2.6. Criterios de falla

2.6 Criterios de falla
2.6.
Criterios de falla
2.6.1.
Ensayo a tensión de un material
En una prueba a tensión de un material dúctil realizado en laboratorio, Fig. 2.23, existen seis
magnitudes que, cuando inicia la fluencia, se alcanzan simultáneamente, tomando cada una de
ellas los siguientes valores.
Figura 2.23: Prueba uniaxial a tensión: a) diagráma esfuerzo-deformación y b) representación en
el círculo de Mohr.
1. El esfuerzo principal alcanza el límite de fluencia a tensión del material. Este esfuerzo
principal es máximo, pues las otras dos son nulas:
1 = 
(2.69)
2. El esfuerzo cortante máximo toma el valor de:
 máx =

2
(2.70)
3. La deformación longitudinal unitaria máxima alcanza el valor:
 =


(2.71)
4. La energía de deformación absorbida por unidad de volumen es:
 2
1
 =   ·  =
2
2
(2.72)
5. La energía de distorsión, la energía debida al cambio de forma, absorbida por unidad de
volumen es:
 =
 2
1+ 2
 =
3
6
(2.73)
6. El esfuerzo tangente octaédrico alcanza el valor:
c
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116
2.6 Criterios de falla
√
2
  = 047 
 =
3
(2.74)
Estas seis magnitudes alcanzan los valores indicados simultáneamente en el ensayo a tensión
que originan en el material un estado a tensión simple. Pero si el estado a tensión es dos o tres
direcciones, estos seis valores no se alcanzarán simultáneamente. Por lo que surge la necesidad
de establecer si alguna de estas magnitudes puede considerarse limitativa de las cargas que
actúan sobre una pieza de material elástico para que no se produzcan en la misma deformaciones
plásticas.
2.6.2.
Teoría del esfuerzo principal máximo
La teoría del esfuerzo principal máximo, atribuida a Rankine, establece que en un punto de
un sólido el estado límite del estado de esfuerzos inicia cuando uno de los esfuerzos principales
alcanza un valor igual al esfuerzo límite a tensión o compresión, obtenido de pruebas a tensión
o compresión simples. Este criterio se representa como
 1 =  
(2.75)
| 3 | = |  |
donde   es el esfuerzo de fluencia a tención y   a compresión. En el espacio de esfuerzos
principales, si   = |  |, la superficie de fluencia sería un cubo, cuyo centro coincidiría con
el origen de las coordenadas, Fig. 2.24a. Como comúnmente ocurre    |  |, en la que la
superficie de fluencia es un cubo, el que su centro no coincide con el origen Fig. 2.24b.
Figura 2.24: Superficie de fluencia con la teoría del esfuerzo principal máximo.
La teoría del esfuerzo principal máximo puede expresarse por la función de fluencia
 () = máx(| 1 | , | 2 | , | 3 |) −  
donde el esfuerzo efectivo es   = máx(| 1 |, | 2 |, | 3 |)
c
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117
2.6 Criterios de falla
2.6.3.
Esfuerzo cortante máximo
Se le denomina comúnmente como Criterio de Tresca-Guest, o únicamente criterio de Tresca, el
cual expresa el estado límite en un punto de un sólido en el que el estado de esfuerzos comienza
a fluir cuando el esfuerzo cortante máximo alcanza un valor igual al alcanzado en un ensayo de
tracción cuando se llega al esfuerzo último, esto es:
=

