2.2.1Clase10ControlabilidadyObservabilid... 896KB Mar 14 2016 12

Análisis de Sistemas
Lineales
Controlabilidad y Observabilidad
Contenido
 Controlabilidad de estado
 Transformación a forma canónica (regular)
controlable, FCC
 Observabilidad de estado
 Transformación a forma canónica (regular)
observable, FCO
 Ejemplos y ejercicios
E. Interiano
2
Controlabilidad
 La controlabilidad trata de la existencia de un
vector de control que puede causar que el
estado del sistema llegue a algún estado
arbitrario en un tiempo finito.
 El concepto de controlabilidad es la base
para solucionar el problema de la ubicación
de polos
 Si el sistema es de estado completamente
controlable, entonces es posible seleccionar
los polos en lazo cerrado deseados (o las
raíces de la ecuación característica)
E. Interiano
3
Controlabilidad de estado
Partimos del sistema MIMO
x = Ax(t ) + Bu(t )
y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
Para que este sistema sea de estado
completamente controlable, es necesario y
suficiente que la matriz de controlabilidad M de
n x nr tenga rango n
M = [B AB A 2 B ⋅ ⋅ ⋅ A n -1B]
E. Interiano
4
Pruebas para la controlabilidad
de estado
 Si M no es cuadrada (MIMO), se puede formar
la matriz MM’, que es de n x n; entonces si
MM’ es no singular M tiene rango n.
 El par [A, B] es completamente controlable si
A y B están en la Forma Canónica Controlable
o FCC, o son transformables a la Forma
Canónica Controlable
E. Interiano
5
Pruebas para la controlabilidad
de estado (2)
 Si los valores propios de A son diferentes y A
está en la Forma Canónica Diagonal el par
[A, B] es completamente controlable si todos
los elementos de B no son cero
 Si A está en la Forma Canónica de Jordan,
el par [A, B] es completamente controlable si
al menos uno, de los elementos en los
renglones de B que corresponden al último
renglón de cada bloque de Jordan, es
diferente de cero
E. Interiano
6
Ejemplo 1: Controlabilidad
 Sea el sistema SISO descrito por:
− 2 1 
A=

0
1


1 
B= 
0 
 La matriz de controlabilidad (nxn) es
1 - 2
M = [B AB] = 

0
0


 Que es singular y por lo tanto el sistema es
NO controlable.
E. Interiano
7
Forma canónica controlable (SISO)
 0
 0

 
x = 
 
 0

− a0
1
0
0
1

0


0
0 1


 0

0
  
− a1   − an − 2
0 
0 
0 
 
 

 
 ⋅ x +   ⋅u
 

0 
1 

 
− an −1 
1
y = cT ⋅ x + d ⋅ u
Las matrices o vectores C y D no siguen ningún patrón en particular
E. Interiano
8
Estructura del modelo FCC (SISO)
E. Interiano
9
Transformación a FCC
Sea T la matriz de transformación, con M la
matriz de controlabilidad T = MW
 a1 a2
a
 2 a3
•
 •
W= •
•

•
 •
an−1 1

0
 1
• • • an−1
• • • 1
•
•
•
• • • 0
• • • 0
1
0 
• 
• 

• 
0 

0 
M = [B AB A 2 B ⋅ ⋅ ⋅ A n -1B]
donde las ai son los coeficientes característicos
λI − A = λn + an −1λn −1 +  + a1λ + a0
E. Interiano
10
Transformación a FCC
 Se define
x̂ como un nuevo vector de estado
x = Txˆ
 Si el sistema tiene estado completo
controlable, la matriz T tiene inversa.
 Utilizando la matriz T se puede transformar el
sistema a la forma canónica controlable:
x̂ = T −1 ATxˆ + T −1Bu
y = CTxˆ + Du
E. Interiano
11
Ejercicio 1
 Encuentre si el sistema es controlable y
transfórmelo a la forma canónica controlable
o FCC
 2
− 10 11
⋅ x +   ⋅u
x = 

1 
−4 5
y = [1 3]⋅ x
E. Interiano
12
Solución al ejercicio 1
 Prueba de controlabilidad
 2 − 9
M = [B AB] = 

−
1
3


 Como M es nxn, y su determinante no es
cero, entonces el par (A,B) es controlable
E. Interiano
13
Solución al ejercicio 1
 Conversión a FCC
T = MW
det (λI − A ) = λ2 + a1λ + a0
 λ
det 
 0
a1
W=
1
0  − 10 11 
2

