RAZÓN PROPORCIÓN

CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
y P
RAZÓN
Es el resultado de comparar dos cantidades; puede
ser de dos clases:
1)
RAZÓN ARITMÉTICA: Cuando
compara mediante la diferencia.
OBSERVACIÓN:
Cuando nos digan: dos cantidades son entre sí
como 3 es a 2, podremos plantear:
se
En general:
Ejemplo: Si tenemos:
H  45 hombres
 45 hombres  30 mujeres   15 hombres
M  30 mujeres  ANTECEDENTE
RAZON
CONSECUENTE
PROPORCIÓN
OBSERVACIÓN:
Las unidades de la razón son las unidades del
antecedente en general:
Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos
clases:
1)
2)
RAZÓN GEOMÉTRICA: Cuando
comparación es mediante el cociente.
Ejemplo:
ANTECEDENTE
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
(Equi - diferencia)
la
PROPIEDAD:
Suma de Extremos = Suma de Medios
a+d = b+c
H  45 hombres H  45 hombres  3
(RAZON)

M  30 mujeres  M
30 mujeres
CONSECUENTE
2
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
1
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
ARITMÉTICA
(Equi - cociente)
A cada término igual (b) se le llama media
proporcional o media geométrica y a cada término
distinto se le llama tercera proporcional.
"El producto de extremos es igual al producto
de medios"
PROPIEDADES DE LA PROPORCIÓN
GEOMÉTRICA
OBSERVACIÓN:
La proporción geométrica
acostumbra representar como:
también
a c

b d
se
Se cumple:
1)
a b

c d
ab
d
b
b

cd
d
CLASES DE PROPORCIONES
2)
ó
a  c
a d c d
3)
a b
DISCRETAS: Si sus términos medios son
diferentes entre sí
Arit
ab
a -b = c-d
4)
; bc
Al último término se le llama cuarta
diferencial
5)
Geométricas Discretas
a c

b d
;bc
6)
Al último término se le llama cuarta
proporcional
c d
o a - b  c - d
cd
a b cd
a c  a  c

b
d
bd
an cn

bn d n
n
a
n
b
n
 n
c
d
APLICACIÓN:
Dos números están en la razón de 4 a 7. Si su
diferencia es 51. Hallar su suma
II. CONTÍNUAS: Si sus términos medios son
iguales
Aritméticas Continuas
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

a
c
a- b  c  d
a
4  a  b 4  7


[Pr opiedad 4]
b a 4
b 
2
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
ARITMÉTICA
a b 11

51
3
A cada término igual (b) se le llama media
diferencial o media aritmética y a cada término
distinto se le llama tercera diferencial.
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
3
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
ARITMÉTICA
(4) Los 2/5 de 1/3 del producto de dos números
que son entre sí como 4 es a 5, es 384. ¿Cuál
es la suma de cifras del número mayor?
SERIE DE RAZONES
GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
a) 6
d) 5
Concepto:
Es la igualdad de dos o más razones
geométricas que tienen el mismo valor.
a1
b1

a2
b2

a3
an
................. 
b3
 K RAZON
a) 45
b) 40
c) 35
d) 30
e) 25
(6) En cierto instante en una playa se observa que
la cantidad de varones que se encuentran
dentro del mar y la de mujeres que se
encuentran fuera de ella están en la relación de
3 a 5, mientras que los varones que se
encuentran fuera del mar es a la cantidad de
mujeres que se encuentran dentro de ella
como 4 es a 3. Además, la cantidad de varones
y mujeres es de 2 a 3. ¿En qué relación estaría
la cantidad de varones y mujeres que se
encuentran dentro del mar si la mitad de
varones y mujeres que se encuentran fuera de
ella ingresan.
a) 4 a 3
d) 10 a 9
b) 5 a 2
e) 5 a 3
c) 3 a 2
(7) En un determinado instante de una fiesta, el
bn
1°)
2°)
EJERCICIOS
(1) Dos números están en la relación de 5 a 13; si
uno excede al otro en 72. ¿Cuál es el mayor?
b) 117
(2) La razón de 2 números es
c) 91
e) 195
4
13
número de hombres que no bailan es al
número de personas que están bailando como
y su suma es
5 es a 6. Además el número de damas que no
bailan es al número de hombres como 7 es a 8.
Encontrar el número de hombres que asisten a
dicha fiesta, si el total de personas es 180.
204. Hallar el menor de los números.
a) 12
d) 102
b) 36
c) 48
e) 144
a) 60
d) 90
(3) En una conferencia técnica se observó que por
cada 5 hombres que asistieron habían 2
mujeres, si asistieron en total 315ersonas a
dicha conferencia y luego de 1 hora de
(8) Si:
comenzado la misma, se retiraron 45 hombres
y 30 mujeres por qué no entendían los temas
¿Cuál es la nueva relación entre hombres y
mujeres?
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
c) 8
e) 9
(5) ¿Dentro de cuántos años la relación entre las
edades de dos personas será igual a 7/6, si sus
edades actualmente son 40 y 30 años?
PROPIEDADES:
a) 104
d) 221
b) 7
a
b) 70

5
b
8

c
c) 55
e) 80
y
15
Además: 3a - 5b + 2c = 245.
Hallar el valor de “a + b + c”.
4
a) 892
d) 982
b) 1436CENTRO
c) 842
INFORMÁTICO
e) 1372
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
a) 3:1
d) 4:3
b) 2:5
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
ARITMÉTICA
c) 3:2
e) 5:3
5
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(9) Si: a.b.c  1008, hallar “ a  b  c ” en:
ARITMÉTICA
(16) Si se aumenta una misma cantidad a los
números 195, 300 y 450 se puede formar una
proporción geométrica continua. Hallar la
razón de dicha proporción.
a
b
c


