Capítulo 3: Producción y destrucción de partículas cargadas.

Capítulo 3: Producción y destrucción de partículas cargadas.
3.1 Ionización por impacto electrónico.
La ionización de átomos y moléculas por impacto electrónico es el mecanismo
más importante de generación de cargas en el seno de una descarga gaseosa. La
reacción sigue el esquema:
M + e → M+ + e + e
y la tasa del proceso (generación de electrones por unidad de tiempo y volumen)
puede escribirse como:
dne/dt)i = νi ne ≡ ki N ne
(3.1)
donde N es la densidad numérica de partículas blanco, νi es la frecuencia de
ionización (no de ionizaciones por segundo y por electrón) y ki es la "constante" de
tasa de la reacción.
Si f(ε) es la función de distribución de energía de los electrones y σi(ε) es la
sección eficaz de ionización, entonces:
νi = N ∫ f(ε) v σi(ε) dε / ∫ f(ε) dε = N <v σi> ≡ ki N
(3.2)
En la Fig. 3.1 se muestra σi vs ε para varios gases. Nótese que σi presenta un
umbral para el valor de la energía de ionización del gas.
Figura 3.1.
En el caso de que νi ≈ cte., y si no hay pérdidas de electrones, la solución de
(3.1) es:
ne = ne(0) exp (νit)
que representa la expresión matemática de una avalancha electrónica.
Si el grado de ionización no es muy bajo y las colisiones e-e hacen que la
distribución de energía sea Maxwelliana, νi resulta ser función de Te y del potencial
de ionización (I). En este caso, la ionización es debida a los electrones de alta energía
de la distribución ( f(ε) α exp (-ε/kTe), y si se usa la aproximación σi(ε) ≈ Ci (ε - I)
(para ε ≥ I), se obtiene:
νi ≈ N <v> Ci (I + 2kTe) exp (-I/kTe) , <v> = (8kTe/πm)1/2
(3.3)
A continuación se presentan algunos valores para Ci.
gas
Ci (10-17 cm2/eV)
2
0.13
0.16
7.9
0.85
0.68
0.59
Ar
He
Ne
Hg
N2
O2
H2
En la práctica, la ionización por electrones termalizados ocurre para un valor
kTe ≈ (1/5 - 1/10) I.
Como la ionización evoluciona no sólo en el tiempo sino en el espacio (por
ejemplo, en una avalancha), es conveniente definir el coeficiente de ionización α,
como el número de ionizaciones hechas por un electrón por cm de recorrido en la
dirección del campo. Se lo llama también coeficiente de ionización de Towsend.
α = ν i / vd
Si se aplica un voltaje V entre dos electrodos planos separados por una
distancia d, y se irradia el cátodo con UV (inyectándose por lo tanto No electrones por
segundo), el número de electrones en la avalancha hacia el ánodo está dado por:
dN/dx = α N ⇒ N(x) = No exp (αx)
(3.4)
es decir que la corriente electrónica en el ánodo será i = e No exp (αd). En estado
estacionario, la corriente en el circuito cerrado es la misma i en todas partes. Los
iones, de baja movilidad, se acumulan en el espacio inter-electródico, con lo que éste
adquiere una carga positiva. Sin embargo, si i es pequeña, esta carga espacial causa
poca distorsión del campo externo E = V/d. Midiendo i para distintos valores de d
(para E = cte.), puede obtenerse α de la pendiente de la curva ln i = cte. + αd.
Como vd, ε y f(ε) son funciones de E/p, tanto para νi como para α vale una ley
de similaridad del tipo: α/p = h (E/p). Como experimentalmente es más sencillo variar
p que d, α/p se obtiene de la relación ln i = cte. + (α/p) pd. (manteniendo E/p = cte.).
Existe además una fórmula empírica para α/p sugerida por Towsend:
α/p = A exp (-B p/E)
(3.5)
A continuación se presentan algunos valores para los coeficientes A y B.
gas
He
Ne
Ar
Hg
H2
N2
N2
Aire
CO2
A (1/cm torr)
3
4
12
20
5
12
8.8
15
20
B (V/cm torr)
34
100
180
370
130
342
275
365
466
E/p (V/cm torr)
20 - 150
100 - 400
100 - 600
150 - 600
150 - 600
100 - 600
27 - 200
100 - 800
500 - 1000
Nótese que un electrón acelerado por una diferencia de potencial de 1 V
genera α/E electrones (o pares de iones). Entonces, para crear un par debe ser
acelerado hasta una energía W = e E/α. La función W (E/p) tiene un mínimo. Si se
usa la (3.5), este mínimo vale Wmin = 2.72 eB/A, para E/p)min = B. Wmin es llamada
constante de Stoletov, y resulta ser varias veces el potencial de ionización. Esto es
debido a que los electrones pierden mucha energía en excitación; por ejemplo, para
aire Wmin = 66 eV/par, para E/p)min = 365 V/cm torr.
