.
c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? ¿Y el beneficio máximo? ¿Se
gastan todos los recursos disponibles?
d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución óptima.
¿La solución es única y/o degenerada?
e) ¿Qué efecto tendría sobre el beneficio la publicación y comercialización de 4
libros de ensayo?
f) ¿Entre qué valores pueden variar las horas disponibles en la sección de
impresión y encuadernado para que siga sin interesar a la empresa publicar
y comercializar libros de ensayo?
13
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
g) ¿Cuál sería la solución óptima del problema si los beneficios de la publicación
y comercialización de novelas aumentaran a 2875€? ¿Y el beneficio óptimo?
11. Una empresa fabrica tres artículos en cantidades x, y, z y obtiene por cada
unidad producida unos ingresos de 7, 5 y 8 u.m. respectivamente. En el
proceso de fabricación se deben cubrir unos gastos unitarios de 4, 3 y 4 u.m.
respectivamente. Además, la empresa dispone de una materia prima M
limitada a 800 unidades, así como de un máximo de 1000 horas de mano de
obra. La empresa se ha comprometido a entregar al menos 30 unidades del
primer artículo y desea maximizar los beneficios. Las necesidades de mano de
obra y materia prima se resumen en la siguiente tabla:
Artículo 1
Artículo 2
Artículo 3
Materia prima
2
15
3
Horas de trabajo
5
10
4
a) Define las variables y modeliza el problema teniendo en cuenta que las
unidades producidas pueden ser números no enteros.
b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.
c) Indica cuál es la producción óptima y el beneficio máximo. Indica también el
valor de las variables de holgura.
d) ¿Cómo afectará a los beneficios el que la empresa se comprometa a
entregar 32 unidades del primer artículo?
e) Razona lo que ocurrirá con la solución actual si el ingreso unitario por el
tercer artículo pasa a ser de 6 u.m.
f) ¿Sigue siendo óptima la solución si la materia prima desciende a 650
unidades?
g) ¿Cuál será el beneficio máximo si las horas de mano de obra pasan a ser
1100?
12. Una empresa fabrica tres tipos de yogures: natural, bífidus y muesli, que
vende a 1.9, 2.45 y 2.2 euros por kilogramo respectivamente. Para la
fabricación emplea leche, fermentos y una mezcla de cereales y dispone de
40, 9 y 2 kilogramos respectivamente. La composición del Kg de cada tipo de
yogur se recoge en la tabla siguiente.
Leche
Fermentos
Cereales
Natural
0.85
0.15
0
Bífidus
0.8
0.2
0
Muesli
0.7
0.2
0.1
La empresa desea maximizar los ingresos.
a) Define las variables y modeliza el problema.
b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.
c) Escribe la solución óptima y el ingreso máximo. Indica cuáles son las
variables básicas y no básicas en la solución obtenida.
14
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
d) ¿Es única la solución? ¿Es degenerada?
e) ¿Sigue siendo válida la solución actual si el ingreso por cada Kg. de yogur de
muesli pasa a 2.4 euros por Kg.?
f) Se nos ofrece un Kg. más de fermento a un precio de 10 euros. ¿Nos
conviene aceptar la oferta? ¿Cuál es el incremento esperado para el ingreso?
g) Indica el intervalo de sensibilidad de la disponibilidad de fermento y explica
lo que significa que el término independiente salga de ese intervalo.
h) ¿Entre qué valores puede oscilar el precio del yogur natural para que la
solución actual siga siendo válida?
13. La ciudad 1 produce diariamente 500 Tm. de basura y la ciudad 2 produce
400 Tm. Hay dos quemadores para destruir la basura, en cada uno de los
cuales se puede incinerar hasta 500 Tm. de basura al día. El coste de quemar
basura en el quemador 1 es de 40 $/Tm. y en el quemador 2 es de 30 $/Tm.
La incineración reduce cada tonelada de basura a 0.2 Tm. de desechos que
hay que tirar en uno de dos basureros disponibles. Cada basurero puede
recibir como máximo 200 Tm. de desechos al día. El coste de transportar una
tonelada de basura o de desechos es de 3 $/milla, y las tablas siguientes
contienen las distancias en millas entre las ciudades y los quemadores y entre
los quemadores y los basureros.
