Propagación en medios materiales 116

Propagación en medios materiales
116
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ONDAS PLANAS EN DIFERENTES
MEDIOS DE PROPAGACIÓN
Basados en la expresión general para una onda plana (6.1e), en las relaciones para
 y  (6.1h) a (6.1ñ), y en las condiciones que debe cumplir una onda plana (6.1e) a
(6.1h), analicemos ahora la propagación de ondas electromagnéticas planas en tres
medios característicos: el espacio libre, los dieléctricos con pérdidas y los conductores.
7.1 Condiciones de espacio libre
Se entiende por condiciones de espacio libre, a la descripción de un medio de
extensión indefinida, de conductividad igual a cero, y además, en dicho espacio no
existen distribuciones de cargas eléctricas ni de corrientes de ninguna naturaleza. En
consecuencia, su permitividad y su permeabilidad serán iguales a 0 y a 0,
respectivamente. Es un espacio simplemente geométrico, un medio esencialmente
lineal, homogéneo e isótropo. La magnitud de 0 depende del valor asignado a μ0 y de
c la velocidad de la luz en el espacio libre. En el sistema mks racionalizado tenemos:
1
 c ; para c = 2,998 x 108 m/s ; μ0 = 4π x 10-7 Henry/metro, y
0 0
0 = 8,854 x 10-12 Faradio/metro. Para c ≈ 3x 108 m/s ; 0 ≈
10 9
Faradio/metro
36
Las soluciones obtenidas para las componentes del campo eléctrico asociado con
una onda plana, dada por la expresión (6.1d), nos permiten establecer una forma general
para la onda plana que se propaga en condiciones de espacio libre:
~ ~
f  f 0 r  ct 
(7.1a)
La expresión (7.1a) describe una perturbación que se propaga en el espacio libre
en la dirección positiva de la coordenada r, y con una velocidad c igual a la velocidad de
la luz en el vacío: c = (1/00)½. La forma de esta onda progresiva con dependencia
senoidal estará dada por la siguiente expresión:
~
f (t, r)  f 0 cost    r  
(7.1b)
Donde f0 representa cualquiera de las seis componentes de E o de H, que
necesitamos para la solución de la ecuación de onda (6.e).
117
Supongamos que buscamos la representación de la solución de una onda
electromagnética plana, en condiciones de espacio libre, y con un campo eléctrico
orientado en la dirección -x- de un sistema cartesiano de coordenadas. La expresión
representativa será:
~
(7.1c)
E(t, r)  1x E 0 cos(t    r  )
Al tratarse de un medio de extensión indefinida, no existirá onda regresiva, y
dependerá exclusivamente de las condiciones de la fuente. Para simplificar el análisis
podemos tomar a  igual a cero, y E0 representará la amplitud del campo eléctrico en el
origen (r = 0, t = 0). En esta forma, también podemos utilizar la representación
exponencial para escribir la expresión (7.1c), y dar por entendido que la onda física está
realmente representada por su parte real, es decir:



~
E (r , t )  Re 1x E0 exp j t    r 
(7.1d)
El valor de la amplitud del campo eléctrico E será el mismo sobre cualquier plano
-yz-, a una distancia r del punto de origen de la onda, donde
r  1x y  1z z
(7.1e)
La divergencia del campo eléctrico debe ser nula por ser el espacio libre un medio
sin cargas, por consiguiente, al evaluarla obtenemos:


  E  E01x   exp( j  r)
  j(E01x 1r ) exp( jr)
=0
(7.1f)
Por consiguiente, E tiene dirección normal al vector r, cuya dirección representa
la dirección de propagación de la onda, y de acuerdo a las características de una onda
plana, para condiciones de espacio libre, tenemos:
 y
z
jl r  E  j l y  l z   l x E 0
r
 r
 jH
(7.1g)
donde el vector intensidad del campo magnético estará representado por la
expresión:
H
E 0
l y sen(r, y)  lz cos(r, z)
0
(7.1h)
118
donde
cos(r, y) 
y
 cos() , y
r
sen(r, z) 
z
 sen()
r

~ E
H  0 l y sen( )  l z cos( )exp j t  y cos  zsen 
0
donde 0 
(7.1i)

