Espacios vectoriales

Espacios vectoriales
1 Espacios y subespacios
Rn es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además Rn es un espacio vectorial.
Ejemplo 1 Dados dos vectores de R3 , por ejemplo


2


u =  0 ,
−5
y λ = 3.1 un escalar. Calculamos

−6


u + v =  2.3 
−6


−8


v =  2.3 
−1

6.2


λu = 
0 .
−15.5


y
Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado
vuelve a ser un vector
Definición de espacio vectorial.
Ã
Definición 1 Un conjunto no vacı́o V es un espacio vectorial, y sus elementos se llaman vectores, se cumplen las
siguientes propiedades:
Dados tres vectores u, v y w cualesqueira y dos escalares λ y µ se tiene
1. La suma de u y v, denotada por u + v, es un
elemento de V .
6. El múltiplo escalar de u por λ, denotado por λu, es
un elemento de V .
2. u + v = v + u.
7. λ(u + v) = λu + λv.
3. (u + v) + w = u + (v + w).
8. (λ + µ)u = λu + µu.
4. Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u.
9. λ(µu) = (λµ)u.
5. Para cada u en V , existe un vector −u en V tal
que u + (−u) = 0.
10. 1u = u.
Ejemplo 2 Rn es un espacio vectorial.
Ejercicio 3 Comprobar que Pn = {p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn : a0 , . . . , an ∈ R}, el conjunto de todos los polinomios de
grado menor o igual que n, es un espacio vectorial.
1.1. Subespacios vectoriales. Dado un espacio vectorial, buscamos un subconjunto dentro de ese espacio, que
también tenga estructura de espacio vectorial.
Definición 2 Dado un espacio vectorial V , un subespacio vectorial de V es un subconjunto H que cumple:
1. 0 ∈ H.
1
2. Si u, v ∈ H entonces u + v ∈ H.
3. Si λ ∈ R y u ∈ H entonces λu ∈ H.
Ejemplo 4 Los subespacios vectoriales de R3 son:
0.
Planos que pasan por el origen.
Rectas que pasan por el origen.
R3 .
Ejemplo 5 H = {(x, y)T : x + y = 1} no es un subespacio de R2 , porque 0 6∈ H.
Ejercicio 6 ¿Es el conjunto H = {(x1 , x2 , 0)T : x1 , x2 ∈ R} un subespacio de R3 ?
1.2. Subespacio generado por un conjunto. Buscamos una forma “compacta” de describir un subespacio. Esta
forma no es única.
Idea. Escribimos todos los vectores del subespacio como combinación lineal
de unos vectores dados
Ejemplo 7 Sea H = {(a − 3b, b − a, a, b)T : a, b ∈ R}. Este espacio se puede escribir como





a − 3b
b−a
a
b






 = a


1
−1
1
0






 + b


−3
1
0
1



 = av1 + bv2 ,

luego H = Gen{v1 , v2 } y es un subespacio de R4 .
2 Espacios nulos y columna
Objetivo. Caracterizar
el conjunto de soluciones de Ax = 0
el conjunto de vectores b para los que Ax = b tiene solución
2.1. Espacio nulo. Un sistema lineal homogéneo (Ax = 0) siempre tiene solución. Cuando hay infinitas soluciones,
¿cómo las caracterizamos?
Definición 3 El espacio nulo de una matriz A de dimensión m × n, N (A), es el conjunto de todas las soluciones de
Ax = 0; es decir, N (A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}.
Observaciones.
N (A) siempre contiene al 0 (Ã 0 siempre es solución de Ax = 0.)
N (A) es un subespacio de Rn .
Ejemplo 8 Encontrar el espacio nulo de

−3

A= 1
2
6
−2
−4
−1
2
5
2
1
3
8

−7

−1  ,
−4
(es un subespacio de R5 ).
Buscamos la solución general de Ax = 0:

 
−3
6 −1 1 −7 | 0
1

 
A =  1 −2
2 3 −1 | 0  ∼  −3
2
2 −4
5 8 −4 | 0

1

∼ 0
0
−2
0
0
2
5
0
3
10
0
−1
−10
0
La solución general es
|
|
|




x = λ1 




0

0 
0
2
1
0
0
0

−2
6
−4
2
−1
5
3
1
8
−1
−7
−4
|
|
|
 
1
0
 
0 ∼ 0
0
0
−2
0
0
2
5
1
3
10
2
−1
−10
−2
|
|
|

0

0 
0
variables libres: x2 , x4 , x5 .