1 − 3
=
2
2
o simplemente
1 − 3 = 
Por lo que la función de fluencia de Tresca-Guest se puede definir como:
 () =   −  
(2.76)
donde el esfuerzo efectivo   representa el valor máximo de las siguente ecuaciones:
 1 −  2 = ± 
 2 −  3 = ± 
(2.77)
 3 −  1 = ± 
la función de fluencia de Tresca-Guest también se puede representar mediante la ecuación:
h
ih
ih
i
 () = ( 1 −  2 )2 −  2 ( 2 −  3 )2 −  2 ( 3 −  1 )2 −  2
(2.78)
que corresponde a la ecuación de la superficie de plastificación, formada por seis planos, paralelos
dos a dos y todos éstos paralelos a la trisectriz o línea hidrostática,  1 =  2 =  3 , Fig. 2.25:
Figura 2.25: Superficie de fluencia de Tresca.
c
°Gelacio
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118
2.6 Criterios de falla
Para estado de esfuerzos planos,  3 = 0, la expresión 2.77 se reduce a:
 1 −  2 = ± 
 2 = ± 
(2.79)
 1 = ± 
y la 2.78 a:
h
i¡
¢¡
¢
 () = ( 1 −  2 )2 −  2  22 −  2  21 −  2
(2.80)
La representación gráfica, en el plano  1 ,  2 , de la ec. (2.79) se muestra como un hexágono en
la Fig. 2.26.
Figura 2.26: Superficie de fluencia de Tresca en 2D.
2.6.4.
Teoría de la deformación longitudinal unitaria máxima
Esta teoría, conocida como de Saint-Venan, expresa que el estado de esfuerzos en un punto de
un sólido inicia su estado límite cuando la deformación longitudinal unitaria máxima es igual al
valor  , obtenida de una prueba a tensión, cuando el material alcanza el esfuerzo último.
 =


(2.81)
La expresión de la deformación unitaria máxima es:
1 =

1
[ 1 −  ( 2 +  3 )] =


(2.82)
Asumiendo que 1 en ec. 2.82 es la deformación principal con la magnitud más grande, igualando
|1 | con  , se obtiene la siguiente función de fluencia :
1 () = | 1 −  ( 2 +  3 )| −   = 0 o  1 −  ( 2 +  3 ) = ± 
c
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119
2.6 Criterios de falla
Considerando que las deformaciones principales están desordenadas, que 1 o 1 puede tener la
magnitud mayor. Se obtiene las posibilidades adicionales siguientes:
2 () = | 2 −  ( 1 +  3 )| −   = 0 o  2 −  ( 1 +  3 ) = ± 
3 () = | 3 −  ( 1 +  2 )| −   = 0 o  3 −  ( 1 +  2 ) = ± 
Por lo que, el esfuerzo efectivo   se puede definir como:
  = máx |  −  (  +   )|
(2.83)
 () =  −  
(2.84)
6=6=
y la función de fluencia:
La superficie de fluencia para el criterio de la deformación longitudinal unitaria máxima para el
caso de un estado de esfuerzo plano,  3 = 0, se muestra 2.27. La superficie de fluencia ABCD
ilustra que, bajo un estado biaxial de esfuerzo a tensión o compresión, los esfuerzos principales
individuales son mayores, por lo que el esfuerzo de fluencia   puede ocurrir sin causar fluencia.
Figura 2.27: Superficie de fluencia de la deformación longitudinal unitaria máxima,  = 0.
2.6.5.
El criterio de la densidad de energía de deformación
El criterio de la densidad de energía de deformación, propuesto por Beltrami, establece que la
fluencia en un punto de un sólido inicia cuando la energía de deformación en el punto es igual a la
densidad de energía de deformación de fluencia de una prueba uniaxial en tensión o compresión.
En términos de esfuerzos principales, la energía de deformación es:
0 =
¤
1 £ 2
 1 +  22 +  23 − 2 (1  2 +  1  3 +  2  3 )  0
2
(2.85)
El criterio de la densidad de energía de deformación establece que la fluencia inicia cuando la
densidad de energía de deformación de la ec. (2.85), para cualquier estado de esfuerzo, es igual
c
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120
2.6 Criterios de falla
a la densidad obtenida de una prueba uniaxial a tensión ec. (2.72). La función de fluencia para
el criterio de la densidad de energía de deformación se obtiene igualando la densidad 0 de la
ec. (2.85) con la  de la ec. (2.72).
 21 +  22 +  23 − 2 ( 1  2 +  1  3 +  2  3 ) −  2 = 0
Así, la función de fluencia tiene la forma:
 () = 2 −  2 = 0
(2.86)
donde el esfuerzo efectivo es:
q
  =  21 +  22 +  23 − 2 ( 1  2 +  1  3 +  2  3 )
La ec. (2.86) corresponde a una a un elipsoide en revolución cuyo eje coincide con la trisectriz,
Fig. 2.28.
Figura 2.28: Superficie de fluencia de la criterio de la densidad de energía de deformación,  = 0.
Las longitudes de los ejes son:


; = √
= √
1−
1+
2.6.6.
(2.87)
Criterio de la densidad de energía de distorsión- Criterio de Von Mises
El criterio de la densidad de energía de distorsión, atribuida a von Mises, establece que la fluencia
inicia cuando la densidad e energía de distorsión en un punto es igual a la densidad de energía
de distorsión de una prueba uniaxial en tensión o compresión, ec. (2.73). La densidad de energía
de distorsión es la asociada al cambio de forma del medio continuo. La densidad de energía total
de deformación 0 , dada en la ec.(2.85), puede separarse en dos partes: una que produce un
cambio volumétrico  y la otra que produce distorsión  . Manipulando algebraicamente la
ec.(2.85), se tiene
c
°Gelacio
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121
2.6 Criterios de falla
0 =
( 1 +  2 +  3 )2 ( 1 −  2 )2 + ( 2 −  3 )2 + ( 3 −  1 )2
+
18
12
{z
} |
{z
}
|

(2.88)

donde el módulo  está definido como  =  [3 (1 − 2)]. Bajo un estado de esfuerzo uniaxial,
la densidad energía de distorsión está definida por la ec. (2.73), por lo que para un estado de
esfuerzos multiaxial, el criterio de la densidad de energía de distorsión establece que la fluencia
inicia cuando la densidad energía de distorsión  dada en la ec. (2.88) es igual a  2 6.
El criterio de la densidad de energía de distorsión puede expresarse en términos del segundo
invariante de esfuerzos 2 como:
 =
1
2
2
(2.89)
donde
2 =
i
1h
( 1 −  2 )2 + ( 2 −  3 )2 + ( 3 −  1 )2
6
Igualando la ec. (2.89) y la ec.(2.73), se tiene
 () =
i 1
1h
( 1 −  2 )2 + ( 2 −  3 )2 + ( 3 −  1 )2 −  2
6
3
(2.90)
La expresión obtenida del criterio de von Mises en la ec. (2.90) indica que la superficie de
plastificación es un cilindro en revolución, cuyo eje es la trisectriz  1 =  2 =  3  Fig. (2.29).
Figura 2.29: Superficie de fluencia de von Mises,  = 0.
Una forma más compacta del criterio de von Mises en la ec. (2.90) es:
 () =  2 −  2 = 0
(2.91)
r h
i
1
( 1 −  2 )2 + ( 2 −  3 )2 + ( 3 −  1 )2
 =
2
(2.92)
donde el esfuerzo efectivo es:
c
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122
2.6 Criterios de falla
2.6.7.
Teoría del esfuerzo cortante octaédrico
El esfuerzo octaédrico se expresa, en función de los esfuerzos principales, como:
1
 =
3
q
( 1 −  2 )2 + ( 2 −  3 )2 + ( 3 −  1 )2
(2.93)
En un ensayo a tensión, cuando se alcanza el esfuerzo de fluencia, el esfuerzo cortante octaédrico
toma el valor de la ec. (2.74)
√
2
  = 047 
 =
3
(2.94)
La Teoría del esfuerzo cortante octaédrico se puede enunciar como: la acción inelástica en un
punto de un sólido inicia cuando el esfuerzo cortante octaédrico alcanza el valor de 047  . Esto
es, al igualar las ecs. (2.93) y (2.93):
1
3
que es lo mismo:
√
q
2
2
2
2

( 1 −  2 ) + ( 2 −  3 ) + ( 3 −  1 ) =
3
( 1 −  2 )2 + ( 2 −  3 )2 + ( 3 −  1 )2 = 2 2
(2.95)
(2.96)
Esta teoría, en términos de estado de esfuerzos, es equivalente a la de la energía de distorsión de
von Mises en dada en la ec. (2.90), por lo que será indistinto utilizar una u otra.
2.6.8.
Coeficiente de seguridad
El coeficiente de seguridad, se determina como:
 =


