d(ax) - unam

1
Comprobar que
Z
ax dx =
ax
+k
Ln(a)
tenemos que
x
a
d( Ln(a)
+ k)
dx
x
=
a
d( Ln(a)
)
dx
=
ah − 1
1 d(ax )
1
ax+h − ax
1
=
lı́m
=
lı́m ax
Ln(a) dx
Ln(a) h→0
h
Ln(a) h→0
h
Haciendo H = ah − 1 tenemos que
ah − 1
ax
H
ax
1
lı́m ax
=
lı́m
=
lı́m
Ln(a) h→0
h
Ln(a) H→0 Loga (H + 1)
Ln(a) H→0
1
Loga (H+1)
H
=
ax
1
ax
lı́mH→0 1
lı́m
=
=
1
Ln(a) H→0 (Loga (H + 1)) H
Ln(a) lı́mH→0 (Loga (H + 1)) H1
1
ax
1
ax
1
ax
ax
=
=
=
= ax
1
Ln(e)
Ln(a) (Loga lı́mH→0 (H + 1)) H
Ln(a)
Ln(a) Loga e
Ln(a)
Ln(a)
Calcular
Z
dx
2 + Cos(x)
Hacemos la sustitución t = Arctg( x2 ) por lo que 2Arctg(t) = x en consecuen2t
cia dx = 1+t
2 , ahora bien
x = 2Arctg(t) ⇒ Sen(x) = Sen(2Arctg(t)) = 2Sen(Arctg(t))Cos(Arctg(t))
Aplicando las igualdades
t
Sen(Arctg(t)) = √
1 + t2
1
1 + t2
1
t
2t
√
2Sen(Arctg(t))Cos(Arctg(t)) = 2 √
=
1 + t2
1 + t2 1 + t2
Por lo tanto
Cos(Arctg(t)) = √
Senx =
√
1 − t2
2t
2x =
⇒
Cosx
=
1
−
Sen
1 + t2
1 + t2
2
Regresando a nuestra integral
Z
Z
Z
dx
2dt
1
2dt
=
=
2
2
2 + Cos(x)
1 + t2
|1 +
{zt } 2 + 1 − t
2
dx= 2t 2
1+t
{zt }
|1 +
1
2(1+t2 )+1−t2
1+t2
Z
=
2dt
2(1 + t2 )1 − t2
2
Cosx= 1−t2
1+t
Z
=2
2
dt
=
2
3+t
3
Z
tan( x2 )
dt
2 1
t
2
√
√
√
√ )+k
=
Arctg(
)+k
=
Arctg(
3 3
1 + ( √t3 )2
3
3
3
Calcular para m ∈ N :
Z
Senm xdx
tenemos que
Z
Im =
Z
m
Sen xdx =
m−1
Sen
| {z } dx =
| {z x} Senx
f
Z
m−1
Sen
−
| {z x} (−Cosx)
| {z }
f
g
g0
(−Cosx) (m − 1)Senm−2 x(Cosx) =
| {z } |
{z
}
f0
g
Z
−(Cosx)Senm−1 x + (m − 1) Senm−2 x(Cos2 x)dx =
Z
m−1
−(Cosx)Sen
x + (m − 1) Senm−2 x (1 − Sen2 x) dx =
|
{z
}
Cos2 x=1−Sen2 x
Z
−(Cosx)Senm−1 x + (m − 1) Senm−2 x − Senm xdx =
Z
Z
m−1
m−2
−(Cosx)Sen
x + (m − 1) Sen
xdx − (m − 1) Senm xdx
Por lo tanto
Z
Z
Z
m
m−1
m−2
Sen xdx = −(Cosx)Sen
x+(m−1) Sen
xdx−(m−1) Senm xdx
Pasamos el último término al otro lado de la igualdad y tenemos
Z
Z
Z
m
m
m−1
x+(m−1) Senm−2 xdx
(m−1) Sen xdx+ Sen xdx = −(Cosx)Sen
3
Z
m
Sen xdx = −(Cosx)Sen
m
m−1
Z
x + (m − 1)
Senm−2 xdx
simplificando nos queda
Z
Z
−(Cosx)Senm−1 x
m−1
m
Sen xdx =
+(
) Senm−2 xdx
m
m
es decir
Im
|{z}
R
=
−(Cosx)Senm−1 x m − 1
+
m
m
Im = Senm xdx
Im−2
| {z }
R
Im−2 = Senm−2 xdx
En la integral definida
π
Im |02 =
π
π
−(Cosx)Senm−1 x π2 m − 1
m−1
|0 +
Im−2 |02 =
Im−2 |02
m
m
m
ahora recursivamente
m−1m−3m−5 31
... I0
m m−2m−4 42
Im =
si m es par, es decir m = 2n
I2n =
2n − 1 2n − 3 3 1
... I0
2n 2n − 2 4 2
si m es impar, es decir m = 2n + 1
I2n+1 =
2n 2n − 2 2
... I1
2n + 1 2n − 1 3
Ahora bien
Z
0
I1 =
π
2
π
dx = x|02 =
I0 =
Z
π
2
π
2
π
Senxdx = −Cosx|02 = 1
0
I2n =
2n − 1 2n − 3 3 1 π
...
2n 2n − 2 4 2 |{z}
2
I0 = π2
4
I2n =
2n − 1 2n − 3 3 1 π
...
2n 2n − 2 4 2 |{z}
2
I0 = π2
I2n+1 =
2n 2n − 2 2
...
1
2n + 1 2n − 1 3 |{z}
I1 =1
Dividimos
I2n+1
=
I2n
2n 2n−2
... 32 1
2n+1 2n−1
2n−1 2n−3
... 43 12 π2
2n 2n−2
Por lo que
π I2n+1
(2n(2n − 2)..,2)2
=
2 I2n
((2n − 1)(2n − 3)..,3)2 (2n + 1)
Por lo tanto
π
(2n(2n − 2)..,2)2
I2n
=
2
((2n − 1)(2n − 3)..,3)2 (2n + 1) I2n+1
Ésta es la fórmula que descubrio Wallis en el siglo XVII para aproximar el
valor de π2