Tema 1. Electrostática Tema 1. Electrostática Carga eléctrica Carga

Tema 1. Electrostática
Tema 1. Electrostática
1.1 Carga eléctrica
1.2 Fuerzas electrostáticas. Ley de Coulomb
Principio de superposición en sistemas lineales
1.3 Campo eléctrico
Objetivos:
Campo eléctrico creado por cargas puntuales
Saber calcular el campo eléctrico y el
potencial eléctrico creados por distintas
distribuciones de carga.
 Adquirir los conceptos de diferencia de
energía potencial electrostática y de
diferencia de potencial eléctrico.
Líneas de campo eléctrico

Dipolo eléctrico
1.4 Energía potencial electrostática
1.5 Potencial electrostático
Potencial electrostático producido por cargas puntuales
Superficies equipotenciales
1.6 Distribuciones continuas de carga
1.7 Flujo del campo eléctrico. Teorema de Gauss. Aplicaciones del
Teorema de Gauss al cálculo del campo eléctrico
Carga eléctrica: modelo
atómico
Carga eléctrica
La materia está formada por átomos, y éstos por un
núcleo (protones y neutrones) rodeado de electrones
Bola de plástico
frotada con piel
Bola de vidrio
frotada con seda
--------Barra de plástico
frotada con piel
q(+) =q (-)
Ámbar =ελεχτρον
●
Dos tipos: positivas y negativas.
●
Cargas iguales se repelen; cargas opuestas se
Ión -
Ión +
atraen.
●
Cuantización y
conservación de la carga
●
●
La carga eléctrica que posee un cuerpo siempre es un
múltiplo entero de la carga elemental e, es decir, la carga
está cuantizada, no pudiendo obtenerse partes más
pequeñas de esta cantidad.
La unidad de la carga en el S.I. es el culombio (C),
1 C = 1 A 1 s , [Q] = I T
(1786-1789)
F 12
La carga no se crea ni se destruye, puede fluir, cambiar
de posición, pero no puede desaparecer. Este hecho
constituye el principio de conservación de la carga:
la carga total en un sistema aislado permanece
constante.
La carga elemental, vale: e = 1,6·10-19 C
●
Ley de Coulomb
r 12
q2
q1
La fuerza que se ejercen entre dos cuerpos pequeños
cargados y separados una gran distancia en comparación a
sus dimensiones:
• Varía en razón directa a cada una de las cargas.
• Varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia.
• Se dirige a lo largo de la línea de unión de las cargas.
• Es atractiva si las cargas son opuestas, y repulsiva si las
cargas son iguales.
Ley de Coulomb
●
Cuantifica las fuerzas entre cargas eléctricas
puntuales.
F 12=k
k=
q1 q2
r 212
u r 12=
ur 12
r 12
ε 0 =8,85×10
2
C / Nm
●
F 21=k
q2
r 12
k=
2
ε0: permitividad del vacío
q1
Ley de Coulomb
ε 0=8,85×10
Fuerzas cuando
q1 y q2 son cargas
del mismo signo
●
F 21=k
r 212
q2 q1
r 221
q2
ur 12
r 12
ur 21
q1
F 21
r 221
ur 21
Fuerzas cuando
q1 y q2 son cargas
del mismo signo
q1
r 21
F 21
r 21
Principio de superposición: La fuerza total
sobre una carga q es la suma vectorial de las
fuerzas debidas a cada una de las cargas
individuales del sistema (i).
q3
F 12
r 21
q1 y q2 cargas
de distinto signo
F =∑ F i = ∑
r3
q1
i
F2
r1
i
F1
q

F
r2
q2
F3
Problema 1
Problema 1
Y
Q
d
r
-Q
Q
O
Q/2
d
r
d
Q
q2
r 21
2
C /Nm
u r 21
Fuerza ejercida por varias
cargas
(1786-1789)
es atractiva.
q1 q2
2
u r 21 =
Si q1 y q2 son cargas de signos distintos, la fuerza
F 12=k
q2 q1
1
=9,0×109 Nm2 /C2
4π ε 0
−12
u r 12
(1786-1789)
Cuantifica las fuerzas entre cargas eléctricas
puntuales.
F 12
r 12
1
=9,0×109 Nm 2 /C 2
4π ε 0
−12
●
Ley de Coulomb
(1786-1789)
-Q
O
Q/2
d
Q
X
1 qq i

u
4π ε 0 r 2i r i
Problema 2
2. Dadas cuatro cargas puntuales iguales
+q, situadas en los vértices de un cuadrado
de lado a21/2 y en reposo, hallar la fuerza
eléctrica total que las cuatro cargas
ejercerían sobre una carga q' situada en O y
la energía potencial electrostática de q' en
O.
Problema 5