si
 ≥ 1 Rango elástico
  1 Rango inelástico
Tarea
1. Grafique cada una de las superficies de fluencia en el plano de Rankine, Tresca, von Mises,
deformación longitudinal máxima y densidad energía de deformación considerando:
a) Esfuerzo de fluencia en tensión   = 250 kg  cm2 y compresión   = −250 kg  cm2 .
b) Esfuerzo de fluencia en tensión   = 50 kg  cm2 y compresión   = −50 kg  cm2 .
c
°Gelacio
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123
2.6 Criterios de falla
c) Esfuerzo de fluencia en tensión   = 50 kg  cm2 y compresión   = −250 kg  cm2 .
d) En todos los casos el coeficiente de Poisson  = 020.
2. Determine los esfuerzos principales de los siguientes tensores de esfuerzo y represéntelos en
las gráficas del inciso c).
σ =
"
48 12
12 30
#
kg
; σ =
cm2
"
42
−6
−6 −30
#
kg
; σ =
cm2
"
−1508
−16
−16
−195
#
kg
;
cm2
3. Determine los coeficientes de seguridad de los estados de esfuerzo anteriores para cada
estado de esfuerzos.
c
°Gelacio
Juárez, UAM
124
En un sólido de acero, se tiene el estado de esfuerzos planos dado por los tensores σa,
σb y σc.
a) Calcule el estado de esfuerzos principales.
a) Compare los criterios de Rankine, Tresca y de von Mises.
b) Represente los estado de esfuerzos en las gráficas de estos criterios
σa :=
⎛ 4000 1000 ⎞ ⋅ kgf
⎜
⎟
⎝ 1000 2500 ⎠ cm2
σb :=
Esfuerzo de fluencia
σy := 4200⋅
Coeficiente de Poisson
υ := 0.30
kgf
cm
⎛ 3500 −550 ⎞ ⋅ kgf
⎜
⎟
⎝ −550 −2500 ⎠ cm2
2
Cálculo de esfuerzos principales
a) Tensor σa
σxx := σa
σyy := σa
0, 0
σ1 :=
σ2 :=
σxx + σyy
2
σxx + σyy
2
1, 1
0, 1
2
⎛ σxx − σyy ⎞ + τxy2 = 4500⋅ kgf
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
cm
+
2
⎛ σxx − σyy ⎞ + τxy2 = 2000⋅ kgf
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
cm
⎛ 4500 0 ⎞ ⋅ kgf
σa = ⎜
⎟
⎝ 0 2000 ⎠ cm2
−
⎛ σ1 0 ⎞
⎜
⎟
⎝ 0 σ2 ⎠
σa :=
τxy := σa
b) Tensor σb
σxx := σb
σyy := σb
0, 0
1, 1
τxy := σb
0, 1
2
⎛ σxx − σyy ⎞ + τxy2 = 3550⋅ kgf
⎜
⎟
2
2
2
⎝
⎠
cm
2
σxx + σyy
σxx − σyy ⎞
kgf
2
σ2 :=
− ⎛⎜
⎟ + τxy = −2550⋅ 2
2
2
⎝
⎠
cm
σ1 :=
σxx + σyy
⎛ σ1 0 ⎞
⎜
⎟
⎝ 0 σ2 ⎠
σb :=
+
σb =
c) Tensor σc
σxx := σc
0, 0
σ1 :=
σ2 :=
σc :=
σxx + σyy
2
σxx + σyy
2
σ1
0
⎛
⎞
⎜
⎟
0
σ2
⎝
⎠
σyy := σc
⎛ 3550 0 ⎞ ⋅ kgf
⎜
⎟
⎝ 0 −2550 ⎠ cm2
1, 1
+
−
τxy := σc
0, 1
2
⎛ σxx − σyy ⎞ + τxy2 = −2409.973⋅ kgf
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
cm
2
⎛ σxx − σyy ⎞ + τxy2 = −3340.027⋅ kgf
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
cm
−
2409.97
0
⎛
⎞ ⋅ kgf
σc = ⎜
⎟
0
−
3340.03
⎝
⎠ cm2
σc :=
⎛ −2500 275 ⎞ ⋅ kgf
⎜
⎟
⎝ 275 −3250 ⎠ cm2
1. Criterio de Rankine f(σ)=max(σ1,σ2)-σy
a) Tensor σa
(
σe := max σa
, σa