Ciudad 1
Ciudad 2
Quemador 1
30
36
Quemador 2
5
42
Quemador 1
Quemador 2
Basurero 1
5
9
Basurero 2
8
6
a) ¿Cuánta basura debería quemarse en cada quemador y cuántos desechos
deberían llevarse a cada basurero para minimizar los costes? ¿Es única la
solución?, ¿es degenerada?
b) Razona qué ocurriría con la solución óptima si la ciudad 2 aumenta su
producción diaria de basura a 450 Tm.
14. Un exportador de cítricos adquiere naranjas a los agricultores de su zona para
manipularla y exportarla a distintos países de la UE. Los precios en el campo y
los costes de manipulación determinan unos márgenes de beneficio que
dependen de la variedad de la naranja. La siguiente tabla proporciona estos
datos y los meses del año en que se puede recolectar cada variedad.
1. Marisol
2. Clemenules 3. Clemenvilla
Beneficio €/Kg.
0’03
0’07
0,08
Meses
Octubre a Dic. Nov. a Enero Dic. a Febrero
La oferta máxima de naranja en la zona para esta campaña es de 200000 Kgs
para cada una de las variedades 1 y 3 y de 400000 para la variedad 2.
Los clientes extranjeros demandan naranja según los meses del año, sin
importarles mucho la variedad de la que se trate. Las demandas que deben
ser satisfechas vienen dadas en la siguiente tabla:
Demanda (Kg)
Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero
60000
150000
230000 90000 70000
15
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
Las limitaciones del almacén donde se manipula la naranja suponen que de
cada variedad y en cada mes no se pueden tratar más de 130000 Kgs.
a) Con estas limitaciones, plantee el problema que proporciona a este
exportador la cantidad de Kgs que debe comercializar de cada variedad en
cada mes para maximizar el beneficio.
b) Obtenga el intervalo de sensibilidad de la demanda de Octubre e interprételo
económicamente.
15. El gobierno quiere reformar las pensiones para ahorrarse al menos 800
millones de € el próximo año y al menos 6000 millones de € de aquí a 10
años. Ha realizado una estimación del ahorro de cuatro posibles medidas y del
coste político que tendrían. En la siguiente tabla se muestra el ahorro de cada
medida (en millones de €) y el porcentaje de población que está en contra de
cada una:
Ahorro
próximo
año
Ahorro de
aquí a 10
años
Coste
político
Bajar las pensiones en términos reales en el
año próximo: ahorro por cada punto
porcentual que bajen
1600
1200
80
Aumentar la edad de jubilación: ahorro por
cada año que se aumente
800
1800
55
Exigir más años cotizados para obtener la
pensión completa: ahorro por cada año
cotizado adicional
250
2600
40
75
1500
35
Medida
Calcular la pensión sobre la base de más
años cotizados: ahorro por cada año cotizado
adicional
Todas las reformas se pueden implantar con distinta profundidad, aunque la
edad legal de jubilación no se puede aumentar más de 3 años y 6 meses, y los
años cotizados adicionales de la tercera y cuarta medida deben ser los mismos.
Modeliza el problema mediante un problema de programación matemática para
determinar la profundidad de cada reforma que se debería implantar para
minimizar el coste político pero cumpliendo los objetivos de ahorro.
16
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA
Problema de mochila
Este tipo de problemas se caracteriza por la existencia de una única restricción
(problemas de mochila unidimensional), aunque a veces es posible que existan
otras restricciones adicionales (mochila multidimensional).
Se le conoce por el nombre de problema de mochila (aunque también recibe el
nombre de problema de carga o flyaway kit), ya que puede representarse por el
siguiente ejemplo: Un excursionista debe elegir entre varios objetos para
transportar en su mochila, que no debe exceder de determinado peso y donde el
objetivo consiste en maximizar el valor de la mochila, es decir, el valor de los
objetos que contiene.
1.
Inés se va de vacaciones con una aerolínea de bajo coste que le permite
facturar como máximo 15 kilos y llevar 10 kilos más de equipaje de mano. Ha
pesado sus maletas vacías; la que piensa facturar pesa 4.1 kilos y la que
llevará como equipaje de mano 2.5 kilos. Tiene una serie de objetos que le
gustaría llevarse. Para cada uno ha estimado el beneficio que le reportaría
llevarlo y ha calculado su peso (en kilos). Los datos se muestran en la
siguiente tabla:
Objeto1
Objeto2
Objeto3
Objeto4
Objeto5
Objeto6
Objeto7
peso
5
4
5
7
4
6
5
beneficio
0.2
0.3
0.5
0.1
0.4
0.7
0.2
Además, los objetos 2 y 7 no los puede llevar en el equipaje de mano y el
objeto 3 es preciso llevarlo.