K
30 35 15
a) 26
b) 30
c) 32
d) 36
e) 48
(10) En una serie de tres razones iguales, el
producto de los antecedentes es 16128 y el
producto de los consecuentes es 252. Si la
suma de los antecedentes es 88, hallar la suma
de los consecuentes.
a) 11
d) 66
b) 22
a) 0,3
b) 0,4
c) 0,5
d) 0,7
e) 0,9
(17) Cuál es la suma de B y D sabiendo que A y C
se diferencian en 168 y además A es a B
como 2 es a 3; B es a C como 4 es a 5; C es a D
como 6 es a 7?
c) 44
e) 33
a) 807
b) 708
c) 800
d) 700
e) 476
(18) En un corral hay «n» aves entre patos y
gallinas. Si el número de patos es a «n» como
5 es a 12 y la diferencia entre el número de
patos y el número de gallinas es 18. Cuál será
la relación entre patos y gallinas, si se mueren
13 gallinas.
(11) En una serie de cuatro razones geométricas
continuas equivalentes, el primer antecedente
es al último antecedente como 1 es a 27.
Calcular la suma de todos los consecuentes si
se sabe que la suma de los términos de la última
razón es 540.
a) 600
d) 680
b) 580
a) 9/10
d) 3/5
c) 630
e) 720
(12) En una proporción geométrica la suma de los
dos primeros términos es 20 y la suma de los
dos últimos términos es 25. Hallar el menor
de los términos medios si la suma de los
consecuentes es 27.
c) 1/2
e) 5/7
(19) En un momento de una fiesta, el número de
hombres que no bailan es al número de
personas que están bailando como 1 es a 6.
Además el número de damas que no bailan es
al número de hombres como 3 es a 20.
Encontrar el número de damas que están
bailando si en total asistieron 456 personas.
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
(13) En una proporción geométrica discreta, la
suma de los extremos es 46 y su diferencia es
10. Hallar el producto de los términos medios.
a) 120
b) 150
c) 180
d) 200
e) 210
(20) La suma de los 4 términos de una proporción
geométrica continua es a la diferencia de sus
extremos como 3 a 1. ¿Cuál es la razón
geométrica del extremo mayor al extremo
menor?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
a) 504
b) 360
c) 120
d) 1008
e) 756
(14) “m” es la media diferencial de 28 y 12. “n” es
la cuarta diferencial de 18; 12; y 10. Hallar
“m + n”.
a) 18
b) 20
c) 24
d) 26
e) 30
(15) “a” es la cuarta proporcional de 18; 12 y 24.
“b” es la media proporcional de 18 y 8. “c” es
la media proporcional de 96 y 54. Hallar la
cuarta proporcional de a; b y c.
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
b) 4/5
CLAVES
1
2
3
6
b
c
a
6
7
8
d
e
e
11
16
13
a
a
a
12
17
18
d
b
a
4
a
9
c
14
c
19
c
5
d
10
b
15
c
20
d
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
a) 72
d) 36
b) 48
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
ARITMÉTICA
c) 54
e) 24
7
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
ARITMÉTICA
0
M
INTRODUCCIÓN.En nuestra vida diaria, realizamos muchas
actividades que involucran el empleo de
magnitudes de diversos tipos, así por ejemplo
cuando vamos a la bodega, compramos 1Kg. de
arroz y pagamos S/2,00; o si queremos comprar
3Kg. de arroz tenemos que pagar S/6,00.
RELACIONES ENTRE
MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales cuando al
variar uno de ellos, entonces la otra magnitud
también varía en la misma proporción. Las
magnitudes se pueden relacionar de 2 maneras:
1)
Entonces, para nuestro ejemplo tenemos como
magnitudes al peso (Kg. de arroz) y al costo
(importe a pagar) y tenemos la cantidad de Kg. De
arroz que voy a comprar, definamos entonces que
es magnitud y que es cantidad.
Ejemplo: Juan va al mercado y compra 4Kg. de
arroz por un costo de S/8,00 ¿Cómo varía el costo,
si se varía la cantidad de Kg. de arroz que se
compra?
MAGNITUD
Peso
(kg) 4
Costo
(S/)
8
Es todo aquello que experimenta cambios, y puede
ser medido o cuantificado.
Ejemplo: Velocidad, tiempo, # de obreros, h/d,
peso, costo, etc.
1º
CANTIDAD:
Es el valor que tiene en un determinado momento
una magnitud.
2
1
8
10
20
4
2
16
20
40
CONCLUSIONES:
Si el peso de arroz se duplica el costo también
se duplica.
4 Kgx2 = 8Kg.
S/. 8x2= S/16
2º
Ejemplo
Magnitud
Velocidad
Tiempo
# Obreros
h/d
Peso
Costo
Magnitudes Directamente Proporcionales
(DP)
Cantidad
50 m/s
5 h.
35 obreros
8 h/d
4 Kg
S/. 8
Si el peso de arroz se reduce a la mitad, el
costo también se reduce a la mitad.
4 Kg.x
1
 2Kg.
2
S / .8x
1
 S / . 4.
2
Se deduce:
Valor ( peso) 4  2 1 8 10

   
 cte
Valor (cos to) 8 4 2 16 20
 (PESO) DP (COSTO)
VALOR (PESO)
 cte
VALOR (COSTO)
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
8
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GRÁFICAMENTE:
ARITMÉTICA
CONCLUSIONES:
1º
2º
“Dos magnitudes
son DP si al aumentar o
disminuir el valor de una de ellas, el valor de la
otra magnitud también aumenta o disminuye en la
misma proporción. El cociente de sus valores
correspondientes permanece constante a excepción
del origen de coordenadas”.
Si el número de obreros se duplica, el número
de días se reduce a la mitad.
12 obreros x 2 = 24 obreros
8 días  2 = 4 días
Si el número de obreros se reduce a la mitad,
el número de días se duplica.
12 obreros 2 = 6 obreros
8 días x 2 = 16 días
Se deduce:
Valor (#de obreros) x Valor (#días) = 12x8=
24x4 = 6x16 = 4x24 = Cte.
 (# Obreros) IP (#días)
La gráfica de dos Magnitudes Directamente
Proporcionales es una línea recta que pasa por el
origen de coordenadas.
Valor(#de obreros)x Valor(#días) = Cte.
GRÁFICAMENTE:
En forma general:
Valor de A
A DP B 

cte
Valor de B
Aplicación:
Si A DP a B2. Calcular el valor de A cuando B =
4, si cuando A = 180; B = 6.
2)
“Dos magnitudes son IP si al
aumentar o
disminuir una de las magnitudes, el valor de la otra
magnitud disminuye o aumenta en la misma
proporción. El producto de sus valores
correspondientes permanece constante”.
Magnitudes Inversamente Proporcionales
(IP)
Ejemplo: Un contratista planifica realizar una
determinada obra en 8 días utilizando 12 obreros.
¿Cómo varía el # de días para realizar la misma obra
si se varía el # de obreros?
La gráfica de dos Magnitudes Inversamente
proporcionales es una rama de una hipérbola
equilátera.
En forma general:
A IP B  (Valor A)(Valor B)  e
Ct
Aplicación:
La presión de un gas (P) es IP al volumen que
ocupa (V). Cuando
P = 3atm; V = 10 litros.
Cuando la presión es 2atm, ¿En cuánto aumenta o
disminuye el volumen?
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
9
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
ARITMÉTICA
(2) Una rueda de 27 dientes engrana con otra de
12 dientes. Dando la primera 836 vueltas por
minuto. ¿Cuántas vueltas por hora dará la
segunda?
PROPIEDADES:
1)
Para 2 magnitudes A y B se cumple:
a)
d)
1
1.1. A DP B  A IP ( B
)
A IP B  A DP ( B
)
1.2. A DP B  An DP Bn
A IP B  An IP
Bn
a) 14 g
d) 18 g
Como A, B, C, D, E se analizan de dos a dos,
tomando a una de ellas como referencia para
el análisis y se mantiene a las otras en su valor
constante.

