Tema 9: Cálculo de Probabilidades Experimento aleatorio: es aquel

Tema 9: Cálculo de Probabilidades
Experimento aleatorio: es aquel cuyo resultado depende del azar, no se puede predecir de antemano.
Ej: Tirar un dado, sacar una bola de un bingo, sacar una carta de una baraja.
Espacio muestral (E): es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ej: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, E={1, … ,99}, E={1 𝑂𝑟𝑜, 2 𝑂𝑟𝑜, … , 12 𝐵𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠}.
Suceso: es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ej: Si el experimento es tirar un dado y ver qué número sale, algunos sucesos serían:
que salga un número par → A={ 2, 4, 6},
que salga un nº inferior a dos → B={ 1},
que salga un nº primo → C={ 1, 2, 3, 5},
que salga un nº inferior a siete → D={ 1, 2, 3, 4, 5, 6},…
Distintos tipos de sucesos:
 Suceso seguro: es el suceso que ocurre siempre. Coincide con el espacio muestral.
Ej: Que salga un nº inferior a siete → D={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}
 Suceso imposible: es el suceso que no puede ocurrir, que no pertenece al espacio muestral.
Ej: Que salga un siete → F={Ø}
 Suceso contrario o complementario de A: Es todo suceso del espacio muestral que no pertenece a A.
Se representa por Ac . Entre A y Ac tenemos todo el espacio muestral sin repetir elementos.
Ej:
A={ 2, 4, 6} →
Ac={ 1, 3, 5}
Definición de Probabilidad (Regla de Laplace): Si un suceso es equiprovable, entonces la probabilidad de un
suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso A y el número de casos posibles. Si
indicamos la probabilidad de A por P(A), entonces P(A) =
Ej:
A={ 2, 4, 6}
E={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} P(A) =
3
6
𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐴
𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
= 0,5 ó 50% (en porcentaje)
Propiedades de la Probabilidad:
o Para cualquier suceso A, la probabilidad del suceso A estará comprendida entre 0 y 1. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
o La probabilidad del suceso seguro es 1,
P(E) = 1
o La probabilidad del suceso imposible es 0, P(∅) = 0
o La probabilidad de P(Ac) = 1 – P(A)
Ej: A={ 2, 3} Ac={ 1, 4, 5, 6} P(A) =
𝑃(𝐵) = 0.3
2
6
= 0,333 P(Ac) =
𝑃(𝐵 𝑐 ) = 1 − 0.3 = 0.7
4
6
= 0,667 P(Ac) = 1 - P(A) = 1- 0,333 = 0,667
Operaciones con sucesos:

Sea el experimento tirar un dado.
E={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}
El espacio muestral es:
Sea A el suceso sacar un número par.
El subconjunto A es:
A={ 2, 4, 6}
La probabilidad de que se dé el suceso A es: P(A) =
3
6
= 0,5
Sea B el suceso sacar un número menor que 3
El subconjunto B es:
B={ 1, 2}
La probabilidad de que se dé el suceso B es:

P(B) =
2
6
= 0,333
Sucesos contrarios:
Ac es el suceso sacar un número impar
El subconjunto Ac es:
Ac={ 1, 3, 5}
La probabilidad de que se dé el suceso Ac es:
P(Ac) =
3
6
= 0,5
P(Ac) =1 - P(A) = 1 − 0,5 = 0,5
ó
Bc es el suceso sacar un nº mayor o igual que 3
El subconjunto Bc es:
Bc={ 3, 4, 5, 6}
La probabilidad de que se dé el suceso Bc es:
P(Bc) =

4
6
= 0,667
ó
P(Bc) =1 - P(B) = 1 − 0,333 = 0,667
Intersección de sucesos: La palabra clave en la intersección es “y”.
A∩B: todos los elementos que pertenecen a A y a B a la vez.
También veremos: los elementos que pertenecen a “ambos”.
El subconjunto A∩B es:
A∩B={ 2}
La probabilidad de que se dé el suceso A∩B es:
1
P(A∩B)= 6 = 0,167
A∩Bc: todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
También veremos: los elementos que “sólo” pertenecen a A ó “solamente” a A.
El subconjunto A∩Bc es:
A∩Bc ={ 4, 6}
La probabilidad de que se dé el suceso A∩Bc es:
2
P(A∩Bc)= 6 = 0,333
Una de las fórmulas para hallar P(A∩Bc) es: P(A∩Bc)=P(A) - P(A∩B)= 0,5 – 0,167 = 0,333
Ac∩B: todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.
También veremos: los elementos que “sólo” pertenecen a B ó “solamente” a B.
El subconjunto Ac∩B es:
Ac∩B ={ 1}
La probabilidad de que se dé el suceso Ac∩B es:
1
P(A∩Bc)= 6 = 0,167
Una de las fórmulas para hallar P(Ac∩B) es: P(Ac∩B)=P(B) - P(A∩B) = 0,333 – 0,167 = 0,167
 La probabilidad de que se dé “solamente a uno de los dos” es: P(A∩Bc) + P(Ac∩B)
Ac∩Bc: todos los elementos que no pertenecen a A y no pertenecen a B.
También veremos: los elementos que no pertenecen “ni a uno ni a otro” ó a “ninguno”
El subconjunto Ac∩Bc es:
Ac∩Bc ={ 3, 5}
La probabilidad de que se dé el suceso Ac∩Bc es:
2
P(Ac∩Bc)= 6 = 0,333
Una de las fórmulas para hallar P(Ac∩Bc) es:
P(Ac∩Bc)= 1 − {P(A ∩ 𝐵𝑐 ) + P(A ∩ 𝐵) + P(𝐴𝑐 ∩ 𝐵)} = 1 − {0,333 + 0,167 + 0,167} = 0,333

