Producción, demanda efectiva y variación de existencias. Análisis

ESTAQtSTICA ESPAÑOLA
Núm. 95, 1982, p^gs. 85 a 102
Producció n, demanda efectiva y variació n de
existenc i as. An á l isis multisectorial *
por ANTONIO VI L^AR NOTARI4
Orpartarnento de Taorfa Económica
Universidad d® Aiicante
RES U M EN
EI objeto de este artículo es la construcción de un modelo dinámico de
corto plazo en términos mul tisectoriales, para una economía caracterizada
por el empleo de existencias como elemento de ajuste aferta-demanda vía
cantidades. La información imperfecta que se asume de las condiciones del
mercado nos Ileva a la determi nación de lus valores desconacidos mediante
un modelo de expectativas regresivas.
Palabras clave: Multisectorial , corto plazo, existencias.
INTRODUCCION
Desarrollamos en este artículo un modelo dinámico de corto plazo en término^
multisectoriales, bajo la hipótesis central de que frente a fluctuaciones de la demanda
las empresas modifican su output antes que sus precios. El «ajuste vía cantidades»
coloca en primer plano a la inversión en stocks como variable explicativa del ciclo
económica, en un munda car~acterizadu pcar la infarmación y la previsión imperfectas.
Como se ha señalado recientemente, «aunque la inversión de existencias canstituye un
* Agradezco a Carmen Herrero su ayuda en la discusión del aparato matemático empleado.
ESTADtSTIC:A ESPAIVf)LA
ciimin^it^^ cc^mpunente ^ic^l E'N R, cfiel c^rden c^c:l I pur 1(){), ^^ u impurtdncia en las t7uctuacic^nes cfc.^ lc^s nc.;gucic^s rtsulta tutalmtnte cie^prupc^rciunada a su magnitud» '.
Nuestru tratamientc^ del tema se efectúa descie una pertipectiva macroeconámica,
perv en ^ términus desagregadus, en la línea cie lc^s mc^delc^s de Lovell y Fuster, que
generalizarun el cl^isico tratamientc^ del tema clesarrc^llado por Metzler ^. Ei punta
central del que nos c^cuparnos lu cc^nstituye la din^^mica del output a corto plazo, descle
un enfc^que en e1 que las magnitudes planeadas y efectivas pueden diverger y para una
estructura industrial que nu tiene que ajustarse a las tipi^caciones de la <=competencia
perfeC:t ^^» .
La base micrc^económica que presuponemuti puede resumirse burdamente como
tiigue: ( i) Cunsicler^ima^^ empresas earacterizadas pur curvas cie custes medic^s planas en
el
trarnu de uutput relevante (coste medio igual a cc^ste margin^^l en el campo de
operacián de la empresa); {ii) En el ámbito de la economia caracterizada por la
incertidumbre, la informacicín incc^mpleta y que nc^ se identifica ccan la^ condiciunes de
cumpetencia perfecta, se verifica una dic-vtvmíu
entre la furmación ctel preciu y la
deterrninacián del output. Los precios se determinan mediante la aplicacián de un
margen sobre el custe mediu de largu plazo; el uutput ^ ^e ciiseña en cada períoclu en
función de las previsiones de ventas (corto plazo). Así, la respuesta a corto de la^
empresa^ frente a cambios en la demanda se da en términus de cantidacies y nu en
términos de precios; las ciiscrepancias entre ventas planeadas y efectivas se traducirán
en la aparicián de niveles de stacks nc^ de5eados ^.
En la medid^i que restringimos nuesiru análisis ^^l cc^rtu plazo suponemos que las
instalaciones tijas de caela empresa est^in dadas. Ellu justifica la utilización de un
mc^delo idénticu al que se deri va del empleo de l^^i hipótesis de «ausencia de capital
tijc>» , tratandc^ la inversic^n en capital tijc^ cc^mo una parte de la ^1em^indt^ t-inal {es decir,
consider^mdc^ únicamente el ef ^ctca me^ltiplirudvr e ignor^^ndc^ el efYC•tv uc•elerudor, en
términuti cíe Damar; el prc^gresc^ técnico es asimismo ignurado>. EI análisis en términos
de capital exclusivamente circulante, tie ad^ipta pertéctamente al ancilisis del cc^rtc^
plazu, mientras yue 1^^ iniruciucción explícita del capital fijc^, ec^mc^ elementu que afect^i a
la c^^p^^cidact
prc^ductiv^i resulta relevante ti medio y larg^.^ plazc^.
