Números Enteros. ( Recuerda: El signo “-” significa el opuesto del número

DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS.
I.E.S. “La Ería”.
Números Enteros. (ℤ)
i.-)
Recuerda:

El signo “-” significa el opuesto del número, así 5 € significa que
tengo 5 euros, y –5 € lo opuesto, es decir, debo 5 euros. De igual modo subir 5 m
significa subir esos cinco metros, y subir –5 m significaría en realidad bajarlos.
 El opuesto del opuesto de un número es el propio número, así el
opuesto del opuesto de diez es:   10  10
 Se define, (≡), el valor absoluto de un número x, y se representa por x ,
a:
x si x  0
, es decir, es el propio número si el número es positivo, y su
x 
- x si x  0
opuesto si el número es negativo. En consecuencia, el valor absoluto de un
número siempre es un número positivo.
 Se define, (≡), distancia entre dos puntos, A y B, de la recta real como:
d AB  A  B  B  A  d BA , es decir, el valor absoluto de la diferencia entre
los valores de los puntos. Así, si A = -7 y B = 5, tenemos que:
d AB  d BA   7  5   12  12  5   7  5  7
 Si A, B y C son tres puntos de la recta real, tales que A < B < C, entonces:
d AC  d AB  d BC .
 
 
   
     
 Si tenemos que realizar varias operaciones seguidas debemos de observar la je-
rarquía, o ley de prioridad operacional, de las mismas, la cual es
válida siempre, y dice:
 1º se realizarán las potencias. (Y raíces)
 2º se realizarán los productos. (Y cocientes)
 3º se realizarán las sumas. (Y las restas)
OBS.- Si queremos cambiar la jerarquía o el orden en las opera-
ciones, debemos emplear paréntesis, ya que las operaciones encerradas entre
ellos tienen prioridad sobre todas las demás, así:
2  3  5  6  5  11
2  3  5  2  8  16
NOTA: Si hay más de un nivel de paréntesis lo mejor es resolver éstos
de dentro (el más interno) hacia fuera, así:
2  3  5  2  7  5  2  3  5  2  2  2  3  10  2  2  3  5  2  8  16
OBS.- Si hay más de dos operaciones seguidas de igual nivel de
prioridad, se ejecutarán éstas según se van leyendo, es decir, de izquierda a
derecha.
Teoría básica.
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NOTA: Restar es sumar con el opuesto del número. Dividir es multiplicar por el inverso
del número. Radicar es realizar la potencia de exponente fraccionario del índice.
RECUERDA:
Para quitar paréntesis si delante de él hay un signo negativo, - , debes
cambiarle el signo a todo lo que hay dentro del mismo. Si delante hay un
signo positivo, + , el paréntesis se quita dejando todo lo de dentro como estaba.
Observa:
7  5  7  5  7  5  7  5  7  5  7  5  7  5  7  5  4  7  5
Además 7  5  7  5  7  5  7  5  7  7  7  7  5  5  5  5  4  7  4  5 , con lo
que 4  7  5  4  7  4  5
A esta propiedad se la denomina propiedad distributiva del
producto respecto de la suma.
Así, tendríamos también:
7  3  7  3  7  3  7  3  7  3  7  3  3  7  3  3  7  3  3
OBSERVA:
La propiedad distributiva nos puede ayudar mucho en nuestros cálculos mentales, así,
fíjate bien:
27  21  27  20  1  27  20  27
Realiza las operaciones 27  21 y 27  20 , ¿Cuál te ha resultado más sencilla o más fácil?.
Cuando un número finaliza en muchos ceros solemos decir que es un número redondo.
Cuando uno de nuestros factores posea muchos ceros el producto va ha resultar
más sencillo, ya que, por ejemplo:
27  200  27  2  100  27  2 100  54 100  5400
Es decir, basta con multiplicar 27 por 2 y luego añadirle los dos ceros al final.
1347  1  1000 3  100  4  10  7
Observa: 1247  1  1000 2  100  4  10  7
1357  1  1000 3  100  5  10  7
NOTA1 A esta forma de escribir un número se la denomina “escritura
polinómica” de un número.
Unidades
Decenas
Centenas
Millares
Decenas de millar
Centenas de millar
Millones
Decenas de millón
Centenas de millón
Unidades de millares
de millón(Millarda)
Decenas de millares
de millón
Centenas de millares
de millón
Billones
RECUERDA: (Sistema posicional de las cifras)
1
6
9
5
1
2
3
4
5
7
2
3
Valor posicional de las cifras: (Recuerda: cifra o dígito son los números del 0 al 9)
De los dos treses que aparecen tenemos:
Teoría básica.
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3 unidades de millón  valor 3.000.000, tres millones.
3 decenas  valor 30, treinta unidades.
De los dos doses que aparecen tenemos:
2 decenas de millón  valor 20.000.000, veinte millones.
2 centenas  valor 200, doscientas unidades.
De los dos cincos que aparecen tenemos:
5 unidades de millares de millón  valor 5.000.000.000, cinco mil millones.
5 decenas de millar  valor 50.000, cincuenta mil unidades.
Reglas de oro del cálculo matemático:
1º. Antes de operar descomponer y simplificar.
2º. Jerarquía, o ley de prioridad operacional:
 1º se realizarán las potencias. (Y raíces)
 2º se realizarán los productos. (Y cocientes)
 3º se realizarán las sumas. (Y las restas)
OBS.- Si queremos cambiar la jerarquía o el orden en las opera-
ciones, debemos emplear paréntesis, ya que las operaciones encerradas
entre ellos tienen prioridad sobre todas las demás, así:
2  3  5  6  5  11
2  3  5  2  8  16
NOTA: Si hay más de un nivel de paréntesis lo mejor es resolver éstos
de dentro (el más interno) hacia fuera, así:
2  3  5  2  7  5  2  3  5  2  2  2  3  10  2  2  3  5  2  8  16
También podemos aplicar sucesivamente la propiedad distributiva del producto respecto
de la suma.
OBS.- Si hay más de dos operaciones seguidas de igual nivel de
prioridad, se ejecutarán éstas según se van leyendo, es decir, de izquierda a derecha.
NOTA: Restar es sumar con el opuesto del número. Dividir es multiplicar por el inverso
del número. Radicar es realizar la potencia de exponente fraccionario del índice.
Ejemplos:
3  5  15  52  3  53   4  3   2   10 