 + λ2 






1
0
−2
1
0








 + λ3 






2
0
−3
0
1




 = λ1 u + λ2 v + λ3 w.



y por tanto N (A) = {u, v, w}.
2.2. Espacio columna. Dado un sistema Ax = b, ¿para que vectores b hay solución?
Definición 4 El espacio columna de una matriz A de dimensión m×n, C(A), es el conjunto de todas las combinaciones
lineales de las columnas de A; es decir, C(A) = {b ∈ Rm : b = Ax para algún x ∈ Rn }.
Observaciones.
C(A) es un subespacio de Rm .
Ejemplo 9 Encontrar el espacio columna de



A=

(es un subespacio de R4 ). Buscamos las

1
 2

A=
 1
3
1
2
1
3
2
4
2
6
−5
−5
0
−5
11
15
4
19
−3
2
5
−2



,

columnas que dan “información” sobre


2 −5 11 −3
1 2
 0 0
4 −5 15
2 


 ∼ ··· ∼ 
 0 0
2
0
4
5 
0 0
6 −5 19 −2
el sistema:
0
5
0
0
4
−7
0
0
0
0
−9
0



.

Las variables principales del sistema están en la columna 1,3 y 5, luego C(A) = {v1 , v2 , v3 }, con






1
−5
−3
 2 
 −5 
 2 






v1 = 
 , v2 = 
 , v3 = 
.
 1 
 0 
 5 
3
−5
−2
3 Independencia lineal y sistemas generadores.
3.1. Independencia lineal. Un subespacio puede estar generado por muchos vectores, pero puede que haya algunos
vectores repetidos (iguales o múltiplos unos de otros).
Idea. Buscamos vectores que no den información redundante
(aunque no sea suficiente) sobre el subespacio.
3
Definición 5 Los vectores {v1 , . . . , vp } son linealmente independientes si la ecuación vectorial
λ1 v1 + · · · + λp vp = 0
tiene sólo la solución trivial λ1 = · · · = λp = 0.
De forma equivalente,
Definición 6 Las columnas de A = [v1 | . . . |vp ] son linealmente independientes si el sistema Aλ = 0 es compatible
determinado (es decir, λ = 0 es la única solución).
Ejemplo 10 Los vectores
Ã
v1 =
1
2
!
Ã
,
v2 =
0
1
!
Ã
,
v3 =
!
3
0
no son linealmente independientes, porque el sistema [v1 |v2 |v3 ]λ = 0 no tiene solución única (es decir N (A) 6= {0}).
3.2. Sistemas generadores. ¿Cómo describimos un espacio a través de unos poco vectores?
Idea. Buscamos vectores que den información suficiente
(aunque sea demasiada) sobre el subespacio.
Definición 7 Los vectores {v1 , . . . , vp } generan el espacio V , V = Gen{v1 , . . . , vp } si cualquier vector de V se puede
escribir como combinación lineal de {v1 , . . . , vp }.
Ejemplo 11 El conjunto {v1 , v2 , v3 } con
Ã
v1 =
1
0
!
Ã
,
v2 =
0
1
!
Ã
,
v3 =
!
4
7
es un conjunto generador de R2 .
4 Bases, dimensiones y rango
4.1. Bases. Los conjuntos linealmente independientes pueden no dar información suficiente sobre un subespacio.
Los conjuntos generadores pueden dar información demás sobre un subespacio.
Idea. Buscamos un conjunto de vectores lo suficientemente grande para que genere todo el
espacio, pero lo suficientemente pequeño para que sus vectores sean linealmente independientes.
Definición 8 Sea H un subespacio vectorial de V . El conjunto de vectores B = {b1 , . . . , bp } es una base de H si
1. B es un conjunto linealmente independiente
2. B genera H.
Importante. Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal
de los elementos de B. La forma es única.
Ejemplo 12 La base “más importante”
dimensión n, es decir:

1
 0

e1 = 
 ..
 .
0
es la base canónica. En Rn corresponde a las columnas de la matriz identidad de



,





e2 = 


0
1
..
.
0



,


4

...


en = 


0
0
..
.
1



.