Debe mencionarse también que en un gas débilmente ionizado la ionización
ocurre fundamenmtalmente desde el estado fundamental. Si la ionización es
importante, pueden formarse muchos átomos y moléculas excitados, y la ionización
"multi-step" puede predominar. A veces, los excitados metaestables (de larga vida)
pueden jugar un rol preponderante, pues sus secciones eficaces de ionización son muy
altas.
3.2 Otros mecanismos de ionización.
3.2.1 Fotoionización.
Sigue el esquema:
M + hν → M+ + e
En una descarga, este mecanismo de ionización no compite con los electrones.
Bajo ciertas condiciones, puede proporcionar electrones "semilla" para iniciar una
avalancha (éste es el caso, como se verá más adelante, de la propagación de
"streamers" en el caso de la descarga spark). Las secciones eficaces de fotoionización
cerca del umbral son relativamente altas (ver tabla siguiente), pero por lo general hay
pocos cuantos energéticos con hν > I capaces de fotoionizar.
gas
H
He
Ne
Ar
Na
K
N
O
O2
N2
H2
I (eV)
13.6
24.6
21.6
15.8
5.14
4.34
14.6
13.6
12.2
15.58
15.4
λ (A°)
912
504
575
787
2412
2860
852
910
1020
798
805
σν (10-18 cm2)
6.3
7.4
4
35
0.12
0.012
9
2.6
∼1
26
7
3.2.2 Ionización por átomos excitados
Las partículas pesadas son muy ineficientes para ionizar. Para que sus tasas
fueran comparables a los electrones, se requerirían velocidades similares a los mismos
(∼ 108 cm/s), lo que corresponde a energías cinéticas de ∼ 100 eV, que no ocurren
normalmente en descargas comunes. Sin embargo, los átomos excitados con energía
de excitación E* > I pueden contribuir apreciablemente. Hay dos clases de excitados
en estas condiciones: los llamados excitados resonantes (de vida media muy corta),
que pueden tener secciones eficaces enormes (por ejemplo, el He(21P), con E* = 21.2
eV, tiene σ ≈ 2 10-14 cm2 para ionizar Ar, Kr, Xe, N2 y O2); y los metaestables con
E* > I (efecto Penning), que tienen σ algo menores pero son más numerosos, pues
tienen vida media larga (> 0.1 s). Por ejemplo, el metaestable He(23S) con E* = 19.8
eV tiene σ ≈ 10-15 cm2 para Ar, Xe, N2 y CO2.
3.2.3 Ionización asociativa
Fue descubierta en 1951, y sigue el esquema:
M + M* → M2+ + e
A veces puede ser importante en gases inertes. Ocurre en He2 y en Hg.
3.3 Recombinación en volumen
3.3.1 Recombinación disociativa
Sigue el esquema:
M2+ + e → M + M*
Es el mecanismo más rápido de recombinación en un plasma débilmente
ionizado (por ejemplo, en una descarga glow). En este caso el gas está bastante frío, e
incluye usualmente iones moleculares. La energía liberada es transformada
principalmente en excitación atómica. La tasa del proceso puede escribirse como:
dne/dt)dis = -βdis ne n+
A temperaturas desde la ambiente hasta algunos miles de grados, βdis ∼ 10-7
cm3/s, y al subir Te decrece primero como Te-1/2 y luego como Te-3/2. Esta es la
forma usual en que ocurre la recombinación, incluso en gases inertes. Esto es debido a
que en este caso se forman iones moleculares a partir de los atómicos, a través de la
reacción de conversión:
M + M + M + → M2 + + M
La tasa de conversión,
dnM2+/dt)conv = kconv nM+ nM2
es bastante grande (para He, Ne, Ar y Hg, kconv ∼ 10-31 cm6/s). Por ejemplo, la vida
media de un ión atómico a p = 10 torr con respecto a la conversión es τconv ∼ (kconv
nM2)-1 ∼ 10-4 s, y a p = 100 torr es ∼ 10-6 s. Si nM2+ ∼ 1010 cm-3 y βdis ∼ 10-7 cm3/s,
τconv < τdis ∼ 10-3 s. Esto significa que la conversión "repuebla" la densidad de iones
moleculares en forma prácticamente instantánea, sin impedir la recombinación
disociativa. La conversión puede producir además complicados complejos iónicos
como O4+, N4+, etc.