, impedancia intrínseca del espacio libre.
0
Pero, de acuerdo a lo indicado en la expresión (6.1s),
     

  
  1


0  
0 


    0 0 

c
Este resultado corrobora la validez de lo indicado por la expresión (7.1a). Además
tenemos, que al aplicar la relación (6.1f), obtenemos:
jl r  H  j(l y cos  l z sen )  H0 l y sen   l z cos
  j0 Er, t 
Resolviendo, obtenemos:


Er, t   Re l x E0 exp j t    r 
(7.1j)
Este resultado corresponde exactamente a la expresión (7.1d) que describe la
intensidad del campo eléctrico asociado con la onda plana que estamos analizando.
De acuerdo al análisis efectuado, podemos concluir:
119
En condiciones de espacio libre, la onda plana no sufre amortiguamiento ( = 0). La
constante de propagación  = j = j(00)½. La velocidad de fase es igual a la
velocidad de la luz en el vacío y no depende de la frecuencia, en consecuencia, la
velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase (6.2f), y por lo tanto, el espacio libre
es un medio no dispersivo.
Si el espacio libre se substituye por un dieléctrico ideal no magnético ( = 0 y 
= 0), la constante de propagación es:
 0
 0 0
n
c
donde, n representa el índice de refracción ( n = vf /c).
  j  j  0  j
 0  0  j
Esquemas vectoriales de las componentes de la onda plana representada por las
expresiones (7.1h) – (7.1j):
 y
z
   cos ,    sen 
r
r
H0 y  H0 sen , H0z  H0 cos
z
H0y
E0 = E0x

H0 = E0 / 0
H0
r
H0z

y
Onda plana, componentes de H0: (0, H0y, H0z)
120
z
Sz
y
Hy
x
Ex
Onda plana, componentes: Ex, Hy, Sz
z
Sy
Ex
Hz
y
a plana, componentes: Ex, -Hz, Sy
z
Sr
y
Ex
H0
x
Onda plana, componentes: Ex, H0, Sr
121
7.2 Propagación en dieléctricos con pérdidas
En un medio con pérdidas debemos utilizar las expresiones generales para  y .
La onda electromagnética sufre una amortiguación determinada la cual es indicativa de
dichas pérdidas.
La velocidad de fase depende de la frecuencia de la onda, lo que indica que existe
dispersión. / es diferente de cero, por lo tanto, la velocidad de grupo no es igual a
la velocidad de fase. La dependencia de la velocidad de fase respecto a la frecuencia
genera distintas velocidades de propagación de la fase para cada una de las
componentes del espectro de frecuencia de la onda, y como resultado, la señal está
sujeta a distorsiones.
Para un medio dieléctrico, sin pérdidas magnéticas ('' = 0), las expresiones (6.1n)
y (6.1ñ) se reducen a las siguientes formas:
½
2

  
  

 1     1
(7.2a)

 

2 




  
2

  

 1     1

2 
  


½
(7.2b)
Los valores típicos de (''/'), medidos a temperatura ambiente, para los materiales
aislantes de uso corriente muestran valores que oscilan entre los siguientes límites:
A 60 Hz, de 0.080 para la bakelita a 0.0002 para la tierra arenosa. A 10 GHz, de
0,041 para la bakelita, a 0,0001 para la tierra arenosa con 2% de humedad.
En general, para los materiales aislantes usuales, ''/' << 1, lo cual permite
utilizar una aproximación binomial de las expresiones (7.2a) y (7.2b), obteniendo las
siguientes relaciones:
 1     2 
    1    
 4     
(7.2c)

     
 
2   
(7.2d)
122
7.3 Propagación en medios conductores
Para los metales, en general, que representan medios de buena conductividad,
incluso para las altas frecuencias utilizadas actualmente, se observa la siguiente
desigualdad:

    0

(7.3a)
Esta afirmación la podemos comprobar tomando como ejemplo al cobre (Cu) para
una frecuencia f = 100 GHz.

