Movimiento circular

Movimiento circular
La trayectoria de un móvil sabemos que puede tener formas muy diversas. Hasta ahora hemos
estudiado el caso más simple de trayectoria, la rectilínea. Ahora vamos a dar un paso más y
vamos a estudiar de entre los movimientos cuya trayectoria no es recta, el más sencillo de todos.
¿Sabes a qué movimiento nos referimos?
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Pues sí, nos referimos al movimiento circular. Estamos seguros de que si haces un poco de
memoria podrás recordar muchas movimientos en los que la trayectoria es una circunferencia o
parte de ella. Desde el movimiento de las manecillas de un reloj, hasta la noria que ves en la
fotografía pasando por la rueda de una bicicleta. En todos estos casos hay un punto del objeto que
se mueve mantiendo fija su distancia a otro punto. En los ejemplos que te acabamos de comentar
ese punto sobre el que se gira es el eje del reloj, de la rueda o de la noria.
Actividad
Decimos que un objeto se mueve con un movimiento circular si su trayectoria es
una circunferencia.
En este tema vamos a estudiar de entre los movimientos circulares, el más sencillo de todos. Se
trata del movimiento circular uniforme (en adelante MCU) que se caracteriza por tener una
velocidad angular constante. Pero no adelantemos acontecimientos.
Pregunta Verdadero-Falso
Un movimiento circular es aquel en el que la trayectoria es una curva.
Verdadero
Falso
Un movimiento circular es un tipo particular de movimiento curvilíneo.
Verdadero
Falso
El MCU además de tener una trayectoria en forma de circunferencia, tiene una
velocidad constante.
Verdadero
Falso
1. La posición en los móviles que giran
¿Cómo podemos saber dónde se encuentra en un momento concreto un móvil que lleva
movimiento circular? Si sabemos situar un punto en el plano, la tarea es sencilla. Recuerda que el
vector de posición se puede expresar en función de sus componentes cartesianas.
En este caso, el móvil se mantiene siempre a una distancia r del centro de giro, precisamente el
radio de la circunferencia que describe. Por eso en este caso particular de trayectoria circular, es
más útil utilizar las coordenadas polares. La posición en coordenadas polares se describe
utilizando la distancia del punto al origen de coordenadas y el ángulo que forma dicho vector de
posición con la parte positiva del eje x.
Ambas descripciones guardan relación. Podemos pasar de las coordenadas "x" e "y" a las
coordenadas polares "r" y " " ( se lee teta según la Real Academia de la Lengua) y viceversa.
Para ello necesitamos recordar las definiciones de seno y coseno. Tanto el seno como el coseno
son razones trigonométricas.
De este modo usando las expresiones anteriores podemos determinar las coordenadas x e y
conociendo r y
:
O al revés, conociendo r y
podemos determinar x e y:
Importante
La unidad de ángulo en el Sistema Internacional es el radián.
En la descripción de los movimientos circulares también se suelen emplear otras
unidades como el grado sexagesimal o la revolución (vuelta).
Imagen de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons
Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:
1.
2.
3.
4.
rad
rad
rad
rad
En una calculadora científica es muy fácil calcular el seno y el coseno de un ángulo. Por ejemplo
imagina que queremos calcular el seno y el coseno de 60º.
Para calcular el seno basta con escribir 60 y luego pulsar la tecla sin. Del mismo modo, pero
pulsando la tecla cos, se calcula el coseno.
¿Y al revés? Si sé que el seno de un ángulo
es 0,25, ¿cómo puedo calcular dicho ángulo? Pues
basta con escribir 0,25 en tu calculadora y luego pulsar las teclas INV y sin sucesivamente.
Supongamos que tenemos rueda de una bicicleta cuyo radio mide 50 cm. ¿Cuáles
son las coordenadas cartesianas y polares de los puntos marcados en la fotografía?
Estima aproximadamente los ángulos a partir de la fotografía.
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Actividad
distancia al centro y el ángulo entre el lado positivo del eje x y el vector de posición
de nuestro móvil.
2. La velocidad en los móviles que giran
Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons
Observa los dós móviles de la animación. ¿Describen el mismo tipo de movimiento? Ambos
describen una trayectoria circular pero , ¿qué ocurre con su velocidad? Si te fijas el de la derecha
da vueltas siempre al mismo ritmo mientras que el de la izquierda unas veces va más rápido y
otras más lento, incluso se para y cambia de sentido.
El engranaje de la derecha tiene un MCU mientras que el de la izquierda es un movimiento
circular variado.
