Números pitagóricos.

Ricard Peiró i Estruch
Números pitagóricos.
A la terna (a, b, c) de números naturales s’anomena terna de números pitagóricos si
cumple:
a2 + b2 = c 2 .
Queremos encontrar todas las ternas de números pitagóricos.
Queremos resolver la ecuación a 2 + b 2 = c 2 en los números enteros.
a
b
Sea x = , y = .
c
c
O bien resolver la ecuación x 2 + y 2 = 1 en los números racionales.
Notemos que si x = x 0 , y = y 0 es una solución racional de la ecuación x 2 + y 2 = 1 i
α, α x 0 , α y 0 ∈ Z , entonces, (α x 0 , αy o , α ) es una terna pitagórica
Sea x ≠ 0 , y ≠ 1,−1 .
x2 = 1− y 2
x
1+ y
=
(1)
1− y
x
x
1+ y
Sean u =
, v=
1− y
x
Despejando x, y en el sistema formado por las ecuaciones anteriores:
2u
uv − 1
x=
, y=
(2)
uv + 1
uv + 1
Substituyendo las expresiones (2) en la expresión (1):
2u
uv − 1
1+
uv + 1 =
uv + 1 . Simplificando:
uv − 1
2u
1−
uv + 1
uv + 1
u=v
(3)
De esta manera si x = x 0 , y = y 0 es una solución de la ecuación (1) entonces,
u0 =
x0
1+ y0
, v0 =
es una solución de (3) y viceversa.
1− y 0
x0
m
∈ Q , podemos suponer que la fracción es irreducible, mcd(m, n) = 1
n
2mn

 x = m 2 + n 2
Entonces, 
.
2
2
y = m − n

m2 + n2
Entonces estas son las soluciones racionales de (1).
Sea u = v = t =
Entonces, las ternas pitagóricas son de la forma:
α2mn, α(m 2 − n 2 ), α(m 2 + n 2 ) . α ∈ Z .
(
)
Ricard Peiró i Estruch
Veamos que en una terna pitagórica alguno de los términos es múltiplo de 2.
Supongamos que c no es múltiplo de 2. Entonces, c 2 ≡ 1(mòd2)
Si a y b no fueran múltiplos de 2, a 2 ≡ 1(mòd2) , b 2 ≡ 1(mòd2) .
c 2 = a 2 + b 2 ≡ 0(mòd2) . Lo que es un absurdo.
Por tanto, a, b o c es múltiplo de 2.
Veamos que en una terna pitagórica alguno de los términos es múltiplo de 3.
Supongamos que c no es múltiplo de 3.
Entonces, c 2 ≡ 1(mòd3 )
Si a y b no fueran múltiplos de 3, a 2 ≡ 1(mòd3) , b 2 ≡ 1(mòd3 ) .
c 2 = a 2 + b 2 ≡ 2(mòd3) . Lo que es un absurdo.
Por tanto, a, b o c es múltiplo de 3.
Veamos que en una terna pitagórica alguno de los términos es múltiplo de 5.
Supongamos que c no es múltiplo de 5.
Entonces, c 2 ≡ 1(mòd5 ) o bien c 2 ≡ −1(mòd5)
Si a y b no fueran múltiplos de 5, a 2 ≡ ±1(mòd5) , b 2 ≡ ±1(mòd5) .
c 2 = a 2 + b 2 ≡ 2(mòd5) , o bien c 2 = a 2 + b 2 ≡ −2(mòd5 ) , o bien
c 2 = a 2 + b 2 ≡ 0(mòd5) . Lo que es un absurdo.
Por tanto, a, b o c es múltiplo de 5.
Veamos que el producto de los catetos es divisible por 12
Supongamos que b no es múltiplo de 2 y a no es múltiplo de 2. Entonces c es múltiplo
de 2. Entonces, c 2 ≡ 0(mòd4)
Entonces, b 2 ≡ 1(mòd4) a 2 ≡ 1(mòd4) ,
c 2 = a 2 + b 2 ≡ 2(mòd4 ) lo que es un absurdo.
Supongamos que b es múltiplo de 2 y a no es múltiplo de 2. Entonces c no es múltiplo
de 2. Entonces, c 2 ≡ 1(mòd4) .
Supongamos que b no es múltiplo de 4, b 2 ≡ 1(mòd4) , a 2 ≡ 1(mòd4)
c 2 = a 2 + b 2 ≡ 2(mòd4 ) lo que es un absurdo.
Entonces, a o b son múltiplos de 4.
Supongamos que a y b no son múltiplo de 3. entonces, c es múltiplo de 3
c 2 ≡ 0(mòd4)
Entonces, b 2 ≡ 1(mòd3 ) a 2 ≡ 1(mòd3) ,
c 2 = a 2 + b 2 ≡ 2(mòd3) lo que es un absurdo.
Entonces, a o b son múltiplos de 3.
Por tanto, el producto ab es múltiplo de 12.
Trivialmente, si ab es múltiplo de 12, y además, a, b, o c es múltiplo de 5, entonces,
abc es múltiplo de 60.
Ricard Peiró i Estruch
Problema de Diofanto.
De todos los triángulos pitagóricos determinar aquel que la bisectriz de uno de los
ángulos agudos sea un número racional.
∆
Consideremos el triángulo Pitagórico ABC , C = 90 º :
a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m, n ∈ N , m > n .
Sea p = AD bisectriz del triángulo.
Sea CD = x . Sea
∆
Aplicando la propiedad de la bisectriz al triángulo ABC :
m2 − n 2 m 2 + n2
=
x
2mn − x
2
2
m −n
m
n
= , entonces, x = (m 2 − n 2 ) .
x
n
m
∆
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ADC :
x 2 + (m 2 − n 2 )2 = p 2 :
2
n
  (m 2 − n 2 ) 2 + (m 2 − n 2 ) 2 = p 2
m
  n 2

