RESUMEN LÒGICA 1* PARCIAL DEFINICIÓN

RESUMEN LÒGICA 1* PARCIAL
DEFINICIÓN
Definición (del latín definire) significa delimitar el término, señala su alcance. En la definición se pueden
distinguir dos aspectos: el definiendum que alude a la expresión que se quiere definir, y el definiens que alude
a las expresiones por medio de las cuales se define el definiendum.
El triángulo es una figura cerrada de tres lados
DEIFIENDUM DEFINIENS
Modos de definición:
En cuanto a la definición, se puede decir, que es una definición real, cuando expresa lo que una cosa es por
sus notas características; que es una definición nominal, cuando explica el significado de un nombre; y que es
una definición lógica cuando expresa el género próximo y la diferencia específica de lo definido. Así por
ejemplo:
El triángulo es una figura geométrica de tres lados (definición real).
Epistemología es el estudio de las ciencias (definición nominal).
El hombre es un animal racional (definición lógica).
Hay una clave decisiva para conocer si estamos definiendo correctamente, y es la convertibilidad toto−total,
esta particularidad hace que en la definición el sujeto pueda convertirse en predica-do y el predicado en sujeto
sin afectar el sentido del juicio. Por cuanto si esta característica no se da, es porque no se está defi-niendo
bien. Así por ejemplo:
Se define
El cuadrado es un polígono de cuatro lados iguales.
Se obtiene por conversi6n
Un polígono de cuatro lados iguales es un cuadrado
pero si se define
El cuadrado es un polígono
no se puede convertirlo, pues
un polígono es un cuadrado.
es una expresión que no define ni determina el definiendum.
Reglas de la definición
Suelen enunciarse varias reglas de la definición a fin de que sea correcta, pero en realidad hay dos que son
fundamentales, a las cuales pueden reducirse las demás.
1
1) El definiens debe expresar los límites exactos del definiendum (la convertibilidad).
2) El definiens debe ser más claro y preciso que el definiendum.
• La definición no debe ser ni muy amplia ni muy estrecha, es decir, el definiens no debe expresar ni más ni
menos notas, que el definiendum.
El cuadrado es un polígono.
• La definición no debe expresarse en un lenguaje ambiguo, oscuro, ni metafórico:
La nieve es un manto blanco.
c) La definici6n no debe ser circular, es decir, el defi-niendum no debe estar en el definiens:
La licuadora es una máquina que sirve para licuar.
d) La definición no debe ser negativa cuando puede ser a-firmativa. E1 pizarrón no es un escritorio, salvo
algu-nas excepciones en las cuales se trata de términos, que son esencialmente negativos en su significado, y
requieren una definición negativa, por ejemplo:
huérfano designa un niño que no tiene padres vivos; calvo indica la ausencia de cabellos sobre la cabeza.
Los propósitos de una buena definición consisten en: elimi-nar la ambigüedad fijando la comprensión del
término en un contexto determinado; eliminar la vaguedad de un término, aclarando la significación del
mismo, lo cual permite decidir, si es aplicable o no en cada situación particular; además o-tro de sus
propósitos consiste en enriquecer el vocabulario de la persona para la cual se da la definición.
RAZONAMIENTO
El razonamiento argumentación es la expresión del raciocinio. El razonamiento es la tercera estructura lógica,
y así como el juicio es la relación enunciativa entre dos o más conceptos, el razonamiento es una relación
entre dos o más juicios.
El razonamiento es la estructura lógica constituida por varios juicios o proposiciones, una de las cuales se
denomina conclu-sión −consecuente− y se deriva, deduce e infiere de las otras llamadas premisas
−antecedente−. Razón por la cual es conveniente tener en cuenta dentro del razonamiento las expresiones dederivativas, que nos indican cuales son las premisas y la conclusión del razonamiento. Las expresiones tales
como: dado que, puesto que, ya que, son las que anteceden a las premisas. Y las expresiones tales como: por
lo tanto, por consiguiente, luego, son las que anteceden a la conclusión.
En cuanto al orden en que aparecen las premisas y la conclusión, pueden darse todas las posibilidades; que la
conclusión encabe-ce el razonamiento, que esté intercalado entre las premisas o que vaya al final del mismo.
En cuanto al número de premisas −una o más de dos− que componen un razonamiento, se dice que éstos son
simples o de inferencia inmediata cuando no hay juicios o proposiciones intermedias, de un juicio se concluye
otro.
Se llaman razonamientos compuestos o de inferencia mediata cuan-do entre la primer proposición y la
conclusión se incluyen una o varias proposiciones más. Las inferencias mediatas comprenden la deducción, la
inducción y la analogía.
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RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS Y NO DEDUCTIVOS
Los razonamientos en general pueden dividirse en dos grandes grupos: los deductivos y los no deductivos.
DEDUCTIVOS: se caracterizan por ser aquellos razonamientos en los cuales la conclusión se infiere con
carácter de necesidad de las premisas.
NO DEDUCTIVOS: la conclusión se infiere de las premisas con un carácter de probabilidad, y no
con necesidad.
INDUCTIVOS:
ANALOGICOS:
SILOGISMO
Se entiende por silogismo un razonamiento deductivo en su forma mas acabada. Es una estructura formada
por dos premisas y una conclusión. Los silogismos se dividen en dos grandes grupos:
* aquellos que están formados por proposiciones categóricas del tipo A, E, I, O y se denominan silogismos
categóricos.
* aquellos que tienen una proposición compuesta en una de sus premisas, éstos pueden ser de dos tipos
fundamentales: el silogismo hipotético una premisa condicional y el silogismo disyuntivo una premisa
disyuntiva.
. También está el dilema que es un silogismo hipotético disyuntivo, el cual se construye mediante dos
premisas condicionales y una disyuntiva, que si afirma las disyunción de los antecedentes permite concluir la
disyunción de los consecuentes (dilema constructivo). Si la premisa disyuntiva es la negación de la disyunción
de los consecuentes, permite concluir la disyunción de los antecedentes negados (dilema destructivo).
