CUARTO TRABAJO VERANO MATEMÁTICAS 4º E

TRABAJO
TRABAJO VERANO MATEMÁTICAS
4º E.S.O
El/la Alumno/a……………………………………………………………………………………………………..

Debe entregar un cuaderno con las tareas realizadas, el día del examen

Es necesario copiar el enunciado y resolver los ejercicios o problemas, paso a
paso, hasta llegar al resultado final

Es importante y se valorará la presentación y el orden

La puntuación del trabajo será cómo máximo de 1,5 puntos

Día del examen
de septiembre a las
Madrid Junio de 2013
Felices vacaciones y trabajad las actividades propuestas
MATEMÁTICAS. Actividades de verano 4º E.S.O.
Tema 1: Números reales. Tema 2: Potencias y radicales
1.
Calcula las siguiente operación  3   5   6 :  3   7 
3
2
2 
3 3
2. Aplicando las propiedades de las potencias realiza
 8
6
y expresa el resultado como
8 6
potencia de exponente positivo
3. Representa en la recta
7
utilizando el teorema de Tales y
3
5 utilizando Pitágoras


4. Halla la fracción de los siguientes números decimales 3,27 ; 2,3 1 y 4,6
7
518
5. Convierte en decimal las fracciones
;
20
99


6. Expresa en forma de fracción primero y después calcula 2,08  2,3
7. Reduce a una sola fracción y simplifica
4 2
1
b)   1  
3 3
3
2
2
2
6 3 7  2
c)  :
  
 3 
7 4 10  5 
9
3 2 1 1 5 2
8. Realiza la siguiente operación sacando factor común      
5 3 5 6 6 5
1 1 1 1
a)   

2 4 8 16
9. Sustituye cada signo ? por el número que corresponda:

6
?
2
a)  2   2   2   2 , b) 7 : 7  7 , c)  3
2
?
8
10. Expresa como potencia única:

2 4
 
?
  3 , d) 53
?
2 4  4 2

82
 1  4  1  3

11. Reduce a una sola potencia y calcula: a)   :    3  2 
 3   3 

1
 56
 
1
=
b)
8  53  2 3
5 2  5 3  2 0
12. De un calentador de agua, primero se gasta la mitad del agua y luego la cuarta parte de lo que
quedaba. Si todavía quedan 12 litros, ¿cuál es la capacidad del calentador?
13. Expresa en notación científica y calcula:
0,00732  0,00033
3,2  10  6
14. Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuales irracionales:
1,2;

3
; 0,6 ;
5
9
; 1 2
4
5 ; 1,22222.....;
Represéntalos en una recta y ordénalos
 3 , 6 
15. Representa en la recta los siguientes intervalos
;
 2
, 5 y exprésalos utilizando
desigualdades
16. Escribe en forma de intervalo los siguientes conjuntos y represéntalos en la recta:
A  x  R /  3  x  7; B  x  R / x  2  4 y C= x /  3  x  2


Calcula A  B  C ;
A B y A  C
17. Si aproximamos 10,467 por 10,5, ¿Qué error se comete? ¿Y si lo aproximamos por 10,4? ¿Cuál es la
mejor aproximación?
18. Obtén el error absoluto y relativo cometido al redondear o truncar 20,567 a las centésimas
19. Comprueba si los siguientes radicales son iguales pasándolos a potencias de exponente fraccionario:
a) 11
10
y
115
b) 6 612
64
y
20. Extrae fuera del radical los factores posibles:
a) 300
b)
3
48
3
21. Utilizando las propiedades de los radicales simplifica 2  25
22. Extrayendo factores de los radicales suma
23. Extrae
3
los factores
3
4
200  33 25 
que sea posible y determina los radicales que sean semejantes
16 , 3 54 , 3 250
24. Introduce los factores en el radical 23  3  2
25. Realiza las siguientes operaciones con radicales:
a) 5 2 
22 2
b) 3 75  3 12  2 27
Tema 3: Polinomios. Fracciones algebraicas
26. Dados los polinomios A( x )  3 x 2  5 x  3 ; B( x )  2 x 2  5 x  1 y C ( x)  x 3  5 x  2 Calcula:
a) 3 A( x )  2 B( x )  C ( x ) 
b) C ( x )  B( x ) 
c) Valor numérico de C cuando x 
27. Utilizándola
regla
de
Ruffini
1
2
calcula
el
cociente
y
el
resto
al
dividir
el
polinomio
P( x)  x  5 x  8 x  40 x  9 x  4 por el binomio ( x  2)
5
4
3
2
28. Factoriza el siguiente polinomio P( x)  x 4  2 x 3  3x 2  4 x  4
4
3
2
29. Determina el valor de m para que al dividir el polinomio x  x  3 x  mx  5 entre x  3 el
resto sea igual a -5
30. Utilizando las identidades notables desarrolla y simplifica:
x  42  x  2  x  2 
31. Utiliza los productos notables y la extracción de factores comunes para descomponer en factores
las siguientes expresiones:
a)
6x 2 y  9x 3 y
b)
3x 2 y  27y
c) 7 x  7 x
3
d) 3x  18x  27x
e) 8x  32x  32x
f) x  x
32. Desarrolla, utilizando el binomio de Newton, la expresión y simplifica reduciendo todo lo que puedas
3
2
6
5
4
5
3
4
2y 

