Dinámica de los sistemas de partículas

Dinámica de los
sistemas de partículas
Física I
Grado en Ingeniería de
Organización Industrial
Primer Curso
Ana Mª Marco Ramírez
Curso 2013/2014
Dpto.Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
Energía potencial de un sistema de
partículas.
2
Centro de masas (I)
Dado un sistema de n partículas, se define la
posición de su centro de masas,
, como:
Si llamamos a la posición
de una partícula referida al
c.m., entonces,
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Centro de masas (II)
Si se trata de un objeto
continuo de masa :
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
Energía potencial de un sistema de
partículas.
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Movimiento del centro de
masas (I)
Tenemos:
Derivando :
+…+
Derivando de nuevo:
+…+
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Movimiento del centro de
masas (II)
2ª ley de Newton:
,
+
,
3ª ley de Newton:
,
→
,
→
+
,
,
+
,
,
,
El c.m. de un sistema se mueve
como una partícula de masa
sometida a la fuerza
externa resultante que actúa
sobre el sistema.
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
Energía potencial de un sistema de
partículas.
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Cantidad de movimiento de un
sistema de partículas (I)
Para una partícula,
Para un sistema de partículas,
(1)
Por tanto, podemos decir que la cantidad de
movimiento de un sistema de partículas es igual a
la cantidad de movimiento de una partícula que
, y se
tuviera toda la masa del sistema,
.
moviera a la velocidad del c.m.,
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Cantidad de movimiento de un
sistema de partículas (II)
Vimos que
Entonces, derivando:
Queda:
Comparando (1) y (2), vemos que
(2)
(es obvio que
, la
velocidad del c.m. respecto a sí mismo, es cero)
Por tanto, la cantidad de movimiento del sistema
referida al c.m. , , es siempre cero.
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Cantidad de movimiento de un
sistema de partículas (III)
Derivando
con respecto al tiempo:
,
El c.m. se mueve como una partícula que tuviera
toda la masa del sistema concentrada en ella y
sobre la que actuara la fuerza neta externa
resultante.
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Cantidad de movimiento de un
sistema de partículas (IV)
¿Qué pasa cuando
,
?
Si la fuerza neta externa resultante sobre un
sistema de partículas es cero, la cantidad de
movimiento del sistema permanece constante.
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
Energía potencial de un sistema de
partículas.
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Momento cinético de un
sistema de partículas (I)
Para una partícula,
Para un sistema de partículas:
(respecto a )
+…+
+
Sustituyendo
Queda:
+…+
y
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Momento cinético de un
sistema de partículas (II)
Desarrollando la expresión:
Como
Entonces,
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Momento cinético de un
sistema de partículas (III)
Donde:
es el momento cinético del
sistema de partículas respecto al c.m.
y
es el momento cinético respecto al
origen de coordenadas que tendría una partícula
, que se encontrase en la
de masa
posición del c.m.,
, y se moviese a la velocidad
.
del c.m.,
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
Energía potencial de un sistema de
partículas.
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Energía cinética de un
sistema de partículas (I)
Para un sistema de partículas:
Recordemos que la posición de una partícula
puede escribirse como
Entonces,
,y
⋅
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Energía cinética de un
sistema de partículas (II)
Como
(la velocidad del c.m.
respecto de sí mismo es cero)
La energía cinética de un sistema de partículas
puede escribirse como la suma de dos términos:
(1) la energía cinética asociada con el movimiento
, y (2) la energía cinética asociada
del c.m.,
con el movimiento de las partículas del sistema
respecto al centro de masas,
.
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
Energía potencial de un sistema de
partículas.
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Energía potencial de un
sistema de partículas
La energía potencial de un sistema de partículas
se obtiene sumando las energías potenciales de
cada una de las partículas:
Para el caso gravitatorio, tomando
quedaría
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