Ejer.prob1

Problemas resueltos por los alumnos
1. Un procesador de textos dispone de un corrector ortográfico que acierta en un
99 % de los casos sobre una palabra incorrecta y en un 98 % de los casos si se utiliza
con una palabra correcta. Si un texto tiene un 5 % de errores, calcula:
(a) Probabilidad de que una palabra determinada sea incorrecta y el corrector no la
localice
(b) Probabilidad de que habiendo detectado el corrector una palabra como incorrecta,
ésta sea correcta
(c) Probabilidad de que habiendo tomado el corrector una palabra como correcta,
ésta sea incorrecta
(d) Si quisieras mejorar la calidad ortográfica del texto, ¿usarı́as el corrector?
Solución
Nombramos los siguientes sucesos:
A=palabra correcta
B=corrector dice que la palabra es correcta
El enunciado nos da las siguientes probabilidades:
P r(B|A) = 0,99 P r(B|A) = 0,98 P r(A) = 0,05
(a) Nos piden
P r(B ∩ A) = P r(B|A) × P r(A) = (1 − 0,99) × 0,05 = 0,0005
(b) Nos piden P r(A|B):
P r(B|A)P r(A)
P r(B)
P r(B) = P r(B|A)P r(A) + P r(B|A)P r(A)
= (1 − 0,98) × (1 − 0,05) + 0,99 × 0,05 = 0,0685
(1 − 0,98) × 0,95
P r(A|B) =
= 0,2774
0,0685
P r(A|B) =
(c) Nos piden
= 1 − P r(B|A) = 1 − 0,99 = 0,01
P r(B|A)P r(A)
P r(B)
(1 − 0,99) × 0,05
=
= 0,00054
1 − 0,0685
P r(A|B) =
(d) Utilizaremos el corrector ya que las probabilidades de error son pequeñas
2. En una zona determinada, el negocio de telefonı́a móvil se reparte entre dos únicas
compañı́as (A y B) y dos únicas marcas de teléfonos (M 1 y M 2). Sean los sucesos y
sus probabilidades:
A= Un ususario utiliza la compañı́a A, P r(A) = 0,6
B= Un ususario utiliza la compañı́a B, P r(B) = 0,4
M 1= Un usuario dispone de un teléfono de la marca M 1, P r(M 1) = 0,7
M 2= Un usuario dispone de un teléfono de la marca M 2
C=Se produce un corte de un teléfono durante una llamada
Se sabe que la probabilidad de que un usuario cualquiera disponga de teléfonos de
ambas marcas es de 0.3. La probabilidad de un corte en la comunicación es de 0.1
para los usuarios de la compañı́a A, 0.15 para la compañı́a B y de 0.05 para los de
la marca M 1.
(a) ¿Forman los sucesos A y B una partición del espacio muestral formado por el
conjunto de ususarios? Justifica la respuesta.
(b) Calcula P r(C)
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario disponga única y exclusivamente de
un teléfono de la marca M 2?
(d) Se sabe que un usuario se le ha cortado la comunicación, ¿cuál es la probabilidad
de que se disponga de un teléfono de la marca M 1?
(e) Se sabe que un usuario no tiene un teléfono de la marca M 1 ¿Cuál es la probabilidad de que se le corte la comunicación?
Solución
El enunciado nos da las siguientes probabilidades:
P r(M 1 ∩ M 2) = 0,3 P r(C|A) = 0,1 P r(C|B) = 0,15 P r(C|M 1) = 0,05
(a) Sı́, ya que su unión es el suceso seguro y son incompatibles.
(b) Por el teorema de la probabilidad total:
P r(C) = P r(C|A)P r(A) + P r(C|B)P r(B)
= 0,1 × 0,6 + 0,15 × 0,4 = 0,12
(c)
P r(M 2 ∩ M 1) =
=
P r(M 2 ∩ M 1) =
P (M 1 ∪ M 2) =
P r(M 2 ∩ M 1) =
P r(M 1|M 2)P r(M 2) = (1 − P r(M 1|M 2))P r(M 2)
P r(M 2) − P r(M 2 ∩ M 1)
1 = P r(M 1) + P r(M 2) − P r(M 1 ∩ M 2)
P r(M 1) + P r(M 2) − 1 sustituyendo arriba
P r(M 2) + 1 − P r(M 1) − P r(M 2) = 1 − P r(M 1) = 0,3
(d) Se sabe que un usuario se le ha cortado la comunicación, ¿cuál es la probabilidad
de que se disponga de un teléfono de la marca M 1?