Mantendremos la
hipátesis cie prc^cfiuccián simple.
' ^f. BLINDEF2, [ ^] , pág. 1 l .
2 Véase LO^ VFLL [ ^7] , FOSTER [ ^] .
; Implícitamente queda de manifiesto en este planteamiento que nuestro interés se centra en las
empresas industriales. Véase en este sentido la observacián de KA^ECKi [6^, capitulo 5, sobre la
formaCión de ios precios.
PRODUCCION. DEMANDA EFECTIVA Y VAR1A^CIC)N DE EXISTENCIAS
87
Supunemc^s que cacit^ emprt^ti desea m^intener ciertc^s ^^ulúmene^ de stucks de
m^iterit^^ primci^ y ciertc^ti vc^lúment^^ cie ^tc^cks cie prcxiuctuti terminadu^;, pcjr mutivvs en
Ic^s que aquí nu entraremus pvr ser sobraciamente ccanocido^. C~onsideraremos el tiempu
tn ti^rrna discreta y supundremc^ti que existe un períodc^ de produeción unitariu común
para tucías las empresas, de modc^ que pc^demo5 ignurar los bienes en prvc•eso.. EI
considerar que la prod ucción requiere t iemp4 para ser desarrollada implica que dentro de
cada períudu la empresa pcx^rá hacer frente a niveles imprevistas de demanda en la
mecíida que dispcanga de un ciertu vulumen de stcacks de produetos terminados (Ia
consideración de stc^^cks de materias primas deja abierta además una vía adicianal de
análisis --que aquí nu abordaremus , al pvder cunsiderar retardos en la entrega de los
inputs). Nu entraremos en el caso de la rr^pturt^ de stocks. Mantendremos la hipcítesis
de precic^s cunstantes.
Al comienzo de cada períudc^^ , cada empresa habrá de tumar en cc^nsideración:
-- las ventas planeadas {lu que exige algún tipu cie previsic^n de las mismas);
- los stocks de productc^s terminadc^s deseados en relación con los que dispone.
En f'unción de estus elementc^^ habrá de:
- diseñar el vulumen de c^utput;
- ajustar, según la evvlución del output, su inversión cie stucks de rnaterids primas
a Ic^s niveles deseados.
A1 final de cada perícxio, la empresa se enfrentará a la cc^mparación entre ventas
planeadas y efectivas, dato que utilizará para derivar el comportamiento a tieguir en el
períudu siguiente.
A nivel macruec^nómicu, la demanda efectiva tendrá cumu cumponentes: a): La
demanda intersectorial de materias primas, que depende de lus volúmenes de producción (adviértase que la inversión de stocks de pruductos terminados es una parte del
uutput, y que pnr ello no aparece explícitamente); b), la inversión neta en stocks de
materias primas; c•), la demanda tinal, compuesta por la demanda de bienes de consumo
más la demanda de bienes de capital fiju ^. Ignoraremc^s al Sector Fúblicc^ y af Sector
Exteric^r.
Salvu indicaciunes en cc^ntrario, todas I^is variables ^iparecen expre:s^^das en términos
tisicc^s,
^ Excluimos la inversión en stocks de materias primas de la demanda final en la medida en que
posteriormente vincularemos aquélla con el output, quedando ésta comu exógena.
ESTADISTtCA f:SPAY^CyLA
PRC)DUC'C'l^N, VFNTAS PLANEADAS Y ST(^C'KS DF PRC)D[1CT(^S
TERMINAD(^S
Supc^ndremc^s que cadti empresa cie^+ea mantener un vc^lumen de stucks de prvductos
terrninadus, que es una prc^pc^rcicín fja de su nivel de ventas planeadas, Siendo Xr el
nivel de ventas planeadas de una empresa en el p^eriodc^ t, y d la prc^purción de stucks
de pruductc^s terminados deseada ( U S ó ^ I), el vulumen de outpctt que la empresa
huc~P dispo^iblP en el peritxlo t vendrá dadu par
^
X r( I + ó )
(ignc.^raremcas en este análisis el ca^;o de una demanda par^^ ia empres^i superiur al uutput
hechc^ ciispvnible ).