Plantea el problema de programación matemática que resuelve el problema
de Inés.
2.
La Consellería de Obras Públicas dispone de un presupuesto para
infraestructuras de 5000 millones de euros en los próximos 4 años. Para
determinar las obras a realizar se hace una lista de actuaciones preferentes.
Elige los proyectos que se han de llevar a cabo si los costes e índices de
impacto de beneficio social vienen dados por la siguiente tabla:
Obra
Coste (en millones de €)
Índice de impacto
1
2000
4
2
3000
5
3
1000
3
4
1500
3
5
4000
7
6
500
2
7
1000
4
8
1000
3
17
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
Problema de asignación
Este tipo de problema apareció en la aplicación de la programación lineal a la
sociología1. Vamos a describir cual era el problema al que debía aplicarse.
El problema de la asignación, fue inicialmente conocido como el problema del
matrimonio, y fue propuesto como una de las primeras aplicaciones de la
programación lineal a la sociología, a principios de los años 50.
La idea de esta aplicación consistía en un club de sociólogos, cinco hombres y
cinco mujeres, los cuales se conocían muy bien, y basándose en sus opiniones
personales consideraron la cantidad de “felicidad” que proporcionaba la unión del
hombre i-esimo con la mujer j-esima.
Esos valores, denominados cij , fueron tabulados dando lugar a :
i
/
j
1
2
3
4
5
1
78
-16
19
25
83
2
99
98
87
16
92
3
86
19
39
88
17
4
-20
99
88
79
65
5
67
98
90
48
60
Con ello se pretendía determinar la asociación entre los miembros del club para
que la felicidad total fuera máxima.
3.
El encargado de recursos humanos de una gran empresa debe asignar a los 3
trabajadores que se encargan de la parte contable a 3 tareas que hasta ahora
realizaban indistintamente: tesorería, financiación y contabilidad. Tras
realizarles un test de conocimientos en los tres campos obtienen una
calificación en cada parte que le indica el rendimiento de cada trabajador en
cada puesto de trabajo. Los datos del test son:
Tesorería
Financiación
Contabilidad
Trabajador 1
7’5
8’6
8’4
Trabajador 2
5’3
7’2
6’1
Trabajador 3
6’7
7’9
7’5
El encargado debe decidir qué trabajador asigna a cada tarea para maximizar
el rendimiento total.
4.
Los responsables de “Cinemas Martí” están preparando la programación para
el día de fiestas y disponen de 3 películas, pero tan solo pueden programar 2
sesiones en la única sala existente. Estiman la cantidad de espectadores que
1
Halmos, P.R. y Vaughan, H.E. (1950): “ The Marriage Problem”.
American Journal of Mathematics, Vol 72.
18
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
irá a cada película según el horario de la sesión y ordenan los datos en la
siguiente tabla:
Espectadores según película y horario
16:00
20:00
Animación
100
60
Musical
140
180
Drama
50
150
Plantea un problema de programación matemática para determinar qué
películas y en qué horarios se han de programar si se quiere maximizar la
cantidad total de espectadores, teniendo en cuenta no repetir ninguna
película.
Problemas variados
5.
La ciudad de Villa Arriba tiene tres escuelas de enseñanza media superior. El
consejo directivo de escuelas de la ciudad ha decidido redistribuir las zonas
escolares asignadas a cada escuela. La ciudad está dividida en 10 secciones,
cada una de ellas con una población estimada de estudiantes para los
próximos años. Se ha determinado la distancia (en km) del centro de cada
sección a cada una de las escuelas. La siguiente tabla recoge estos datos
junto con la capacidad máxima de cada escuela:
Distancia
Sección
Alumnos
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
1
450
1'2
1'5
3'3
2
400
2'6
4
5'5
3
500
0'7
1'1
2'8
4
500
1'8
1'3
2
5
400
1'5
0'4
2'3
6
450
2
0'6
1'7
7
450
1'2
1'4
3'1
8
500
3'5
2'3
1'2
9
400
3'2
1'2
0'7
10
450
3'8
1'8
1
1500
2000
1300
Capacidad escuela
El consejo directivo de escuelas desea determinar cuántos estudiantes de
cada sección deben asistir a cada una de las escuelas para que la distancia
total recorrida por el conjunto de estudiantes de la ciudad sea mínima.