=
+ 5λ − 6
−
λ




λ  − 4 5 
1 5 1
=

0 1 0
2 − 9 5 1 1 2
=
T=




1
0
2
1
1
3
−

 


E. Interiano
14
Solución al ejercicio 1
 Conversión a FCC
~~ ~
~
x = A
x + Bu
~~
=
y Cx + Du
Verificación :
 − 1 / 3 2 / 3   − 10 11 1
~
−1
A = T AT = 
  − 4 5  2
−
2
/
3
1
/
3



 − 1 / 3 2 / 3   2  0
~
−1
−1
= 
B=T B=T b=



 2 / 3 − 1 / 3 1 1
1 2
~
T
C = CT = c T = [1 3]⋅ 
= [7 5]

2 1
E. Interiano
2  0 1 
=

1 6 − 5
15
Observabilidad: definición
Partimos del sistema x = Ax(t ) + Bu(t )
y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
 se dice que el estado x(t0) es observable si
dada cualquier entrada u(t), existe un
tiempo finito tf ≥ t0 tal que, el conocimiento
de:



u(t) para t0 ≤ t < tf
las matrices A, B, C y D
la salida y(t) para t0 ≤ t < tf
sea suficiente para determinar x(t0).
E. Interiano
16
Observabilidad: definición
 Si cada estado del sistema es
observable para un tiempo finito, se
dice que el sistema es
completamente observable, o
simplemente observable.
 Para que el sistema descrito sea
completamente observable, es
necesario y suficiente que S, la
matriz de observabilidad de np x n,
tenga un rango n.
E. Interiano
 C 
 CA 


S =  CA 2 


 ... 
CA n −1 
17
Pruebas para la
observabilidad
 Si el sistema tiene solo una salida, C es una
matriz de reglón de 1 x n y S es una matriz
cuadrada de n x n. Entonces, el sistema es
completamente observable si S es no
singular
 Para un sistema SISO, el par [A,C] es
completamente observable si A y C están
en la forma canónica observable (FCO) o
son transformables a la FCO mediante una
transformación de similitud.
E. Interiano
18
Pruebas para la
observabilidad (2)
 Si A está en la forma canónica diagonal
(FCD) el par [A,C] es completamente
observable si todos los elementos en las
columnas de C son diferentes de cero.
 Si A está en la forma canónica de Jordan
(FCJ), el par [A,C] es completamente
observable si al menos uno, de los
elementos en las columnas de C que
corresponden a la primera columna de cada
bloque de Jordan, es diferente de cero.
E. Interiano
19
La forma canónica observable



ˆ =
A



0
1
0
0
.
.
.
.
0
0
0
.
0
1
.
0
.
.
.
.
.
.
0
.
1
− a0 
− a1 
− a2 

. 
− an −1 
ˆ = [0 0 . . 0 1]
C
 Los elementos de las matrices B̂ y D̂ no
están restringidos a ninguna forma
E. Interiano
20
Estructura del modelo FCO
E. Interiano
21
Ejemplo 2: Sistema con
cancelación de polos
 Sea la función de
transferencia:
Y ( s)
s +1
=
U ( s ) ( s + 1)( s + 2)
 Se descompone en la
forma FCC, por lo que es
controlable.
 Pero, cuya matriz de
observabilidad, S, es
singular y por ello el par
[A,C] no es observable
E. Interiano
1
0
A=

−
−
2
3


0 
B= 
1 
C = [1 1]
1
C 1
S= =

CA
2
2
−
−
  

22
Ejemplo 2: continuación
 El sistema en forma FCC
se transforma a la forma x =  0 1  x + 0u
− 2 − 3 1
FCO
y = [1 1]x
 Debido a que la FCO se
puede realizar, el par [A,
C] es observable; pero,
M es singular y se
pierde la
controlabilidad
E. Interiano
1 − 2
M = [B AB] = 

1
−
2


0 − 2 
A=

−
3
1
1
B= 
1
C = [0 1]
23
Transformación a FCO
Sea Q la matriz de transformación, con S la
matriz de observabilidad Q = ( WS) −1
Y con
E. Interiano
 a1 a2
a
 2 a3
•
 •
W= •
•