P r(M 1|C) =
P r(C|M 1)P r(M 1)
0,05 × 0,7
=
= 0,2917
P r(C)
0,12
(e) Se sabe que un usuario no tiene un teléfono de la marca M 1 ¿Cuál es la probabilidad de que se le corte la comunicación?
P r(C|M 1) =
P r(M 1|C)P r(C)
(1 − 0,29) × 0,12
=
= 0,2833
0,3
P r(M 1)
3. Un sistema de transmisión consta de varios canales; cada uno de los cuales está formado por un emisor y un receptor. La probabilidad de que un emisor envı́e el mensaje
es de 0.9; y, una vez enviado, la probabilidad de que se reciba es de 0.95.
Se desea que, con una probabilidad mayor que 0.9999; un mensaje llegue a su destino.
¿Por cuántos canales deberá enviarse?.
Supóngase independencia en el funcionamiento de los distintos canales.
Solución
Nombramos los siguientes sucesos:
A=emisor envı́a el mensaje
B=receptor recibe el mensaje
S=El mensaje llega a su destino
El enunciado nos da las siguientes probabilidades:
P r(A) = 0,9 P r(B|A) = 0,95 P r(S) ≥ 0,9999
El sistema de comunicación tiene varios canales en paralelo, cada canal tiene dos
componentes en serie:
La probabilidad de funcionamiento de cada canal Si es:
P r(Si ) = P r(A ∩ B) = P r(B|A)P r(A) = 0,95 × 0,9 = 0,855
A1
B1
A2
B2
•
•
•
n
An
Bn
por lo tanto la probabilidad de que un mensaje llegue a su destino es:
P r(S) = 1 − (1 − P r(Si ))n ≥ 0,9999
es decir,
1 − (1 − 0,855)n
0,0001
ln(0,0001)
−9,21
n
≥
≥
≥
≥
≥
0,9999
0,145n
nln(0,145)
n × −1,931
4,77
es decir que tendrı́a 5 canales en paralelo.
4. Disponemos de n helicópteros para encontrar un avión perdido. Cada helicóptero se
puede usar en una de dos regiones, donde puede estar el avión con probabilidades 0.8
y 0.2 respectivamente. Un helicóptero buscando en la región adecuada encuentra el
avión con probabilidad 0.2 independientemente de lo que hagan los demás helicópteros.
¿Cuál es la probabilidad de encontrar el avión si enviamos n1 helicópteros a la región
1 y el resto a la región 2?
En el caso particular de que dispongamos de 3 helicópteros; ¿qué cantidad enviarás a
cada zona para maximizar la probabilidad de encontrar el avión?¿cuánto valdrı́a esa
probabilidad máxima?
Solución
Nombramos los siguientes sucesos:
A:
B1 :
B2
Encontrar el avión
Avión está en la región 1
Avión está en la región 2
El enunciado nos da las siguientes probabilidades:
P r(B1 ) = 0,8 P r(B2 ) = 0,2 P r(A|B1 ) = 0,2 P r(A|B2 ) = 0,2
Nos piden
P r(Alguno lo encuentre) = 1 − P r(ninguno lo encuentre)
P r(ninguno lo encuentre) = P r(A|B1 )P r(B1 ) + P r(A|B2 )P r(B2 )
= (1 − 0,2)n1 × 0,8 + (1 − 0,2)n−n1 × 0,2
P r(Alguno lo encuentre) = 1 − 0,8n1 +1 − (1 − 0,2)n−n1 × 0,2
En cuanto a la decisión que habrı́a que tomar en el caso de tres helicópteros, lo que
hacemos el calcular la probabilidad anterior para valores de n1 = 0, 1, 2, 3;
P r(Alguno
P r(Alguno
P r(Alguno
P r(Alguno
lo
lo
lo
lo
encuentre,
encuentre,
encuentre,
encuentre,
n1
n1
n1
n1
= 0)
= 1)
= 2)
= 3)
=
=
=
=
1 − 0,8 − 0,83 × 0,2 = 0,0976
1 − 0,82 − 0,82 × 0,2 = 0,232
1 − 0,83 − 0,8 × 0,2 = 0,328
1 − 0,84 − 0,2 = 0,3904
Por lo tanto enviarı́amos los tres helicópteros a la región 1, ya que es la combinación
que nos da una probabilidad más alta de encontrar el avión.