Designemos por Xr^ t e1 volumet7 de ventas efectivas det ^.^eríodo anterior. Xl -. - Xr* t
reflejará la acumulación (positiva o negativa) no deseada de esistencias de pruductos
terminados, siendo Xr_ t(1 + b)- Xl t el volumen de stocks efectivo al final de t- 1.
En consecuencia, suponiend^ que las discrepancias entre los valores planeadus y
efectivos de los stocks pueden solventarse en un período ^, la produccián en t vendr^ ^
dada pur
Xr = Xr(1 + &) - [Xr_t( ) + b) - Xr-t
[ll
dc^nde Xr es volumen de c^utput de la empresa en cuestión b.
Llamando 0 X,_ t= Xj -- X f_ t la expresión anterior puede transformarse en:
Xr - AXr-t(1 + ó) + Xr t
[ I bis]
Consideraremos que la determinación por parte de las err^presas de sus ventas
planeadas se basa en el establecimienta de una relación entre las ventas planeadas y las
efectivas en forma de retandos distribuidos; tal hipótesis de c+^mportamientu puede
especificarse como sigue :
*
e xr- t-(^- R^ t x^- t- X^- ,
osR.c 1
s Las investigaciones empíricas acerca de la rapidez del ^juste de los niveles deseados y
efectivos de stocks confirman la validez de esta hipótesis, a pesar de la relevancia adjudicada al
tema por Lovell. Véase al respecto MACCIN[ y RossANA, [8].
6 No encontraremos aqui en los aspectos microeconómicos relacionados con la determinación
de la magnitud de los S, En el citado articul© de Maccini y Rossana pueden encontrarse algunas
contrastaciones empiricas recientes del papel que juegan ciertas variables como el tipo de interés,
el precio de las materias primas, etc. Para una discusión de los aspectos microeconómicos puede
tomarse como guía RowL^r & TRtvEnt [ l0], Ch. 2.
PRODUCClON. DEMANDA EFECTIVA Y VARIAClUN DE EXtSTENCiAS
es de^ir, la variación en 1as previsiones de ventas de la empresa e^ una funcicín
(caracterizada por el par^imetro ^3) de la discrepancia entre previsioneti y ventas efectivas habidas en el pasado. Por inducción obtenemc^s:
.^
.
Xt - _^ ( ^ - ^)^^X; j_
[2]
j =0
de donde pode mos esc ri bi r:
,
^Xt_, -(I - R)
R; (X^ j-! - X^ j-zy
j ^0
y haciendo bXi j_z --= Xt ^_! - Xl j_z y sustituyendo en í I bis] obtenemos:
[3]
Xt - ( I + b)( i
- (3) ^ ^L1 Xr j_2 ^- ^t-^
^=o
expresión que, Uamando e = (1 + b ) (1 - [i) ( donde obviamente 0 ^ e ^ (1 + b ), puede
escribirse como '.
[ 4]
Xt = (1 + e)X* ! - e(l -R
-;-z
j =0
donde la producción del períc^do de una empresa aparece como una función de las
ventas efectivas pasadas, cuyos parámetros son s, la producción de stocks de productos
terminados que se desea mantener (definida en términos de ventas planeadas), y( t-[i)
que es un coeficiente de rPaccivn que refleja el comportamiento empresarial en cuanto a
la adaptación de las ventas planeadas tomando como referencia las ventas efectivas de
los periodos pasados ( adviértase que en el caso de expectativas ingenuus, Xt = Xi !
--es decir, ^3 = 0 , la expresión [4] resulta Xt -= X^ r+(1 + ó)A X^ 2).
*
*
*
' En efecto [3] puede escribirse como
xt = e[(Xi t` xi 2) +^(x^ 2- X^ 3) +
*
*
T-3
_ *
+ a ^r-T+2
xt--T+ 1 ^ + • • •^ + xr_ 1
es decir,
xt = (1 + e ) x^ ^ - e (1 - a)xi z -- ea( l - 1^)xr 3 _ e pT-3( ^ ^ a)x ^-T+i - ...