F
+q
a
a 2
a
+q

F=0
O
a
a 2

Fq1
a 2
a
+q
q1 =1 C
r
q
z
u r2
Problema 5
1
α
q
a
d∣
F∣
q
=
dr
2 πε 0
r
z
2
 r 2−a2 
 r 2−a2 
a
q
y
q
a
x
●
Se define como la fuerza eléctrica por unidad de
carga positiva que actuaría sobre q0 debido a q.

d∣F∣
=0
dr
q1 =1 C
r
u r1
Campo eléctrico
1 q1 q
1 q z
q  r 2−a2

∣F∣=2
cos =
=
4 πε 0 r 2
2 πε 0 r 2 r 2 πε 0 r 3

α Fq
2 qq 1
F = F q1 F q2=
cos α j
4 πε 0 r 2
r
α
a

Fq
1 qq 1 
F q2=
u
4 πε0 r 2 r2
a 2
+q

F
1 qq 1
u
F q1=
4πε0 r 2 r1

α Fq2
−1 / 2
E
2rr 3− r 2 −a2 
r
r −3  r 2−a2 

3r 2
+
=0
−1/2 2
r =a
1/ 2
6
1/2
q
u r
+
=0
3
2
Campo eléctrico
r
q
0
F
Campo eléctrico que q
crea en el punto donde
se encuentra q0

E = F = 1 q u
q0 4πε 0 r 2 r
Campo eléctrico
Algunos campos eléctricos en la naturaleza
E (N/C)
En los cables domésticos
10-2
En las ondas de radio
10-1
En la atmósfera
102
En la luz solar
103
Bajo una nube tormentosa
104
En la descarga de un relámpago
104
En un tubo de rayos X
106
En el electrón de un átomo de hidrógeno
6·1011
En la superficie de un núcleo de uranio
2·1021
●
El campo eléctricoE ( ) modeliza el efecto que crea una
carga eléctrica de valor q en el espacio que la rodea,
independientemente de otra carga, de valor q0 y positiva,
colocada en un punto de este espacio.
Campo eléctrico
Campo eléctrico
El valor así calculado es independiente de q0, y
tan sólo depende de la carga q y de la distancia
entre el punto considerado y la carga.
Si la carga creadora del campo es negativa, el
campo eléctrico va dirigido hacia la propia carga.


1 q

u
E=
4πε0 r 2 r
E
E
q
E
E
+
E
-
[E]=M L T-3 I-1
Se mide en N/C
Campo eléctrico
●
Campo eléctrico
Cuando una carga se sitúa dentro de un campo
eléctrico, sobre ella aparece una fuerza de valor
E
q E
●
Campo eléctrico creado por n cargas puntuales: es
la suma del creado por cada una de las n cargas
 =∑ E
 =∑
E
i
 E
F=q
i
q(>0)
i
E 3 E
1
E 2
q(<0)
q2
 E
F=q
q3
q1
Problema 6
Problema 6
Ejemplo 3-1 del libro de teoría
Dadas las cargas puntuales de la
figura, calcula:
a) El campo eléctrico resultante en el
punto A(2,0) m. Aplica el principio de
superposición dibujando en el gráfico
los campos que ejerce cada carga por
separado.
b) La fuerza que actuaría sobre una
carga puntual negativa de -3 nC en A.
E
1 qi 
u
4π ε 0 r 2i r i
 =k
E
1
a)
E 2 =k
q2 = -2 µC
q2
r 22
ur =
2
q1
r 21
ur =k
1
q1
r 21
i = 9000 i N
4
C
 
−18000 2 i − j
5
5
i 1610 j N/C

E=−970
q1 = 1 µC
=
3600   N
 −2 i  j 
C
5
q2 = -2 µC
E2
A
b)
q1 = 1 µC
i1610 j=2910 i −4830 j nN
 E=−3−970

F=q
 E E
E=
1
2
A
E1
Líneas de campo eléctrico
Líneas de campo eléctrico
Se llama así a las líneas que, en cada punto del
espacio, son tangentes al vector campo eléctrico
en dicho punto.