Observa con el siguiente simulador el movimiento de un cuerpo con velocidad angular constante.
Modifica el radio de la trayectoria y la velocidad angular para observar distintos movimientos.
Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons
Haciendo pruebas con el simulador anterior hemos tomado nota del ángulo (medido en radianes)
en diferentes momentos.
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ángulo (rad) 0,0 3,14 6,28 9,42 12,56 15,70 18,84 21,98 25,12
Si observas cómo va cambiando el ángulo te darás cuenta de que lo hace a un ritmo constante.
Representando el ángulo frente al tiempo podemos comprobarlo definitivamente.
Está claro que en este caso el ritmo de cambio del ángulo es constante y precisamente a eso le
debe el nombre el movimiento circular uniforme. Pero, ¿qué magnitud medirá el cambio en el
ángulo? La velocidad angular que se mide en radianes por segundo.
En el caso de nuestros datos, obtenemos un valor constante de 3,14 rad/s para la velocidad
angular cualquiera que sea el intervalo de tiempo que seleccionemos.
Dado que en los MCU la valocidad angular es constante, podemos calcular podemos calcular el
ángulo recorrido en un cierto tiempo operando en la ecuación anterior:
Si empezamos a estudiar el movimiento con el cronómetro a cero segundos y sustituimos t2 por t,
La ecuación de la velocidad angular en un MCU es:
que recuerda mucho a la ecuación velocidad de un MRU pero ahora el papel de las posiciones lo
juegan los ángulos y la velocidad angular ha sustituido a la velocidad. Más adelante veremos si
existe alguna relación entre estas magnitudes angulares y lineales.
¿Es la velocidad constante en un MCU?
Ya sabemos que la velocidad de un móvil es una magnitud vectorial y por tanto no
basta para describirla con dar el espacio recorrido cada segundo sino que
necesitamos indicar la dirección y el sentido con que se mueve. Es decir, la
velocidad tiene dos componentes: por un lado su módulo que indica cómo de rápido
se mueve el objeto y por otro la dirección y sentido.
En un MRU sabemos que no cambia el módulo de la velocidad porque siempre se
mueve con el mismo ritmo y además como la trayectoria es recta, la componente
vectorial tampoco. Podemos decir que en un MRU la velocidad, tanto en módulo
como en dirección y sentido es constante.
En un MCU sabemos que no cambia el ritmo con que da vueltas pero al describir
una circunferencia, la dirección y el sentido cambian continuamente. Por lo tanto,
estrictamente la velocidad no es constante es un MCU y cuando decimos que es
uniforme queremos decir que el módulo de la velocidad no varía.
AV - Pregunta Verdadero-Falso
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
En un MCU, el módulo de la velocidad lineal es constante.
Verdadero
Falso
En un MCU, el vector velocidad varía.
Verdadero
Falso
En un MCU, la velocidad angular es variable.
Verdadero
Falso
3. La aceleración en los móviles que giran
Hemos indicado anteriormente que la velocidad tiene carácter vectorial. Como tal vector podemos
distinguir en ella su módulo y la dirección y el sentido. Cuando la velocidad de un objeto varía con
el tiempo puede hacerlo bien porque varíe el módulo, porque varíe la dirección y sentido del
movimiento o porque varíen ambos aspectos.
Ya sabemos que la magnitud que mide la variación de la velocidad es la aceleración. Es posible
definir la aceleración como suma de otras dos:
1. La aceleración tangencial (at) que informa del cambio en el módulo de la velocidad.
2. La aceleración normal (an) que informa del cambio en la dirección y en el sentido de la
velocidad.
En el siguiente cuadro resumimos qué valor tendría cada una de estas dos componentes de la
velocidad en los movimientos que hemos estudiado hasta ahora y en el MCU.
Tipo de movimiento Aceleración tangencial Aceleración normal Aceleración
Reposo
MRU
MRUA
MCU
En un MCU, lógicamente la aceleración tangencial es nula porque no varía el ritmo con el que gira
el móvil (siempre da las mismas vueltas por segundo). Sin embargo la normal es distinta de cero
puesto que la dirección y el sentido cambian constantemente para dibujar la trayectoria circular.
Piensa en un movimiento circular pero en el que la velocidad angular varía con el
tiempo. ¿Serán nulas las componentes tangencial y vectorial de la aceleración?
Del mismo modo que en su momento definimos la aceleración lineal como el ritmo del cambio de
la velocidad, podemos definir una magnitud que mida el cambio en la velocidad angular.