ESTADISTICA ESPAÑULA
p`ara pa^+ar del nivel de empresa al nivel de indutitria o Sector, adoptaremus el
supuestU de que cada industria puec^e caracterizarse pur uncas par^imetros b^ y[3^
^in^lugc^s a lus de las empresas (ellc^ significa que, u bien consideramus que todas las
empretids de una industria tienen idénticus d y^i, u bien que estus d^ y[i^ son un
prumedio punderadc^ y que Id esiructura de 1a industria se mantiene inalterada en
términc^s relativos
íc^ cual en un análisis de ct^rto plazo no resulta una suposicián
excesiva ). Así podremos agre,gar empresas en industrias sin mayor problema.
Designaremos por xr = {^^(t)} el vectar (columna) de 1as producciones de I©s
distintos sectores, siendca X^{t ) el output pr^ducido en t por el sector,j-ésimo (j = l, 2,
..., ni. Análogamente, x, y x^ representan respectivamente los vectares de ventas
planeadas y ventas etectivas secic^riales. Designaremus por S^ {^y} la matriz diagonal
de los b^. La ecucivn [ í bis] resulta transformada en términos multisectoriales como
sigue:
A
xr = (I + ó)d^t,_^ + x; I
y designandu por ^i ={[iy} la matriz diagonal de los ^i^, la expresión [2J se transformará en
[óJ
r
,
= tI -
T
^c =0
y consecuentemente [3j aparecerrá ahur•a cumc^:
t
xt = (I + ^)(í - ^3
r-z-2 + xi-- t
que nc^s Ileva a
[7j^
x, _ [ 1 + ( I + S )(I - ^3)]xi_^
- (I + ^) (1 - [i
T=O
^
o bien, de fc^rma más si mpl ificada, si l lamamos
^_( I+ ó)(1 -[3) y haciendu Mt =
=^(1 -- ^> ^3', [7^ pued e ese ri bi rse como
^
[g]
xr = {I + ^)x< < ^
t =o
^
MTxr^^-z
PRODUCCION, DEMANDA EFECTIVA Y vAR1ACiON DE EX[STENCIAS
91
donde podemos establecer que ^ 5( I+ d ^ . Se verific^i ^idem ^^s que ^`
^Mi = ^
t =0
Para ilustrar el tipo de dinámica implícita en ta ecuación [8] merece la pena considerar un caso sencillo: partiendo de una situación de equilibrio en estado estacionario, se
produce un cambio a un n ue vo ni vel de venias, también estacionario.
Como es obvio, el equilibrio de estado estacionaric: implica:
^
^
xr - x,_1 = xo
Nivel de stocks: óx^
Supongamos que en el período t se da un carnbio en las ventas efectivas, alcanzándose
un nuevo nivel, x^, que se mantendrá constante. Tendremos entonces:
*
xr+l = ^I + )xr L=0
Es decir:
*
*
^
xr+l ^ x, + {kt - xo)
En el siguiente período tendremos:
^
xt+2 = (I + ^)x ^ -- ^^ M x *
T
^-L
i ^0
es deci r:
xr+2
= (I + ^)x^ - ^(I - R)xi -
xr+2 ^ xf + ^Q(x^ - x^)
^ Ello se deriva del hecho de que los componentes no nulos de las 1Vít constituyen (cada uno de
ellos) una progresión geométrica de razón menor que la unidad, cuya suma es inmediata.
y2
ESTADISTICA i^SPAÑOLA
y a^+í, en general
xt+,, = xf + ^^h-^^xl - x^^
iyl
Cuanda h-♦^ o© entonces ^^h-^(x^ - xo) -. p, es decir, el sistema tiende hacia su
s©lución de equilibrio.
Si designamas por m© y int los vectores de stocks de productos terminados deseados
para Ios niveles de ventas esperadas respectivamente {es decir:
.