6.
Una compañía minera opera con tres minas. El mineral de cada una se separa
antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las
19
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
minas así como sus costes diarios (medidos en millones de euros) son los
siguientes:
Mineral grado alto
(Tm/día)
Mineral grado bajo
(Tm/día)
Costes diarios
Mina 1
4
4
2
Mina 2
6
4
2'2
Mina 3
1
6
1'8
La compañía se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado
alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para finales de la siguiente
semana. Además, tiene contratos de trabajo que garantizan a los
trabajadores de las tres minas el pago del día completo por cada día o
fracción de día que la mina esté abierta.
Determina el número de días que cada mina deberá operar durante la
siguiente semana, si la compañía ha de cumplir su compromiso con un coste
total mínimo, justificando que se trata de un problema entero.
7.
Una empresa de turismo rural dispone de un presupuesto de 350.000 euros
para rehabilitar un hotel rural y poder abrirlo en el verano de 2008. Las
posibilidades que maneja son las siguientes:
Para el exterior del hotel:
Reforma básica: coste de 45.000 euros
Nuevo aparcamiento: coste 20.000 euros
Piscina: coste 75.000 euros
Para la planta baja del edificio:
Reforma básica: coste de 75.000 euros
Nueva sala de TV: coste de 10.000 euros
Cafetería: coste de 25.000 euros
Para las plantas de habitaciones:
Reforma básica: coste de 50.000 euros
Mejora de cada habitación doble: coste de 3.000 euros
Mejora de cada habitación familiar: coste de 5.000 euros
La empresa prevé una mejora en la ocupación según las reformas que lleve a
cabo. Así, el nuevo aparcamiento va a suponer 150 noches ocupadas
adicionales, la piscina 450, la nueva sala de TV 100, la cafetería 300, la
mejora en las habitaciones dobles 15 noches adicionales por habitación y la
mejora en las habitaciones familiares 20 por habitación. El número total de
habitaciones dobles del hotel es de 25 y el de familiares es de 15.
Lógicamente, la reforma de cada habitación debe ser completa pero no es
necesario reformarlas todas.
Las reformas básicas deben llevarse a cabo obligatoriamente. En cuanto al
resto de reformas, cada una debe hacerse de forma completa o no hacerse.
20
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
Plantea el problema para determinar qué reformas deben llevarse a cabo para
maximizar el número de noches ocupadas adicionales.
8.
Un inversor particular dispone de un capital de 1,5 millones de € y se plantea
4 posibilidades de inversión: un depósito bancario al 2% de interés anual,
invertir en renta fija privada a un interés del 4,5% anual, invertir en renta
variable con una rentabilidad esperada del 10% y comprar una casa de
300.000 € para alquilarla por 21.000 € al año.
Para disminuir el riesgo, el depósito bancario debe suponer al menos el 20%
del capital, mientras que la inversión conjunta en renta fija y en el depósito
debe ser al menos el doble que la inversión conjunta en renta variable y en la
compra de la casa.
El inversor debe decidir cuánto dinero tiene que depositar en el banco, cuánto
tiene que invertir en renta fija, en renta variable y si se compra o no la casa,
para maximizar sus ingresos anuales.
21
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ORDENADOR
1.
ACERESA és una empresa que desitja fabricar un nou aliatge (cast. aleación)
amb 40% d'alumini, 15% de zinc i 25% de plom a partir de varis aliatges
disponibles que tenen les propietats següents:
Aliatge
1
2
3
4
5
Percentatge d'alumini
60
25
45
20
50
Percentatge de zinc
10
15
45
50
40
Percentatge de plom
30
60
10
30
10
Cost (u.m./tona)
15
10
25
40
30
Es desitja determinar les proporcions que han de mesclar-se per a produir
l'aliatge al mínim cost. Este problema pot plantejar-se com el programa
següent:
. 15
10
25
40
30
. . 60
25
45
20
50
40
10
15
45
50
40
15
30
60
10
30
10
25
1
0,
1,2, … ,5
Es demana:
a) Quina és la definició de les variables principals en el model anterior?
b) Resol el problema amb GAMS/LINGO.
c) En quin percentatge es mesclen els 5 aliatges disponibles? Quin és el cost
mínim per tona?
d) Indica quines són les variables bàsiques i no bàsiques en la solució òptima i
justifica si la solució és única i/o degenerada.
e) Quin efecte aproximat tindria sobre el cost mínim per tona augmentar en un
1% la proporció de zinc en el nou aliatge?
f) Si la proporció exigida d'alumini en el nou aliatge es reduïx al 30%
s'introduirà en la mescla l'aliatge 4? El requisit d'alumini es complirà amb
igualtat o amb desigualtat estricta?
g) Per a quin rang de costos del segon aliatge la solució obtinguda continuarà
sent òptima?