Ejercicio 13 Encontrar una base para N (A) siendo

1

A =  −2
0
0
1
2
−5
6
−8
1
−2
1

4

−2  .
9
Indicación: ¿Qué vectores generan N (A)? ¿Son linealmente independientes?
Observación. En un espacio vectorial hay infinitas bases,
¿tienen algo en común?
4.2. Dimensiones y Rango. Los subespacios vectoriales tienen infinitos elementos, pero quedan caracterizados por
los elementos de una base. ¿Cuál es el “tamaño” de un subespacio?
Definición 9 La dimensión de un subespacio vectorial es el número de elementos de una base.
Ejemplo 14 Rn tiene dimensión n.
Ejemplo 15 Subespacios de R3 y su dimensión
Subespacio
Dimensión
{0}
Rectas que pasan por el origen
Planos que pasan por el origen
R3
0
1
2
3
Una matriz A tiene dimensión m × n. Pero puede que no sea la dimensión “correcta” si pensamos en el sistema
Ax = b. ¿Por qué?
Definición 10 Dada una matriz A. El rango de A, r(A), es el número de entradas principales de A.
Ejercicio 16 Si A es m × n, ¿por qué se tiene r(A) ≤ mı́n{m, n}?
¿Cuál es la dimensión de C(A) y de N (A)?
Importante. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
Las columnas de A de dimensión m × n son linealmente independientes
el rango de A es n
Ejercicio 17 Dada la matriz

−3

A 1
2
6
−2
−4
−1
2
5
1
3
8

−7

−1  .
−4
Calcular la dimensión de C(A) y de N (A). ¿Cuál es el rango?
Importante.
Dada una matriz A de m × n y rango r, se tiene
dim(C(A)) + dim(N (A)) = r + (n − r) = n.
5
5 Cambio de base
Idea. Un mismo vector v se puede representar de muchas maneras en función de la base que
elijamos para describir el espacio. El vector es único, pero su representación es distinta.
Ejemplo 18 Dadas las bases de R2
(Ã
B=
1
0
! Ã
0
1
,
!)
(Ã
0
y
B =
y el vector v = (2, 1)T tenemos las siguientes representaciones
Ã
!
Ã
!
Ã
!
2
1
0
=2
+1
,
y
1
0
1
Por tanto las coordenadas de v son
Ã
v=
2
1
Ã
!
Ã
=
B
2
1
!
1
−1
! Ã
1
1
,
Ã
=1
1
1
−1
0
!)
!
Ã
+ (−1)
−1
0
!
.
!
B0
Definición 11 Sea B = {b1 , . . . , bn } una base de V y v ∈ V . Las coordenadas de v es la base B son los escalares
x1 , . . . , xn tales que
v = x1 b1 + · · · + xn bn
Se denota por [x]B y se entiende que si no se especifica base se trata de las coordenadas en la base canónica.
Ejemplo 19 Dada las base de R2
(Ã
B=
2
1
! Ã
,
−1
1
!)
para hallar las coordenadas del vector v = (4, 5)T es términos de esta base planteamos el sistema
Ã
!
Ã
!
Ã
!
Ã
!Ã
! Ã
!
4
2
−1
2 −1
x1
4
= x1
+ x2
Ã
=
.
5
1
1
1
1
x2
5
El sistema tiene solución única (¿Por qué?) y obtenemos
Ã
[v]B =
3
2
!
.
Importante. Dadas las bases B = {b1 , . . . , bn } y B 0 = {b01 , . . . , b0n } de un espacio vectorial V
y v ∈ V se tiene
←−−
[v]B0 = P (B 0 , B)[v]B ,
←−−
donde P (B 0 , B) es la matriz de cambio de base y viene dada por
←−−
P (B 0 , B) = ([b1 ]B0 | . . . |[bn ]B0 ).
Además
←−−
←−−
P (B, B 0 ) = P (B0 , B)−1
Ejercicio 20 Dadas las bases de R2
(Ã
B=
2
1
! Ã
,
−1
1
!)
(Ã
y
←−−
←−−
hallar las matrices de cambio de base P (C, B) y P (B, C).
6
C=
1
0
! Ã
,
0
1
!)