c) 130 215
e) 108 140
b) 17 g
c) 16 g
e) 15 g
(4) La resistencia eléctrica de un conductor es
proporcional a su longitud “L” e IP al
cuadrado de su diámetro “D”. ¿Qué sucede
con la resistencia si “L” disminuye en su
cuarta parte y “D” se hace la mitad?
Cuando se tiene más de 2 magnitudes:
A DP B
A IP C
A DP D
A DP E
b)120 540
(3) ¿Cuántos gramos pesará un diamante que vale
S/. 1 125, si uno de 6 g vale S/. 72, además se
sabe que el valor del diamante es D. P. al cubo
de su peso?
1
2)
112 860
110 820
(C, D, E Cte.)
(B, D, E Cte.)
(B, C, E Cte.)
(B, C, D Cte.)
AxC
 Cte
BxDxE
a)
b)
c)
d)
No varía
Se hace la mitad
Se duplica
Se triplica
e)
Se cuadruplica
(5) Se tiene un diamante que cuesta $ 48 000 si
éste se parte en dos pedazos uno es el triple
del otro, determinar cuánto se recibe al vender
Aplicación:
estos pedazos si se sabe que el precio es D.P.
al cuadrado del peso del diamante que se
vende
En un restaurante, un grupo de 4 cocineros
pueden preparar 8 pizzas en 80 minutos
¿Cuánto demoran 5 cocineros para preparar 3
pizzas?
a) $ 30 000
d) $ 20 000
b) $ 16 000
c) $ 24 00
e) N.A.
EJERCICIOS
2
(6) Una rueda A de 40 dientes engranada con otra
rueda B de 25 dientes. Fija al eje B, hay otra
rueda C de 15 dientes que engranada con una
rueda D de 48 dientes. Si A da 60 vueltas por
minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?
1/3
(1) Si “A” es D. P. a B e I. P. a C . Si el valor
de “B” se duplica y el de “C” disminuye en
sus 26/27. ¿Qué sucede con el valor de “A”?
a)
b)
c)
d)
e)
CENTRO
Aumenta 11 veces
Aumenta 12 veces
Aumenta 13 veces
Aumenta 10veces
Aumenta
9 vecesEDUCATIVA
DE
EXTENSIÓN
a) 30
d) 35
10
b) 20
c) 40
e) 26
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(7) Según el último estudio efectuado por el INEI
se puede afirmar que el rendimiento de un
empleado varía en forma I.P. al cuadrado de
su edad. Si un trabajador a la edad de 60 años
tenía un rendimiento de 3 puntos. Calcular la
edad que tenía cuando su rendimiento era de
12 puntos.
a) 15
d) 30
b) 20
ARITMÉTICA
(12) Tres personas se asocian para establecer un
negocio. La primera puso mercaderías; la
segunda, S/. 15 000 y obtuvieron ganancias
por S/. 10 000 de las cuales la primera recibió
S/. 4 000 y la tercera S/. 3500. ¿Cuál fue el
importe de las mercaderías?
a) 21 000
d) 30 000
c) 25
e) 45
b) 462
a) 228 y 196 b) 224 y 196
d) 210 y 210
c) 466
e) 248
b) 320
c) 380
e) 360
a) 360
b) 249
c) 81
d) 250
e) N.A
(15) Sean A y B dos magnitudes, tales que
(10) Se reparte una fortuna entre 3 personas de
manera que a la primera le corresponde los
7/27 de ella, a la segunda, 1/3 de ella y a la
tercera, 260 más que a la primera. Hallar la
fortuna.
a) 1 765
d) 1 575
b) 1 675
A DP B2, cuando
A IP B; cuando
,Si A= 180, cuando
B= 60, calcule A cuando B= 16.
c) 1 755
e) 2 755
(11) Un padre tiene tres hijos de 6, 7 y 9 años de
edad que cursan el 2°, 3° y 5° año de
educación primaria. Decide repartir una cierta
cantidad de caramelos entre sus tres hijos en
forma proporcional al grado de estudios e I.P.
a su edad. Si el menor de los hermanos recibe
98 caramelos menos que el mayor. ¿Cuántos
caramelos repartió?
a) 541
d) 571
b) 551
c) 240 y 18
e) N.A.
(14) Para la explotación de un negocio se asocian 3
profesores
del
ISTP
“Carlos
Cueto
Fernandini”. El primero con S/ 15 000 durante
8 meses; el segundo con S/ 16 600 durante 5
meses y el tercero con S/ 9 000 durante 3
meses. El tercero pierde S/ 168 menos que el
segundo. ¿Cuál ha sido la pérdida del primer
socio?
(9) Repartir 3090 D. P. a 3 números de manera
que el primero es al segundo como 3 a 7 y el
segundo al tercero como 4 a 9. Dar como
respuesta la parte menor.
a) 330
d) 390
c) 2 400
e) 24 000
(13) Dos profesores del ISTP “Carlos Cueto
Fernandini”, alquilan un garaje por S/. 420. El
primero guarda en él 4 automóviles durante 6
meses y el segundo 3 automóviles durante 7
meses. ¿Cuánto debe pagar cada uno?
(8) Benjamín desea repartir una cierta cantidad
de dinero en tres partes proporcionales a 2; 4 y
5 pero decidió hacerlo en forma proporcional
a los números 5; 7 y 9 por lo que una de las
partes aumenta en 26. Calcule la cantidad de
dinero que reparte Benjamín.
a) s/. 242
d) 254
b) 25 000
A) 25
B) 16
D) 20
E) 32
C) 24
CLAVES
1
a
6
a
11
2
a
7
d
12
e
3
e
d
a
8
b
e
c
13
14
b
a
15
a
4
c) 561
e) 581
5
9
10
e
c
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
11
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
ARITMÉTICA
REGLA DE TRES
CONCEPTO.Es un método especial de solución para problemas
de magnitudes proporcionales donde intervienen dos
ó más magnitudes que se relacionan entre sí.
Ejemplo:
Sabiendo que de 250 quintales de remolacha
pueden extraerse 30 quintales de azúcar ¿Cuántos
quintales de azúcar podrán proporcionar 100
quintales de remolacha?
CLASIFICACIÓN DE REGLA
DE TRES
Resolución:
Notamos que a menos remolacha se obtendrá
menos azúcar, por lo tanto son magnitudes
directamente proporcionales (D.P).
1) REGLA DE TRES SIMPLE (R3S)
En este caso intervienen sólo dos magnitudes
proporcionales. Conociéndose 3 valores, dos
pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera
a la otra magnitud, se debe calcular el cuarto
elemento. La regla de tres simple se divide en dos
clases:
1.1 Regla de Tres Simple Directa (R3SD)
Cuando las magnitudes son directamente
proporcionales (D.P).
Por el método del aspa
100 30
x
250
 12 quint ales
1.2 Regla de Tres simple Inversa (R3SI)
Cuando las magnitudes que intervienen
son inversamente proporcionales (I.P)
* Método de Solución 1: Método de las
Proporciones.
a1
a2
*
b1
x
*
Método de solución
a1
a2b1
a1
a2
*
Método de Solución 3:
12

x
b1
Método de solución 2: Método de la
Multiplicación Horizontal
x
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
1: Método de las
Proporciones
Método de Solución 2: Método del Aspa.
x
*