El silogismo categórico:
El silogismo categórico es un razonamiento deductivo en su forma acabada, compuesto de tres proposiciones
categóricas del tipo A, E, I, O.
La primera es la premisa mayor, y la segunda es la premisa menor, y la tercera es la conclusión. Estas
proposiciones contienen tres términos llamados término mayor, que es el predicado de la conclusión y se
encuentra en la premisa mayor. El término menor que es el sujeto de la conclusión y se encuentra en la
premisa menor, y el término medio que es el término que se repite en las premisas y nunca aparece en la
conclusión, dichos términos se simbolizan con las letras P, S y M respectivamente. El orden correcto del
silogismo es premisa mayor, premisa menor y conclusión. Si el silogismo no presenta dicha forma deberá ser
ordenado correctamente para efectuar su análisis.
El orden correcto de un silogismo se establece a partir de la conclusión.
Figuras y modos del silogismo:
Se denomina figura del silogismo a la forma que el silogismo tiene según la ubicación que tenga el término
medio. E1 término medio puede ser sujeto de la mayor y predicado de la menor, tal disposición es la primera
figura de silogismo. En la segunda figura el término medio es predicado de la mayor y predicado de la menor.
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En la tercera figura es sujeto de la mayor y sujeto de la menor. En la cuarta figura el término medio es
predicado de la mayor y sujeto de la menor.
1°
MP
SM
SP
BARBARA
2°
PM
SM
SP
CESARE
CAMESTRES
CELARENT FESTINO
DARII
BAROCO
FERIO
3°
MP
MS
SP
DARAPTI
FELAPTON
DATISI
DISAMIS
BOCARDO
FERISON
4°
PM
MS
SP
BAMALIP
CAMENES
DIMATIS
FESAPO
FRERISON
Las reglas del silogismo son:
1) El silogismo debe tener solo tres términos:
2) Los términos no pueden tener mayor extensión en la conclusión que en las premisas. (Un término está
tomado en su mayor extensión cuando es sujeto de una proposición universal o predicado de una negativa).
3) El término medio debe tomarse por lo menos una vez en toda su extensión.
4) El término medio no debe estar nunca en la conclusión.
5) De premisas negativas no se concluye nada.
6) De premisas particulares no se concluye nada.
7) De premisas afirmativas no se puede inferir una conclusión negativa.
8) La conclusión sigue siempre la parte más débil. La conclusión será particular si una premisa es particular; y
será negativa si una premisa es negativa.
De este modo, toda forma de silogismo que no viole ninguna de es-tas reglas es válido.
Pero, además de las reglas, los 19 modos válidos del silogismo, también se pueden reconocer por medio de
una lista de nombres en los cuales las vocales representan las proposiciones categóricas que conforman el
silogismo y el orden como están dispuestas en el mismo, según cada figura. Cada nombre representa una
forma válida de silogismo.
Lógica de proposiciones:
La parte de la lógica simbólica que se ocupa del cálculo de proposi-ciones o enunciados es la llamada lógica
de proposiciones o lógica proposicional. La lógica de proposiciones se ocupa de las operaciones entre
proposiciones, sin tener en cuenta la estructura interna de las mismas. Las proposiciones lógicas son
expresiones que cumplen con una función informativa, de la cual se puede decir, que sean verdaderas o falsas.
Toda proposición lógica cumple con una función o valor de ver-dad, ya sea éste verdadero o falso. Las
proposiciones se abstraen o simbolizan mediante las letras proposicionales tales comos p, q, r, e, ...y las
mismas con subíndices de ser necesario. Así por ejemplo:
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La lógica es una ciencia formal. P
Las proposiciones:
Las proposiciones, según la lógica proposicional, pueden ser simples o atómicas, y compuestas o moleculares.
Las proposiciones simples o atómicas son aquellas proposiciones que no admiten dentro de si, más que una
sola proposición, así por ejemplo:
La aritmética, el álgebra y la geometría comparten las matemáticas.
Juan, Pedro y María son hermanos.
En cada uno de estos casos, se trata de una sola proposición, pues y no cumple con la función de unir o de
conjunción, sino que cumple con la función de relacionar, como se verá más adelante en la lógica de
predicados. Razón por la cual éstos ejemplos se simbolizan con la le-tra 'p'. En cambio si decimos:
(1) La aritmética, el álgebra y la geometría son disciplinas matemáticas
Se trata de una proposición compuesta por tres proposiciones tales como:
La aritmética es una disciplina matemática. p
(2) El álgebra es una disciplina matemática. q
La geometría es una disciplina matemática r
Y la simbolización correspondiente a las mismas será mediante las le-tras proposicionales p, q, r,
respectivamente en (2), con lo cual la simbolización correspondiente en (1) es p. q. r
En este ejemplo (1) y cumple con la función de unir o nexo conjuntivo de las tres proposiciones.
Las proposiciones compuestas o moleculares son proposiciones que admiten dentro de sí, dos o más
proposiciones; o también, las proposiciones moleculares son aquellas compuestas por dos o más
proposiciones atómicas, relacionadas entre sí mediante expresiones lingüísticas llamadas conectivas. En el
ejemplo último dado, la conectiva que se ha utilizado es la conjunción. Las proposiciones moleculares pueden
ser extensionales o no extensionales.
Las proposiciones extensionales son aquellas proposiciones molecula-res que cumplen con una función o
valor de verdad (verdadero o falso)
Función o valor de verdad: de una proposición, es la condición de una proposición de ser verdadera o falsa.
El valor de verdad o falsedad de una proposición atómica se determina a partir de la experien-cia. El valor de
verdad o falsedad de las proposiciones moleculares se determina a partir de la combinación de los valores de
verdad o de falsedad de las proposiciones atómicas que componen dicha proposición molecular. El
procedimiento a través del cual se determina el valor de verdad de las proposiciones se denomina, como
veremos luego, las tablas de verdad. Así por ejemplo:
valor de verdad
La lógica es un lenguaje formalizado. p verdadera
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La aritmética y la geometría son ciencias formales. p. q. verdadera
Las proposiciones no extensionales, son proposiciones que no cumplen con una función o valor de verdad. Es
decir, son aquellas proposiciones de las cuales no podemos determinar su valor de verdad, verdadero o falso,
razón por la cual la lógica no puede operar con ellas. Así por ejemplo:
Valor de verdad
Creo, que los duendes existen p . q ?
v?v?
