CURVAS CÓNICAS

CURVAS CÓNICAS
INTERSECCIÓN CON UNA RECTA
Las nuevas definiciones establecidas para la elipse, la hipérbola) y la parábola, son la base del razonamiento que conduce a determinar los puntos de intersección de una recta secante con una cónica.
Dichos puntos de intersección, de la recta con la curva cónica, son los centros de las circunferencias que siendo tangentes a una circunferencia focal (en la parábola a la recta directriz), pasan por el otro foco (en la parábola, por el foco).
Para determinar los puntos intersección de una recta con una curva cónica no es necesario trazar ésta.
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA ELIPSE. (Ilustración nº 1).
Consideremos una elipse con parámetros 2a y 2c y, la recta secante s . Los puntos de intersección de la recta con la elipse (ver figura
de análisis) , son los centros de las circunferencias que cumplen las siguientes premisas:
•
Pasar por un foco (por ejemplo, por F2).
•
Ser tangentes a la circunferencia focal de centro el otro foco (F1) .
•
Tener sus centros en la recta secante (r) .
En consecuencia, el punto F’2, simétrico de F2 respecto a la recta secante r, pertenece a las circunferencias tangentes a la focal y
cuyos centros se buscan
Construcción: - Datos: Elipse de parámetros 2a, 2c y recta r. (Ilustración nº 1)
1º. Se trazan los ejes de simetría y se determinan los focos. (no es necesario trazar la elipse).
2º. Se traza una circunferencia focal, la de centro el foco F2.
3º. A continuación, con centro en un punto cualquiera de la recta r se traza una circunferencia auxiliar que, siendo secante a la
focal, de centro F2 , pase por el otro foco (F1) , y, por tanto, por su simétrico ( F’1) . La recta común de ambas circunferencias es su eje radical ; y la recta que une los puntos F1 y F’1 es el eje radical de la auxiliar con las soluciones buscadas.
4º. El centro radical N de todas ellas es la intersección de los ejes radicales anteriores. Las tangentes a la circunferencia auxiliar o
a la focal desde el punto N, define y determina la ubicación de los puntos de tangencia ( F’2 y F’’2 ) de dicha circunferencia
focal con las circunferencias solución. Uniendo dichos puntos con el foco F2 , obtenemos los puntos-centros P y Q de las
circunferencias buscadas, siendo los de intersección entre la recta y la curva.
r
r
r
D
A
F1
D
F2
B
A
F1
C
A
A
F'1
F2
F1
C
B
T
F2
F1
B
r
F'2
D
D
C
r
F'2
N
F2
B
C
r
T
F'1
A
D
F'2
F2
F1
N
B
A
P
F2
F1
C
F''2
ILUSTRACIÓN Nº 1
D
C Q
F''2
B