3.3.2 Recombinación radiativa
Sigue el esquema:
M+ + e → M + hν
Posee una sección eficaz pequeña (σrr ∼ 10-21 cm2), y el coeficiente de
recombinación es correspondientemente pequeño:
βrr (cm3/s) ≈ 2.7 10-13 [Te (eV)]-3/4 ∼ 10-12 cm3/s
Los electrones tienden a ser capturados en el nivel fundamental del átomo,
emitiendo un fotón en el ultravioleta lejano. Sin embargo, la captura por estados
excitados con emisión en el visible es también posible. El proceso de recombinación
radiativa en una descarga puede ser importante, no como canal para la remoción de
electrones, sino como mecanismo para la emisión de luz.
3.3.3 Recombinación por colisiones a tres cuerpos
Sigue el esquema:
M+ + e +e → M* + e → M + hν +e
Es el proceso principal de recombinación en plasmas en equilibrio de alta
densidad y baja temperatura (T ≈ Te ≈ 104 oK), porque la concentración de iones
moleculares es lo suficientemente baja como para hacer poco significativa la
recombinación disociativa. Su tasa está dada por:
βc (cm3/s) ≈ 8.75 10-27 [Te (eV)]-9/2 ne
El átomo formado en este proceso por lo general está excitado (con una
energía de ligadura ∼ kT), y decae al fundamental emitiendo un fotón. Las colisiones
de 3 cuerpos exceden a la recombinación radiativa si:
ne > 3.1 1013 [Te (eV)]3.75
La recombinación a 3 cuerpos con un átomo como tercer partícula es rara, y su
tasa es ∼ 107 veces menor que la del electrón (si ne ∼ n+).
3.3.4 Recombinación ión-ión
Este es el principal mecanismo de neutralización de carga en gases donde el
"attachment" electrónico (ver siguiente sección) es importante. A bajas presiones, es
similar al intercambio de carga, y sigue el esquema:
A- + M+ → A + M*
La energía sobrante va en excitación atómica, la cual termina disipándose por
colisiones. A temperatura próxima a la ambiente βi (cm3/s) ≈ 1-5 10-7 (para H+H-,
O+O-, N+O-,O2+O2-). A presiones moderadas, sigue el esquema:
A- + M+ + B → A + M* + B
Para este proceso, puede escribirse:
dn-/dt)r = dn+/dt)r = -βr n- n+
3.4 Formación y decaimiento de iones negativos
3.4.1 Attachment
Algunos átomos y moléculas (O, H, O2, H2O, Hg, Cs), halógenos (Cl, Cl2) o
compuestos halogenados (CCl4, SF6), poseen una afinidad electrónica de 0.5 a 3 eV.
El attachment es un mecanismo importante (a veces el principal) para la remoción de
electrones en gases electronegativos. Impide el breakdown y dificulta el
mantenimiento de la ionización y la corriente. A veces es útil: mejora las propiedades
aislantes de un gas o acelera la remoción de electrones en contadores de partículas
nucleares.
El proceso en aire a T ambiente (y sin campo E) es:
e + O2 + M → O2- + M
en donde
M = O2, N, H2O
y las tasas de reacción son: kO2 ∼ 2.5 10-30 cm6/s, kN2 ∼ 0.16 10-30 cm6/s, kH2O ∼ 14
10-30 cm6/s, a T ambiente. La densidad electrónica para este proceso decrece como:
dne/dt)a = -νa ne ⇒ ne = neo exp(-νat)
Para aire a p = 1atm, νa = kO2 nO22 + kN2 nO2 nN2 = 0.9 108 s-1. Esto quiere
decir que la vida media de un electrón con respecto al attachment es de ≈ 10-8 s.