Los fantasmas existen p ?
??
En el primer ejemplo se puede establecer el. valor de verdad de la primera proposición, pero no se puede
establecer el valor de verdad de la segunda, por lo cual no se puede establecer el valor de verdad de la
proposición compuesta. En el otro ejemplo, se trata de una. propo-sición atómica, de la cual tampoco se puede
establecer fácticamente su valor de verdad.
Las conectivas:
Las conectivas son expresiones lingüísticas que cumplen con la función de relacionar las proposiciones
atómicas y construir proposiciones moleculares. Las conectivas pueden ser monádicas y diádicas o binarias
Las conectivas monádicas afectan a una sola proposición, y la única conectiva monádica es la negación, que
corresponde a la expresión lingüística no, y se simboliza de la siguiente forma: −. Así por ejemplo:
La lógica no es una ciencia fáctica. − p
(1)
Los huérfanos no tienen los padres vivos − p
No es cierto que Juan y Pedro sean hermanos. −p (2)
No es cierto que Juan y Pedro son buenos. −(p.q.) (3)
En los ejemplos (1) y (2), la negación afecta. a una sola proposición, en cambio en (3) afecta al resultado de la
conjunción de las dos pro-posiciones, que no es 1o mismo si la estructura de la proposición fuera la siguiente:
Juan no es bueno y Pedro no es bueno −p. −q
La negación consiste en invertir el valor de verdad de una proposición, es decir, la negación de una
proposición verdadera es falsa, y la ne-gación de una proposición falsa es verdadera. Otras. expresiones que
in-dican negaciones son no es el caso que, no es verdad que, etc.
Las conectivas diádicas o binarias son las expresiones que cumplen con la función de relacionar dos
proposiciones atómicas o moleculares. Los diversos tipos de proposiciones moleculares que se construyen
toman el nombre de las diversas conectivas que las hacen posibles. Las conecti-vas diádicas o binarias son:
Conjunción, Disyunción Inclusiva, Disyun-ción Exclusiva, Condicional, Bicondicional, Negación Conjunta, y
Ne-gación Alternativa.
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La negación conjunta y la negación alternativa son conectivas de uso poco frecuente, pero su interés radica en
que las otras conectivas pueden reducirse a cualquiera de ellas.
En el siguiente cuadro se especifica la simbolización, que se utiliza-rá en este texto (ya que dichos símbolos
no son los únicos disponibles a tal efecto), y las expresiones lingüísticas correspondientes a cada una de las
conectivas.
Conectivas diádicas
Conjunción
Disyunción Inclusiva
Disyunción exclusiva
Simbolización
.
v
w
Expresión lingüísticas
y, pero, sin em-bargo, aunque
y/o, a menos que
0...0, o bien...o bien
Si ... entonces
Condicional
ð
Cuando...entonces
.. sólo si
Si y solo si
Bicondicional
Negación conjunta
Negación Alternativa
/
Cuando y solo cuando
Ní...Ni
0 no...o no
A continuación veremos algunos ejemplos de la formas proposicionales compuestas que resultan de las
operaciones proposiciones, mediante las conectivas de diádicas.
Proposiciones conjuntivas:
Las proposiciones conjuntivas surgen de la unión de dos proposiciones atómicas, que se denominarán
componentes conjuntivos, y la alteración de la ubicación de los mismos no incide en la función de la
conjunción, que es unir. La condición que hace una conjunción verdadera, es que ambos componentes
conjuntivos sean verdaderos, en caso contrario la conjunción es falsa. Así por ejemplo:
Locke y Hume son representantes del empirismo inglés p . q
Los componentes conjuntivos son:
Locke es representante del empirismo inglés p
Hume es representante del empirismo inglés q
Descartes es racionalista, pero Hume es empirista p . q
Aunque Descartes es idealista, Hume es empirista p . q
Proposiciones disyuntivas:
Las proposiciones disyuntivas surgen de la inclusión o no de dos alternativas. En los dos casos de disyunción
que veremos, las proposiciones que las componen, se denominarán componentes disyuntivos, y como en el
caso de la conjunción, la alteración de la ubicación de los mismos no incide en la función de la disyunción.
Así por ejemplo en la disyunción inclusiva:
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A menos que se tomen medidas, el Riachuelo seguirá contaminado.
pvq
Las becas de investigación son para Francia y/o Alemania
pvq
Un ejemplo de disyunción exclusiva:
La tarifa aérea incluye un viaje de cabotaje o a Bariloche o a cataratas
pwq
O bien descartes es racionalista, o bien es empirista
pwq
La condición que hace una disyunción verdadera, radica en que siempre al menos uno de los componentes sea
verdadero. Solamente en la disyunción inclusiva también es verdadera cuando ambos componentes sean
verdaderos, en caso contrario es falsa.
En este texto, salvo que se aclare expresamente, se utilizará la disyunción inclusiva, en todos los casos de
disyunción que se encuentren en las operaciones entre proposiciones y/o razonamientos.
Proposiciones condicionales:
las proporciones condicionales presentan una estructura muy peculiar, en la cual los elementos (antecedentes
y consecuentes), que las componen no puedan alterar su ubicación, pues esto modificaría la función de la
misma. En las proposiciones condicionales, la ubicación de las proposiciones que la componen (antecedentes
y consecuente) se determina por la estructura misma. La única condición que hace un condicional falso, radica
en el caso de un antecedente verdadero y un consecuente falso, por cuanto será verdadero en todos los otros
casos. Así por ejemplo:
Si los pasajes se reservan con tiempo, viajaremos en primera.
Antecedente p consecuente q
pq
Viajaremos en primera, Si los pasajes se reservan con tiempo.