Como la velocidad angular se mide en radianes por segundo, la aceleración angular se mide en
radianes por segundo cada segundo, o lo que es lo mismo en radianes por segundo al cuadrado.
En el siguiente apartado veremos que esta aceleración guarda una relación con la aceleración
tangencial.
En el caso de un MCU esta aceleración es nula puesto que la velocidad angular se mantiene
constante.
Del mismo modo que dedujimos la ecuación velocidad-tiempo para los MRUA, ahora podríamos
hacer lo propio con la velocidad angular. Basta despejar de la definición de aceleración angular.
Si consideramos que en el instante inicial nuestro crónometro estaba puesto a cero,
Puedes observar el parecido de esta ecuación con la ecuación velocidad-tiempo de los MRUA. En
lugar de velocidades aparecen velocidades angulares y en lugar de la aceleración, la aceleración
angular.
4. Magnitudes lineales y angulares
Vamos a mostrar a modo de resumen las ecuaciones de los diferentes movimientos que hemos
estudiado hasta ahora así como las de los MCU y del movimiento circular uniformemente variado.
Podrás observar que son muy similares.
Movimiento rectilíneo y uniforme Movimiento circular uniforme.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Movimiento circular uniformemente acelerado
Una partícula cuando se mueve sobre una circunferencia describe un ángulo
pero también
recorre un espacio sobre su trayectoria. ¿Existe alguna relación entre ambas magnitudes? Sí y es
muy sencilla de obtener. Vayamos a un caso particular. Imagina que el móvil ha dado una vuelta
completa. El espacio que habrá recorrido es justo la longitud de la circunferencia, es decir:
Como vemos el espacio es el producto del ángulo completo por el radio. Si en vez de haber dado
una vuelta completa, hubiera dado media entonces el espacio recorrido sería:
De nuevo el producto del ángulo correspondiente a media circunferencia por el radio. En el caso
de que se haya batido un ángulo
cualquiera, el espacio recorrido será:
Esta misma relación se da entre las velocidades y las aceleraciones:
En el caso de la aceleración podemos distinguir entre la tangencial y la normal:
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Un tractor se mueve con velocidad constante de 5 m/s en línea recta.
1. ¿Qué tipo de movimiento lleva un punto de la cubierta del neumático de una
de sus ruedas?
2. Si las ruedas traseras tienen un diámetro 1,60 metros , ¿con qué velocidad
angular girarán?
3. ¿Y las ruedas delanteras si su diámetro es de 1 metro?
4. Mientras las ruedas traseras dan una vuelta, ¿cuántas vueltas dan las ruedas
delanteras?
5. Movimiento circular uniforme
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En el caso de un movimiento circular uniforme, en el que la velocidad angular no cambia,
podemos definir dos magnitudes que pueden ayudarnos a describir el movimiento.
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El período es el tiempo que invierte un objeto que describe un MCU en dar una vuelta completa.
Se mide en segundos y se representa por una T.
La frecuencia es el número de vueltas por segundo que da un objeto que se mueve siguiendo un
MCU. Se mide en ciclos por segundo o Hertzios y se representa por la letra f.
Por la forma es que están definidas, período y frecuencia son una la inversa de la otra:
La velocidad angular se puede expresar en función de la frecuencia y del periodo. Como el período
es el tiempo que tarda un objeto en dar una vuelta, la velocidad angular de ese objeto será:
Usando la relación entre frecuencia y periodo también podemos escribir que:
AV - Pregunta de Elección Múltiple
Determina con el simulador la velocidad angular si el periodo del movimiento es 3s
y señala la respuesta correcta:
2.09 rad/s
0.69 rad/s
1 rad/s
La posición de este móvil quedará perfectamente descrita si damos la distancia al eje de giro (r) y
el ángulo que forma el vector de posición y eje x (su parte positiva concretamente). Este ángulo
varía con el tiempo según la ecuación:
En este caso particular de movimiento circular, no cambia el módulo de la velocidad, sólo lo hace
su dirección y sentido.
Por eso la aceleración tangencial es cero pero la normal no.
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Sabiendo que la distancia entre la Tierra y Luna es de 384000 Km y que tarda en
dar una vuelta alrededor de la Tierra 27 días 7 horas y 43 minutos, calcula:
1.
2.
3.
4.
5.
El período y la frecuencia de giro.
La velocidad angular.
La velocidad lineal.
La aceleración angular y normal.
El ángulo rotado durante un día.
Nota: supón que el movimiento de la Luna es un MCU.