   + 1(m 2 − n 2 ) 2 = p 2
 m 



2
 m2 − n2 
2
2
2


 m  (m + n ) = p


p es un número racional si m 2 + n 2 es un cuadrado perfecto:
m 2 + n 2 = r 2 , on r ∈ N .
Aquesta equació té solució natural si:
m = 2de

2
2
n = d − e , d, e ∈ N, d > e .

2
2
r = d + e
Aleshores:
a = 2mn = 2de d 2 − e 2

2
2
2
2
2 2
, d, e ∈ N, d > e .
b = m − n = ( 2de) − d − e

2
2
2
2
2
2 2
= d2 + e2
c = m + n = (2de ) + d − e
(
)
(
(
)
) (
)
Ricard Peiró i Estruch
Números pitagóricos primitivos menores de 1000.
Fuente: Paul Yiu “Number Theory 2”. 2007
m
2
5
7
8
9
10
11
12
13
13
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16
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20
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22
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23
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24
25
25
26
26
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29
29
31
n
1
2
2
3
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6
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4
12
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4
3
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4
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7
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9
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6
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1
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4
14
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4
16
9
4
12
4
a
3
21
45
55
65
51
85
119
153
25
115
209
247
135
273
145
299
35
297
105
351
111
377
483
403
123
493
333
575
407
609
429
667
555
713
473
703
825
697
945
b
4
20
28
48
72
140
132
120
104
312
252
120
96
352
136
408
180
612
304
608
280
680
336
44
396
836
276
644
48
624
200
700
156
572
216
864
504
232
696
248
c
5
29
53
73
97
149
157
169
185
313
277
241
265
377
305
433
349
613
425
617
449
689
505
485
565
845
565
725
577
745
641
821
685
797
745
985
865
857
985
977
m
3
5
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28
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30
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n
2
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1
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1
11
6
1
6
a
5
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33
39
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95
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195
75
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231
87
253
93
275
357
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37
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39
341
475
315
43
465
273
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369
651
451
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783
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925
b
12
40
56
80
144
180
176
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240
160
416
204
476
252
76
380
684
360
760
420
132
572
924
368
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260
780
432
56
616
348
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372
c
13
41
65
89
145
181
185
193
205
197
317
289
281
425
325
485
373
365
461
685
481
761
541
493
653
925
593
785
601
865
661
881
701
901
793
785
905
877
901
997
m
4
6
7
8
10
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14
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19
20
20
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22
22
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23
23
24
24
25
25
26
26
27
28
28
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30
n
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1
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1
2
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8
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14
7
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7
a
15
35
13
15
99
117
21
23
105
187
27
29
207
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33
203
345
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399
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437
185
459
259
525
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527
215
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627
387
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775
615
777
851
b
8
12
84
112
20
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264
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152
456
40
440
84
672
220
660
92
460
828
336
912
400
900
364
884
540
168
728
464
420
c
17
37
85
113
101
125
221
265
233
205
365
421
305
481
353
545
445
377
505
401
521
445
697
509
709
533
629
853
625
937
689
949
725
965
829
793
953
905
949
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4
6
8
9
10
11
12
13
13
14
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
21
21
22
22
23
23
23
24
25
25
26
26
27
27
28
29
29
31
Ternas de númeross pitagóricss primiti vos mcd(a,b,c)=1
a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m, n ∈ N , m > n , m, n de distinta paridad.
n
3
5
1
2
3
4
1
2
10
5
2
1
9
2
10
1
13
6
14
3
13
4
20
7
17
4
12
20
11
2
12
1
9
2
14
5
2
10
2
a
7
11
63
77
91
105
143
165
69
171
221
255
175
285
189
323
155
325
165
391
231
425
41
435
195
513
385
129
455
621
481
675
595
725
533
759
837
741
957
b
24
60
16
36
60
88
24
52
260
140
60
32
288
68
340
36
468
228
532
120
520
168
840
308
748
184
552
920
528
100
600
52
468
108
756
280
116
580
124
c
25
61
65
85
109
137
145
173
269
221
229
257
337
293
389
325
493
397
557
409
569
457
841
533
773
545
673
929
697
629
769
677
757
733
925
809
845
941
965