E
E
+
-
E
http://personales.upv.es/jogomez/simula/Tema03/elefi_z.htm
Líneas de campo eléctrico
Líneas de campo eléctrico
Son líneas que comienzan en las cargas
positivas (o en el infinito), y terminan en las
cargas negativas (o en el infinito).

+
+
+
-
Líneas de campo eléctrico
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Dipolo eléctrico
●
+ + + + + + + + + +
Se denomina dipolo eléctrico a un sistema de dos
cargas iguales y de signo contrario, separadas
entre sí por una pequeña distancia.
+
q
-q
→
p
→
L
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
●
Momento dipolar:
H
p =q L
H

O
p
Momento del par de
fuerzas
●
Energía potencial
electrostática
Campo electrostático es un campo conservativo
Momento del par de fuerzas:

θ
q E
+q

d
E

q E
Q
Una fuerza es conservativa si
el trabajo total que realiza
sobre una partícula que sigue
una trayectoria cerrada y
vuelve a su posición inicial es
cero, o si el trabajo total que
realiza sobre una partícula para
ir desde un punto A a otro
punto B es independiente del
camino seguido de A a B.
B
q
→
p
A
q E
-q
En estos casos el trabajo se puede expresar como la diferencia de
valores que toma una función escalar U entre los puntos final e
inicial. La fuerza eléctrica y la fuerza gravitatoria son dos ejemplos de
fuerzas conservativas y la función escalar U es la energía potencial
electrostática en el primer caso y gravitatoria en el segundo.
E
Energía potencial
electrostática
Diferencia de potencial
electrostático
Campo electrostático es un campo conservativo
Campo electrostático es un campo conservativo
B


d
E
Q
B
UB
Julio J
UA
Potencial electrostático
E
Q
V A −V B =
A
U A −U B
q
B
VA
B
V A −V B =∫ E⋅d ℓ=∫
A

ur
A

(x,y,z) dr

dt
U A −U B
q
B
 ℓ
=∫ E⋅d
A
A
Voltio V
VA
La variación de energía potencial
por unidad de carga se denomina
diferencia
de
potencial
eléctrico V (ddp)
B
 ℓ
=∫ E⋅d
A
4 πε 0 r

 
d = dr + dt
 ℓ
U A −U B =W AB=∫ F⋅d
B
A
VB
Q
V A −V B =
A
Q

E
B

d
E
A
VB
V A −V B =

 ℓ
U A −U B =W AB=∫ F⋅d
B
A
VB
Campo electrostático es un campo conservativo
B

d
B
Potencial electrostático
Campo electrostático es un campo conservativo

 ℓ
U A −U B =W AB=∫ F⋅d
Q
La diferencia de energía potencial
electrostática U de una carga q
entre dos puntos A y B se define
como el trabajo realizado por la
fuerza eléctrica para trasladar
dicha carga de A a B.
A

d
E
A
q
B

 ℓ
U A −U B =W AB=∫ F⋅d
2
u r⋅d ℓ
U A −U B
q
B
B
A
A
V A −V B =∫ E⋅d ℓ=∫
VA
rB
=∫
rA
Q
4πε0 r
dr=
2
[ ]
Q
1
−
4πε 0 r
r
A
Q
4 πε 0 r 2
B
=−
rA
B
 ℓ
=∫ E⋅d
u r⋅d ℓ
 
Q 1 1
−
4πε 0 r B r A
Potencial electrostático
Potencial electrostático
Campo electrostático es un campo conservativo
B

 ℓ
U A −U B =W AB=∫ F⋅d

d
E
Q
V∞=0
V A −V B =
r
P
U A −U B
q
B
A

Q 1 1
V A −V B =∫ E⋅d ℓ=−
−
4
πε 0 r B r A
A
VP
Si consideramos que el potencial
eléctrico en los puntos situados a
distancia infinita de la carga Q es
cero, entonces el potencial
eléctrico en un punto P es:
V P =V P−V ∞=
U
Q
V= =
q 4πε 0 r

Problema 6
Potencial creado por n cargas puntuales:
qi
1
∑
4 0 i r i
Q
4πε 0 r
Q
4πε 0 r
Potencial electrostático
i
Qq
4πε0 r
V  r =
 ℓ
=∫ E⋅d
B
V =∑ V i =
U=
q
A
Q
●
r
Ejemplo 3-3 del libro de teoría
V1+V2+...
Dadas las cargas puntuales de la
figura, calcula:
c) El potencial eléctrico resultante en
el punto A(2,0) m y en el punto B(4,2)
m
d) La diferencia de potencial entre los
puntos A y B, VA – VB.
q2 = -2 µC
q2
q1
q3
Problema 6
c)
q1
q2

Problema 2
2. Dadas cuatro cargas puntuales iguales +q,
situadas en los vértices de un cuadrado de lado
a21/2 y en reposo, hallar la fuerza eléctrica total
que las cuatro cargas ejercerían sobre una
carga q' situada en O y la energía potencial
electrostática de q' en O.