Cuando el electrón se liga a una molécula compleja, la energía de ligadura se
distribuye inmediatamente en los grados de libertad vibracionales. Como los
potenciales de disociación de los halógenos son bajos (1.5-2.5 eV), la energía de
afinidad electrónica es suficiente para disociar, y se tiene attachment disociativo,
M2 + e → M- + M
Para una energía del electrón ε ≈ 0.05 eV las moléculas de CCl4 y SF6 tienen
σcapt ∼ 10-14 cm2, (para energías mayores, σcapt α ε-1), y en este caso ka = νa/n ≈ 1.6
10-7 cm3/s .
En contraste, las moléculas de O2, H2O y CO2 están fuertemente ligadas, y se
requiere bastante energía para disociarlas:
e + O2 + 3.6 eV → O + Oe + CO2 + 3.85 eV → CO + Oe + H2O + 4.25 eV → OH + He + H2O + 3.6 eV → H2 + Oe + H2O + 3.2 eV → H + OHPor esto, estos procesos ocurren cuando hay E presente, y los electrones
adquieren suficiente energía para disociar.
Al igual que la ionización, el attachment de electrones en campos d-c ocurre
mientras derivan. Se define un coeficiente de attachment a (similar a α): a = νa/vd,
que da el número de eventos de attachment por cm de recorrido. En la Fig. 3.2 se
muestra este coeficiente como función de E/p. (Gas: Oxígeno, T ambiente).
Figura 3.2
La multiplicación de electrones en una avalancha en un gas electronegativo
está determinada por el coeficiente efectivo αeff = α - a. Si α < a (esto ocurre para un
E/p menor que un cierto valor crítico), la multiplicación es imposible.
3.4.2 Detachment
Los experimentos demuestran que en un gas electronegativo es posible
mantener un plasma estacionario a un valor de E/p mucho más bajo del que es
normalmente requerido en una descarga pulsada. Esto indica que en una descarga
mantenida por un largo tiempo, se acumulan partículas activas (moléculas excitadas)
que liberan electrones al chocar con iones negativos. La frecuencia de detachment νd
y la tasa kd están determinados por:
dne/dt)d = -dn-/dt)d = νd n- = kd n* nn* indica aquí la densidad de excitados. Para las moléculas activas kd,act ≈ 10-10
cm3/s, mientras que para una descarga kd ≈ 10-14 cm3/s, lo que indica una fracción de
activos ∼ 10-4.
3.5 Pérdidas de carga por difusión
Las descargas de baja presión están afectadas por pérdidas de electrones
debidas a difusión hacia las paredes. El proceso es irreversible: los electrones entran
en los metales o se adhieren a los dieléctricos y se recombinan con iones. Para este
proceso, la vida del electrón es τdif = Λ2 / D, en donde Λ es una longitud del orden del
tamaño de la cámara (longitud característica de difusión) y D es el coeficiente de
difusión (libre o ambipolar). Λ se calcula resolviendo la ecuación de difusión
estacionaria con fuentes de ionización. Resulta:
1/Λ2 = (2.4/R)2 + (π/L)2 para un cilindro de radio R y longitud L
1/Λ2 = (π/R)2 para una esfera
1/Λ2 = (π/L1)2 + (π/L2)2 + (π/L3)2 para un paralelepípedo
νdif = τdif-1 es la frecuencia media de remoción de electrones por difusión. Por
ejemplo, el coeficiente de difusión ambipolar en la columna positiva de una descarga
glow de nitrógeno a p = 10 torr es Da = 200 cm2/s. Si la cámara es cilíndrica con R =
1 cm y L >> R, Λ = 0.42 cm, y τdif = 0.9 10-3 s, νdif = 1.1 103 s-1.
3.6 Emisión de electrones en sólidos
3.6.1 Función trabajo
En una descarga gaseosa d-c, la corriente es mantenida por la emisión de
electrones de la superficie del cátodo. Para extraer un electrón de la superficie se
requiere gastar una energía llamada función trabajo del material (ϕ), que es función
del estado de la superficie, su contaminación y rugosidad.
elemento
ϕ (eV)
4.7
4.25
4.31
4.5
4.4
4.3
4.54
5.32
C
Al
Fe
Ni
Cu
Mo
W
Pt
A1 (A/cm2oK2)
30-170
60-700
30-50
60-100
60-150
40-100
10-170
Si existe un campo externo E, la función trabajo se reduce del valor para E =
0, en la cantidad:
e ∆ϕ(eV) = 3.8 10-4 [E(V/cm)]1/2
Este es el llamado efecto Schottky.