0, 0
)
f := σe − σy = 300 ⋅
)
f := σe − σy = −650 ⋅
1, 1
kgf
cm
Inelástico
σy
σe
2
= 0.933
b) Tensor σb
(
σe := max σb
, σb
0, 0
1, 1
cm
c) Tensor σc
(
σe := max σc
0, 0
f := σe − σy = −650 ⋅
)
, σc
kgf
1, 1
Elástico
σe
2
kgf
cm
2
σy
Elástico
El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σa
Nota
Si f<0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango elástico
Si f=0, el estado de esfuerzos se encuentra en la superficie de fluencia
Si f>0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango no lineal
2. Criterio de Tresca "f(σ)=[(σ₁-σ₂)²-σy²][σ₂²-σy²][σ₁²-σy²]=0"
a) Tensor σa
(
σe := max⎡ σa
⎣
0, 0
) , (σa0 , 0) , (σa1 , 1) ⎤⎦
− σa
1, 1
f := σe − σy = 300 ⋅
kgf
cm
Inelástico
σy
σe
2
= 0.933
b) Tensor σb
(
σe := max⎡ σb
⎣
0, 0
− σb
f := σe − σy = 1900⋅
1, 1
) , (σb0 , 0) , (σb1 , 1) ⎤⎦
kgf
cm
Inelástico
σy
σe
2
= 0.689
c) Tensor σc
(
σe := max⎡ σc
⎣
0, 0
) , (σc0 , 0) , (σc1 , 1) ⎤⎦
− σc
f := σe − σy = −859.97⋅
1, 1
kgf
cm
2
Inelástico
σy
σe
σy
= 1.257
El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb
σe
= 1.183
= 1.743
3. Criterio de von Mises
f(σ)=1/6[(σ1-σ2)²+(σ1)²+(σ2)²]-1/3σy²
a) Tensor σa
1
σe :=
2
⋅ ⎡ σa
⎣(
2
0, 0
) + (σa0 , 0) + (σa1 , 1) ⎤⎦
2
− σa
2
2
1, 1
2
f := σe − σy = −2390000
kgf
cm
2
4
σy
Elástico
σe
= 1.076
b) Tensor σb
⋅ ⎡ σb
2 ⎣(
1
σe :=
2
0, 0
− σb
) + (σb0 , 0) + (σb1 , 1) ⎤⎦
2
1, 1
2
f := σe − σy = 10517500
2
2
kgf
cm
2
4
σy
Elástico
σe
= 0.792
c) Tensor σc
1
σe :=
2
2
⋅ ⎡ σc
⎣(
0, 0
2
− σc
) + (σc0 , 0) + (σc1 , 1) ⎤⎦
2
2
2
1, 1
f := σe − σy = −8725625
kgf
cm
2
4
Elástico
σy
σe
El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb
= 1.407
En un sólido metálico, que tiene valores de esfuerzo de fluencia a tensión y
compresión con el mismo valor absoluto, se tienen los tres estados de esfuerzo: a, b
y c en kg/cm². Determine cuál de los estados tiene menor coeficiente de seguridad
aplicando los diversos criterios de fluencia. Considere un coeficiente de Poisson de
v=0.3 y el esfuerzo de fluencia es de 4200 kg/cm².
Estado a
Estado b
0 ⎞
⎛ 5000 0
kgf
⎜
σa :=
0
1600 0 ⎟ ⋅
⎜
⎟ 2
0 800 ⎠ cm
⎝ 0
0 ⎞
⎛ 3500 0
kgf
⎜
σb :=
0
1000
0 ⎟⋅
σc :=
⎜
⎟ 2
cm
0
−1000 ⎠
⎝ 0
Esfuerzo de fluencia
cm
⎛ 4000 0 0 ⎞
⎜ 0 1500 0 ⎟ ⋅ kgf
⎜
⎟ 2
0
0 ⎠ cm
⎝ 0
Coeficiente de Poisson
υ := 0.30
kgf
σy := 4200⋅
Estado c
2
1. Criterio del Esfuerzo Principal máximo f(σ)=max(|σ1|, |σ2|, |σ3|)-σy
a) Tensor σa
f := max( σa) − σy = 800 ⋅
kgf
cm
b) Tensor σb
f := max( σb) − σy = −700 ⋅
max( σa)
kgf
cm
c) Tensor σc
f := max( σc) − σy = −200 ⋅
σy
Inelástico
2
σy
Elástico
max( σb)
2
kgf
σy
Elástico
max( σc)
2
= 0.84
= 1.2