1 −2
V A =k
k
=9000 
V =−3550 V
r 1A
r 2A
2 5
V B =k
q1
r 1B
k
q2
r 2B
=9000


1
−2

V =−2353 V
20  17
q2 = -2 µC
VA – VB = -1197 V
+q
A
q
q'q
U=q'V =q' 4
=
4πε 0 a πε 0 a
a
a 2
a
+q

F=0
q1 = 1 µC
d)
A
q1 = 1 µC
a 2
O
a
+q
a 2
a
a 2
+q
Problema 6
Problema 7
Ejemplo 3-5 del libro de teoría
Dadas dos cargas puntuales q1 y q2, separadas una distancia d, calcula el
potencial electrostático y el campo eléctrico en el punto P. Considera el punto P
a la izquierda de q1, entre q1 y q2 y a la derecha de q2. Representa gráficamente
el resultado.
d
P
q2 = -2 µC
q2
O q1
x
10
X
30
A
q1 = 1 µC
E
WAB = -q(VB - VA)
WAB Fext = q(VB - VA) = -3 (1197) = -3,59 µJ
0
q1
0
q2
-10
0
50
100
150
V
Dadas las cargas puntuales de la
figura, calcula:
e) El trabajo que debe realizar una
fuerza externa para trasladar una
carga puntual negativa de -3 nC desde
A hasta B.
Et
Vt
-30
200
d
EXCEL: http://personales.upv.es/jogomez/Labvir/tratamiento.htm
Superficies
equipotenciales
Problema 8
Y
P
y
X
q2
O q1
15 V
2a
10 V
12
V =∑ V i =∑
1 qi 
u
4 πε 0 r 2i r i
2V
8
qi
a
1
4 πε 0 r i
4
q1
-10 V
—
-5
V-2 V
Y
0
0
a
+
Ex
Ey
Et
E
 =∑ E
 =∑
E
i
5V
-15 V
25
50
75
100
q2
Superficies
equipotenciales
0
10
-3 0
30
30
20
10
10
10
0
0
30
-5 0
-4 0
-1 0
30
20
10
30
+
-3 0
-3 0
-4 0
-1 0
20
20
10
-3 0
-3 0
-1 0
0
10
10
-2 0
-1 0
0
-4 0
-5 0
-3
-6 0
-5 0
-6 0
-6 0
20
-5 0
-3 0
-1 0
-4 0
-5 0
-5 0
-1 0
0
-4 0
-5 0
-6 0
-6 0
-6 0
-3 0
-4 0
-4 0
-3 0
-1 0
-2 0
Líneas de campo y
superficies equipotenciales
-3 0
-3 0
Líneas de campo y
superficies equipotenciales
Distribuciones continuas
de carga
q
Distribuciones continuas
de carga
q
q
r i
u
P
Distribuciones continuas
de carga
q 0
q
P
ri
r i
u
1
q

E=
u
∑
4 0 i r 2i ri
V=
1
dq 

E=
u
∫
4 0 q r 2i r i
1
q
∑
4 0 i r i
V=
Distribuciones continuas
de carga
Carga distribuida sobre una línea:
λ
Carga distribuida sobre una superficie:

dq
dl
dq
σ: densidad superficial de carga
σ=
+
σ
dS
+
+
V=
1
λdl
∫
4pe0 L r
1
λ dl

u
E=
∫
4π ε 0 L r 2 r
1
dq
∫
4 0 q r i
Distribuciones continuas
de carga

λ: densidad lineal de cargaλ=
P
ri
+
V=
1
σ dS
∫
4π ε 0 S r
1
σ dS

u
E=
∫
4π ε 0 S r 2 r
Distribuciones continuas
de carga
Distribución lineal de
carga
Campo eléctrico creado por una distribución lineal de carga
Carga distribuida sobre un volumen:

ρ: densidad volumétrica de carga
ρ=
dq
dV
ρ
1
ρ dV

u
E=
∫
4π ε 0 V r 2 r
V=
1
ρ dV
∫
4pe0 V r
http://www.fis.upv.es/~jmmesegu/proyecto%20excel/densidad%20lineal%20de%20carga.xls
Flujo del campo eléctrico
Teorema de Gauss
●
S
E
d S
E  x , y , z
El flujo del campo eléctrico a través de una
superficie cerrada S cualquiera es igual a la carga
total encerrada en la superficie dividida por ε0 .
Φsupcerrada=
 S
dΦ= E⋅d

Qencerrada
 S= ∑
∫ E⋅d
ε
ε0
s
Q
F
 S
Φ=∫ E⋅d
dS
Q enc
S c e rra d a
Teorema de Gauss
S3
S1
+q
Φ 1> 0
Φ 2< 0
S2
-q
0
Qencerrada=∑ Q Carga encerrada
s
Teorema de Gauss
Q
+q
-q
Φ 3= 0
Teorema de Gauss
Teorema de Gauss
1.7
●
Sea una superficie esférica,
con una carga q en su centro
E
El flujo elemental del campo
eléctrico creado por q a
través de un dS será:
d S

+q
-q
S4
q
 S
d =E⋅d
r
Φ 4= 0
Teorema de Gauss
Pero el campo eléctrico creado por q en cualquier punto
de la superficie es:
1 q
u
E =
4 πε0 r 2 r
y
Φ=
Por tanto:
 S=
 ∫ k q dS=k q ∫ dS= q
=∫ d =∫ E⋅d
2
ε0
r2 S
S
S
S r
ρ=
a
ε0
carga
⇒ carga=ρ×volumen=ρa3
volumen
Φ=
4πr 2
ρa3
ε0
Este resultado es generalizable para cualquier
superficie cerrada.
Cálculo de E mediante el
teorema de Gauss
• b) El vector campo eléctrico sea paralelo al vector
superficie en cualquiera de sus puntos
Simetría axial:

E
S
r
λ
De este modo:

 S=∫ EdS=E ∫ dS=ES=
∫ E⋅d
S
S
S
Qint
ε0

dS
+
• a) El módulo del campo eléctrico tenga el mismo
valor en todos sus puntos
●
+
Para que el cálculo del flujo de E sea sencillo, es
necesario que la superficie cerrada elegida
cumpla dos condiciones:

Teorema de Gauss
+

2a
Qenc
+

d S∣∣u r
10. Sea un cubo de arista a y densidad
volumétrica de carga ρ uniforme, situado en el
vacío. Se le rodea de una superficie esférica de
radio 2a. Determina el flujo del campo eléctrico
a través de la esfera.
+
●
Problema 10
L
Teorema de Gauss
●
Teorema de Gauss
E
Simetría plana
●
Simetría esférica
E
S
+
+
+
+
+
+

+
d
S
++
+
+
+
+
+
+ + + + +
++
+
+
+ +
+
+
E
R
+
Sint
r
+
+
r
Sext
E
Problema 12
Problema 12
La figura muestra una porción de una línea infinita de carga cuya
densidad lineal de carga λ es constante. Calcula la intensidad de campo
eléctrico creado por la línea infinita en el punto P a una distancia y de la
línea.
E
 S= ∫ EdS=ES
Φ=∫ E⋅d
Lat
S
Φ=
Qencerrada
P
y
λ
Lat
E=
ε0
=
λL
ε0
d S
d S
λ
2πε 0 y
E
y
L
Problema 11
Problema 11
Aplica el teorema de Gauss para deducir la expresión del campo
eléctrico creado por un plano infinito cargado con densidad
superficial de carga σ.
E
E
P
d S
z
d S
P
z
L=2z
σ
σ
λ
Carga puntual
Distribución esférica
Problema 14
14. La figura muestra una porción de un
cilindro de longitud infinita y radio R,
cargado
uniformemente
con
una
densidad volumétrica de carga ρ.
Calcula:
a) Campo eléctrico en el interior y en el
exterior del cilindro.
b) Diferencia de potencial entre el eje
del cilindro y su superficie.
R
R
Q
ρ
Problema 14
r < R:
Problema 14
 S
Φ= ∫ E⋅d
ρ
SG