a1b1
a2
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
*
Método de solución 3:
ARITMÉTICA
III. Se compara la magnitud donde se encuentra la
incógnita con cada una de las demás,
indicando en su parte inferior si es directamente
proporcional por D.P. y si es inversamente
proporcional por I.P.
Ejemplo:
IV. Se despeja la incógnita multiplicando la cantidad
que se encuentra sobre ella por las diferentes
fracciones que se forman en cada magnitud, si
son I.P. se copia IGUAL y si son D.P. se copia
DIFERENTE.
Un grupo de 24 excursionistas lleva víveres para
18 días, pero al inicio de la excursión se suman 3
personas más.¿Cuántos días antes se acabarán los
víveres?
Ejemplo:
Resolución:
Se puede notar que a más personas los víveres
durarán menos días, por lo tanto se trata de
magnitudes inversamente proporcionales.
Seis obreros trabajando 16 días de 10 horas
diarias pueden asfaltar 1200m de una
autopista.¿Cuántos días emplearán 8 obreros
trabajando 8 horas diarias para asfaltar
1600m de la misma autopista?
Resolución:
I.P.
I.P.
D.P.
Nº de Obreros Nº de Días Nº H/D Obra
Por el método 3:
x  18.
6
8
24
= 16 dias
27
Por lo tanto los víveres se acabarán: 18-16=2 días
antes
2)
REGLA DE TRES COMPUESTA(R3C)
Es una regla de tres donde intervienen más de
dos magnitudes proporcionales.
*
MÉTODOS DE SOLUCIÓN:
Existen varios métodos de solución, en este
caso emplearemos el método de nombrar si la
magnitud es directamente proporcional (D.P)
o inversamente proporcional (I.P) con la
magnitud donde se encuentra la incógnita
Pasos a seguir:
I.
II.
10
8
1200
1600
Se obtiene:
6 10 1600
x = 16 x  16   
8 8 1200
Operando:
x = 20 días.
EJERCICIOS
(1) Por cada docena de lapiceros que compra la
ISTP.”Carlos Cueto Fernandini” le regalan uno,
si en total el Instituto tiene 2184 lapiceros
¿Cuántas docenas ha comprado el Instituto?
Se reconocen las magnitudes que intervienen
en el problema.
En la primera fila se colocan los datos y en la
segunda fila los demás datos incluido la
incógnita.
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
16
x
13
a)
168
d)
172
b) 164
c) 70
e) N.A.
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(2) Leonor una alumna del ISTP. “Carlos Cueto
Fernandini”, dice tener 24 años, luego de
haberse rebajado la cuarta parte de su edad.
¿Cuál es su edad real?
a) 30
d) 34
b) 32
ARITMÉTICA
(8) Ochenta litros de agua de mar contienen 2 Kg.
de sal. ¿Cuántos litros de agua pura habrá que
agregar si se quiere que cada 10 litros de la
mezcla contenga 1/6 de Kg. de sal?
a) 40
d) 35
c) 23
e) 31
(3) “Andrés” puede hacer un trabajo en 9 días,
“Benito” es 50% más eficiente que “Andrés”
¿Cuántos días empleará “Benito” en hacer
dicho trabajo?
a) 4
d) 6
b) 5
b) 10
a) 14
d) 18
c) 3
e) 8
b) 50
c) 14
e) 11
b) 92’
d)5
c) 60
e) 80
b) 400
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
e)6
(12) Cuatro hombres hacen 40 problemas en 10
minutos y 2 mujeres hacen 20 problemas en
15 minutos. En 25 minutos, ¿Cuántos
problemas más hacen 12 hombres que 15
mujeres?
a) 50
b) 60
c) 40
d) 70
e) 80
c) 1h.20’
e) 1h.30’
(7) Luís y Pedro pintaron la ISTP.”Carlos Cueto
Fernandini” por 1000 soles. Si Luís trabajó 8
días y Pedro trabajó 12 días. ¿Cuánto recibió
Pedro por su trabajo?
a) 320
d) 750
c) 12
e) 15
(11) Noelia una alumna del ISTP. “Carlos Cueto
Fernandini”, ha recorrido 280 Km. en 8 días
caminando 7 horas diarias ¿Cuántos días
tardará en recorrer Noelia 540 Km. andando 9
horas diarias?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
(6) Una ventana cuadrada es limpiada en 2h 40’.
Si la misma persona limpia otra ventana
cuadrada cuyo lado es la cuarta parte menor que
la ventana anterior ¿Qué tiempo demora?
a) 80’
d) 1h.40’
b) 13
(10) Una obra debió ser terminada en 45 días y se
empleó 60 obreros que trabajan 9 horas
diarias, después de 15 días. Se calcula que a
ese ritmo se acabaría con 5 días de retraso, por
lo que se ordenó trabajar una hora más por día
y adicionalmente se contrataron más obreros.
Determinar cuántos obreros adicionales se
debía contratar.
a)3
b)2
c)4
(5) Un panetón especial de forma cúbica pesa
2160 gr. el peso en gramos de un mini
panetón, de igual forma pero con sus
dimensiones reducidas a la tercera parte es:
a) 40
d) 90
c) 25
e) 45
(9) Seis obreros hacen una obra en 12 días, al
cabo de 2 días se retiran 2 obreros. ¿En
cuántos días harán los obreros que quedan la
parte que falta?
(4) Una enfermera proporciona a un paciente (el
profesor Reyes) una tableta cada 45’. ¿cuántas
tabletas necesitara para 9 horas de turno si
debe suministrar al inicio y al término del
mismo?
a) 12
d) 13
b) 60
c) 600
e) 800
14
(13) Trescientos treinta y tres problemas son
resueltos por 333 alumnos en 33 segundos;
entonces un alumno resolverá 33 problemas
en:
a) 12 min.
b) 111 seg.
c) 33 min.
d) 33 seg.
e)18m 9seg
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(14) Si 25 carpinteros se comprometieron en hacer
un tablado en 35 días. ¿cuántos carpinteros
más de la misma capacidad deberán ser
contratados si se quiere terminar el tablado en
7 días?
ARITMÉTICA
(20) Doce obreros pueden preparar una cancha de
fulbito de 24m. de ancho y 45m de largo en 15
días trabajando 9 h/d. ¿En cuántos días 20
obreros podrán hacer otra cancha de fulbito de
20m de ancho y 36m de largo, trabajando 3
horas menos cada día?
a) 120
b) 125
c) 100
d) 105
e) 90
(15) Seis monos se comen 6 plátanos en 6 minutos.
El número de plátanos que se comen 40
monos en 18 minutos es?
a) 40
d) 18
b) 180
a) 10
b) 8
c) 6
d) 9
e) 12
(21) Un grupo de obreros promete realizar una
obra en 15 días, pero cuando ya habían
trabajado 5 días, contratan 9 obreros más con
lo que terminaron el trabajo dos días antes.
¿cuántos obreros había en el grupo
inicialmente?
c) 200
e) 120
(16) Se emplean 12 obreros durante 6 días para
cavar una zanja de 30m. de largo 8m de ancho
y 4m de alto, trabajando 6h diarias.
Empleando el doble de hombres, durante 5 días,
para cavar otra zanja de 20m de largo,
12m de ancho y 3m de alto. ¿cuántas horas
diarias han trabajado?
7
h
10
5
d) 2 h
13
a) 2
b) 3
1
h
10
a) 45
b) 27
b) 20
2
h
15
9
e) 2 h
10
c) 3
a) 1
b) 45
b) 2
c) 3
b) 4
3
4
d
9
e
14
c
19
a
5
e
10
a
15
e
20
d
21
c
22
b
2
c) 15
e) 35
e) 5
a
b
d
1
(18) Quince obreros trabajando 8 horas diarias
durante 12 días hicieron 60m de una obra.
¿cuántos metros harán 10 obreros en 18 días,
trabajando 6 horas diarias?
a) 75
d) 90
c) 36
e) 18
22) Dieciocho obreros se comprometen a realizar
una obra en 20 días trabajando 8 h/d, al cabo
del quinto día se le pidió que entreguen la
obra 3 días antes de lo pactado, razón por la cual
se decide trabajar 9 h/d y contratar más obreros.
¿Cuántos obreros se contrataron?
(17) Si 30 hombres trabajando 12 días a razón de
10h/d hacen 600m de una obra ¿cuántos días
de 6 horas necesitan 36 hombres para hacer
900m de la obra?
a) 25
d) 18
b) 39
11
8
e
c
a
6
7
16
13
c
a
e
12
CLAVES
17
18
a
a
b
c) 40
e) 80
(19) Una familia de 5 personas gasta 6 000 soles
para vivir 3 meses en una ciudad. ¿cuánto deben
gastar par vivir en otra ciudad durante 5 meses,
si el costo de vida es los 5/4 del anterior,
sabiendo que se une la suegra a la familia?
a) 15 000
b) 14 000
b) 18 000
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
c) 16 000
d) 19 000
15
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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
ARITMÉTICA
TANTO POR CIENTO
INTRODUCCIÓN.-
el 1 por ciento <> 1% <>
En nuestra vida diaria es común utilizar el tanto
1
100
2
el 2 por ciento <> 2% <>
100
por ciento, por ejemplo el 80% de asistentes son
estudiantes universitarios, la inflación del mes de
enero del año 2002 fue 1,5%, se obtuvo un
descuento del 20% al comprar una licuadora, etc.
a
El a por ciento <> a% <>
100
Ejemplo Inductivo:
Un comerciante compra una cierta cantidad de
Ejemplos:
Kg. de carne a S/.7 el Kg. y lo vende a S/.10 el
Kg.
a) 20% <>
20 1