5  107

 2,65  105   0  8,854 1012 F / m
11
 2 3  10


De este modo, podemos considerar que para los buenos conductores la
permitividad es igual a 0.
Por consiguiente, la constante de propagación es igual a:
  j  j0 
(7.3b)
Considerando la desigualdad (7.1a), tenemos:

j 
 

1  j
2

2
(7.3c)
(7.3d)
La velocidad de fase es:
vf 

2



(7.3e)
La velocidad de grupo es:
vg 
1
2
, para  = 0
2
/

(7.3f)
La atenuación de la onda en una región conductora está regida por el valor del
factor (/) con relación a la unidad. Conforme  crece, también crece , lo que hace
123
la onda plana decaiga muy rápidamente con la distancia recorrida. La onda que penetra
en la región conductora se atenúa de acuerdo con el factor exp(-r), tal que a la
profundidad específica
r = , su amplitud ha decaído hasta e-1 de su valor en la
superficie de referencia. La profundidad de penetración se conoce como , y se
determina haciendo el exp(-) = -1, de donde:
1
    , en unidades de longitud

(7.3g)
Cuando una corriente alterna circula en un medio conductor, ésta crea una campo
magnético variable en el tiempo, que produce, a su vez, corrientes inducidas; el
resultado será la existencia de una corriente compleja dentro del medio conductor. Las
ecuaciones de Maxwell nos indican que estas corrientes son debidas a la existencia de
un campo electromagnético.
Consideremos un conductor cilíndrico, de radio R y de longitud indefinida. La
densidad de corriente volumétrica que acompaña al campo eléctrico longitudinal está
dada por la ley de Ohm (J = E), y depende de la distancia r al eje del sistema debido a
su simetría. Las ecuaciones de Maxwell nos permiten obtener los siguientes resultados:
1  E z   E  
0


r     z 
(7.3h)
 E r   E z 
 E 


   z 
 z   r 
 r 
(7.3i)
1 
E 
 (rE )  r   0
r  r
 
(7.3j)
E z
~
~
  E   jB  l r
r
(7.3k)
  B  0 J  0E
(7.3l)
A partir de las relaciones (7.3h) – (7.3l), obtenemos:
 2 J z 1 J z

 jJ z  0
r 2 r r
(7.3m)
La expresión (7.3m) corresponde a una ecuación diferencial del tipo Bessel de
orden cero. Su solución es una función de Bessel de orden cero:
124



1 0



2 1 
J z r   C J r
j  
(7.3n)
La expresión (7.3n) tiene las partes real e imaginaria de J0 y sus magnitudes se
encuentran listadas en muchas referencias.
Tratándose de un medio buen conductor, podemos aceptar como primera
aproximación, que el término(1/r)(Ez/r) es de magnitud despreciable con respecto a
(2Ez/r2). Esto nos reduce la ecuación (7.3m) a la forma siguiente:
 2Ez
  2Ez  0
2
r
(7.3o)
Esta ecuación admite como solución una combinación de funciones exponenciales
de forma análoga a la expresión (6.1b). Pero como en un buen conductor  es
muchísimo menor que R, podemos también despreciar la onda regresiva. Esto hace que
el problema sea análogo al caso de la propagación en un medio conductor de gran
extensión, es decir, que consideramos que exp(-R)  0. Esto nos indica que el campo
eléctrico decrece rápidamente a partir de la superficie del conductor, y que la
profundidad de penetración es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la
frecuencia. Por ejemplo, a una frecuencia de 100 KHz la profundidad de penetración
para el cobre es igual a 0,2 mm, mientras que para una frecuencia de 10 GHz es sólo
6,6x10-4 mm. Por lo tanto, si el radio del conductor supera considerablemente a , se
puede, generalmente, considerar que la corriente se concentra en una pequeña región
cercana a la superficie del conductor. Este fenómeno se conoce como el efecto pelicular.
Si el radio del conductor equivale a varias profundidades de penetración (R>10),
el  definido para una onda plana puede ser utilizado para denotar la profundidad de
penetración en un conductor cilíndrico. En este caso, la expresión de onda plana se
aproxima a la relación exacta representada por las funciones de Bessel para un
conductor cilíndrico. A una profundidad de 10 el campo tendrá una amplitud del orden
de 5x10-5 veces el valor de su amplitud en la superficie del conductor, un 0,005% de su
valor original.
Cuando el medio se trata de un material magnético, tal como el hierro, la
magnetización no lineal característica de propia de esta substancia, hace que la
autoinducción sea variable. El coeficiente de autoinducción depende de la
permeabilidad diferencial  = B/H. Por lo tanto, el flujo magnético en el material es
una función no lineal de la corriente, así que las variaciones de corriente asociadas con
las variaciones de flujo deben obtenerse gráficamente utilizando el ciclo de histéresis
correspondiente. Esa energía necesaria para crear los ciclos de histéresis representa una
pérdida en los conductores ferromagnéticos adicional a las pérdidas debidas a las
corrientes parásitas o corrientes de Foucault asociadas con la fuerza contraelectromotriz
inducida en el material. Estas pérdidas totales usualmente se representan en función de
la frecuencia y del valor máximo de la inducción, en la forma siguiente:
125
Phe  k1 f Bmáx  k2 f 2 Bmáx 
1, 6
2
(7.3p)
donde k1 es una constante que depende del material (0,001 para un buen acero al
silicio a 0,004 para hierro blando, y 0,03 para el acero fundido duro) y k 2 es una
constante que depende de la geometría del núcleo ferromagnético conductor.
7.4 Polarización de las ondas electromagnéticas
Se entiende por polarización de una onda electromagnética la ley de la variación
de la dirección del vector representativo de la intensidad del campo eléctrico en un
punto dado del espacio durante un período de oscilación. Tomando como base una onda
progresiva determinaremos los casos posibles de polarización de las ondas planas.
Tomemos una onda con dos componentes polarizadas en dos direcciones mutuamente
perpendiculares:
E1 (z, t)  l x E0x cost  z  l y E0 y cost  z  
(7.4a)
En z = 0, tenemos:
E1  E0x cost , E2  E0 y cost  
de donde obtenemos:
cost  
E1
,y
E0x
sent  
Ex
E0x
 cos  E y