Consecuente p antecedente q
qp
Iremos al campo, Solo si hace buen tiempo.
antecedente consecuente
ppqq
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Cabe señalar, que este tipo de proposiciones condicionales se denominan también materiales, se caracterizan
por tener los verbos en modo indicativo. Pero hay otro tipo de proposición condicional que se denomina
contra fáctico y se caracterizan por tener verbos en modo subjuntivo, con lo cual no es posible determinar el
valor de verdad de las proposiciones que lo componen, ya que éstas refieren a situaciones que no existen. Por
lo tanto los condicionales contra fácticos exceden el ámbito de la lógica, y ésta no se ocupa de ellos. Así por
ejemplo:
Si San Martín no se hubiera muerto, seguiría vivo.
A partir de lo que hemos visto en los ejemplos de proposiciones condicionales materiales, es importante tener
en cuenta que: si bien la asignación de las letras proposicionales es arbitraria, en la simbolización de las
proposiciones, sin embargo es conveniente seguir un orden determinado. Por lo tanto se sugiere que la
adjudicación de las letras siga la secuencia de las mismas: p, q, r, s, t y en función del orden en que vayan
apareciendo las proposiciones, una vez simbolizadas las proposiciones, se procede a abstraer la forma
proposicional según lo indique la conectiva en cuestión. Así por ejemplo:
Descartes es idealista, si Locke es realista y Hume es realista.
Pqr
(q. r) p (1)
Según Kant, si la intuición se constituye de materia y de forma,
pq
entonces la materia es la sensación y la forma es Espacio − tiempo.
rs
(p . q) (r . s) (2)
En la simbolización correspondiente a las formas proposicionales compuestas, se utilizan los signos de
puntuación tales como el paréntesis, corchete y llave, en el mismo sentido con que operan en las matemáticas,
es decir, determinan el alcance de una operación, en este caso la operación, que se lleva a cabo por una
conectiva.
En el ejemplo (1), el si indica el antecedente de la construcción principal que es el condicional, dicho
antecedente, es a su vez una proposición compuesta conjuntiva, por lo tanto, el paréntesis nos indica el
alcance de la conjunción y a su vez, el antecedente del condicional.
En el ejemplo (2), el si nos indica el antecedente − proposición conjuntiva − y el entonces nos indica el
consecuente − proposición conjuntiva− en cada uno de ellos el paréntesis indica el alcance de la conjunción
respectiva, y además determina el antecedente por un lado, y el consecuente del condicional, por el otro.
Otro aspecto que se debe tener en cuenta en la simbolización, es que cuando una proposición atómica se
repite, también debe repetirse la letra proposicional adjudicada en la simbolización de la misma. Así por
ejemplo:
O Descartes es idealista, o Descartes no es idealista.
p −p
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p w −p
Proposiciones Bicondicionales:
Las proposiciones bicondicionales son las proposiciones construidas por la equivalencia ( o mutua
implicación) entre las proposiciones que la componen. Los componentes del bicondicional se denominan:
Componente izquierdo y componente derecho. Un bicondicional es un condicional doble, esto quiere decir,
que la proposición bicondicional p = q, es equivalente a la conjunción de dos condicionales, donde el
antecedente del primero es consecuente del segundo, y el consecuente del primero es antecedente del segundo.
La condición que hace una proposición bicondicional, verdadera, es que ambos componentes tengan el mismo
valor de verdad, ya sea éste verdadero, o falso. Así por ejemplo:
Ingresa a la facultad si y solo si aprueba el ciclo básico
Componente izquierdo componente derecho
Pq
Pq
Bicondicional o doble implicación:
Si ingresa a la facultad, aprobó el ciclo básico. Y si aprueba el ciclo básico, ingresa a la facultad
Pqqp
(p q) . ( q p)
Así como en las proposiciones condicionales vimos que hay casos de condicionales contra fácticos, en las
proposiciones bicondicionales también se dan las bicondicionales contra fácticas como por ejemplo:
Habría alcanzado el triunfo si y solo si se hubiera esforzado.
La lógica solo se interesa por las proposiciones bicondicionales materiales, y no se ocupa de las
bicondicionales contra fácticas pues de éstas no es posible determinar su valor de verdad.
Negación conjunta:
Las proposiciones llamadas negación conjunta relacionan dos proposiciones simples cuyo significado
equivale al de −p.−q. La condición que hace una negación conjunta verdadera, radica en que ambas sean
falsas. Así por ejemplo:
Ni 2+2 = 3, ni 3+3=5 2+2 no es03 y 3+3 no es = 5
Pqpq
P q −p.−q
Negación alternativa:
Las proposiciones llamadas negación es equivalente a la forma −p v−q. La condición que hace una negación
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alternativa falsa, radica en que ambas sean verdaderas. Así por ejemplo:
0 no estaba abierto, o no querían trabajar
−p −q
p/q
Tablas de verdad
Se denomina al procedimiento a través del cual es posible determinar la función o valor de verdad de una
proposición, ya sea ésta atómica o molecular. Quiere decir, que mediante las tablas de verdad será posible
definir la función de verdad en cada una de las diferentes formas proposicionales compuestas que se han visto.
La construcción de las tablas de verdad responde a la siguiente fórmula:
n indica el número de proposiciones con las que se opera.
= indica el número de todas las posibles combinaciones o filas, entre los valores de verdad, de las
proposiciones que intervienen en la operación.
2 indica los valores de verdad verdadero − falso.
El procedimiento de las tablas de verdad se lleva a cabo de la siguiente manera:1) dada la/s proposiciones, se
procede a simbolizar/las. Así por ejemplo:
Kant escribió la Crítica de la Razón Pura y la Crítica de la Razón Práctica.
P.q
• Luego se procede a adjudicar en columnas, los valores de verdad correspondientes, debajo de cada letra
proposicional, completando las filas que resulten de la fórmula dada. En este caso:
2= 4 filas
p.q
vv
fv
vf
ff
En la adjudicación de los valores de verdad, conviene seguir un orden lógico predeterminado, para que la
construcción se realice de un modo organizado. En este sentido se adjudicará a la primera proposición p los
valores de verdad (v−f) en forma alternada de uno en uno, a la segunda proposición q alternando los valores
de verdad de dos en dos, a la tercera proposición r alternando los valores de cuatro en cuatro y así
sucesivamente se seguirá esta secuencia, en la medida en que se vayan incorporando más letras
proposicionales en la operación.