•
 •
an−1 1

0
 1
• • • an−1
• • • 1
•
•
•
• • • 0
• • • 0
1
0 
• 
• 

• 
0 

0 
 C 
 CA 


2
S =  CA 


 ... 
CA n −1 
24
Transformación a FCO
 Se define
x̂ como un nuevo vector de estado
x = Qxˆ
 Si el sistema es observable, la matriz Q tiene
inversa.
 Utilizando la matriz Q se puede transformar
el sistema a la forma canónica observable:
~x = Q −1 AQ~x + Q −1Bu
y = CQ~x + Du
E. Interiano
25
Ejercicio 2
 Encuentre si el sistema es observable y
transfórmelo a la forma canónica observable
o FCO
 2
− 10 11
⋅ x +   ⋅u
x = 

1 
−4 5
y = [1 3]⋅ x
E. Interiano
26
Solución al ejercicio 2
 Prueba de observabilidad
3
C  1
S= =

CA
22
26
−
  

 Como S es nxn, y su determinante no es
cero, entonces el par (A,C) es observable
E. Interiano
27
Solución al ejercicio 2
 Conversión a FCO
Q = ( WS) −1
det (λI − A ) = λ2 + a1λ + a0
 λ
det 
 0
a1
W=
1
5
Q =
1
−1
E. Interiano
0  − 10 11 
2

−
=
+ 5λ − 6
λ




λ  − 4 5 
1 5 1
=

0 1 0
1  1
3  − 17 41
=



0 − 22 26  1
3 
28
Solución al ejercicio 2
 Conversión a FCO
~~ ~
~
x = A
x + Bu
~~
=
y Cx + Du
Verificación :
 − 17 41  − 10 11  − 3 / 92 41 / 92 0 6 
~
−1
=
A = Q AQ = 






−
−
1
3
4
5
1
/
92
17
/
92
1
5



 

 − 17 41 2 7
~
−1
−1
= 
B=Q B=Q b=



3   1   5
 1
 − 3 / 92 41 / 92
~
T
= [0 1]
C = CQ = c Q = [1 3]⋅ 

 1 / 92 17 / 92
E. Interiano
29
Ejercicio 3
1. Encuentre si el sistema continuo mostrado
es controlable y observable.
- 4 0 
1
⋅ x(t ) +   ⋅ u (t )
x (t ) = 

- 2 1 
1
y (t ) = [1 1]⋅ x(t )
2. Transforme si es posible el sistema anterior
a la forma canónica controlable, FCC, a la
forma canónica observable, FCO y a la
forma canónica diagonal, FCD.
E. Interiano
30
Aplicación de la controlabilidad:
Realimentación de estado
Tenemos un sistema descrito por
x = Ax + Bu
Hacemos la señal u como
u = −Kx
Sustituyendo obtenemos
x = ( A − BK )x(t )
E. Interiano
33
Realimentación de estado
Puede observarse que el nuevo sistema posee
una nueva matriz ~
A = ( A − BK )
Que posee nuevos valores propios µ1, µ2, …µn
det(λI − ( A − BK )) = 0
E. Interiano
34
Ejemplo 3: Ubicación de polos
Considere el sistema continuo en FCC, lo cual significa
que es controlable, tiene los valores propios siguientes:
0 1 
 0
x = 
x +  u

1 0
1
y = [1 0]x
λ1 = −1
λ2 = +1
Problema: se desea colocar arbitrariamente los valores
propios o polos de lazo cerrado en µ1 = -2 y µ2 = -3. Es decir:
(
)
~
det λI − A = (λ − µ1 )(λ − µ2 )
= (λ + 2 )(λ + 3) = λ2 + 5λ + 6
E. Interiano
35
Ejemplo 3: Solución por
sustitución directa de K
Por sustitución directa de K = [k1, k2] en el
polinomio característico deseado

λ 0   0 1   0 
λI − (A − BK ) = 
−  
−   × [k1 k 2 ] =


 0 λ   1 0 1

λ
(k1 − 1)
−1
= λ2 + k2λ + (k1 − 1)
(λ + k2 )
Comparando polinomios obtenemos K:
λ2 + 5λ + 6 = λ2 + k2λ + (k1 − 1)
K=[7 5]
E. Interiano
36
Referencias
[1] Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control
Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996,
México.
[2] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control
Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª
Ed., Madrid.
E. Interiano
37