3.6.2 Emisión termoiónica
Ocurre cuando se calienta un metal, y algunos electrones adquieren suficiente
energía para vencer la barrera de potencial. Si no hay campo externo, los electrones
emitidos se acumulan cerca de la superficie, y el campo de esta carga espacial impide
que otros electrones escapen. Con E = 0, la emisión corresponde a la corriente de
saturación:
jT = A0DT2 exp(-eϕ/kT)
A0 = 4πmek2/h3 = 120 A/cm2oK2
Esta es la fórmula de Dushman-Richardson. D es una constante que da cuenta
de las reflexiones de los electrones en la barrera de potencial (efecto cuántico).
Normalmente se tabula el producto A1 = A0D
Si T ≈ 103 oC, jT ≈ 0.1-10 A/cm2.
3.6.3 Emisión electrónica por campo
Si hay E presente, los electrones escapan por efecto túnel. La fórmula de
Fowler-Nordheim describe ésto:
jF (A/cm2) = 6.2 10-6 [(εF/ϕ)1/2 E2]/[εF + ϕ] exp(-6.85 107 ϕ3/2 ξ /E)
donde εF(V) es la energía de Fermi, ϕ(V) es la función trabajo no perturbada por el
campo E(V/cm) y ξ(∆ϕ/ϕ) es un factor de corrección.
∆ϕ/ϕ
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ξ
1
0.95
0.9
0.85
0.78
0.7
0.6
0.5
0.34
0
3.6.4 Emisión termoiónica por campo
Cuando se aplica un campo eléctrico intenso a una superficie metálica
caliente, tanto la alta temperatura como el campo afectan la emisión de electrones,
pero en formas no restringidas a los mecanismos recién mostrados. En la Fig. 3.3,
todos los estados de energía permitidos para los electrones en el metal se clasifican en
4 grupos.
Figura 3.3
Se designa con los subíndices: T, emisión termoiónica, F, emisión por campo,
T + SCH, emisión termoiónica afectada por efecto Schottky, TF, emisión termoiónica
por campo, TF + SCH, emisión termoiónica por campo afectada por efecto Schottky.
A T = 0, los electrones ocupan los estados 1. A T > 0, los 4 grupos se pueblan,
aunque el número de electrones decae rápidamente a medida que sube ε. Los
electrones del grupo 1 están sujetos a emisión por campo (como a T = 0). Los del
grupo 4 pueden escapar por emisión termoiónica incluso si E = 0. Los del grupo 3
saltan por sobre la barrera (que ha sido disminuida por el campo) a expensas de su
energía térmica, mientras que los del grupo 2 salen por efecto túnel con una
probabilidad mayor que los del grupo 1 (por efecto térmico).
En definitiva, son los del grupo 2 los que generan la corriente de emisión
termoiónica por campo, que no es expresable mediante fórmulas. En la siguiente tabla
se dan los valores obtenidos por cálculo numérico para el spot catódico de un arco,
para T = 3000 oK, ϕ = 4 eV, A1 = 80 A/cm2oK2.
E (107V/cm)
0
0.8
1.7
2.3
2.8
3.3
∆ϕ (eV)
0
1.07
1.56
1.81
2.01
2.18
jT (A/cm2)
1.3 102
8.2 103
5.2 104
1.4 105
3 105
6 105
jF (A/cm2)
0
2 10-20
2.2 10-4
1.3
1.3 102
4.7 103
jTF (A/cm2)
0
1.2 104
1 105
2.1 105
8 105
2.1 106
A T = = 3000 oK y E > 0.8 107 V/cm, la emisión termoiónica por campo es
predominante. Si E < 0.5 107V/cm, se emiten electrones del grupo 3 (emisión
termoiónica).
3.6.5 Emisión secundaria
Es causada por varias partículas: iones positivos, átomos excitados, electrones
y fotones. La emisión secundaria de un cátodo frío produce breakdown y puede
mantener pequeñas corrientes d-c (que no calientan el cátodo), o puede crear fuertes E
catódicos que desarrollan a su vez emisión termoiónica por campo. De los varios
mecanismos posibles, el más importante es el ión-electrón. Todo el proceso de
emisión secundaria de electrones es caracterizado por un coeficiente γ de emisión
(número de electrones emitidos por ión incidente). Este coeficiente es pobremente
conocido y fuertemente variable con el estado de la superficie. Su valor puede
acotarse en el rango 10-1-10-3, pero afortunadamente (como se verá más adelante)
esto no trae consecuencias serias ya que en las fórmulas teóricas su dependencia suele
ser logarítmica.