 3x 
 =
3 

33. Opera y simplifica:
1 
 4
  1
a) 
- x :
+
;
2 
 x
  x
  2
1  
1  
c)  
+
.x ;
 : x 
x +1  
x + 1  
  x
x + 2 x +1 
 3
e)  2 +
 . 2 x2
x
x-2 
 x
b)
2
x+2
x -4
.
x
(x + 2 )2
d)
2
1 
x  2
.
:

2  x x+2 
Tema 4-5: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
34. Resuelve la ecuación
35. Resuelve la ecuación
2x 4  x 2  3  0
x x  1 x  13


3
2
9
36. Resuelve la ecuación
x 4  5x 2  4  0
37. Resuelve la ecuación
5x  6  4  x
 y  7  2x

5 x  10 y  5
38. Resuelve el sistema
39. Resuelve la ecuación
40. Resuelve el sistema:
41. Resuelve la ecuación
x x  1 x  13


3
2
9
xy

6


1 1 5
x  y  6

log( x  1 )  log x  1
42. Resuelve la ecuación
5 2 x1  5 x2  2500
x y  2 1
 2  2  2
 y  7  2x
 xy  6
43. Resuelve los sistemas a) 
b)  2
c) 
 2 x  3 y  5
 x  10 y  55
 2x  1  y  2  1
 3
6
x - 2y  2