^3 0
i
= S x^
y
rft ,=
b x r)
entonces tendremos
mo = Sxó = Sx^ ^
En el periodo t tenc^remc^: stocks planeados m^, y stocks efectivas
m *^ = mQ - {x r - x ó) -- { I + S )xó --
*
Teniendo en cuenta [ó], las ventas planeadas para el per-íado t+ 1 serán
^
xr+^ = (1 -- R>xi + {I - ^3) ^^ Q^xó
t=I
donde, dado que
_ (I - ^)^^^xó
tendremos
xr+^ _ {I - a>xr + axó
`^, en generai
xr+ti = (I - ah^-^x` ..^ ^hxo
También aquí res ul ta obvio q ue conforme crece h, x t+h se acerca a x t, y en
consecuencia m +ti -^ m,.
Gráficamente, en el caso de un sector concreto, el tipo de ajuste hacia el nueva
equilibrio que acabamas de considerar puede verse como sigue:
93
PRODUCCION, DEMANDA EFECT'1vA Y vARtACION DE EXISTENCIAS
^ „^ ^ ^, ^ ^ PAODUCCIQN
VENTAS
STOCK S
. ---^i
T1EMP0
La velocidad de ajuste hacia el equilibrio depende del tamaño de ^3. Frente a
cambios estables en las ventas, menores valores de ^i resultarán m^ ^ s convenientes al
permitir un ajuste más rápido (en nuestro caso, en el límite con ^3 = 0 el ajuste se
consigue en un único período); en un contexto dinámico, sin embargo, en el que pueden
darse cambios errúticos en la demanda, una mayor ponderación de los valores pasados
tiende a estabilizar el sistema. Cabña, pues, esperar que en los períodos de crecimiento
establece de la dernanda se dieran mayores valores de ( 1- R), mientras que en épocas
de inestabilidad ^i se haría mayur 9.
Del razonamiento seguido se deduce también que dado el desequilibrio inicial, la
magnitud del «exceso de oferta» , x r+l - x^, depende de la proporc^ón b de stocks de
productos terminados con respecto a las ventas planeadas: mayores valores de b
implican mayores valores de x t+ 1- x^(es decir, la mayor capacidad de respuesta a
una demanda inesperada, implica también mayores oscilaciones en e1 volumen de
output).
Resulta fácil comprobar que si suponemos una cierta tasa de crecimiento de las
ventas el modelo también da una solución de equilibrio, en el sentido de que la tasa de
crecimiento del output tiende a igualar la tasa de crecimiento de las ventas 1°.
9 Adviértase que estos componentes se darán a nivel sectorial y que por tanto una contrastación a nivel agregado na sería representativa frente a cambios en la estructura de la demanda.
10 En efecto, sea 6i la matriz diagonal de tos coeficientes de expansión (con ay = 1+ µ^,
siendo µ^ la tasa de crecimiento de las ventas del sector j-ésimo). Si escribimos
xt-2 - ^-Ixt-l+ xr 3 = ^^-1^2xt-1+ ...
Slt,^
ESTAU[STlCA ESPA^OLA
PRC)DUCCION, vENTAS E i~ ECTIVAS Y STC)CKS hE MATF R1AS PRIMAS
Sea A={a,^} fa matriz de empleo c^e inputs intermedios, cionde c^;^ indica la
cantidad de input (wariable) i requerida por unidad de prc^ducto j. Designaremcas por S;^
el stock de la mercancía i-ésima que el sector ,j^-ésimo rnantiene para la produccián de
un wolumen de output X,i. Entonces, mediante la matriz B= {b;^}, donde ó^; = S^l X;
podemos represeniar los stocks de materias primas por unidad de output deseados p©r
cada sector (en particular el stock de materias primas deseados por el sector j ésimo por
unidad de output wendrá dado p©r ]a columna j-ésima de B); no parece que requiera
mayor ^ustificación e1 vincular los stocks deseados de mater^as primas a los volúmenes
de output en la medida que pueden entenderse como una prociucción potencial. Supondremos constantes las refaciones entre S,^ y X^, para todo J, j.
