Cantidades imaginarias y complejas

Cantidades imaginarias y complejas
Objetivos
Reconocer que el grupo de las cantidades imaginarias es aplicable a la solución
deecuaciones de la forma
Efectuar correctamente operaciones y gráficas con cantidades imaginarias y
complejas.
Conceptos generales
En anteriores capítulos hemos analizado ecuaciones de tipo
Pero al analizar que sucede cuando se encuentran ecuaciones del tipo
El resultado de la incógnita indica que debe ser un número que elevado al cuadradode
negativo, valor que en los números reales no existe. Este valor no existe porque seha
visto que para un índice par en la radicación el radicando no puede ser una
cantidad negativa real. Este tipo de expresiones genera un nuevo conjunto de
números que son los llamados números imaginarios.
Potencias de la unidad imaginaria
En forma general toda expresión
Donde n es par y -a es una cantidad real negativa recibe el nombre de imaginaria
pura.
Simplificación de las imaginarias puras
Toda raíz imaginaria pura puede simplificarse a la forma de una cantidad
realmultiplicada por la unidad imaginaria
Operaciones con cantidades imaginarias puras
Suma y resta
Se simplifican las cantidades imaginarias a cantidades reales multiplicadas por
decir a la forma ai y se reducen como radicales semejantes.
, es
Simplificar:
Generalmente se encuentran cantidades de la forma
efectúa el siguiente procedimiento:
, y para hallar su valor se
En las potencias de la cantidad imaginaria
, se vio que las cuatro primeras
potencias de
son:
, -1, , 1 y este orden se repite a partir de la cuarta
potencia, luego entonces:
Para hallar el valor de , se divide el exponente de i entre el número 4 que
representa a la cuarta potencia de la cantidad imaginaria:
En forma genérica:
Multiplicación
Se simplifican las cantidades imaginarias a cantidades reales multiplicadas por
decir a la forma ai y se multiplican las cantidades transformadas, luego se
reemplazan las potencias de i por su valor respectivo.
Multiplicar:
,es
División
Se simplifican las cantidades imaginarias a cantidades reales multiplicadas por
,es
decir a la forma ai y se dividen las cantidades transformadas, luego se reemplazan las
potencias de i por su valor respectivo.
Dividir:
Cantidades complejas
Las cantidades complejas nacen de la necesidad de ampliar los números imaginarios,
y son cantidades que constan de un par de números dados en un orden, en el cual
uno es real y el otro puede ser imaginario.
Las cantidades complejas son de la forma
Es decir a + bi, donde a y b son cantidades reales.
Cantidades complejas conjugadas
Son dos cantidades complejas que difieren solamente en el signo que separa a las
cantidades imaginarias:
Y la suma de dos cantidades complejas conjugadas dan como resultado una cantidad
real.
Suma y resta de cantidades complejas conjugadas
Para sumar o restar cantidades complejas conjugadas se suman o restan las partes
reales entre sí y las partes imaginarias entre si.
Sumar:
Restar:
La diferencia de dos cantidades complejas conjugadas da como resultado una
cantidad imaginaria pura.
Multiplicación de cantidades complejas conjugadas
Las cantidades complejas se multiplican como expresiones compuestas, solo quehay
que tener en cuenta los valores de las potencias de la cantidad imaginaria,
especialmente
.
El producto de dos cantidades complejas conjugadas es igual a una cantidad real.
Multiplicar:
División de cantidades complejas conjugadas
Para dividir dos cantidades complejas conjugadas, se escriben en forma de fraccióny
se racionaliza el denominador de esta fracción, la racionalización se desarrolla
multiplicando tanto el numerador como el denominador por la conjugada del
denominador.
Dividir:
Hay problemas en los que sobran datos que desorientan la resolución.
Cuadrados que se cortan
Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos, de manera que un vértice de uno está
siempre en el centro del otro.
¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible?
La sombra desconocida
En la figura adjunta el triángulo rectángulo tiene el vértice en centro del cuadrado.
Cuál es el área de la parte sombreada
Soluciones
Cuadrados que se cortan
El área comprendida entre ambos siempre es la cuarta parte de la de un cuadrado.
Los triángulos ABC y CDE son iguales.
La sombra desconocida
Observe que los triángulos sombreados de la figura son iguales por ser el triángulo
rectángulo.
El área de la sombra es la cuarta parte del área del cuadrado.
Es decir, 36/4 = 9.