TALLER CALCULO I Profesor: Diego Armando Sierra Ramirez

TALLER CALCULO I
Profesor: Diego Armando Sierra Ramirez
Nombres: _____________________________ Carrera: _____________ Cod:_____________
ALGEBRA BASICA
Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo
Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y están afectadas
por el mismo exponente.
Procedimiento
Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los
coeficientes de todos los términos y se antepone, al coeficiente total, el
mismo signo que comparten, y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplos:
Reducir:
1. x + 2x.
Solución:
El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 1 y 2. La parte
literal igual en todos los términos es x. POR LO TANTO 1 + 2 = 3;  x + 2x = 3x.
2. 8a + 9a
Solución:
El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 8 y 9.
La parte literal igual en todos los términos es a.
Y
8 + 9 = 17;
8a + 9a = 17a.
3. 11b + 9b
Solución:
El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 11 y 9.
La parte literal igual en todos los términos es b.
Y
11 + 9 = 20;
11b + 9a = 20b.
Ejemplo suplementario (Ejercicio Algebra de Baldor)
Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos
Procedimiento
Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y
con signos distintos, se procede así:
1) Se reducen a un solo término todos los positivos.
2) Se reducen a un solo término todos los negativos.
3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos
hallados en los dos pasos anteriores.
4) El signo que precederá la diferencia hallada en el paso
anterior será el que tenga el coeficiente mayor en valor absoluto
de los términos hallados en los pasos (1) y (2).
5) Por último, se escribe la parte literal.
Ejemplos:
Reducir:
Valor numérico
Valor numérico de expresiones simples
Procedimiento
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico
2. Se efectúan las operaciones indicadas
Ejemplos:
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
Suma de polinomios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila
diferente); y de tal forma, que los términos semejantes queden en la misma
columna
3. Se reducen los términos semejantes:
a. Se suman los términos positivos
b. Se suman los términos negativos
c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b
d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número
mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se
escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Ejemplos:
Hallar la suma de:
3.
4.
Resta de polinomios
Procedimiento
1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el
sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila
y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo
cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El
sustraendo es la cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y
afectadas por el mismo exponente.
Ejemplos:
Restar:

4.
5.
Multiplicación de monomios
Procedimiento
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")
2. Se multiplican los coeficientes numéricos
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma
base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de
los exponentes de los factores"
Ejemplos:
Multiplicar
Productos notables
Cuadrado de la suma de dos cantidades
Procedimiento
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio
2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la
primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la
segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y
se multiplica el exponente de cada letra por 2
Ejemplos:
Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)
Procedimiento
1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio
2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis
(igual en ambos)
3. El segundo término será el producto de la suma de los términos
independientes por el primer término común de los paréntesis
4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes
Ejemplos:
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de
las cantidades
Procedimiento
1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador
2. Simplificamos.
Ejemplos:
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de
las cantidades
Procedimiento
1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el
numerador
2. Simplificamos.
Ejemplos:
Descomposición factorial
Factor común
Procedimiento
1. Se identifica el factor común
2. Se divide cada término del polinomio por el factor común
3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los
cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo)
Ejemplos:
Trinomio cuadrado perfecto
Definición: Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos
factores iguales.
Procedimiento
1. Se ordena el trinomio
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos
3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior
4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del
trinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un
trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal.
5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer
términos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado
al cuadrado.
Trinomio de la forma x2 + bx + c
Procedimiento
1. Se ordena el trinomio
2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio
3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el
primer término de cada uno de los paréntesis
4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo
del trinomio
5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y
tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del
segundo paréntesis
6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al
coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al
tercer término del trinomio
7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea
igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea
igual al tercer término del trinomio
8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el
segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el
segundo término del segundo paréntesis
9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus
factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los
pasos 7 y 8
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma
y se Factorizar
1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a
2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)
3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio
4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer
término de cada uno de los paréntesis
5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del
trinomio
6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer
términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis
7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente
del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del
trinomio
8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al
coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer
término del trinomio
9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo
término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del
segundo paréntesis
10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores
primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8
11. Se factorizar los paréntesis que tengan factor común
12. Se simplifica
Nota: siempre es posible eliminar el denominador.
Ejemplo:
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Al simplificar la siguiente expresión algebraica se obtiene: (Justifique su respuesta procedimental
mente)
1
1
1

4 x 3 x 2  1 2  x 4  x 2  1 2 2 x
2

1 2
 2

2
 x 1 






a )