Par BOx,_ ^ podemos expresar ei vector de inversián neta en materias primas del
período t; volúmenes crecientes de output aparecen así vinculados con demandas
crecientes de stocks de materias primas, mientras que reducciones en la producción
implicarán valores negativos de 1a inversión en existencias de estos productos (lo que
indica que parte de la demanda interindustrial se estará sustituyendo por la aplicación
de los stocks excedentes d e materias primas> ".
la expresión [ 8] se conv ierte en
co
^
1 t+l
M.t(6c'
>
xr - (I + ^) -
^_
x*
^=o
que puede ser escrita corno
xr = {I + ^[I - (I - ^3)(á - ^3)-^]} xr ^
Teniendo en cuenta que xi - ócxl ^, haciendo lixr = xt+^ - x^,se obtiene operando adecuadamente que
Ox^ _ (& - I)x^ ^
es decir,
*
= dxr_^
" Sin áuda, esta es una forma simplif cada de tratar los stc^cks de materias primas. Gabría
haber vinculado estos stocks no al período de producción corriente sino a1 próximo (es decir,
tomando Bdxr); ello es razonable dado que puede ligarse este planteamiento al deseo de asegurarse
suficiente provisión de materias primas para los incrementos de producción previstos. Sin embargo, elló complica bastante la discusión, ya que entonces se requiere diseñar la producción de
este período (con el proceso de estimación señalado) y diseñar el proceso de pr©ducción del
período siguiente, careciendo del dato de las ventas efectivas de esie período; ello exige, además,
ta existencia de un mecanismo de absorción de errores (cosa que Lovell pasa por alto en su
planteamiento). Esta complicación de !a que prescindimos no altera los resultados del análisis.
PRODUCClC^N, DEMANDA EFECTIVA Y VARIACIUN DE EXISTENCIAS
9S
Las ventas efecti^*as del periodo vendrán dadas por la demanda intraindustriai y
la inversión neta en stocks de materias primas, como variables endógenas, más de la
demanda ^nal exógena, d^, compuesta por la dernanda de bienes de consumo más la
demanda de nuevos bienes de capital fijo. Es decir:
[ lo]
xi = Axr + Bex,_, + dt
Esta expresión nos permitirá, al sustituirla en [S], obtener un modelo dinámica de!
output donde la evolución de éste dependerá únicamente de la demanda final exógena,
formulado mediante un sistema de ecuaciones en diferencias.
Sustituyendo, pues, [ 10] en [8] tendremos:
X r = {^ + ^)X t ,
- [Moxr-2
+
^ ixr-3
es decir,
A
xl = (1 + E}(A + B)xt_1 - (I + ^)Bx,_2 - [Mo(A + B)x^_z - MaBxr_3 + M,(A + B)xr_3 - M, Bx^_^ +...
+ {I + ^)dr_, - ^ Mtdj_t_Z
t=o
Llamando
^ r -- (I + ^)d^-1 -
tur-t-Z
t^o
y reagrupando términ©s, la expresión anterior se convierte en:
[11]
xr = (I + ^)(A + B)xr_, - [(1 + ^)B + Mo(A + B)]x^_2 +
+ [MoB - M,(A + B)]
+ [MhB -
h+
{A + B)] x l_h_3 +
r
que constituye un sistema de ecuaciones en diferencias que vincula el nivel actual del
output con los niveles pasados y con una variable exógena, la demanda final, que
constituye a su vez una vat7able retardada. Los parámetros implicados en el modela
representado por la ecuación [ 11] son: las proporciones de stocks de productos terminados con respecto a las ventas planeadas, +^^^; los coeficientes de reacción (1 -- [3^l); los
niveles deseados de stocks de materias primas por unidad de output, b,^, y los
coeficientes técnicos de los inputs intermedios, a;;.
ESTADiSTtCA ESPAI^oLA
9^^6,
Hagamos ahora.
(1 + ^) ( A + B) = H ,
- (I + L)B - Mo(A + B) = H2
MaB - Ñi ^ (A + B) = H3
MtB i MT+f{A + 8) = Ht+^
Entonces el sistema [ 11 ] puede escribirse como:
^
[12]
xt = ^ Hkx^-k + ^t
k=t
cuya ecuación homcagénea asociada, x^ _^ HhX^_k, puede reescribirse como:
^t = ^
x^ ^
`H^
x,-^ \ / I
H
o
,^ , ..-z^
^__,,._.
IH
z^-^
es decir, cambiando la notación,
[ 13 bis]
zr = IHz^_^
sistema cie ecuacianes en diferencias cuya solución vendrá dada pur:
[ 14]
Zt = IHtzo
Dicho sistema resulta estabie si y sólo si todos 1os valores propios de IH son en
módulo menores que la unidad ' 2.