100 5
35
7

b)35% <>
100
20
Se puede deducir:
En S/.10 de venta gana S/.3
En S/.20 de venta gana S/.6
En S/.30 de venta gana S/.9
:
:
:
:
:
:
NOTA: Las palabras: “de”, “del” y “de los” nos
indica una multiplicación.
a
a% de N <> a%.N <>
En S/.100 de venta gana S/.30
Entonces:
Ej.
30
Por cada 100 gana 30  GANA =
100
a) el 20% de 80
100
.N
Calcular:
4
“El Tanto por Ciento es el número de partes que
se toman de una cantidad total (o Unidad)
dividida en 100 partes iguales”.
b)el 30% del 20% de los
5
de 9000
OBSERVACIÓN:
En general, si una cantidad se divide en 100
El Porcentaje es el resultado de calcular el tanto
por ciento de una determinada cantidad.
partes iguales, cada una de las partes representa
1
del total. A cada una de las partes iguales se
100
le denomina “el 1 por ciento” y se denota como
1%.
Aplicación:
Si Carlos recibe el 25% de S/.120 y Ernesto recibe
el 5% de 500. ¿Quién recibe más, y en cuánto se
diferencian las cantidades recibidas?
GRÁFICAMENTE:
NOTA: Toda cantidad es el 100% de sí mismo.
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
16
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ARITMÉTICA
Sea N, la cantidad, se cumple:
N = 100% N
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
17
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ARITMÉTICA
OPERACIONES CON
PORCENTAJES
1)
APLICACIONES DEL TANTO
POR CIENTO
ADICIÒN DE PORCENTAJES
(1) DESCUENTOS SUCESIVOS
Ejemplo ¿A qué descuento único equivalen
dos descuentos sucesivos del 10% y 20%?
INICIO = 100%
1er descuento = 90%(100%) = 90%
2do descuento = 80%(90%) = 72%
a%N + b%N = (a + b)%N
Ej.
10%P + 30%P
Q + 15%Q
2)
= 40%P
= 115%Q
SUSTRACCIÒN DE PORCENTAJES
Dúnico = 100% - 72% = 28%
a%N – b%N = (a - b)%N
En forma práctica:
Ej.
40%P – 15%P
Q – 25%Q
 a.b 
%
 100 
= 25%P
= 75%Q
Dúnico = a% + b% - 
Aplicación: Una cantidad aumentada en su 56%
resulta 1404. ¿Cuál es dicha cantidad?
(2) AUMENTOS SUCESIVOS
Aplicación: Si se aumenta la base de un triángulo
en un 25%. ¿En cuánto debe disminuir la altura
para que su área no varíe?
Ejemplo ¿A qué aumento único equivalen
dos aumentos sucesivos del 20% y 10%?
INICIO = 100%
OBSERVACIÓN:
a)
3 x 15% N = 45% N
b)
3% x 15% N =
1er aumento = 120%(100%) = 120%
2do aumento = 110%(120%) = 132%
45
%N
100
En forma práctica:
 a.b  %

 100 
Aúnico = a% + b% + 
RELACIÓN PARTE TODO
(3) APLICACIONES COMERCIALES
Se utilizan las siguientes notaciones:
Pv = Precio de venta.
Pc = Precio de costo.
G = Ganancia.
Pf = Precio fijado o Precio de lista.
P = Perdida.
GB = Ganancia bruta.
GN = Ganancia neta.
D = Descuento o rebaja.
 Cuando en la operación comercial hay
ganancia:
Se define, para calcular el % de la parte, con
respecto al todo.
%=
PARTE
x100%
TODO
Aplicación: En un congreso internacional se
reúnen: 30 peruanos, 50 chilenos y 20
colombianos, calcular:
a)
b)
c)
¿Qué tanto por ciento del total son peruanos?
¿Qué tanto por ciento son los peruanos con
respecto a los chilenos?
¿Qué tanto por ciento son los colombianos
con respecto a los peruanos?
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
Pv = Pc + G
18
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
 Cuando en la operación comercial hay
perdida:
Pv = Pc – P

ARITMÉTICA
(4) El 20% de lo que tengo excede al 30% de lo
que tienes en S/. 2, si entre ambos tenemos
S/. 30. ¿Cuánto tengo más que tú?
a) 22
d) 10
Cuando en la operación comercial hay
descuento o rebaja:
Cuando en la operación comercial hay gastos
adicionales:
GB = GN + Gastos adicionales
a)
b)
c)
d)
e)
OBSERVACIONES:
1º
La ganancia o pérdida se representa como un
tanto por ciento del costo, si no se menciona
nada en el problema.
2º
El descuento o rebaja generalmente se aplica
como un tanto por ciento del precio fijado.
a) 0, 4
d) 32
a) 2 x 10 –1
d) 40
a) 2000
d) 800
c) 0,003
e) 0,6
c) 0,2
e) 400
b) 6000
c) 0,8
e) 4000
(10) Si tuvieras el 55% menos de la edad que
tienes, tendrías 27 años. ¿Cuántos años
tendrás dentro de 10 años?
c) 0,032
e) N.A.
a. 60
b) 50
c) 70
d. 55
e) 45
(11) Si al venderle mi auto a un profesor de
aritmética, le hago un descuento del 15% se
lo vendería en $.1 700. ¿Cuánto me ha costado
el auto?
(3) Cuando recibiré más: si me dan el 17% de
200; el 0,08% de 40 000 ó las 5/8 % de 3000.
a) Cuando me den 0,08% de 40000
b) Cuando me den 17% de 200
c) Cuando reciba 5/6 % de 3000
d) Cuando reciba 6/5 % de 4000
e) Siempre igual
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
b) 13/25 x 10 –2
(9) El 20% de 1/2 % de que número es 4.
(2) Halle: 0,08% de 0,05% de 40000.
b) 0,016
c) 40
e) 60.
a) 0,03
b) 0,003
c) 0,0003 x 10 –2
–5
d) 0,3 x 10
e) 30 x 10 3
(8) ¿ 3/5 % del 5/6 % de qué número es 0,02?.
(1) Halle: 1/2 % de la mitad de 80 aumentada en
20.
a) 0,16
d) 0,165
b) 4
(7) ¿0,08% de qué número es 24?
EJERCICIOS
b) 0,03
Le sobra S/. 67
Ni le sobra, ni le falta
Falta S/. 67,04
Falta S/.67,05
Falta 127,04
(6) Halle: 5/3 % de 0,007 % del 40% del 3/35 x
108.
Aplicación:
Una persona compra un TV. En S/.2000.
¿Qué precio debe fijar para su venta teniendo
en cuenta que aún haciendo una rebaja del
20% sobre el precio fijado, todavía gane el
25% del precio de costo?
a) 0, 3
d) 3
c) 14
e) 16
(5) Compre un reloj en S/. 800. Lo vendo a Juan
ganando el 30%. A su vez Juan lo vende a
Carlos ganando el 20% de lo que me pagó y
Carlos lo vende a José perdiendo el 10% de lo
que le costo. SI María tiene S/. 1000 y José le
va a vender el reloj haciéndole un descuento del
5% de lo que a él le costó. Diga Ud. si a María
le falta o le sobra dinero y cuánto?
Pv = Pf – D