x  y  17 
2
2
44. Resuelve la siguiente inecuación 4 x  2( x  3)  2  (1  x )
45. Resuelve la siguiente inecuación x  3  3 x  1
46. Resuelve las siguientes inecuaciones:
2
a)
x2  x
1  2x 2
1 
3
6
b)
2x 2
8x
 x  1  x   1
3
3
47. El cociente de una división es 3 y el resto es 5. Si el divisor disminuye en 2 unidades, el cociente
aumenta en 1 y el resto nuevo es 1. Hallar el dividendo y el divisor.
48. La suma de las 2 cifras de un número es 8. Si al número se le añade 18, el número resultante está
formado por las mismas cifras en orden inverso. Hallar el número.
49. Dos hermanos fueron a pescar. Al final del día uno dijo:”Si tú me das uno de tus peces, entonces yo
tendré el doble que tú”. El otro le respondió:”Si tú me das uno de tus peces, yo tendré el mismo
número de peces que tú”. ¿Cuántos peces tenía cada uno?
50. La edad de Susana es doble que la de Sonia. Si Susana tuviese 12 años menos y Sonia, 8 años más,
las dos tendrían la misma edad ¿cuántos años tiene cada una?
51. A Ernesto sus padres le ofrecen como premio cierta cantidad por cada sobresaliente y tres euros
menos por cada notable. Al terminar el curso obtuvo 2 sobresalientes y 4 notables, siendo el premio
de 60 euros. ¿Cuánto le dieron por cada sobresaliente?
Tema 6 Semejanza.
52. Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC si conocemos la hipotenusa c = 20 cm y el
cateto b = 12 cm.
53. Escribe las razones trigonométricas de 30º ;45º y 60º
30 0
45 0
60 0
sen
cos
tg
54. Si  es un ángulo agudo y tg  =2 ¿Cuánto valen las otras dos razones trigonométricas
55. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 y 20 cm.
Calcula la hipotenusa y los catetos del triángulo.
56. Los lados de un triángulo miden:
a= 8 cm ; b= 10 cm ; c= 12 cm .Calcula la altura sobre el lado c
57. Los lados del triángulo ABC miden: 6,5 cm, 4 cm y 5,5 cm. Si tenemos un triángulo semejante al
dado y sabemos que el lado mayor mide 11,7 cm. ¿Podrías calcular el valor de los lados que faltan?
58. Un triángulo tiene por lados 3 cm, 4cm y 5 cm. Se amplia de modo que el lado correspondiente al
pequeño, en la copia, mide 4,5 cm
a) ¿Cuál es la ampliación con la que se ha trabajado?
b) Halla los restantes lados y la razón entre sus áreas.
Tema 7: Trigonometría.
59. Calcula la distancia que hay a la base de un poste telefónico de altura 6 metros, sabiendo que el
ángulo de elevación es de 64ª
3
60. Sabiendo que un ángulo  se encuentra en el segundo cuadrante, y que sen   , determina todas
5
sus razones trigonométricas.
61. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo sabiendo que sus
catetos miden 8 y 15 cm respectivamente.
62. Calcula, con ayuda de la calculadora, el seno y el coseno de los siguientes ángulos:
25º; 65º y 155º . ¿Qué observas? ¿Pasará lo mismo cambiando 25º por otra medida cualquiera?
63. Si  es un ángulo agudo y tg  =2 ¿Cuánto valen las otras dos razones trigonométricas
64. Calcula los restantes elementos de un triángulo rectángulo ABC si conocemos el cateto b = 11 cm y
ˆ  56º
el ángulo A
Tema 8
65. Sean los vectores
 
u v 

4u 
 
5u  3v 


u  (3,5) v  (6,1) Realiza geométrica y analíticamente las siguientes operaciones
66. Dados los puntos A(3,5) y B(6,1) Calcula la distancia que existe entre ambos puntos y las coordenadas del
punto medio del segmento determinado por ellos . Ecuación de la mediatriz
67. Escribe la ecuación general de la recta en los siguientes casos y represéntalas
68. Pasa por el punto A(7,-5) y tiene pendiente

5
3
69. Pasa por el punto A(2,0) y B(0,5)
70. Escribe la ecuación de una recta que pasa por el punto A(-2,7) y es paralela a la recta y= 5x-3 Determina la
distancia entre ellas.
71. Representa los vectores
a  (3,5)
y
b  (1,4)
72. Escribe la ecuación general de la recta paralela a
a (1,-3) y b ( m ,2).
Halla el valor de m para que a
y halla gráficamente
r.3x  y  3  0
 
ab
que pasa por
 
y a b
P(-1,1)
73. Si
Calcula el ángulo formado por
y
a
b
sean perpendiculares.
y
c
siendo
c (4,2)

74. Halla las coordenadas del punto B(x,y) sabiendo que las coordenadas de A(9,4)y que el vector A B =(-5,7)
75. Halla las coordenadas de dos puntos M y N que dividen al segmento AB en tres partes iguales siendo A(3,-1) y
B(-3,2)
Tema 9: Funciones.
76. Determina los máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
representada
77. Indica el dominio y el recorrido de las funciones dadas por las siguientes gráficas.
78. Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.
79. Estudia los máximos y mínimos de las funciones dadas por las siguientes
gráficas.
Tema 10-11: Funciones polinómicas, racionales y exponenciales y logarítmicas.
3
,
2x  5
81. a) Calcula, h  g (1) , h  f x 
80. Dadas las funciones f ( x ) 
y h( x )  5x 2
82. Calcula el dominio de definición de la función
f ( x)  x 2  2 x  8
83. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(-4,9) y Q(-1,5)? ¿es creciente o
decreciente?
84. Representa la función y  (x  1) 2  2 determina el vértice , los puntos de corte con los ejes, el eje
de simetría y los intervalos de crecimiento de la función
85. Representa funciones f ( x ) 
3
,
2x  5
y h( x )  x 2  3 x  2
Estudiando su crecimiento o decrecimiento, si tiene máximos o mínimos
x
 1
86. Dada la siguiente función exponencial y    completa la tabla y representa la gráfica
 2
x
-3
 1