  3     4  3    
 3         4       3  2  375   4    17  
15 5
 3  5  

1ªoperación
53
2ªoperación
2
2
53
 2  10 
1ªoperación
1ªoperación
3125
3 20
2ªoperación
2ªoperación
2
  
32
1237568
 
375  
 12  375  68  
  319
3ªoperación
3ªoperación
últimaoperación
2
4  17
Para hacerlo todo seguido con la calculadora, sería:
Teoría básica.
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3  [(.. 5  15  5 ..)] SHIFT  2  3  5 SHIFT  3  4   [(.. 3  2   10  ..)]
..)] =
Ejercicios:
4  3  2  18  15  6  2  4  8  1  2 
8  5  2  5  3  2 5  3 
3  4  5  7  4  1  3  4 1  2 
2
2
2
2
La ordenación de los números racionales.
−1
<
0
Negativos
<
Impropias
9

2
15
9
9

5

13

9
<
1
Positivos
<
<
Propias
9
2
7
3
11
5
9
7

2

5

3
7

<
Propias
2
2
7
7
1
1
7
7

2

5

3
7

Impropias
2
9
3
7
5
11
7
9

9

5

13
9
9
2

15
9
Las reglas básicas de ordenación se resumen en:
R1. Las positivas son mayores que las negativas:
2 2 2
2
R1.1. 


5 5 5
5
R2. En la zona positiva, las propias son menores que las impropias. En la zona negativa, las propias son mayores que las impropias.
1 3 3 1
R2.1. 0   y

0
2
3
3 2
R3. En la zona positiva, tanto con las propias como con las impropias, de las fracciones con común numerador son mayores las que menor denominador tienen.
R3.1. En la zona negativa es justo lo contrario, son mayores las que mayor denominador tienen.
R4. En la zona positiva, tanto con las propias como con las impropias, de las fracciones con común denominador son mayores las que mayor numerador tienen.
R4.1. En la zona negativa es justo lo contrario, son mayores las que menor numerador tienen.
Comparación de dos fracciones únicamente:
Teoría básica.
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U1. Si los criterios anteriores no deciden basta con establecer la proporcionalidad de
ambas y comparar los productos de medios y extremos, de modo que si el producto
de medios es mayor que el de extremos le fracción de la derecha es mayor que la
de la izquierda, en caso contrario es justo el inverso.
2
7
U1.1.
y , ¿Quién es mayor?.
3
9
2
7
 Medios 7  3  21, extremos 9  2  18 , como 21  18 , entonces la
3
9
7
2
fracción de la derecha
es mayor que la de la izquierda .
9
3
13
21
U1.2.
y
, ¿Quién es mayor?.
11 20
13
21
13 21
 11  21  231  20  13  260  
11
20
11 20
Ordenar los siguientes números en sentido creciente:
a)
3
2
;
6
b)
30
;
7
3
;
26
c) 2 ;
;
4
4
;0 ;
3
7
Teoría básica.
1
5
;
;
2
9
;
;
35
; 
7
7
7
; 2 ;
5
7
; 
3
;
5
8
4
7
3
; 
7
49
63
;
18
25
12
15
8
28
125
; 1 ;
;1;
;
;
2
10
2
;
7
3
4
6
18
;
9
21
Página.- v
;
;2
3
15
; 
11
; 
5
7
1
;
5
,
4
8
;
4
3
3
7
CFGM