12 Sobre las condiciones necesarias y suficientes para que esto suceda pueden citarse por un
lado la condición de L_.yapunov (que puede verse en HAHN [4]), y por otru la condición de
Samuelson ©btenida a partir de los teoremas de Routh-Hurwitz (véase SAMUEL,sON [11]). GAtvt^o^FO [3] da también algunas condiciones suficientes, en el capitulo 8.
PRODUCCION, DEMANDA EFECTIVA Y VARIACION DE EXiSTENCIAS
9?
PRODUCCION Y DEMANDA FINAL
Lógicamente el último estadio de nuestro análisis se centra en 1a relación entre
producción y demanda final. Comenzaremos por plantear una hipótesiss particular de
comportamiento de la demanda final, para pasar a partir de ahí a la discusión de la
ecuación completa [ 12].
Supondremos que la dernanda final, d,_^, erece de forma que d,_, _^cdr_2, siendo d2
la matriz diagonal de tos cueficientes de expansión (véase nota (10)); podemos escribir
entonces:
dr-2 - ^-^^r-^
A
dt-3 = (x-1)Zdr-1
A
dt-n
- ^rJ(,-1)h-l^r-1
En consecuencia, tendremos:
T(^c-1)t+ld
^ t - (i + ^)dr-1 -^
r-1
T=0
pe ro
^t(^ -1)t+^ _ ^(I _ ^I ^^ _ ^^-1
A
t =0
y por tanto
[15]
`f'1 = {1 +
[I _ (I _ ^3^(x _
Puede observarse que si ^i = I(es decir, ausencia de crecimiento) entonces ^t =
dr_1, mientras que par-a todo valor positivo de Ias tasas de crecimiento de los distint^s
sectores se verifica:
A
A
(1 = ^)(^ - ^}-1 ^ I
y en consecuencia
^r r > {I + ^)dt_,
sucediendu que para un dr_ 1 dado la magnitud de ^ r varía con ^c .
98
ESTADIS'['1CA ESPAI^OLA
En cualquier ca5o, llamancic^:
^ 1 _` (1 _ ^^í^ _ ^^ -^^
^e tendría
^rt = (1 + ^)dt-^
Si dr_^ crece a tasas de expansión constantes, á^, en tonces ^r también crecerá a tasas
de expansión constantes 6^, es decir,
^t ^,r ^ = 5c r^r ^ = ^c `( I + f ) do
[ 16]
Fara estudiar la solución particular de la ecuación completa consideraremos primero
la hipótesis simplificada de u na tasa de expansión única, para pasar después an análisis
del caso general.
Sea a, ^ = a^2 =
x,^,^ ; si llamamos
^r
^
<Ú r =
:
^
la ecuación completa podña escribirse en la forma:
Zr = 1Hzr-^ + ^r ^ IHZr-t + «l^^
La solución particular de esta ecuación seria del tipo
Zr = 4ctZ
donde
= (xl - 1H}-^^c^^
es decir, la sulución particular será
[17J
^r = ^,r+^(xI - IH)^^^^
Fara que zr sea positivo, una candición suficiente es que (x 1- I H)-^>_ 0; para ello
basta que x 5ea mayor en módulo que todos los valores propios de IH. En este caso
puede pensarse en la sol ución particular como en una solución hacia la que se mueve el
PRODUCClC:)N. DEMANDA EFECTIVA Y VARIACIC}N DE EXISTENCIAS
equilibrio. Bajo estas condiciunes ^t/^cr+^ converge hacia la solución particular ^,, p^or lo
que el equilibrio es relativamente estable ( según el conceptc^ el cuncepto de estabilidad
relativa de Lyapunov) ' 3.
En el caso general, con diversas tasas de expansión, tendremos ^l+i = x^,^.
Si llamamos
tendríamos que ^,+1 =^^,, donde ^^ tiene el mismu significado que antes. En este
caso la sol ución partic ul ar ^ j te nd rá la fo rma
ñ~
i
donde
^ - (^ _ II,.^>-1`^^
La condición necesaria y suficiente para que la solución particular sea factible es
que (^ - IH)-' ? 0; también en este caso puede pensarse la solución particular como
una solución de equilibrio relativamente estable.
