Mecánica Rotacional: Inercia Rotacional y Momentum Angular

Liceo nº1 Javiera Carrera
Departamento de Física
Pablo Ortega
Tercero Medio Plan Diferenciado
Mecánica Rotacional: Inercia Rotacional y Momentum Angular
!
Hemos sido capaces de describir el movimiento de
rotación y su origen para un sistema cualquiera, con
relaciones y ecuaciones que se asemejan mucho a su
equivalente lineal y no resulta extraño que este tipo de
movimientos comparta una propiedad más.
Imagina una bola de nieve que rueda montaña abajo, y que
en cada vuelta adquiere un poco mas de masa y aumenta
su volumen. ¿Que pasaría si tratas de detenerla?
Esta pregunta aunque obvia, resulta interesante de pensar
por algunos minutos, así que antes de continuar leyendo
IMAGINALO!.
Una análisis sería algo más o menos así: El que pasaría,
depende mucho del “cuando” intentemos detenerla. Si nos
interponemos en su camino a penas empieza a rodar no
debería tener mucha masa, por lo que no sería algo difícil
de hacer, pero si nos interponemos cuando ya ha ganado
un volumen considerable no creo que tengamos mucho
éxito. También podemos pensarlo de forma inversa, ¿que
será mas fácil de poner a girar?
Y usando este análisis podemos generalizar el concepto de
inercia de la siguiente manera: Los objetos que están en
reposo, trasladándose o girando respecto a un eje,
tienden a seguir en dicho estado a menos que un fuerza
y/o torque externo actúe sobre el cuerpo.
Ahora un análisis más detallado, nos permite notar que la
inercia rotacional no sólo depende de la masa, sino que en
realidad: depende de como esta distribuida esta masa
respecto al eje de giro del sistema
Puedes notar este hecho al tratar de hacer oscilar un
péndulo (pruébalo), mientras más lejos este la masa del eje,
es decir mientras más largo sea el largo del péndulo mayor
será la fuerza (y por consiguiente el torque) que deberemos
aplicar, para cambiar su estado inercia. Por el contrario si la
distancia del péndulo es menor, no es algo que cueste
mucho.
De forma general podemos definir el momento de inercia
rotacional como sigue:
Y esta relación nos permite notar que:
• El radio depende mucho de eje de giro sobre el cual rota
• Un mismo cuerpo puede tener momentos de inercia
rotacional distintos, debido al punto anterior
• Mientras más lejos este la masa del eje de giro mayor
será su inercia rotacional, de hecho, aumenta con el
cuadrado de la distancia
• La formula anterior solo es valida para un cantidad finita
de masas
Ahora bien si queremos establecer un eje de giro a paralelo
a un mismo plano que es diferente al que pasa por el entro
de masa se puede definir a través del teorema de Steiner:
Ahora bien, para simplificar los cálculos podemos utilizar las
siguiente formulas de momento de inercia rotacional, que
consideran las distribuciones de masa según varios ejes
Ahora bien, si retomamos el ejemplo del péndulo podremos
notar otra cosa: A medida que acortamos el largo, como ya
mencionamos reduce su momento de inercia, pero además
se puede observar que aumenta la rapidez de oscilación del
mismo.
De esta manera se puede establecer que mientras mayor
sea la inercia rotacional, menor será la velocidad angular y
viceversa, de manera que podemos sospechar que son
inversamente proporcionales y definen un nuevo concepto:
El momentum angular
Que de manera análoga al momentum lineal, se puede
definir como la cantidad de movimiento rotacional según la
siguiente relación:
Tiene naturaleza vectorial a través del producto cruz entre el
momento de inercia rotacional y la velocidad angular
(veremos la dirección y sentido de este vector en clase).
Pero lo importante es que es un valor que siempre ha de
conservarse al igual que su homologo lineal.
Un ejemplo clásico que ilustra este principio de
conservación es la patinadora sobre el hielo. Al querer girar
más rápido (aumentar su rapidez angular) sobre alguno de
sus ejes, acerca sus brazos al cuerpo, de esta manera la
distribución de masa respecto al eje cambia, reduciendose
el valor de r en la ecuación. Esto tiene como consecuencia
una disminución en su momento de inercia y un aumento en
la rapidez de rotación.