dS
1
 S=
 ∫ E⋅d
 S∫ E⋅d
 S∫ E⋅d S=∫ E dS
Φ= ∫ E⋅d
SG
B
B
1
SL
2
E
SL
SL
R
Φ=
E
Qint
ε0
E
Φ=E2πrL
2
ρπr L
Φ=
ε0
⇒ E2πrL=
Φ=
L
SL
Φ=
Φ =E2πrL
r

dS
SL
Φ=∫ E dS=E ∫ dS=ES SL=E2πrL
ρ
r > R:

dS
2
ρπr 2 L
ρr
⇒ E=
 N/C
ε0
2ε0
R
R
0
R
R
V R−V 0=−∫ E dr=−∫
0
0
0
R
ρr
−ρ
−ρ r 2 R −ρR2
dr= ∫ r dr=
∣=
V 
2ε0 2ε0 0
2ε 0 2 0 4ε0
ε0
L
E
2
=
ρV ρπR L
=
ε0
ε0
E

dS
2
Problema 15
R
 r =−∫ E dr
V R −V 0=−∫ E⋅d
r

dS
SL
Qint
}
R
0
ε0

dS
1
Φ =E2πrL
ρπR2 L
ρR2
⇒ E=
(N/C)
ρπR 2L ⇒E2πrL=
ε0
2ε 0 r
Φ=
ε0
Problema 14
 r
V R −V 0=−∫ E⋅d
Qint
E
R
La figura muestra una porción de un cilindro de longitud
infinita y radio R, cargado uniformemente con una densidad
superficial de carga σ.
Calcula:
a) Campo eléctrico en el interior y en el exterior del cilindro.
b) Diferencia de potencial entre el eje del cilindro y su
superficie.
Compara los resultados con los resultados obtenidos en el
problema 3-15 realizando una gráfica en la que se observe la
variación del campo eléctrico con la distancia al eje del
cilindro. Idem con el potencial electrostático.
c) ¿qué ocurre si intentas calcular el potencial electrostático
creado por la distribución dada en un punto concreto, si
supones que el potencial en el infinito es nulo?
Problema 15
r < R:
Problema 15
 S
Φ= ∫ E⋅d
σ
SG
E
 S=
 ∫
 ∫ E⋅d
 
 
Φ =∫ E⋅d
E⋅d S
S∫ E⋅d
S =∫ E dS
B
SG
B
1
SL
2
SL
r > R:
R
Φ=E2πrL
r
Φ=

dS
SL
Φ =∫ E dS=E ∫ dS=ES SL=E2πrL
SL

dS
1
SL
Φ=
E
ε0
}
Φ=E2πrL
σ2πRL
σR
⇒E=
(N/C)
σ2πRL ⇒ E2πrL=
ε0
ε0 r
ε0
Φ=
R
 r =0
V R −V 0=−∫ E⋅d
0
r < R:
2
ρR
2ε0 r
2
Q=ρπ R L=σ2π RL ⇒ σ =ρR/2
r > R:
 r =−∫ σR dr =− σR ln r K '
V  r =−∫ E⋅d
1
ε0 r
ε0
 r =K
V r =−∫ E⋅d
1
−
E
σR
σR
lnRK 1 '=K 1 ⇒ K 1 '=K 1 
ln R
ε0
ε0
V  r =
Problema 15
r < R:
 r =−∫
V  r =−∫ E⋅d
Problema 15
r > R:
ρr
ρr 2
dr =−
K
2ε0
4ε0 2
• c) No se puede establecer el criterio
de potencial nulo para r  ∞ puesto que
 r =−∫
V  r =−∫ E⋅d
ρR2
ρR2
dr =−
lnr K 2 '
2ε0 r
2ε0
ρR2
ρR2
ρR 2 ρR2
−
K 2= −
lnRK 2 ' ⇒ K 2 '=−

K 2
4ε0
2ε0
4ε0 2ε0
V
V  r =
R
r

σR
R
ln
K 1
ε0
r
r
R

dS
2
Problema 15
σR
E=
ε0r
E=
L
E
r > R:
ρr
E=
2ε0
r
E

Problema 15
E =0

dS
1

dS
SL
σS σ2πRL
Φ=
=
=
ε0
ε0
ε0

dS
2
Φ =E2πrL=0⇒E=0
r < R:
E
ε0
Qint
E
Qint
Q int
L
R
σ

ρR2
R ρR2
ln
−
K
2ε0
r
4ε0
lim ln
r ∞

R
=−∞
r