= 1.05
cm
El coeficiente de seguridad menor corresponde al estado de esfuerzo con mayor
esfuerzo principal σ1, que corresponde al tensor σa
2. Criterio de Tresca f(σ)=(σ1-σ3)-σy
a) Tensor σa
(
σe := σa
0, 0
)
− σa
2, 2
f := σe − σy = 0 ⋅
σy
kgf
cm
Superficie
2
σe
=1
b) Tensor σb
(
σe := σb
0, 0
− σb
)
f := σe − σy = 300 ⋅
)
f := σe − σy = −200 ⋅
2, 2
kgf
cm
Inelástico
σy
σe
2
= 0.933
c) Tensor σc
(
σe := σc
0, 0
− σc
2, 2
kgf
2
Elástico
cm
El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb
σy
σe
Nota
Si f<0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango elástico
Si f=0, el estado de esfuerzos se encuentra en la superficie de fluencia
= 1.05
Si f>0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango no lineal
3. Criterio de formación longitudinal unitaria máxima f(σ)=|σ1-v(σ2+σ3)|-σy
a) Tensor σa
(
σe := σa
− υ⋅ σa
0, 0
1, 1
+ σa
)
f := σe − σy = 80⋅
)
f := σe − σy = −700 ⋅
)
f := σe − σy = −650 ⋅
2, 2
kgf
cm
σy
Inelástico
= 0.98
σe
2
b) Tensor σb
σe := σb
0, 0
(
− υ⋅ σb
1, 1
+ σb
2, 2
kgf
cm
σy
Elástico
σe
2
= 1.2
c) Tensor σc
σe := σc
(
− υ⋅ σc
0, 0
1, 1
+ σc
2, 2
kgf
cm
σy
Elástico
σe
2
= 1.18
El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σa
4. Criterio de la densidad de energía de deformación
f(σ)=σ1²+σ2²+σ3²-2v(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3)-σy²
a) Tensor σa
(σa0 , 0) + (σa1 , 1) + (σa2 , 2)
2
σe :=
2
2
2
f := σe − σy = 2592000 ⋅
kgf
cm
2
(
− 2υ⋅ σa
⋅ σa
0, 0
1, 1
+ σa
⋅ σa
0, 0
2, 2
+ σa
⋅ σa
1, 1
)
2, 2
2
σy
Inelástico
4
σe
= 0.93
b) Tensor σb
(σb0 , 0) + (σb1 , 1) + (σb2 , 2)
2
σe :=
2
2
2
f := σe − σy = −2790000 ⋅
kgf
cm
2
(
− 2υ⋅ σb
⋅ σb
0, 0
1, 1
+ σb
⋅ σb
0, 0
2, 2
σy
= 1.09
+ σb
⋅ σb
1, 1
)
2, 2
2
Elástico
4
σe
c) Tensor σc
(σc0 , 0) + (σc1 , 1) + (σc2 , 2)
2
σe :=
2
2
f := σe − σy = −2990000 ⋅
2
kgf
cm
2
(
− 2υ⋅ σc
⋅ σc
0, 0
1, 1
+ σc
σy
2
Elástico
4
El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σa
⋅ σc
0, 0
σe
2, 2
= 1.1
+ σc
⋅ σc
1, 1
)
2, 2
4. Criterio de von Mises
f(σ)=1/6[(σ1-σ2)²+(σ2-σ3)²+(σ3-σ1)²]-1/3σy²
a) Tensor σa
⋅ ⎡ σa
2 ⎣(
1
σe :=
2
0, 0
) + (σa1 , 1 − σa2 , 2) + (σa2 , 2 − σa0 , 0) ⎤⎦
2
− σa
2
2
1, 1
kgf
2
f := σe − σy = −2720000 ⋅
cm
2
σy
Elástico
4
σe
= 1.09
b) Tensor σb
⋅ ⎡ σb
2 ⎣(
1
σe :=
2
0, 0
− σb
) + (σb1 , 1 − σb2 , 2) + (σb2 , 2 − σb0 , 0) ⎤⎦
2
1, 1
2
kgf
2
f := σe − σy = −2390000 ⋅
cm
2
2
σy
Elástico
4
σe
= 1.08
c) Tensor σc
σe :=
⋅ ⎡ σc
2 ⎣(
1
2
0, 0
2
− σc
) + (σc1 , 1 − σc2 , 2) + (σc2 , 2 − σc0 , 0) ⎤⎦
2
2
2
1, 1
f := σe − σy = −5390000 ⋅
kgf
cm
2
4
Elástico
El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb
σy
σe
= 1.2