Preguntas de selección única y/o múltiple
1. Dos objetos S1 y S2, son puestos a girar en un plano
horizontal, en torno a un mismo eje E. El objeto S1 tiene
el doble de masa pero la mitad del radio de giro que S2.
Entonces el momento de inercia de S1 respecto a S2 es:
7. Originalmente, un disco gira con momento de inercia A y
rapidez angular B, posteriormente se deja caer otro disco
con inercia C que un principio no está girando. La rapidez
de rotación final es de:
a) El doble
b) Un cuarto
c) La mitad
d) Un octavo
e) Igual
a) C-A / AB
b) AB / C - A
c) AB / A + C
d) AB / A - C
e) A + C / AB
2. Respecto al momento de Inercia de un cuerpo se puede
afirmar que:
8. Una moneda de $100 pesos esta formada por un disco
central y un anillo que lo rodea.
• El disco central tiene masa m[kg] y radio 2r[m]
• El anillo tiene un radio de 3r[m]
Si antes de unirse tiene igual momento de inercia, la masa
del anillo es:
a) Depende sólo de su masa
b) Depende sólo de su velocidad angular
c) Depende sólo de su distancia al eje
d) Depende sólo de su masa y distancia al eje
e) Ninguna de las anteriores, es un valor constante
3. Una barra de metal gira respecto a determinado eje.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) Mientras menos larga sea la barra, más difícil es
detenerla
b) Si se agregan dos tubos iguales, sobre el original, el
momento de inercia es cuatro veces mayor
c) Si la barra es en realidad un tubo, es más difícil de
detener
d) Si el eje de giro está en un extremo, al aumentar la
rapidez de rotación disminuye la inercia
e) Si el eje de giro esta en el centro, es más fácil de detener
en comparación a un eje ubicado en uno de los extremos
4. Ana está sentada en el centro de un disco que gira con
MCU. Si por alguna razón se mueve hacia el perímetro
del disco, se observa que en el sistema:
a) w y L aumentan
b) w aumenta y L permanece constante
c) w y L disminuyen
d) w disminuye y L permanece constante
e) w disminuye y L aumenta
5. Si para una partícula en rotación, la masa se ve reducida
en la mitad y su radio de giro aumenta en cuatro veces,
pero su rapidez de rotación se mantiene constante. Se
puede espera que el momento angular:
a) Sea dos veces mayor
b) Sea tres veces mayor
c) Sea cuatro veces mayor
d) Sea ocho veces mayor
e) Sea treinta y dos veces mayor
6. Para una patinadora que recoge sus brazos hacia el
cuerpo se espera que:
a) El momento angular y de inercia disminuyan
b) El momentum de inercia disminuye y el angular aumente
c) El momentum angular permanezca constante y de inercia
disminuya
d) El momento de inercia aumente y el angular sea
constante
e) Ninguna de las anteriores
a) 2m/3 [kg]
b) 2m/9 [kg]
c) m/3 [kg]
d) m/9 [kg]
e) 4m/9 [kg]
9. Una propiedad de los cuerpos en rotación, equivalente a
la masa es:
a) La masa inercial
b) La masa gravitacional
c) El momentum lineal
d) El momento de inercia
e) Ninguno, la masa no tiene equivalente rotacional
10. La dificultad que presenta un cuerpo para modificar su
estado de rotación se llama:
a) Energía cinética rotacional
b) Momentum Angular
c) Torque
d) Inercia rotacional
e) Aceleración angular
11. Por un plano inclinado giran una esfera y un cilindro que
poseen la misma masa, entonces:
a) Los dos llegan al mismo tiempo a la base del plano
b) Llega primero la esfera
c) Llega primero el cilindro
d) No se puede predecir sin los radios de ambos cuerpos
e) Depende del coeficiente de fricción
12. Se aplica un torque constante a un objeto. Entonces,
¿cuál de los siguiente conceptos no puede permanecer
constante?:
a) Aceleración angular
b) Velocidad angular
c) Momento de inercia
d) Centro de masa
e) Momento angular