2.
Es planteja un problema de mescles amb 5 ingredients per obtindre un
producte final (detergent líquid per a roba). Les variables xi representen la
quantitat de cada ingredient (x1 en litres, la resta de variables en Kgs.) per
obtindre 1 litre de detergent líquid. L’objectiu és minimitzar el cost d’obtenció
22
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
d’un litre de detergent (funció objectiu en euros) però complint un conjunt de
restriccions per a que la mescla tinga una sèrie de característiques. L’enunciat
matemàtic juntament amb el significat de cada restricció és:
0,4
. 0,03
12
. .
10
20
0,15
30
0,09
18
12
5
22
0,2
(densitat mínima en %)
25
(pH mínim)
16
(restricció de pèrdues en la mescla en l.)
1,5
0,25
(quantitat màxima en la mescla de l’ingredient 4 en Kgs.)
0,5
(quantitat mínima en la mescla de l’ingredient 3 en Kgs.)
0,
1,2, … ,5
Es demana:
a) Passar el problema a GAMS/LINGO i resoldre’l, incloent l’anàlisi de
sensibilitat.
b) Raona si la solució és única o d’aresta.
c) Valor òptim de totes les variables principals i de la funció objectiu.
Interpretació econòmica del valor de x3 i del valor de la funció objectiu.
d) Valor òptim de totes les variables de folgança. Interpretació econòmica de la
de la segon restricció.
e) Valor òptim de tots els multiplicadors de Kuhn i Tucker. Raonar sense tornar
a resoldre el problema, com afectaria aproximadament al cost òptim un
augment del percentatge de densitat mínima fins a 27?
f) Interval de sensibilitat del pH mínim i interpretació econòmica.
3.
Un país pot abastir-se de quatre fonts d'energia: dues són sostenibles (la
solar i l'eòlica), la tercera és la nuclear i la quarta el petroli. El país vol
minimitzar el cost energètic total (en milers €) però respectant unes
restriccions, segons les quals s'ha d'abastir d'almenys 3.000 Mws., ha de
complir amb una producció mínima de 600 Mws. provinent de fonts
sostenibles, ha d'utilitzar l'energia nuclear i el petroli en una proporció mínima
d'un a tres i, per últim, ha de respectar una quarta restricció de risc ambiental
màxim de 4.200 unitats. També ha de complir amb uns mínims de 200 Mws.
d'energia solar que ja té instal·lada i amb uns contractes de compra de petroli
per la qual cosa produirà un mínim de 350 Mws. El plantejament matemàtic
del problema és:
. 36
22
. .
8
16
3000
600
3
0,1
0
0,3
200,
2,8
1,5
4200
0,
0,
350
a) Resol el problema i l'anàlisi de sensibilitat amb GAMS/LINGO.
23
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
b) Valor òptim de totes les variables principals i de la funció objectiu.
Interpreta econòmicament el valor de x i de la funció objectiu. No t'oblides
d'incloure les unitats de mesura.
c) Indica quines són les variables bàsiques i no bàsiques en la solució òptima i
justifica si la solució és única o múltiple.
d) Si el país decidix augmentar el risc ambiental màxim a 4.300 unitats, calcula
aproximadament com afectarà al cost energètic òptim sense tornar a
resoldre el problema.
e) Si el cost per Mw. de l'energia solar baixa a 24.000 €., raona si la solució
continua sent òptima fent ús de l'anàlisi de sensibilitat (sense tornar a
resoldre).
f) Calcula l'interval de sensibilitat de la producció mínima amb energies
sostenibles i interpreta'l econòmicament.
4.
Una empresa de calçat esportiu fabrica 4 models d’esportives (Competició,
Màgic, Ràpid i Pluma en quantitats x1, ..., x4 respectivament) utilitzant cuir,
goma, ma d’obra per fer els remats i ma d’obra per empaquetar-les. També
utilitza altres recursos dels quals no existeix problema de disponibilitat.