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P
V
F
q
v
v
f
f
r
v
v
v
v
f
f
f
f
s
v
v
v
v
v
v
v
v
f
f
f
f
f
f
f
f
Quiere decir que a medida que se incorpore una proposición, se completarán las posibilidades de combinación
entre sus valores de verdad, siguiendo la forma alternada de los mismos según corresponda. Además cabe
señalar, que en una forma proposicional compuesta, cada letra proposicional que se repita, le corresponderá la
misma columna de valores que la primera. Así por ejemplo:
22 = 4 filas [ p . ( q . p )] v − q
vvvv
fvfv
vfvf
ffff
• A partir de aquí se resuelve la tabla de verdad operando de acuerdo a la función que rige la conectiva en
cada caso. En la operación entre proposiciones también rige un orden, primero se resuelven las conectivas
de menor alcance, es decir, las conectivas que relacionan o afectan al menor número de letras
proposicionales, y luego las conectivas de mayor alcance, hasta llegar a la conectiva principal, la cual
proporcionará el resultado final de la operación realizada.
Teniendo en cuenta las condiciones que hacen verdadera la función de cada conectiva, seguimos con la
operación en el ejemplo anterior:
En (1) se resuelve la conectiva de menor alcance, que aquí es la negación ya que afecta solo a q
[ p .(q . p)] v −q (1)
vvvfv
fvffv
12
vfvvf
fffvf
Los signos de puntuación nos indican que la conectiva de menor alcance siguiente es la conjunción encerrada
entre paréntesis, lo que se realiza en (2)
[p .(q .p)] v − q (2)
vvvvfv
fvfffv
vffvvf
ffffvf
Luego le sigue en orden la conjunción del corchete, que une p con el resultado de la conjunción del paréntesis,
como se realiza en (3)
[ p. (q.p)] v −q (3)
vvvvvfv
ffvfffv
vfffvvf
fffffvf
Finalmente se resuelve la conectiva principal, que es la disyunción entre el resultado de la conjunción del
corchete con la negación de los valores de verdad de q que se realiza en (4)
[p . (q.p)] v −q (4)
vvvvvvfv
ffvffffv
vfffvvvf
fffffvvf
Realizaremos todo el procedimiento de las tablas de verdad en el siguiente ejemplo:
[−(p . q ) v p ] . q 22 = 4 filas
fvvvvvvv
vffvvfvv
vvffvvff
13
vfffvfff
En el siguiente cuadro se representan las funciones que rigen cada conectiva, y con lo cual se definen
mediante las tablas de verdad, las funciones de verdad en cada forma proposicional compuesta.
Disyunción
Nega
Disyunción
Inclusiva
ción
−p
_
Fv
vf
Bicondi
Negaciones
cional
conj Alter
Condicional
Conjunción
exclusiva
p....q.
__..p..v.q.._.._ __.p_w..q_...... .p.ðq.. q
P <−> q
Pq
P/q
vvv
fFv
vff
fff
vvv
fvv
vvf
fff
vvv
ffv
vff
f v :f
vFv
f fv
vf f
f vf
vFv
fvv
vvf
fvf
vfv
fvv
vvf
fff
vvv
fvv
vff
fvf
La negación de una proposición verdadera es falsa, y la negación de una proposición falsa es verdadera.
La conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente cuando ambas son verdaderas, en todos los
demás casos es falsa( ya sea en el caso que una sea verdadera y la otra falsa, o cuando ambas sean falsas).
La disyunción inclusiva solamente es falsa cuando ambas proposiciones son falsas, en todos los demás casos
es verdadera (ya sea en el caso En que una sea verdadera y la otra falsa, o cuando ambas sean verdaderas).
La disyunción exclusiva solamente es verdadera cuando una proposición es verdadera y la otra es falsa, en los
demás casos es falsa (ya sea que ambas sean verdaderas o ambas sean falsas)
El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en todos los
demás casos es verdadero (ya sea antecedentes y consecuentes verdaderos, antecedentes falso y consecuente
verdadero o antecedente y consecuente falso).
El bicondicional es verdadero cuando ambos componentes tienen el mismo valor de verdad ( v−v o f−f). Y
será falso cuando uno sea verdadero y el otro falso.
La negación conjunta solamente es verdadera cuando ambos componentes son falsos en todos los demás
casos es falsa (ya sea cuando ambas son verdaderos, o cuando uno es verdadero y el otro falso).
La negación alternativa es falsa solamente cuando ambas son verdaderas, en todos los demás casos es
verdadera (ya sea cuando una es verdadera y la otra falsa, o cuando ambas sean falsas).
La definición de la función que rige cada conectiva nos permite continuar ahora con el procedimiento de las
tablas de verdad, en operaciones de mayor complejidad, como por ejemplo:
[p . ( q v r)] − ( r −p) 23 = 8 filas
vvvvvvvvffv
ffvvvvfvvvf
vvfvvvvvffv
14
fffvvvfvvvf
vvvvffffvfv
ffvvfvvffvf
vffffvffvfv
fffffvvffvf
Tautología, contradicción y contingencia:
A partir del resultado de las tablas de verdad es posible clasificar las formas proposicionales en tres tipos:
tautología, contradicciones y contingencias. Las tautologías son aquellas formas proposicionales cuyas tablas
de verdad dan por resultado, solamente valores de verdad = verdadero. Las contradicciones son aquellas
formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado solamente valores de verdad = falsos. Y las
contingencias son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado por lo menos un
valor de verdad = verdadero y un valor de verdad = falso. Así por ejemplo:
P v − p p . − p p . p 22 = 2 filas
Vvfvvffvvvv
Fvvfffvffff
coningencia
Tautología contradicción
Las tautologías son formas proposiciones lógicas verdaderas, es decir, por su forma lógica son verdaderas. Las
tautologías interesan especialmente a la lógica, pues son un tipo de leyes lógicas. Las leyes de la lógica
proporcional son todas tautologías, son formas proposicionales cuyos casos de sustitución son siempre
verdaderos, es decir, formas que solo tienen una interpretación verdadera. Así por ejemplo:
Llueve y no llueve p . − q
Las contingencias son formas proposicionales lógicamente indeterminadas, son verdaderas o falsas, por
razones fácticas y no por su forma lógica. Así por ejemplo:
Llueve y llueve p . p
Una forma proposicional es consistente cuando al menos tiene una interpretación verdadera, y es inconsistente
cuando no tiene ninguna interpretación verdadera. Razón por la cual, tautologías y contingencias son formas
consistentes, mientras que las contradicciones son inconsistentes. La negación de una tautología es una
contradicción, la negación de una contradicción es una tautología; y la negación de una contingencia es otra
contingencia.