 2
-2
-1
0
1
2
3
x
Y= 
87. Calcula el capital que obtendríamos a los tres años y 6 meses al invertir , a interés compuesto, un
capital de 3200e a un rédito de 2,5%
88. Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla:
a)
A  ab
b)
89. Calcula , utilizando la definición de logaritmo
B
4x
3
log2 32  log2
1
1
 log2
8
8
90. Resuelve la ecuación 2 log x  log( x  6)  0
91. Resuelve la ecuación 9 x  6  3 x 1  81  0
92. Toma logaritmos en la siguiente expresión
A
x3  y  z 4
t2
93. Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones:
94. a)
log A 
1
log a  log b 
2
b) log B  log x  2 log y  1
Tema 12: Estadística.
95. Las notas de un alumno en Lengua han sido 2,3,2,7,5,4,5,7,2,7, escribe la tabla de frecuencias
representa el diagrama de barras, el polígono de frecuencias y calcula la nota media, nota modal y
nota mediana
96. Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican
diariamente a dormir. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siguiente tabla
x i : Nº de horas dedicadas a dormir 6 7 8 9 10
f i : Frecuencias absolutas
3 16 20 10 1
Hallar su diagrama y calcular la media, moda, mediana, rango y desviación típica
97. Se ha hecho una encuesta a 300 personas sobre la cantidad de dinero que llevaban
Euros
Personas
5,20
20,35
35,50
179
xi
fi
xi f i
xi 2 f i
93
28
Totales
Completa esta tabla. Representa los datos en un diagrama de sectores.Calcula media, mediana y
moda .Calcula los tres cuarteles y halla rango y desviación típica
Tema 13: Combinatoria.
98. Con las letras de la palabra PRECIO ¿cuántas palabras de tres letras con sentido o sin él podemos
formar?. ¿Cuántas de ellas empezarán por R?
99. ¿Cuántas tripulaciones de 4 remeros podemos formar con un total de 7 remeros que tiene el
equipo?
100. Las contraseñas que se utilizan en algunos correos electrónicos están formados por cuatro dígitos,
Juan ha olvidado su contraseña. Y sabe que está formada por las cifras 8, 1, 4 y 6, aunque no
101.
102.
103.
104.
recuerda el orden. Haz un diagrama de árbol y escribe todos los posibles códigos de esta
contraseña.
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6? De ellos ¿cuántos
son mayores que 540?. ¿Y cuántos son pares?
En un grupo de 20 personas hay 5 personas que hablan solo inglés, 7 personas que hablan solo
francés y el resto habla los dos idiomas. ¿De cuántas maneras podemos elegir dos personas del
grupo, de forma que siempre haya una persona que hable cada idioma?
El profesor quiere organizar un concurso por parejas en la clase. En la clase hay 14 chicos y 14
chicas y el profesor desea hacer parejas mixtas. ¿Cuántas parejas diferentes puede organizar? ¿Y
si las parejas son de cualquier tipo?
Calcula
17 
 =
2 
a) 
b) 5 ! =
c) 2x  3 y 4
105. a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los números impares?
b) ¿Cuántos de estos tienen las tres cifras distintas?
c) ¿Cuántos de ellos tienen las tres cifras distintas y acaban en 7?
d) ¿Cuántos de ellos contienen dos cincos y un 7?
106. Una fábrica de pantalones vaqueros produce dos tipos de pantalones, unos con botones y otros con
cremallera; en cuatro colores, azul, negro, blanco y verde, y tres tallas, pequeña, mediana, y
grande. Representa el proceso en un diagrama árbol y obtén el número de modelos distintos que se
fabrican
107. Cuatro amigos deciden ir al cine, pero sólo tienen dinero para dos entradas. ¿Cómo pueden
repartirse las entradas?
Tema 14: Probabilidad.
108. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas
producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del
3%, 4% y 5%.Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
109. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras y 2 verdes. Se extrae una bola de la urna
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos
a) Sacar bola blanca b) Sacar bola que no sea blanca c) Sacar bola verde o blanca.