Demostración de algunas equivalencias
ln x
(a > 0, a 6= 1).
ln a
=⇒ ln x = ln aloga x = loga x ln a =⇒ loga x = ln x .
ln a
0) Cambio de base: loga x =
D: ∀x ∈ R, x = aloga x
1) loga (1 + θn ) ∼
θn
ln a
(B.2).
D: Veamos primero que ln(1 + θn ) ∼ θn . Al ser {1/θn } una sucesión divergente,
θ1
θ1
n
n
1
ln(1 + θn )
1
Si ∃
= lı́m ln 1 +
lı́m
= ln lı́m 1 +
= ln e = 1.
n→∞
n→∞
n→∞
θn
1/θn
1/θn
Entonces loga (1 + θn ) =
2) loga un ∼
un − 1
ln a
ln(1 + θn )
∼ θn .
ln a
ln a
(B.3).
D: un − 1 = θn =⇒ ln un = ln(1 + θn ) ∼ θn = un − 1 =⇒ loga un = ln un ∼ un − 1 .
ln a
ln a
3) aθn − 1 ∼ θn ln a
(B.4).
θn
θn
0
−
1
= θn =⇒ aθn − 1 = eθn ln a − 1 ∼ θn ln a.
D: e
−
1
)
=
ln
1
+
e
∼
ln
(1
+
θ
n
| {z }
0
θn
1
4) 1 − cos θn ∼ θn2
2
(E.2).
2
θ2
D: 1 − cos θn = 2 sen2 θ2n ∼ 2 θ2n = 2n .
5)
p
p
D:
1 + θn − 1 ∼
p
p
θn
p
(F.1).
1 + θn − 1 ∼ ln 1 +
|
{z
}
0
θn
√
p
1 + θn − 1 = ln(1 + θn )1/p = p1 ln(1 + θn ) ∼ θpn .
0