Principios lógicos y leyes lógicas
En la lógica clásica, los principios fundamentales del pensamiento e-ran: el de Identidad, el de No
Contradicción, y el de Tercero Excluido en virtud del carácter de evidencia, universalidad y de base de todo
razonamiento válido, que presentaban dichos principios. En la lógica moderna se cuestionó el carácter de
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evidencia, y se consideró a ésta más bien en un sentido subjetivo y relativo. Con respecto a la universalidad,
se discutió el alcance de la validez, limitándola a un determinado contexto. Con la aparición de las lógicas
polivalentes el principio del Tercero Excluido pierde vigencia, pues se utilizan más de dos valores de verdad.
Para la lógica actual todas las leyes lógicas tienen la misma jerarquía, cualquiera de ellas se pueden utilizar
como base y fundamento de una argumentación. El criterio que rige la elección de los principios es múltiple y
variado.
En la lógica proposicional, todas las leyes lógicas son tautológicas, es decir, formas proposicionales, cuyos
casos de sustitución son siempre verdaderos. En la lógica de predicados, como veremos en el próximo
capítulo, no son tautológicas, y las más conocidas se derivan del cuadro de oposición aristotélico.
Las leyes lógicas son infinitas, a continuación proporcionaremos la formulación de las más importantes, con
las cuales trabajaremos en este texto.
Identidad
No contradicción
Tercero Excluido
Modus Ponendo Ponens
p <−> p , pð p
− (p . −p)
p v. −p
[( p ð q) . p] ð q
Modus Tollendo Tollens
Simplificación
Adición
Silogismo hipotético
Silogismo disyuntivo
Dilema constructivo
Dilema desconstructivo
Doble negación
Conmutividad de la conjunción
Comutividad de la disyunción
Conmutividad del bicondicional
Asociatividad de la conjunción
Asociatividad de la disyunción
Asociatividad del bicondicional
[( p ð q) . −q]ð −p
(p . q) ð p
p ð (pvq)
[( p ð q) . (q ð r)] ð (p ð r)
[p v q) −p] ð q
{[(p ð q) . (r ð s)] . (pvr)} ð (q v s)
{[(p ð q) . (r ð s)] . (−q v −s)} ð ( −pv −r)
p ð> −−p
(p . q) ð> (q . p)
(p v q) ð> (q v p)
(p ð> q) ð> (q ð> p)
[p . (q . r)] ð> [(p . q) . r]
[p v (q v r)] ð> [(p v q) v r ]
(p ð> (q ð> r] ð> [(p ð> q) ð> r]
Distributividad de la conjunción respecto de la disyunción:
[ p . ( q v r) ] [( p . q ) v ( p . r )]
Distributividad de la disyunción respecto de la conjunción:
[ p v ( q . r) ] [( p v q ) . ( p v r )]
Distributividad del condicional respecto de la disyunción:
[ p ( q v r) ] [( p q ) v ( p r )]
Distributividad del condicional respecto de la conjunción:
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[ p ( q . r) ] [( p q ) . ( p r )]
De Morgan:
− (p . q) (−pv −q)
−(p v q) (−p . −q)
Definición del condicional:
( p q) (−pvq)
( p q) −(p . −q)
Definición del bicondicional:
( p q) (p q) . (q p)
( p q) (p . q) v (−p . −q)
Transposición:
(p q) (−q −p)
Exportación:
[(p . q) r] [p (q r)]
Idempotencia:
p (p . p)
p (p v p)
Expansión Booleana:
p p . (qv − q)
p p v (q . −q)
Absorción:
p p. (p v q))
p p v (p . q)
Relaciones lógicas:
En general las relaciones lógicas entre proposiciones son: la implica-ción, equivalencia y contradicción. Para
referirnos a ellas se utilizan las llamadas letras metalógicas o metalingüísticas que son A, B, C. Con cada una
de ellas se pueden designar una proposición atómica o molecular.
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Con cada una de ellas se puede designar una proposición atómica o mo-lecular.
Implicación: una proposición A implica lógicamente a otra B, siempre y cuando no se de el caso de que A sea
verdadera y B falsa, por ejem-plo Estudia y aprueba implica estudia. Decir que A implica a B es lo mismo que
decir, que B se deduce lógicamente de A: Esta es una re-lación de fundamental importancia y de gran
aplicación en la ciencia. Su verificación se realiza mediante las tablas de verdad correspondiente: A implica
lógicamente a B si y solo sí el resultado es una tauto-logía. Así por ejemplo:
A
(p . q)
vvv
ffv
vff
Fff
B
p
v
f
V
f
Equivalencia: dos proposiciones son equivalentes cuando A implica a B y implica A, serán equivalentes
cuando ambas tengan los mismos valores de verdad, por ejemplo llueve es equivalente a no es cierto que no
llueve. Cualquier interpretación de las leyes lógicas formuladas a partir de la doble negación son ejemplos de
equivalencias, cuya verificación mediante las tablas de verdad dará por resultado una tautología. Así por
ejemplo:
A
p
v
f
B
−−p
vfv
fvf
Contradicción: dos proposiciones A y B son contradictorias siempre que una sea verdadera y la otra falsa, es
decir, no pueden dar ambas ver-daderas o ambas falsas. Se verifica que dos proposiciones son contra-dictorias
cuando se construye un bicondicional de la forma A = B, se realiza la tabla y el resultado es una contradicción
por ejemplo si decimos no llueve es equivalente a no es cierto que no llueve.