b) 8
a) S/. 1 700
b) S/. 1400
e) S/. 2000.
19
c) S/. 2 300
d) S/. 4 000
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(12) El 30% de que número es el 30% del 10% de
700.
a) $ 700
d) $ 70
b) $ 0,7
ARITMÉTICA
(19) ¿Qué porcentaje del círculo mayor es la parte
sombreada? O y o son centros de las
circunferencias.
c) $ 0,07
e) $ 7 x 10 –2
(13) El 30% del 20% de los 2/5 de un número es
equivalente al 24% del 0,01% de 1000. el
número es:
a) 0,1
d) 120
b) 0, 2
c) 1
e) N.A.
a) 75%
d) 20%
(14) El 20% del 0,2% de 800 qué porcentaje es de
0,5 % de 20?.
a) 32%
d) 32%
b) 3%
(15) Si un cuadrado de 100 m2 de área se reduce a
uno de 16 m2, el perímetro del nuevo
cuadrado será el:
O1
c) 24 % del anterior
d) 40% del anterior
O2
a) 50%
d) 51,7%
b) 27,7 %
a) 4500
d) 4000
b) 8000
a) 20%
d) 15%
b) 25%
1
A
a) 62, 5%
d) 6, 25 %
2
E
b) 71,5 %
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
c) 6,5 %
e) 12,5 %
20
7
8
e
e
13
15
10
5
11
e
c
e
6
b
12
d
4
C
a
b
b
c
c
3
I
F
c) 30%
e) 40%
CLAVES
B
H
c) 5000
e) 6000
(22) En una granja sólo hay patos y chanchos. El
30% de los patos es igual al 50% de los
chanchos, ¿Qué % del total es el 40% de los
chanchos?
c) 43%
e) 52,5%
G
c) 29,7%
e) F.D.
(21) El 30% del 20% de un número es 6000. ¿Cuál
es el 10% del 40% de dicho número?
(18) En la siguiente figura los puntos D. E. F. G:
H. I son puntos medios del triángulo
equilátero ABC cuyo lado vale 20 metros. El
área G H I qué porcentaje del área total será:
D
C
B
a) 41, 38% b) 46, 38%
c) 58,62 %
d) 41, 62%
e) 46, 62%
(17) Jorgito profesor de Aritmética va ha visitar a
Mary que vive a una distancia de 450 Km. y
va a una velocidad de 60 Km. diarios, luego
de 3 días que porcentaje de la distancia le faltará
recorrer.
b) 45%
c) 40%
e) 25%
A
(16) De 290 alumnos 170 son mujeres. ¿Qué tanto
por ciento son varones?.
a) 60%
d) 40%
b) 60%
(20) En la figura mostrada. ¿Qué porcentaje del
área de la región total representa el área de la
región sombreada? O1 y O2, son centros de la
semicircunferencia.
c) 320%
e) N.A.
a) 16% del anterior
b) 36% del anterior
e) N.A.
o
o
9
c
c
19
21
17
d
a
a
18
d
14
16
20
22
e
b
d
d
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
ARITMÉTICA
M
INTERÉS
Se llama interés o rédito a la ganancia que produce
un capital prestado o depositado en una entidad
financiera durante cierto tiempo y según una tasa
fijada previamente.
t = años
................. (1)
r = anual
t = meses
.....................(2)
r = anual
t = días
.....................(3)
r = anual
CLASES:
1)
2)
Interés Simple
Ocurre cuando los intereses originados por el
capital, en el caso de un depósito, por
ejemplo, se retiran en el plazo fijado. Quedando
el mismo capital para un siguiente período.
Interés Compuesto
Esto ocurre cuando los intereses producidos por
un capital no se retiran, sino se añaden al
capital original, formando un nuevo capital.
Se dice en este caso que los intereses se
capitalizan.
OBSERVACIONES:
 En las fórmulas 1,2 y 3, la tasa (r) de interés esta
expresada en forma anual, si estuviera
expresada en otro período de tiempo, se debe
convertir a la tasa anual equivalente.
* NOTA.- En este capítulo se estudiará el
Interés Simple.