L’empresa ha de decidir quantes esportives de cada model ha de fabricar i
planteja el següent problema on la funció objectiu és l’ingrés mensual en €,
les 4 primeres restriccions són les limitacions de cada factor productiu i
l’última i les condicions de domini són les limitacions de demanda:
. 34
27
45
52
. . 0,6
0,6
1,2
1,6
0,2
0,15
0,45
0,8
2500
480
(cuir en Kgs.)
(goma en Kgs.)
4
7
15
12
7200
(ma d’obra fer remats en minuts)
6
5
15
18
9600
(ma d’obra empaquetar en minuts)
1000
,
(condició de demanda conjunta)
200
(demanda màxima del primer producte)
100
(demanda mínima del quart producte)
,
,
0
Es demana:
a) Passa el problema a GAMS/LINGO i guarda el model, la solució i l’anàlisi de
sensibilitat.
b) Contesta a continuació les següents qüestions:
1. Raona si la solució òptima és única o en poden haver altres.
2. Quan valen les variables de folgança de les cinc primeres
restriccions? Interpreta econòmicament el valor de la segona.
3. Si disposarem de 1 hora més de ma d’obra per empaquetar, calcula
aproximadament l’efecte sobre els ingressos màxims mensuals.
4. Calcula els intervals de sensibilitat del preu de venta del model Ràpid
i de la disponibilitat màxima de cuir.
5. Calcula la producció òptima i els ingressos màxims amb la condició
addicional de que les variables siguen senceres (no cal guardar
aquest problema).
5.
L’empresa MAX BICI s’encarrega del muntatge de bicicletes de carretera.
Munta 4 models combinant components de distinta qualitat. Les restriccions
24
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
del problema indiquen la limitació de cada component per a la setmana
pròxima (dels altres components no hi ha problemes d’existències), l’última
restricció indica la limitació de mà d’obra i la funció objectiu indica els
beneficis setmanals totals (en €):
570
. 440
. .
250
320
25
(quadres de fibra de carboni)
20
(quadres d’alumini)
2
2
70
(rodes lenticulars)
2
2
80
(rodes tubulars)
(grups de canvi E80)
100
(grups de canvi E70)
20
3
2
,
,
1,5
,
90
(hores setmanals treball)
0
Es demana:
a) Passa el problema a GAMS/LINGO i guarda el model, la solució i l’anàlisi de
sensibilitat.
b) Contesta a continuació les següents qüestions:
1. Raona si la solució òptima és única o en poden haver altres.
2. Quant valen les variables de folgança de les cinc primeres
restriccions? Interpreta econòmicament el valor de la segona i la
tercera.
3. Si disposarem de 5 hores de treball més, calcula aproximadament
l’efecte sobre els beneficis màxims.
4. Interpreta econòmicament el tercer valor que apareix en la columna
“Reduced Cost”
5. Calcula els intervals de sensibilitat del benefici unitari del primer tipus
de bicicleta i de la disponibilitat màxima de quadres d’alumini.
6.
Una empresa editorial publica y comercializa libros de texto. El proceso de
publicación y comercialización de cada uno de estos libros pasa por tres
secciones: edición del texto, diseño de dibujos y fotos e impresión y
encuadernado. Para realizar todo este proceso la empresa dispone de tres
procedimientos de trabajo, la tabla adjunta proporciona el número de horas
empleadas por libro en cada sección y los costes estimados (en miles de
euros) para cada procedimiento.
Procedimiento A
Procedimiento B
Procedimiento C
Edición
Texto
100
90
120
Dibujos y
Fotos
80
65
50
Impresión y
Encuadernado
90
60
45
Costes
5
5.2
4.5
Sabiendo que dispone de 5100 horas en la sección de edición del texto, 3000
horas en la sección de diseño de dibujos y fotos y 2700 horas en la sección de
impresión y encuadernado, y que la empresa se ha comprometido a publicar
25
Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
50 libros, la empresa desea conocer cuántos libros tiene que realizar con cada
procedimiento para minimizar sus costes.
El problema quedaría formulado de la siguiente manera:
5,2
. 5
4,5
90
120
80
65
50
3000
90
60
45
2700
. . 100
5100
50
,
,
0
a) ¿Cuál es la definición de las variables xi en el modelo anterior?
b) Resuelve el modelo anterior utilizando el programa GAMS/LINGO y responde
a las siguientes preguntas interpretando la salida obtenida.
c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? ¿Y el coste mínimo? ¿Se gastan
todos los recursos disponibles?
d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución óptima.