A
−p
fv
Vf
B
−−p
vfv
fvf
Con lo cual es ve, que si dos proposiciones son equivalentes, la negación de una de ellas es contradictoria con
la otra. Y en el caso de dos proposiciones contradictorias, la negación de una de ellas es equivalente a la otra.
Razonamientos:
Todo el estudio realizado hasta ahora sobre el cálculo de proposicio-nes, será aplicado a los razonamientos. La
aplicación de las operacio-nes entre proposiciones, a los razonamientos, hará posible la determinación de la
validez o invalidez de dichos razonamientos.
Los distintos procedimientos o métodos deductivos de prueba de validez de los razonamientos, tienen en
común una primera etapa, que consiste en lo siguiente: 1) Dado un razonamiento se procede a simbolizar los
proposiciones que lo componen −premisas y conclusión−, para luego poder abstraer la forma lógica del
razonamiento en cuestión. Así por ejemplo:
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Razonamiento
Si estudio, aprobaré el examen
Estudio. Luego aprobaré el examen.
Si estudio, aprobaré el examen
Estudio
Aprobaré el examen
Forma lógica
Si 3 es mayor que 5, 5 es menor que 3
5 no es menor que 3
3 no es mayor que 5
Pq
−q
−p
pq
P
Q
Método del Condicional Asociado:
El método del condicional asociado, es el procedimiento de las tablas de verdad, aplicado a los razonamientos
para determinar, la validez o invalidez de los mismos. Este procedimiento se lleva a cabo de la si-guiente
manera: 1) Dado el razonamiento se simboliza y se abstrae su forma lógica. 2) De la forma lógica del
razonamiento, se pasa a una forma proposicional compuesta, que se llama condicional asociado. Esta forma
proposicional −condicional. asociado− se alcanza mediante la construcción de un condicional, cuyo
antecedente estará formado por la conjunción de las premisas del razonamiento, y su consecuente es la
con-clusión del razonamiento. A toda forma de razonamiento le corresponde una. forma proposicional
asociada, la cual siempre es una proposición condicional. Así por ejemplo:
Forma lógica
pq
P
Q
Condicional asociado
[(p q) . p ] q
3)Una vez obtenida la forma proposicional del condicional asociado se realiza el procedimiento de las tablas
de verdad. Si el resultado fi-nal de las mismas es una tautología, el razonamiento es válido. Si el resultado es
una contradicción o una. contingencia, el razonamiento es inválido. Ya que en cualquiera de estos dos casos,
se pone de manifies-to que en el razonamiento en cuestión es posible que se dé la combina-ción de premisas
verdaderas y conclusión falsa, lo cual obviamente ha-ce que la forma de razonamiento sea inválida, como
sucede en (2)
(1)
[(p ð q) . p]
Vvvvv
Fvvff
Vfffv
Fvfff
q
v
v
f
v
(2)
[(p ð q) . q]
V v v vv
F v v vv
V f f ff
p
v
f
v
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F v f ff
F
Como se ha podido observar el método del condicional asociado es un procedimiento mecánico y preciso para
determinar la validez e invalidez de los razonamientos. Pero se torna dificultoso en su realización cuando se
opera con más de cuatro letras proposicionales y no resulta prác-tico en la utilización del mismo. Para estos
casos la lógica proposicional dispone de otro método, que si bien no es tan exacto para demostrar la invalidez
de los razonamientos, sin embargo, facilita la operación cuando se cuenta con un número mayor de
proposiciones. Este méto-do se denomina demostrativo, pero antes de abordar su procedimiento se verán
previamente la reglas lógicas que son necesarias en la utilización del mismo.
Reglas lógicas
Las reglas lógicas representan formas de razonamientos válidos y elementales. Dichas reglas expresan la
aplicación de las leyes lógicas en las operaciones entre proposiciones. Por esta razón llevan el mismo nombre
que las leyes tautológicas, pero se formulan en un metalenguaje, por que refieren a la relación entre las formas
proposicionales. Las leyes se expresan en un lenguaje objeto, pues son las formas proposicionales mismas. En
la formulación de las reglas lógicas se utilizan las letra metalingüísticas: A, B, C, . . .etc. , con lo cual se indica
que cada una de dichas letras puede designar tanto una proposición atómica como una proposición molecular
de gran complejidad.
Reglas de inferencia
1) Modus Poniendo Ponens ( o regla de la separación) (M.P.): A partir de un condicional y su antecedente
dado, se obtiene un consecuente.
A ð B, A / . B
2) Modus Tollendo Tollens (M.T.): A partir de un condicional, y la negación de su consecuente, se obtiene la
negación de su antecedente.
A ð B, −B / . − A
3) Conjunción (Conj.): A partir de dos formas de enunciados se obtiene la conjunción de ambas.
A, B / . A . B
4) Simplificación (Simpl): A partir de una conjunción, de dos formas de enunciados, se obtiene uno de ellos.
A.B/.A
5) Adición (Ad.): Dada una forma de enunciado, puede obtenerse la disyunción de esa forma de enunciado
con cualquier otra.
A/.AvB
6) Silogismo disyuntivo (S.D.): A partir de una disyunción, y de la negación de uno de sus disyuntivos, se
obtiene el otro disyuntivo,
A v B, −B / . A
7) Silogismo hipotético (S.H.): A partir de dos condicionales dados, donde el consecuente del primero es
antecedente del segundo, se obtiene el condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente
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del segundo.
A B, B C / . A C
8) Dilema Constructivo (D.C.): Dados dos condicionales, y la disyunción de sus antecedentes, se obtiene la
disyunción de las negaciones de sus antecedentes.
( A B ), (C ð D), (AvC) / . (BvD)
9) Dilema destructivo (D.D.): Dados dos condicionales, y la disyunción de las negaciones de sus
consecuentes, se obtiene la disyunción de las negaciones de sus antecedentes.