 
 sen   E 0 y
 1 


 sen  
Como
sen2   cos2   1
 Ex

 E 0x



2
 cos2    E y

 1  
2

 sen    E 0 y
2

2E x E y cos
1


1
2
 sen  E E sen 2 
0x 0y

se obtiene que,
 Ex

 E0x
2
  E y   2E x E y 
 
 cos   sen 2 
  
E  E E 
  0y   0x 0y 
2
(7.4b)
126
La expresión (7.4b) representa la ecuación de una curva de segundo grado. El
carácter de esta curva se define con el signo del determinante:
Eox  2
 cos 


E E 
 0x 0 y 
 cos 


E E 
0
x
0
y


E 


 E0 x E0 y  1  cos2   0
2
2
0y
Al determinante ser mayor que cero, la curva representa una elipse. Si el
determinante es igual a cero, la elipse degenera en una línea recta. De la expresión
(7.4c) se observa, que estas condiciones dependen del valor del desfasaje  existente
entre las componentes de la onda. La figura 7-1 nos muestra una elipse, el lugar
geométrico del vector E asociado con la onda representada por la expresión (7.4a). Esto,
para el caso general, cuando 0 <  < /2.
Si en la ecuación (7.4b) hacemos el siguiente cambio de variable:
E x  u cos  vsen,
E y  u sen   vcos
obtenemos la siguiente expresión:
u 2 v2

1
a 2 b2
(7.4c)
La ecuación resultante representa una elipse con semiejes: a y b , y con el semieje
a formando un ángulo  con el eje -x- donde,
tan 2 
2ab cos 
a 2  b2
(7.4d)
127
Figura 7-1. Onda linealmente polarizada.
A = E y B = H están en fase ( A/B = un número real = E/H = impedancia
intrínseca del medio de propagación).
Figura 7-2. Polarización elíptica
128
Figura 7-3. Polarización circular
Cuando  =  /2 y E0x = E0y, la elipse degenera en un círculo. De acuerdo con la
definición del IEEE, para  = /2, en una posición fija, el vector representativo del
campo eléctrico gira en el sentido de las manecillas del reloj (viendo la onda que se
aproxima), esto corresponde a una polarización circular izquierda. Si  = -/2, la
rotación es opuesta, y corresponde a una polarización circular derecha
129
Campos electromagnéticos
130