Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Ingeniero Industrial Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2005/2006) EXAMEN FINAL. Convocatoria de Septiembre. 5/Septiembre/2006 MECÁNICA (Primer Cuatrimestre) APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EJERCICIO 4 E ST ÁTICA Duración: 45 minutos. Valor: 3,5 puntos. DEL S ÓLIDO R ÍGIDO ( CON ROZAMIENTO ). El triángulo homogéneo y equilátero ABC, de altura h y peso P , está obligado a permanecer en el plano vertical OXY , y se halla en equilibrio con su lado AB apoyado sobre el eje OX con un contacto rugoso de coeficiente de rozamiento estático µ. Mediante un resorte elástico, de longitud natural nula y de constante recuperadora K = P/2h, se conectan el vértice superior C (de coordenadas cartesianas xC = 0 , yC = h) y un deslizador puntual D que puede moverse sobre el eje OX. Muy lentamente, el deslizador se va alejando respecto del triángulo hasta que en cierto instante se observa que el equilibrio del triángulo está a punto de romperse porque su vuelco es inminente. a) Determine la posición del deslizador (coordenada xD ) para la cual se ha observado que el vuelco era inminente. b) Calcule el valor mı́nimo (µmin ) del coeficiente de rozamiento estático del contacto triángulo-eje OX necesario para que se haya podido llegar a la situación descrita (de vuelco inminente) sin haberse producido antes el deslizamiento del triángulo sobre el eje OX. Y C h K= P 2h G P A O B m D X Criterio general de calificación. Se ha procurado subdividir la calificación del ejercicio en los cuatro siguientes aspectos: diagrama de sólido libre y expresión analı́tica de las fuerzas (valor máximo: 1 punto), planteamiento y resolución de las ecuaciones de equilibrio (valor máximo: 1 punto), exigencia de la condición de vuelco inminente (valor máximo: 0,75 puntos) y cálculo del µmin del apartado b (valor máximo: 0,75 puntos). (resuelto por detrás) Solución-Apartado (a) Sobre el triángulo ABC en situación de equilibrio mecánico con vuelco inminente, se hallan aplicadas dos fuerzas activas (el peso P , que actúa sobre el centro de gravedad G; y la fuerza elástica F , ejercida por el resorte sobre el vértice superior C), ası́ como dos fuerzas de reacción vincular (la fuerza de rozamiento f, que se opone al deslizamiento del triángulo sobre el eje OX; de la distribución de reacciones normales que ejerce el eje OX sobre el triángulo, la cual en situación de vuelco y la resultante N inminente se aplica en el extremo B de la base de contacto). Por tanto, el diagrama de sólido libre viene dado por el siguiente esquema: Y C F h G P f O A xD K= P 2h 60º h/ 3 N B D X donde las fuerzas se expresan en la base cartesiana como: = −P j P f = −f ı P P xD P −−→ = K CD (xD ı − hj) = ı − j F = 2h 2h 2 = N j N Aplicando la primera condición de equilibrio mecánico del triángulo (resultante nula de las fuerzas externas que actúan sobre él), y proyectando la ecuación vectorial obtenida sobre las direcciones de los ejes OX y OY , respectivamente, se llega a: ⎧ Px P xD D ⎪ ⎪ ⎨ 2h − f = 0 ⇒ f = 2h +F + f + N = 0 =⇒ P ⎪ ⎪ 3P ⎩ −P − P + N = 0 ⇒ N= 2 2 Aplicando la segunda condición de equilibrio mecánico del triángulo (momento resultante nulo de las fuerzas externas que actúan sobre él) en el punto B, y proyectando la ecuación vectorial obtenida sobre la dirección perpendicular a los ejes OX y OY , se llega a: √ P P xD h −−→ −−→ = 0 =⇒ xD = 3 h BG ∧ P + BC ∧ F = 0 =⇒ √ (P + ) − h 2 2h 3 Solución-Apartado (b) P xD de la fuerza de rozamiento es directamente proporcional Según hemos visto al resolver el apartado anterior, el módulo f = 2h a la coordenada xD del deslizador puntual D. La condición de no deslizamiento establece que: 3P xD P xD ≤µ =⇒ µ ≥ 2h 2 3h Por tanto, para que no se produzca el deslizamiento del triángulo sobre el eje OX durante el proceso de alejamiento del deslizador √ que conduce hasta la situación final de vuelco inminente (xD = 3 h), es necesario que: √ 3h 1 = √ = µmin µ≥ 3h 3 f ≤ µ N =⇒