( A B ), (C ð D), (−Bv−D) / . (−Av −C)
Reglas de equivalencia (R.E.): pueden reemplazarse unos por otros los siguientes pares de formas
equivalentes.
Doble negación (D.N.)
Conmutividad (Conmut.)
de la conjunción
Conmutividad (Conmut.)
de la disyunción
Conmutividad (Conmut.)
del bicondicional
Asociatividad (Asoc.) de la
conjunción
Asociatividad (Asoc.) de la
disyunción
Asociatividad (Asoc.) del
bicondicional
−−A equivale a A
A . B equivale a B . A
A v B equivale a B v A
Að> B equivale a B ð> A
( A . B) . C equivale A . (B . C)
( A v B) v C equivale A v (B v C)
(Að>B)ð> C equivale A<−> (B<−> C)
Distributividad (Distribut.)
de la conjunción con respecto a la disyunción
A . (B v C) equivale a (A . B) v (A . C)
de la disyunción con respecto a la conjunción
A v (B . C) equivale a (A v B) . (A v C)
De Morgan (De M.): −(A . B) equivale −A v −B
−(A v B) equivale −A . −B
Definición del condicional (Def. ): A B equivale a −A v B
A B equivale a − (A. −B)
Definición del bicondicional (Def. ): A B equivale a (A B) . (B A)
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A B equivale a (A . B) v (−A . −B)
Trasposición (Trasp.): A B equivale a −B −A
Exportación (Export.): (A . B) C equivale a A (B C)
Idempotencia (Idemp.): A equivale a A . A
A equivale a A v A
Las variables metalingüísticas pueden tomar como valores cualquier forma proposicional atómica o
molecular. Así por ejemplo:
1) (p . q) ð (q v p)
2) − (q v p) _/ . − (p . q)
3) − (p . q) en 1, 2 por M. T.
1) A ð B
2) −B_/ . −A
3) − A MT: A −ð B, −B_/.−A
1) (p . q) v (r v s)
2) − (r v s) _/ . − p
3) (p . q) en 1, 2 por S. D.
4) p en 3 por Simplif.
3) S. D.: A v B, −B_/.A
Simplif.: A . B_/.A
1) − (p v q) _/ .−q
2) − p . −q en 1, por De M.
3) −q en 2 por Simpl.
De M.: −(A v B)ð> −A . −B
Prueba de invalidez:
La prueba de invalidez es un procedimiento que permite demostrar si un razonamiento dado es inválido. Esta
prueba complementaría de algún modo el método demostrativo en los casos en que éste no garantiza la
invalidez de los razonamientos proposicionales. La prueba de invalidez parte como en los pro-cedimientos
anteriores de: l)la simbolización de los razonamientos propo-sicionales y la abstracción de la forma lógica del
mismo. Por ejemplo:
Viajaré a Roma o a París. Viajaré a París. Por lo tanto no viajaré a Roma.
pvq
q
−p
2) Si el razonamiento es inválido su forma lógica dará lugar a que las premisas sean verdaderas y la
conclusión sea falsa. Se parte de la suposición de que es inválido; y se adjudican los valores de verdad
correspondiente a las premisas y el de falsedad a su conclusión.
pvqv
qv
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−pf
3) Luego se procede a asignar a cada variable proposicional un valor de verdad de modo tal que se confirme la
suposición inicial. En este sentido y en este caso, se asigna tanto a p como a q el valor de verdad verdadero:
pvqvvVv
qvv
− p f −v
4) Luego se resuelve lo expresado en 3)
pvqvvVvV
qvvV
− p f −v F
Con lo cual se confirma que el razonamiento es inválido.
Prueba de la demostración condicional:
Esta prueba se aplica a los razonamientos que tienen como conclusión una proposición condicional. Su
procedimiento consiste en permitir incorporar como una premisa más, al antecedente del condicional de la
conclusión.
Por ejemplo:
pq
qr
pr
Se incorpora p como
una premisa más para
demostrar su validez
pq
qr
p
r
Si denominamos A al conjunto de premisas de un razonamiento y B o C a la conclusión del razonamiento, la
prueba de validez sería en
el primer caso:
A
BC
y en el segundo caso:
A
B
C
Las formas proposicionales condicionales asociadas a cada razonamiento en este caso serían respectivamente:
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A (B C) y (A . B) C por la ley de exportación sabemos que ambas formas proposicionales son equivalentes.
Así por ejemplo:
1) − (p . q)
2) p_____/. q r
3) q_____/. r por Demost. Condic.
4) −p v −q en 1, por De M.
5) −q en 4, 2 por S. D.
6) −q v r en 5, por Ad.
7) q ð r en 6, por Def..
8) r en 7, 3 por M.P.
1) p ð q
2) q ð r____/. −r ð −p
3) −r_____/. −p por Demostr. Condic.
4) −q en 2, 3 por M.T.
5) (pð q) . (q ð p) en 1, por Def.=
6) p ð q en 5, por simpl.
7) −p en 6,4 por M.T.
Prueba de la demostración indirecta
La demostración indirecta o prueba por el absurdo consiste en permitir usar como premisa adicional, la
negación de la conclusión del razonamiento. Si a partir de las premisas y de la aplicación de las reglas lógicas
se llega a una contradicción, el razonamiento es válido. Así por ejemplo:
1) p q
2) q ( r s)
3) r . p ___/. S
4) −s por Demost. Ind.
5) p (r s) en 1, 2 por S. H.
6) (p . r) s en 5, por Exp.
7) −(p . r ) en 6, 4 por M.T.
8) r en 3, por Simpl.
9) p en 3, por Simpl.
10) p . r en 9, 8 por Conj.
11) −(p . r) . (p . r ) en 7, 10 por Conj.
1) p v (q . r)
2) p ð r____/. r
3) −r por Demostr. Condic.
4) −p en 2, 3 por M.T.
5) (q . r) en 1, 4 por S.D.
6) r en 5, por Simpl.
7) r . −r en 6, 3 por Conj.
Este tipo de prueba se trata de deducir la conclusión del razonamiento en cuestión a partir de la contradicción
misma, es decir por el absurdo.
FIGURAS
MODOS
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