Los Elementos Libro I2 Definiciones
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Los Elementos Está obra está compuesta por trece libros. El Libro I trata congruencia, paralelas y el teorema de Pitágoras, y en el se incluyen las definiciones de los conceptos, nociones comunes y postulados que se usarán posteriormente en el texto ; el II aborda identidades algebraicas desde un punto de vista geométrico, áreas y la sección aurea; el III trata sobre círculos; el IV sobre polígonos inscritos y circunscritos; el V sobre proporciones, también tratadas geométricamente; el VI sobre polígonos semejantes, del VII al IX sobre aritmética; el X sobre magnitudes inconmensurables y del XI al XIII sobre Geometría Sólida1. Libro I2 Los fundamentos de la Geometría Teoría de los triángulos, paralelas y el Teorema de Pitágoras El texto consta de 23 definiciones. En ellas se definen punto, línea, recta, superficie, superficie plana, ángulo, ángulo recto, obtuso y agudo, círculo, diámetro, cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios y finalmente rectas paralelas. Definiciones Definición 1. Un punto es lo que no tiene partes. Definición 2. Una línea es una longitud sin anchura. Definición 3. Los extremos de una línea son puntos. Definición 4. Una recta es una línea que yace llanamente sobre sus puntos. Definición 5. Una superficie es la que sólo tiene longitud y anchura. Definición 6. Los extremos de una superficie son líneas. Definición 7. Una superficie plana es la que yace llanamente sobre sus rectas. Definición 8. Un ángulo plano es la inclinación entre sí de dos líneas de un plano si estas se cortan y no están en línea recta. Definición 9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se dice que es rectilíneo. Definición 10. Cuando una recta corta a otra formando ángulos adyacentes iguales, cada uno de los ángulos iguales se llama ángulo recto, y la recta que se eleva sobre la otra se llama perpendicular a ésta. 1 Para mayor información sobre este tema pueden consultarse los títulos 5 y 6 de la bibliografía de consulta. 2 Las definiciones, postulados, axiomas y proposiciones fueron tomados del título 6 de la bibliografía de consulta. La traducción no es textual, ya que en algunos casos se han usado términos más familiares para el estudiante, procurando conservar el sentido original de los mismos, para que les sea más fácil su comprensión. Definición 11. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que uno recto. Definición 12. Un ángulo agudo es un ángulo menor que uno recto. Definición 13. Un límite es lo que constituye un extremo de alguna cosa. Definición 14. Una figura es lo que está contenido en un límite o en varios límites. Definición 15. Un círculo es una figura plana contenida en una línea tal que todas las rectas que van desde un punto particular, contenido en la figura, hasta puntos de esta figura, son iguales. Definición 16. El punto particular (de la definición 15) se llama centro del círculo. Definición 17. Un diámetro de un círculo es una recta que pasa por su centro y termina, en ambos sentidos, en la circunferencia del círculo. Dicha recta biseca además al círculo. Definición 18. Un semicírculo es la figura comprendida entre un diámetro y la parte de la circunferencia que éste secciona. El centro del semicírculo es el mismo que el del círculo. Definición 19. Figuras rectilíneas son las que están comprendidas entre rectas, figuras trilaterales las comprendidas entre tres, cuadrilaterales las comprendidas entre cuatro y multilaterales (o polígonos) las comprendidas por más de cuatro rectas. Definición 20. De las figuras trilaterales, un triángulo equilátero es aquel cuyos tres lados son iguales; un triángulo isósceles el que tiene dos lados iguales y un triángulo escaleno el que tiene sus tres lados desiguales. Definición 21. Además, de las figuras trilaterales, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, un triángulo obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso y un triángulo acutángulo el que tiene sus tres ángulos agudos. Definición 22. De las figuras cuadrilaterales, cuadrado es la que es equilátera y sus ángulos son rectos; un cuadrilongo es la que tiene todos sus ángulos rectos pero no es equilátera; rombo es la equilátera, pero sin ángulos rectos; y un romboide la que tiene sus lados y ángulos opuestos iguales unos a otros, pero no es equilátera ni tiene ángulos rectos. Los cuadriláteros distintos de los anteriores se llaman trapecios. Definición 23. Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongándolas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan en ninguno de los sentidos. Se incluyen también cinco postulados y cinco nociones comunes. Aristóteles hacia la distinción entre las nociones comunes como verdades aplicables a cualquier ciencia, mientras que los postulados solamente a la geometría, e incluso afirmaba que no se precisa la certeza de que los postulados fueran verdaderos, y que su veracidad se comprobaría al confrontar con la realidad los resultados de ellos deducidos. No tenemos es claro si Euclides compartía el punto de vista de Aristóteles con respecto a la veracidad de los postulados. No obstante al menos hasta el surgimiento de las geometrías no euclidianas, tanto los postulados como las nociones comunes fueron en general aceptados como verdaderos. Postulados Postulado 1. (Es posible) trazar una recta de un punto a otro. Postulado 2. (Es posible) prolongar continuamente una recta finita a una recta. Postulado 3. (Es posible) trazar una circunferencia con un centro y una distancia. Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Postulado 5. Si una recta que corta a otras dos forma, del mismo lado, ángulos interiores que sumados sean menores que dos rectos, al prolongar indefinidamente las dos rectas, éstas se cortan del lado en que dicha suma de ángulos es menor que dos rectos. Nociones Comunes Noción común 1. Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí. Noción común 2. Si a cantidades iguales se suman otras también iguales, los totales son iguales. Noción común 3. Si se restan cantidades iguales de otras también iguales, los residuos serán iguales. Noción común 4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. Noción común 5. El todo es mayor que una parte. Las 48 proposiciones se pueden dividir en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos. De la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo es dos ángulos rectos. De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, triángulos, cuadrados, del Teorema de Pitágoras y su inverso. Proposiciones Proposición 1. (Es posible) dada una recta finita, construir un triángulo equilátero. Proposición 2. (Es posible) colocar a partir de un punto dado (como extremo) una recta igual a otra dada. Proposición 3. (Es posible) dadas dos rectas desiguales, cortar o separar de la mayor una recta igual a la menor. Proposición 4. Si dos triángulos tienen dos lados de uno iguales respectivamente a dos del otro, y los ángulos comprendidos por dichas parejas son iguales, también tendrán las bases iguales, los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales. Proposición 5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí. Proposición 6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también serán iguales uno al otro. Proposición 7. No se podrán levantar sobre los extremos de la misma recta y del mismo lado de ella, otras dos parejas de rectas iguales respectivamente, de modo que se corten en dos puntos distintos. Proposición 8. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen la base igual, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por los lados iguales. Proposición 9. (Es posible) bisecar un ángulo rectilíneo dado. Proposición 10. (Es posible) bisecar un segmento dado. Proposición 11. (Es posible) trazar una recta perpendicular a un segmento dado desde un punto del mismo segmento. Proposición 12. (Es posible) trazar una recta perpendicular a una recta por un punto exterior a ella. Proposición 13. Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, o bien formará dos ángulos rectos o bien dos ángulos iguales a dos ángulos rectos. Proposición 14. Si dos rectas forman con una recta cualquiera y en un punto de ella ángulos adyacentes iguales a dos rectos y no están en el mismo lado de ella, ambas rectas estarán en línea recta. Proposición 15. Dos rectas que se cortan una a la otra producen ángulos opuestos iguales. Corolario. Si dos rectas se cortan una a la otra, producen en la intersección ángulos que suman cuatro ángulos rectos. Proposición 16. En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que cualquiera de los ángulos interiores y opuestos. Proposición 17. En cualquier triángulo, la suma de cualesquiera dos ángulos es menor que dos ángulos rectos. Proposición 18. En cualquier triángulo, el ángulo más grande es el opuesto al lado mayor. Proposición 19. En cualquier triángulo, el lado más grande es el opuesto al ángulo mayor. Proposición 20. En cualquier triángulo la suma de cualesquiera dos lados es mayor que el tercero. Proposición 21. Si de los extremos de uno de los lados de un triángulo se construyen dos segmentos que se encuentren dentro del triángulo, entonces la suma de los lados construidos es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo, pero los segmentos construidos comprenden un ángulo mayor que el comprendido por los dos lados. Proposición 22. (Es posible) construir un triángulo con tres lados que son iguales a tres segmentos dados. Pero es necesario que dos de los segmentos tomados juntos de cualquier manera sean mayores que el restante. Proposición 23. (Es posible) construir sobre una recta dada y en un punto sobre ella, un ángulo rectilíneo igual a un ángulo rectilíneo dado. Proposición 24. Si dos triángulos tienen iguales dos lados, pero el ángulo comprendido en uno de ellos es mayor que el del otro, la base también será mayor. Proposición 25. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, pero la base es mayor en uno que en otro, entonces el ángulo comprendido es también mayor en uno que en el otro. Proposición 26. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, y uno de los lados, el que une los dos ángulos iguales o el opuesto a uno de los ángulos iguales, entonces los lados que quedan son iguales y el ángulo restante es igual. Proposición 27. Si una recta al cortar dos rectas forma ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí. Proposición 28. Si al cortar una recta a otras dos rectas, el ángulo externo que se forma es igual al interno y opuesto que se forma del mismo lado, o los dos ángulos internos que se forman del mismo lado son iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí. Proposición 29. Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado igual a dos rectos. Proposición 30. Las rectas paralelas a una recta dada son también paralelas entre sí. Proposición 31. (Es posible) construir una recta paralela a una dada por un punto dado. Proposición 32. En cualquier triángulo, si uno de los lados se prolonga, el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores y opuestos, y la suma de los tres ángulos del triángulo es de dos ángulos rectos. Proposición 33. Los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos en la misma dirección son también iguales y paralelos. Proposición 34. Los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales uno al otro y la diagonal biseca el área. Proposición 35. Los paralelogramos que están sobre la misma base y están contenidos entre las mismas paralelas, son iguales. Proposición 36. Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí. Proposición 37. Los triángulos que están sobre bases iguales y contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí. Proposición 38. Triángulos que están en bases iguales y contenidos entre paralelas, son iguales entre sí. Proposición 39. Triángulos iguales que están sobre la misma base y en el mismo lado, están también entre las mismas paralelas. Proposición 40. Triángulos iguales que están sobre bases iguales y en el mismo lado, están contenidos también entre las mismas paralelas. Proposición 41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo. Proposición 42. Construir en un ángulo rectilíneo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado. Proposición 43. En cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos situados en torno a la diagonal son iguales entre sí. Proposición 44. Dado un segmento construir con un ángulo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado. Proposición 45. Construir un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada con un ángulo rectilíneo dado. Proposición 46. Construir un cuadrado sobre un segmento dado. Proposición 47. En los triángulos rectángulos el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados que comprenden el ángulo recto. Proposición 48. Si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los dos lados restantes, el ángulo comprendido por los dos lados restantes del triángulo es recto.