Fórmula para calcular el interés simple:
En este capítulo se considera que el año tiene
meses de 30 días, todos iguales, es decir:
1 mes
= 30 días
1 año
= 12 meses = 360 días (año
comercial)
..................... (a)
EJERCICIOS
"Esta fórmula se aplica cuando la tasa de
interés(r) y el tiempo (t) están en las mismas
unidades"
(1) Jorge profesor del instituto Carlos Cueto
Fernandini
deposito en un banco $4000
durante 3 años, siendo la tasa del 8% anual
¿Cuánto será el monto generado?
Donde:
I = Interés
c = Capital
r = Tasa de Interés
t = Tiempo
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
a) $960
d) $4640
21
b) $ 4960
c) $ 640
e) $ 4320
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(2) Un capital se impone al 25% semestral
durante 18 meses, Transformándose en un
monto de 3500 .Calcule el capital.
a) 2340
d) 1200
b) 2090
ARITMÉTICA
(9) Un capital impuesto durante 2 años produce
un interés del 10% del monto ¿Qué tanto por
ciento del monto producirá en 6 años?.
a) 15%
d) 30%
c) 2000
e) 3000
b) 1000
a) s/.3000
d) 5400
c) 670
e) 1120
tiempo.
b) 1258
d) 1458
a) s/.120
d) 240
c) 1358
e) 1758
b) 2725
a) 15%
d) 22,5%
c) 2625
e) 1875
b) 600
a) 20%
d) 50%
c) 500
e) 450
b) 9600
a) s/.1200
d) 1320
c) 10000
e) 12000
a) s/.28600
d) 42300
(8) Un capital impuesto al 20% trimestral se
convierte al cabo de 8 meses en 49680 ¿Cuál
fue el capital?
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
c) 200
e) 280
b) 18%
c) 20%
e) 25%
b) 30%
c) 40%
e) 60%
(14) ¿Cuál es el capital que durante 260 días,
prestado al 3% bimestral, genera un interés de
$156?
(7) Si Enrique se prestó cierto dinero al 72%
anual y efectúa el pago 2 meses antes ahorra
s/.1200. Calcule el capital prestado.
a) s/.9000
d) 11000
b) 160
(13) La suma de 2 capitales es s/.5000, si el
primero es 4 veces el segundo. ¿A qué tasa se
debe imponer el segundo, si el primero es
impuesto al 15% para qué en un año
produzcan igual interés?.
(6) Maribel deposita a interés simple cierta
cantidad de dinero al 15% trimestral durante
un año y medio transformándose en un monto
de s/.1330. Calcule la cantidad de dinero que
Maribel depositó.
a) s/.700
d) 550
c) 4000
e) 6400
(12) El interés que se obtiene al depositar un
capital durante 1 año 4 meses es el 25% del
monto. Calcule la tasa anual.
(5) Calcule el monto que produce un capital de
s/1500 impuesto una tasa
del 12%
cuatrimestral durante 2 años y 1 mes.
a) s/.4625
d) 2125
b) 4500
(11) Un capital fue depositado al 5% mensual y
produce un interés de s/.800 en 4 meses. ¿Qué
interés producirá el mismo capital a una tasa del
3% semestral en 8 meses?
(4) Jaimito depositó un capital de s/.850 durante
un año y 6 meses al 8% trimestral. Calcule el
monto que se obtendrá al cabo de dicho
a) s/.1200
c) 25%
(10) María se presta de Juan una suma de dinero al
36% durante cierto tiempo, pero como efectúo
el pago cinco meses antes se ahorra s/.450.
Calcule el capital que se prestó Maria.
(3) El profesor de Aritmética se presta cierta
suma de dinero al 18% semestral durante
cierto tiempo, pero como efectúa el pago 4
meses antes se ahorra $120 .Halle el capital
prestado.
a) 1200
d) 1220
b) 20%
e) 35%
22
b) 1530
b) 36000
c) 1280
e) 1000
c) 45000
e) 32400
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ARITMÉTICA
(15) Si 2 capitales están en la relación de 2 a 5 son
depositados en 2 entidades financieras que
ofrecen 8% y 2% mensual. ¿Dentro de cuánto
tiempo los montos serán iguales?
a) 10 meses
d) 50
b) 25
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
c) 40
e) N.A
23
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(16) Hace 8 meses se impuso cierto capital, cuyo
monto actualmente es s/.4650. Si dentro de un
año el monto será s/.4875, calcule la tasa
anual de interés.
a) 3%
d) 9%
b) 5%
ARITMÉTICA
interés generado aumentaría en s/.300 en el
mismo tiempo. Determine la tasa anual.
a) 10%
d) 40%
c) 7%
e) 11%
b) 50%
a) s/.500
d) s/.250
c) 17%
e) 110%
b) 6040
a) s/.10500
d) s/.8000
c)8 200
e) 2800.
b) 50%
a) 10%
d) 25%
b) s/.3000
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
b) s/.11500
c) s/.9000
e) s/.7500
b) 15%
c) 20%
e) 30% anual.
c) 17%
e) 11% anual.
20) Un Banco paga el 8% trimestral y en él se
deposita un capital, el 20 de Julio del 2006.
Luego el 18 de septiembre se deposita otra
suma que es un tercio más que el anterior. si el
16 de enero del siguiente año retiró un monto
total de s/.23720, halle el primer capital
depositado.
a) s/.1200
d) s/.2400
c) s/.350
e) s/.200
24) La suma de 5 capitales es s/.42000, impuestos
durante 4años a una misma tasa de interés se
convierten en: 20540; 18820; 15000; 16460 y
13180 soles respectivamente. Calcule la tasa
de interés anual.
19) Se impone un capital al 15% semestral
durante 10 años, al cabo de este tiempo se
retira el dinero y se vuelve a colocar el mismo
capital al 15% durante 5 años mas .Halle la
tasa que producirá el mismo interés en todo el
tiempo.
a) 30%
d) 25%
b) s/.400
23) El profesor Reyes divide su capital de la
siguiente manera:
Los 2/3 de su capital lo impone al 4% de
interés simple, la séptima parte del resto al 8%
y el resto al 12%. Si al cabo de2 años el monto
obtenido por el profesor Reyes es s/.11860.
¿Calcule el capital inicial?
(18) Ricardo divide su capital en dos partes , que
están en relación de 2 a 5 .La menor parte la
deposita en un banco al 20% cuatrimestral y la
otra parte al 15% semestral , observando que
esta ultima produce en un año $360 mas de
ganancia que la produjo la otra parte en el
mismo tiempo .Calcule dicho capital.
a) S/.1200
d) 8400
c) 30%
e) 50%
22) Antonio, Bartola y César depositan en un
banco
600;
s/.1000
y
800
soles
respectivamente. Al cobrar los intereses
generados, Bartola cobra s/.100 más que
Antonio. ¿Cuánto cobra de interés César?
(17) Un capital al cabo de 4 meses se convierte en
$240, pero si se dejara por 6 meses mas se
convertirá en $360 .Halle la tasa de interés a
la que se impuso el capital.
a) 30%
d) 150%
b) 50%
CLAVES
1
b
7
c
13
e
19
d
2
c
b
8
e
c
14
a
d
20
c
c
10
11
a
b
16
5
b
c
17
b
d
6
a
12
e
18
d
3
4
c) s/.9000
e) s/.2800
24
9
15
21
22
23
24
e
a
d
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ARITMÉTICA
21) Benjamín presta una cierta cantidad de dinero
a Enrique a una cierta tasa de interés. Si dicha
cantidad de dinero fuese s/.1000 mayor, el
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ARITMÉTICA
M
1.
2.2 Base de un Sistema de Numeración
NUMERACIÓN
Es aquel número entero positivo mayor a la
unidad que nos indica la cantidad de
unidades de un orden cualquiera que se
requieren para formar una unidad de orden
inmediato superior.
Es la parte de la aritmética que estudia la
correcta formación, escritura y la lectura de los
números.
Ejemplos
2. SISTEMA POSICIONAL DE
NUMERACIÓN
A.Sistema de Base 10:
Diez unidades forman 1 decena (unidad
de segundo orden)
Diez decenas forman 1 centena (unidad
de tercer orden) etc.
Es el conjunto de reglas y principios que rigen la
correcta formación, escritura y lectura de los
números, mediante la adecuada combinación de
un grupo reducido de símbolos y palabras.
B. Sistema de base 4:
2.1 Orden de una Cifra
Cuatro unidades de primer orden forman
1 unidad de segundo orden.
Cuatro unidades de segundo orden
forman 1 unidad de tercer orden.
Cuatro unidades de tercer orden forman
1 unidad de cuarto orden, etc.
Toda cifra ocupa que forma parte de un
numeral ocupa un orden determinado el
cual se considera empezando de derecha a
izquierda.
El lugar que ocupa una cifra se considera
empezando de izquierda a derecha.
C.Contar en base 4
Ejemplo:
3
2 (4)
Base
Base 10: 14
Base 4: 32(4)
"Se lee tres dos en base cuatro"
D.Contar en base 3
En cualquier Sistema de Numeración, la cifra de
primer orden, es la de las unidades
Base 10: 23
Base 3: 212(3)
"Se lee: dos uno dos en base tres"
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ARITMÉTICA
NOTA:
Características de un Sistema de
Numeración
1º
Para bases mayores que diez se usan los
símbolos  ,  ,  etc., que representan las
cifras,
diez,
once,
doce,
etc.,
respectivamente, también se pueden usar
las letras del abecedario.
En cualquier Sistema de Numeración existen
tantas cifras como el valor de la base y con las
combinaciones de ellas se pueden formar
todos los números posibles de dicho sistema.
2º
Cifra diez:
Cifra once:
Cifra doce:
Cifra trece:
El mínimo valor que puede tomar una cifra en