3x 5  4 x 3
x
2
 x
1
1
2

2

b)
c)
d)
1
1. Evalúe cada polinomio para los valores dados:
a) 4x2 –x +3
x=-2
b) x2/3 –3x +5
x=3/2
c) –x2 +7
x =5
d) 4xy –8y2
x=3
y=0,5
2. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios:
a) 8x -3x+7x=
b) 3x +9y –2x –6y=
c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 =
d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =
e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c=
3. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios
a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=
b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)=
4. Dados los polinomios
A: 2b2c –3b + 6c
B: 4b - c2b + 12 b2c
C: 4 – 2c
5. Ejecute las siguientes operaciones:
a) A + B=
b) A - C=
c) B - A=
Reduce los términos semejantes, resolviendo previamente los paréntesis, cuando corresponda:
1.
7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b =
2.
35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y =
3.
24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c =
4.
8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =
5.
9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } =
6.
-( x - 2y ) -  { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } =
7.
6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
8.
8x - ( 1
9.
1
3
3
3
y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y + z ) =
2
4
5
4

 1

1
 1

9x + 3 y - 9z - 7x   y  2z   5 x  9 y  5z  3z  
 3

2
 2


Resolver los siguientes productos
1) (m+3)2
2) (5+x)2
3) (6a + b)2
4) (7x + 11)2
5) (1+ 3x2)2
6) (2x + 3y)2
7) (4m5 + 5n6)2
8) (am + an)2
9) (a – 3)2
10) (2a – 3b)2
11) (x2 – 1)2
12) (x + y)(x – y)
13) (a –x)(x + a)
14) (2a– 1)(1 + 2a)
15) (2m + 9)(2m – 9)
16) (a3 + b2)(a3 – b2)
17) (1 – 8xy)(1 + 8xy)
18) (x + y +z)(x + y – z)
19) (2a – b – c)(2a – b + c)
20) (a + 1)(a + 2)
FACTORIZACIÓN
1. Expresa como un producto de tantos factores como sea posible:
a) 3b – 6x =
c) 20u2 – 55u =
e) 6x –12y + 18=
g) 14c – 21d – 30=
i) 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =
k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq =
m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by=
ñ) 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 16ab2y2 =
p) 25a – 30ab + 15ab2 =
r) 144y2 – 256 =
b) 5x – 5 =
d) 16x – 12 =
f) 15x + 20y – 30=
h) 152x2yz – 114xyz2=
j) 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx=
l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =
n) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =
o) 4g2 + 2gh =
q) m2 – 64 =
s) 144 – 9x2=
v) 25x6 – 4y4 =
x) xy – x + 3z – 6 =
z) 15 + 5x + 3b + xb =
w) ap + aq + bm + bn=
y) x2 + xy + xz + yz=
z’) ab + a – b – 1 =
2. Expresar como un producto:
a) x2 + 6x + 8=
c) x2 + 10x – 56=
e) y2 – 7y – 30=
g) x2 – 5x – 84=
i) x2 + 7x – 120=
b) x2 – 16x + 63=
d) x2 –13x – 48 =
f) x2 – 14x + 48=
h) x2 + 27x + 180=
j) x2 –30x + 216=
3. Completar el desarrollo del cuadrado de un binomio:
a)
c)
e)
g)
x2 + 10x + .........
m2 – ......... + 36n2
......... + 42x + 49
289z2 + 340 z + ...........
b)
d)
f)
h)
y2 –18y + ...........
p2 + ............ + 64p2
.......... – 390y + 225
64x2 – 80xy + ............
4. Expresar como un cuadrado de binomio:
a) g2 + 2gh + h2 =
c) x2 + 2xy + y2 =
e) a2 – 2a + 1 =
g) 9x2 –12xy + 4y2 =
b) 225 – 30b + b2 =
d) p2 – 2pq + q2 =
f) m2 – 6m + 9=
h) 36n2 + 84pn + 49p2 =
5. Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda:
a)
48a

72ab
b)
25a 2b
=
75ab 2
c)
96m3n 2

32m4 n 3
e)
4a  4b

5a  5b
f)
3x  6 y
=
5x  10 y
g)
x 2  xy

xy  y 2
i)
24 x  18 y

44 x  33 y
j)
x 2  16
=
x 2  8 x  16
k)
9 x 2  30 x  25

6 x  10
d)
h)
3(a  b)

5(a  b)
8x  7 y

64 x 2  49 y 2
l)
x 2  25

x 2  x  20
4.
ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN
- A partir de la entrega de la guía de Algebra Básica, el estudiante genera un plan de
acción con estrategias claras para mejorar y aclarar dudas sobre los conceptos
relacionados.
- Visitar al Aula virtual http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm para fortalecer los
contenidos de la presente guía.
CRITERIO E INSTRUMENTO DE EVALUACION
5.
Desarrollo de la actividad presentada a partir de los siguientes criterios:
. Coherencia de la temática determinada.
. Participación de los estudiantes.
. Desarrollo de la prueba escrita.
. Desarrollo de guía para tiempo extra clase.
6.
BIBLIOGRAFIA
- Algebra de Baldor
1.
Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress.
p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.
•
Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press,
2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions [1] 2006, [2] 1822.
•
Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math
Monographs.
http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
Escrito
Lic. Diego Armando Sierra Ramírez
[email protected]