¿La solución es única y/o degenerada?
e) Si la empresa pudiera disponer de 4 horas adicionales al mismo coste la
hora, ¿a qué sección del proceso de publicación y comercialización se
dedicarían? Justifica tu respuesta
f) ¿Entre qué valores puede variar la demanda para que siga sin emplearse el
procedimiento A?
g) ¿Cuál sería la solución óptima del problema si los costes por libro de texto
del procedimiento B fueran de 5220€? ¿Y el coste óptimo?
7.
La Weigelt Corporation tienes tres plantas con exceso en su capacidad de
producción. Por fortuna, la corporación tiene un nuevo producto listo para
iniciar su producción y las tres plantas pueden fabricarlo, así que se podrá
usar parte del exceso de este modo. El producto puede hacerse en tres
tamaños: grande, mediano y pequeño; y darán una ganancia neta de $420,
$360 Y $300, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano
de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias de este
producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de
tamaños de que se trate.
La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone
también limitaciones en las tasas de producción del nuevo producto. Las
plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio
respectivo, para material en proceso de la producción diaria. Cada unidad
grande, mediana y pequeña que se produce requiere 20, 15 y 12 pies
cuadrados, respectivamente.
Los pronósticos de venta indican que, si están disponibles, se pueden vender
900, 1200 y 750 unidades diarias de los tamaños respectivos grande,
mediano y pequeño.
Será necesario despedir algunos empleados en cada planta a menos que la
mayor parte de esta capacidad en exceso se pueda usar con el nuevo
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Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
producto. Para evitar despidos en lo posible, la gerencia ha decidido que las
plantas deben usar el mismo porcentaje de su capacidad adicional con este
nuevo producto.
El gerente desea saber cuántas unidades de cada tamaño producir en cada
planta para maximizar la ganancia.
El planteamiento del problema es el siguiente:
360
. 420
300
750,
. .
900,
20
15
12
13000,
20
15
12
5000
20
900,
12
1200,
750
900
750
450
0,
15
450
12000
750
,
donde xij=número de unidades de tamaño i fabricadas en planta j, i=grande,
mediano, pequeño, j=1, 2, 3.
Resuelve el problema utilizando el programa GAMS/LINGO y a partir de la
salida obtenida responde razonadamente a las preguntas a, b, c, d y e.
a) Escribe la solución óptima encontrada, el número de unidades fabricadas del
producto en los tamaños grande, mediano y chico, y la ganancia máxima.
¿Se usa todo el exceso de capacidad de producción disponible en cada
planta? ¿Y el espacio disponible?
b) Identifica las variables básicas y no básicas de la solución óptima encontrada
y justifica si la solución es única y/o degenerada.
c) ¿Qué efecto tiene la fabricación de una unidad grande del producto en la
planta 2 sobre la ganancia máxima?
d) Se ha remodelado la planta 1 y ahora disponemos de 500 pies cuadrados
adicionales ¿qué efecto tendrá este aumento sobre las ganancias? ¿Conviene
fabricar alguna unidad pequeña del producto en esta planta? ¿Se seguirá
gastando todo el espacio disponible en esta planta?
e) Escribe e interpreta el intervalo de sensibilidad relativo al espacio disponible
en la planta 3.
f) ¿Cuál es la solución óptima del problema si la ganancia neta del producto de
tamaño medio se reduce a $350 en la primera planta?
Vuelve a emplear el programa GAMS/LINGO para resolver de nuevo el
problema bajo el/los siguiente/s supuesto/s:
g) ¿Cuál es la solución óptima del problema si exigimos en todas las plantas
que se fabriquen un número entero de unidades de cada tamaño?
h) Un estudio de la demanda más detallado indica que x31+x32+x33 ≥
(x11+x12+x13)2- 3(x21+x22+x23) ¿cuál es la solución óptima del problema
en este caso? Si pudiéramos disponer de algo más de espacio adicional en
una cualquiera de las tres plantas ¿qué planta elegiríamos?
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Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
8.
El Sr. Richard Clever tiene 30.000€ que desea invertir ahora para usar lo que
se acumule en la compra de un fondo de retiro dentro de 4 años. Su banco de
toda la vida le ofrece tres tipos de inversiones: A, B y C.
La inversión A está disponible al principio del año 1, tiene una duración de
tres años y proporciona un rendimiento anual del 6% en compuesta.
La inversión B está disponible al principio del año 3, tiene una duración de dos
años y proporciona un rendimiento anual del 4% en compuesta.