cualquier sistema es el cero y el máximo es
una unidad menos que el valor de la base.
3º
d=D
Ejemplos:
La base de un Sistema de Numeración es un
número entero positivo mayor que 1.
4º
 =a=A
= b =B
 =c=C
34A5 (DOCE) "Se lee: tres cuatro A cinco en
base doce"
La base de un Sistema de Numeración
siempre es mayor que cualquiera de las cifras
que se usan en dicho sistema.
62B7C (QUINCE) "Se lee: seis dos B siete C
en base quince"
Ejemplo:
2.3. VALORES DE UNA CIFRA
4271(5) numeral mal escrito
314(7) numeral bien escrito
1358(6) numeral mal escrito
64103(8) numeral bien escrito
Valor Relativo o Posicional (V.R.).- Es el
valor que representa la cifra por la posición
que ocupa dentro del número.
Valor Absoluto o por su forma (V.A).- Es
el valor que representa la cifra por la forma
que tiene.
Sistema de Numeración más
Utilizados
Ejemplos:
Base
2
3
4
5
6
7
8
9
Cifras utilizadas
0,1
0,1,2
0,1,2,3
0,1,2,3,4
0,1,2,3,4,5
0,1,2,3,4,5,6
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),(11),
.
.
10
11
12
Nombre del
Sistema
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octanario u
octal
Nonario
o
nonal
Decimal
Undécimal
Duodecimal
N
Enésimal
0,1,2,3,4,.........,n-2, n-1
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27
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3. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN
NÚMERO
ARITMÉTICA
5. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
En todo Sistema de Numeración, cualquier
número se puede escribir como la suma de los
valores relativos de sus cifras.
Cada cifra de un número puede ser representado
por una letra del abecedario y todas ellas cubiertas
por una barra horizontal, para distinguirlos de las
expresiones algebraicas.
Ejemplos:
632 = 600 + 30 + 2
: Representa cualquier número de dos
cifras de la base n
5479 = 5 x 103 + 4 x 102 + 7 x 10 + 9
[BASE 10]
: Representa cualquier número de tres
cifras de la base 10, puede ser:
{100, 101, 102, 103, .................., 998, 999}
235(7) = 2 x 72 + 3 x 7 + 5
[BASE 7]
4523(8) = 4 x 83 + 5 x 82 + 2 x 8 + 3
: Representa cualquier número de cuatro
cifras de la base 10, que termina en 37, puede
ser:
{1037; 1137; 1237; 1337;.....; 9837; 9937}
[BASE 8]
6. CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA
BASE A OTRA
Se presentan tres casos:
: Representa cualquier número de tres
cifras de la base seis; que termina en 4, puede
ser:
{104(6); 114(6); 124(6); ........; 544(6); 554(6)}
6.1 Caso I: De base "n" a base 10
En este caso se calcula el número de
unidades simples que posee dicho número,
para esto es suficiente aplicar la
"descomposición polinómica" del número y
efectuar las operaciones indicadas.
: Representa cualquier número de
tres cifras de la base cinco, donde la cifra de
segundo orden es el doble de la cifra de tercer
orden puede ser:
Ejemplo: Convertir 324(7) a la base 10
{120(5); 121(5); 122(5); ............; 244(5)}
324(7) = 3x72 + 2x7 + 4 = 165
4. NÚMERO CAPICÚA
324(7) = 165
Es aquel número que se lee igual de derecha a
izquierda o de izquierda a derecha, también se
dice que es aquel número cuyas cifras
equidistantes de los extremos son iguales.
6.2 Caso II: De base 10 a base "n"
Se efectúa empleando el método de
"divisiones sucesivas", para lo cual se
divide el número dado entre "n" (base del
sistema al cual se desea pasar). Si el
cociente es igual o mayor que "n" se divide
este nuevamente entre "n" y así
sucesivamente hasta obtener un cociente
menor que "n". El nuevo número estará
formado por el último cociente y todos los
residuos obtenidos de derecha a izquierda.
Ejemplos:
414 (7)
7557 (9)
53235 (8)
abccba (n)
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
[BASE 10]
22
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Ejemplo: Convertir 328 a la base 6
ARITMÉTICA
Aplicación:
6.3 Caso III: De base "n" a base "m" (n, m
10)
EJERCICIOS
En este caso primero se convierte el
número de base "n" a la base 10 y el
resultado se convierte a la base "m"
(1) Hallar el valor de “A + B + C” si se sabe que:
I.- “A” es el mayor número de tres cifras.
II.- “B” es el mayor número impar de dos
cifras diferentes.
III.- “C” es el mayor número de tres cifras
diferentes.
Ejemplo: convertir 413(8) a la base 5
Primero: 413(8) a la base 10
413(8) = 4x82 + 1x8 + 3 = 267
a) 2083
d) 1999
b) 2080
c) 1083
e) 2081
Luego: 267 a la base 5
(2) ¿Cuál es el menor número de tres cifras cuya
suma de cifras sea 16? Dar su cifra central.
a) 9
d) 0
b) 2
c) 1
e) 6
(3) Hallar un número de tres cifras que cumpla las
condiciones siguientes para sus cifras:
I.- La primera es el doble de la tercera.
II.- La segunda es el triple de la primera.
Dar como respuesta la suma de las cifras.
PROPIEDAD:
Si un número es expresado en dos sistemas
de numeración, se cumple que:
"a mayor representación aparente le
corresponde menor base y viceversa"
a) 10
d) 12
+
413 (8) = 2032 (5)
a) 8
-
d) 6
b) 2
c) 1
e) 4
(5) Si el numeral: (a 1)b(b  1)(a  5)(3  a) es
a) 4
b) 8
c) 7
capicúa,
hallar la cifra de tercer orden.
d) 5
e) 6
+
512 (7) = 312 (9)
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
c) 9
e) 8
(4) Hallar la cifra de mayor orden de un número
menor que 900, tal que la cifra de las unidades
sea la mitad que la de las decenas y que ésta sea
la cuarta parte de la de las centenas.
Ejemplos:
+
b) 11
23
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-
ARITMÉTICA
+
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
24
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(6) Hallar (a + b +c), si los numerales:
ARITMÉTICA
(13) Hallar ab si:
11a (4) , 2bc (a) , b0b0(c)
ababab  13  a  b  (ab) 2
Están correctamente escritos.
a) 6
d) 9
b) 7
a) 37
d) 21
c) 8
e) 10
b) 5
Dar el valor de: "x + y + m"
a) 6
d) 9
c) 16
e) 14
b) 18
b) 7
c) 8
e) 10
(15) Hallar a.b.c si se cumple abc 5   216 7 
(8) Un numeral de dos cifras aumentado en el
numeral que resulta de invertir el orden de sus
cifras es igual a 44 veces la diferencia de sus
cifras. Calcule el producto de sus cifras.
a) 12
d) 15
c) 10
e) 42
(14) Si: m(m  2)(m  3) (6)  xyz (7)
(7) Hallar un número de dos cifras que sea igual a
8 veces la suma de sus cifras. Dar como
respuesta el producto de dichas cifras.
a) 12
d) 8
b) 73
a) 6
d) 21
c) 6
e) 20
b) 12
c) 18
e) 8
(16) Si: a02 (9)  aa11(4) entonces el valor de "a"
es:
(9) Hallar un número de 3 cifras que termine en 8,
a) 1
d) 1 ó 3
tal que si se le suprime esta cifra el número
resultante es 4/41 del número original. Dar la
cifra de centenas de dicho número.
a) 1
d) 4
b) 2
valor de "n"
a) 5
d) 8
19(a  2)b , cumplió (5a - b) años.
b) 8
a) 4
d) 7
b) 5
c) 6
e) 8
(19) Hallar el valor de: "b-a"; si
1ab ( 6)  ba (8)  ab( 7 )
a) 1
d) 4
c) 9
e) 12
b) 2
c) 3
e) 0
(20) A un número de 4 cifras se le agrega la suma
de sus cifras, al número resultante se le hace
lo mismo y se obtiene finalmente 4051. Hallar
la suma de cifras del número inicial.
(12) Halle la suma de cifras de “N” expresado en
base 11.
N = 15 x 114 + 33 x 112 + 28 x 11 + 30
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
c) 7
e) 9
(2a)ba (6)  bab (7)
c) 48
e) 18
(11) Un número de dos cifras es tal que cuando se
invierten el orden de sus cifras se obtiene un
segundo número que excede en 9 al cuádruplo
del primero. Hallar la suma de las cifras de
dicho número.
a) 6
d) 10
b) 6
(18) Cuál es el valor de (a + b), si
Hallar a.b , si a < b.
b) 25
c) 3
e) 1 ó 2
(17) Sabiendo que 4210 (n) = nnn , determinar el
c) 3
e) 5
(10) Benjamín nació en el año 19aa y en el año
a) 8
d) 24
b) 2
25
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a) 15
d) 16
b) 26
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
ARITMÉTICA
c) 6
e) 24
a) 7
d) 12
26
b) 8
c) 13
e) 14
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ARITMÉTICA
(21) Se cumple que:
 x  1 5 – x2  a2  2  x2 – 3 x2   a b  2  c  3aa
calcule a + b -2 c + x
a) 16
d) 20
b) 14
e) 18
c) 17
(22) Un automóvil sale a las 08:00 horas de una
ciudad “A” rumbo a “B” con una velocidad de
a(b  2)
km/h, a las 09:00 horas sale otro
automóvil de la ciudad “B” hacia “A” a una
ba
velocidad de
km/h. Encontrándose
ambos automóviles al medio día en un punto
equidistante de las 2 ciudades. Calcular la
distancia entre “A” y “B” (en km)
a)
192
c)
342
d)
384
b)
284
e)
374
CLAVES
5
a
e
c
a
b
6
a
1
2
3
4
13
11
e
d
c
c
a
17
a
e
e
c
a
12
b
18
b
7
8
9
10
14
15
16
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
19
20
21
22
b
a
b
d
27
CENTRO INFORMÁTICO