APENDtCE
Un tratamiento distinto de la demanda final puede desarrollarse endcageneizando
alguno (o ambos) de sus camponentes. En el contexto del corto plazo en que se
enmarca nuestro análisis sólo tiene sentido la endageneización de la variable «demanda
de consumo» 14. Designaremos por Y r el vector de rentas sectoriales en t y por C=
_{CU} la matriz de las propensiones al consumo, de modo que e;^ representa el consumo
de bienes de1 sector i-ésimo por unidad de renta del sector j-ésimu. Podemos escribir
entonces CYj como el vector de demandas de consumo expresado en valores corrientes 'S. Si designamos por P la matriz cíiagonal de los precios, que hemos supuesto
constantes por hipótesis, p^demos hacer:
C, = P^'CYr
13 Un estudio de los sistemas de ecuaciunes en diferencias pued^ verse en Won^s [ 13], capítul0 4. Sobre el tema de la estabilidad y las condiciones de Lyapunov, remitimus nuevamente a la ubra
de HANN [4].
14 Para un análisis alternativo al aquí propuesto ( es decir, endugeneizando la inversión) en
mudelos dinámicos tipu Leontief, puede verse STUNE ^C, BROWN [ l2) y MATHUR [y].
'S Seguimos aquí el pEantdmiento desarrollado en Woo^s [ 13], capítul^ 5. Un análisis de
modelos dinámicus de renta y prx^ducción con hipótesis más scyfisticadas con resp^cto a la función
de consumo puede verse en HERRERO [Sj.
ESTADISTICA ESPAÑQLA
IOQ
Sea 11 la matriz diagonal de los valures añadidos sectoriales por unidad de c^utput
(que cunsiderarernus constdntes en el curtu plazu>; se verificará
A
Y, = 1'x,
y pc^dremos escribir entonces
_
C', ^--
1
h^
Cix^
cie modo que siendo d,_, = c-f_^ + i,_^ (siendo i,_^ la inversión en capital fijo que
consideramos autónoma), tendremos:
^^,-^Cy-xr-;-2
^,, _ (I + ^)p^'^^^`^t-^ -
+ (t + E)i,_^
1
-t - 2
T=O
Ahora la única variable exógena vendrá dada por
^o
A
^,r = (I + ^)il-t -
Mt^r-r--2
t=o
mientras que el presente t ratamiento del consumo nos obliga a reformular la parte
homogénea de la ecuación [l2]. Sustituyendo obtenemus
x f = [H, + tI + E)]x,_^ + (H2 - M^S)xr_2 + .. ^
+ ... + (H; - M;_2S)xr_; + ... + ^^
siendo
s = P-'^^^
Y haciendo
, = H„ + I + ^ _ (I + ^) (I + A + B)
N2 = H2 - M^S = -(1 + ^)B - M©(A + B + S)
^
N; = H,; - M;_2S = M;_3B - M;_2(A + B + S]
podemos escribir:
xt -
PRUDUCCKJN, DEMANDA EFECTlVA Y YARIACiUN DE EXlSTENCIAS
l^l
cuya discusión es similar a la efectuada para el caso en que considerábamos el consum©
como exógeno, apareciendo ahara nuevos parámetros implicados: los precios, py; los
valores añadidos unitarios, v^, y las propensiones de consumo, c^ .
EI término independiente ,^r puede ser tratado como se hizo con ^^, de suerte que
podemos escribir:
^^ _ ^I + ^I - ( I - ^){^ - ^)-i] ^ ir-!
donde c^ es ahora la matriz diagonal de los coeficientes de expansicin de la inversión.
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ES'TADISTICA ESPAÑUL.A
10?
Sl.1M^ViARY
V'Ve analyse in this article a dynamic short term multisectural mc^del of an
economv holding inventories as the way of quantitative adjustment (we disregard the price adjustrnent> between supply and demand. The imperfect
inforrnation deal us to a determination of unknown values by
. a mociel uf
regresive expectations.
Kev words: multisectoral, short term, inventories.
AMS, 1970. Subiect classificatian: 90A 15.