La inversión C está disponible al principio de años 1, 2 y 4, tiene una duración
anual y proporciona un rendimiento anual del 3.5%.
El Sr. Clever desea saber cuál es el plan de inversión que maximiza la
cantidad de dinero acumulada al principio del año 5 teniendo en cuenta que
los intereses devengados durante el periodo se reinvierten en el propio plan.
El planteamiento del problema sería el siguiente:
1,04
. 1,06
. .
1,035
1
30000
2
0,035 1
0,035
4
0,035
, , 1, 2, 4
1
1
1
2
4
30000
2
2
30000
1,06
1
30000
0
donde A, B, C1, C2 y C4 son los euros invertidos en las inversiones A, B y C
en los años 1, 2 y 4 respectivamente.
Resuelve el problema con GAMS/LINGO y contesta a las siguientes preguntas.
a) Describe el plan de inversión óptimo y la cantidad máxima de dinero
acumulada al inicio del año 5. ¿Invierte al principio de cada año todo el
capital disponible?
b) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas de la solución óptima
encontrada y justifica si la solución es única y/o degenerada
c) ¿Cuál sería el efecto de invertir $100 en la inversión A sobre la cantidad
máxima de dinero acumulada?
d) Si el Sr. Clever dispusiera de $100 adicionales a invertir al inicio de
cualquiera de los cuatro años ¿en qué año debería invertir ese capital? ¿Qué
efecto tendría esta reducción sobre la cantidad máxima de dinero
acumulada? ¿Se invertiría en A?
e) ¿Cuál sería el plan de inversión óptimo si el rendimiento anual de B fuera del
3%? ¿Cuál sería la cantidad máxima acumulada al principio del año 5?
Hoy el Sr. Clever ha ido al banco a materializar su plan de inversión y le han
facilitado información adicional sobre todas las inversiones:
Las inversiones A, B y C se presentan en forma de participaciones de 100€ y
sólo se puede invertir en un número entero de participaciones.
Independientemente del número de participaciones, si se invierte en A se
tiene que pagar una cantidad fija de 300€, si se invierte en B de 400€ y si se
invierte en C de 50€ en concepto de gastos de formalización.
Si se decide invertir en A, B ó C al menos se tiene que adquirir una
participación.
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Colección problemas ordenador Matemáticas II
Curso Académico 2010-11
Las inversiones A y B son excluyentes. Esto es, sólo se puede invertir en A ó
en B pero no en ambas a la vez.
Sólo se puede invertir en C si se ha invertido en A.
f) Plantea de forma razonada el problema que ha de resolver el Sr. Clever para
determinar el plan de inversión que maximiza la cantidad de dinero
acumulada al principio del año 5 teniendo en cuenta toda la información
disponible.
g) Resuelve el problema utilizando el programa GAMS/LINGO y describe el plan
de inversión óptimo y la cantidad máxima de dinero acumulada al inicio del
año 5. ¿Invierte al principio de cada año todo el capital disponible?
9.
Una empresa fabrica tres artículos en cantidades x, y, z, y obtiene por cada
unidad producida unos ingresos de 7, 5 y 8 u.m. respectivamente. En el
proceso de fabricación se deben cubrir unos gastos unitarios de 4, 3 y 4 u.m.
respectivamente. Además la empresa dispone de una materia prima ‘ M ‘
limitada a 800 unidades, así como de un máximo de 1000 horas de mano de
obra. La empresa se ha comprometido a entregar al menos 30 unidades del
primer artículo. El problema de maximizar beneficios puede formularse como:
. 3
.
2
(beneficios)
4
2
15
3
800
(materia prima)
5
10
4
1000
(horas de mano de obra)
≥ 30
, ,
(producción del artículo 1)
0
a) Resuelve el problema con GAMS sin imponer que las variables sean enteras.
b) Indica cuál es la producción óptima y el beneficio máximo. Indica también
el valor de las variables de holgura s1, s2, s3.
c) ¿Cómo afectará a los beneficios el que la empresa se comprometa a
entregar 32 unidades del primer artículo?
d) Razona lo que ocurrirá con la solución actual si el ingreso unitario por el
tercer artículo pasara a ser de 6 u.m.
e) ¿Sigue siendo óptima la solución si la materia prima descendiera a
650
unidades?
f) ¿Cuál será el beneficio máximo si las horas de mano de obra pasaran a ser
1100?
29