Unión de sucesos: La palabra clave en la intersección es “o”.
A∪B={ 1, 2, 4, 6}
A∪B: todos los elementos que pertenecen a A o a B
4
P(A∪B)= 6 = 0,667
También se usa la expresión: los elementos que pertenezcan a “alguno” (al menos uno) de los
dos.
Algunas de las fórmulas para hallarla es:
P(A∪B)=P(A) + P(B) - P(A∩B)= 0,5 + 0,333 - 0,167= 0,667
P(A∪B)= P(A ∩ 𝐵𝑐 ) + P(A ∩ 𝐵) + P(𝐴𝑐 ∩ 𝐵)= 0,333 + 0,167 + 0,167= 0,667
P(A∪B)=1 − P(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 )= 1 − 0,333 = 0,667
Fórmulas de otras uniones:
P(A∪ 𝐵𝑐 )=P(A) + P(𝐵𝑐 ) - P(A∩ 𝐵𝑐 )
P(𝐴𝑐 ∪B)=P(𝐴𝑐 ) + P(B) - P(𝐴𝑐 ∩B)
P(𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 )=P(𝐴𝑐 ) + P(𝐵𝑐 ) - P(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 )
o Leyes de Morgan:
o El contrario de la Unión:
o El contrario de la Intersección:
(A∪B)c = Ac∩Bc
→
P(A∪B)c = P(Ac∩Bc)
(A∩B)c = Ac∪Bc
→
P(A∩B)c = P(Ac∪Bc)
(Ac∪B)c = A∩Bc
→
P(Ac ∪B)c = P(A∩Bc)
(Ac∩B)c = A∪Bc
→
P(Ac ∩B)c = P(A∪Bc)
(A∪ Bc)c = Ac∩B →
P(A ∪ Bc)c = P(Ac∩B)
(A∩ Bc)c = Ac∪B →
P(A ∩ Bc)c = P(Ac∪B)
(Ac∪ Bc)c = A∩B →
P(Ac ∪ Bc)c = P(A ∩B)
(Ac∩ Bc)c = A∪B →
P(Ac ∩ Bc)c = P(A ∪B)
Sucesos Compatibles y Sucesos Incompatibles:
o Sucesos Compatibles: Si tienen elementos en común: C∩D≠ Ø
Ej: A={ 2, 4, 6} B={2, 3, 4, 5} A∩B={2, 4}
o Sucesos Incompatibles: Si no tienen elementos en común: A∩B= Ø
Ej: C={ 2, 4, 6} D={3, 5} C∩D={ Ø}
o Si dos sucesos son Compatibles → P(A∩B)≠0 → P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
o Si dos sucesos son Incompatibles → P(A∩B)=0 → P(A∪B) = P(A) + P(B)
Experimentos compuestos: Hay experimentos que están compuestos de varios sucesos (dos o más).
Ejemplo: lanzar dos dados, tirar tres monedas, sacar dos cartas de una baraja, sacar tres bolas de un bingo…
o Lanzar dos dados es un experimento compuesto de dos sucesos simples, y es equivalente a lanzar un
dado dos veces. La 2ª vez que tiro un dado la probabilidad de sacar cualquiera de los números no varía.
2
La probabilidad de sacar un número mayor que 4 al tirar un dado es 𝑃(𝐴) = 6 = 0,333
Si tiro dos dados, es como lanzar un dado dos veces, siendo la probabilidad de sacar un número mayor
2
de 4 cada vez la misma. 𝑃(𝐴) = 6 = 0,333
Lo pasa si lanzamos una moneda, o en otros experimentos.
o Sin embargo en otros experimentos compuestos como sacar dos cartas de una baraja es importante saber
si tras el primer experimento simple, la carta es devuelta a la baraja, ya que la probabilidad de sacar la
carta la segunda vez varía dependiendo del caso.
4
La probabilidad de sacar un rey de una baraja es 𝑃(𝑅) = 40 = 0,1
Si saco dos cartas, es como pueden ocurrir dos cosas:
-
Con reemplazamiento: que la carta sea devuelta tras mirar la primera. En este caso, al igual que
4
antes, la probabilidad la segunda vez no variará, y seguirá siendo de 𝑃(𝑅) = 40 = 0,1
-
Sin reemplazamiento: que la carta no sea devuelta tras mirar la primera. En este caso, la segunda vez
tendremos una carta menos, con lo que los casos posibles pasarán de 40 a 39. Pero es que además
los casos favorables también pueden cambiar. Si la primera que saqué fue un rey pasarán a ser 3
3
reyes. Por lo que la segunda vez la probabilidad podrá ser de 𝑃(𝑅) = 39 = 0,077 si el primero fue
4
un rey, o de 𝑃(𝑅) = 39 = 0,103 si el primero no fue un rey.
Sucesos Dependientes y Sucesos Independientes:
o Dos sucesos son Dependientes cuando el primer suceso influye en el siguiente.
o
Dos sucesos son Independientes cuando el primer suceso no influye en el siguiente.
Probabilidad Condicionada: Se llama probabilidad de A condicionada a B y se representa por P(A/B) a la
probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.
La fórmula para hallar esta probabilidad es: P(A/B)=
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
o En los sucesos dependientes P(A/B) ≠ 𝑃(𝐴)
o En los sucesos independientes P(A/B)= 𝑃(𝐴)
Intersección de Sucesos Dependientes y de Sucesos Independientes:
Despejando en la fórmula anterior tenemos: P(A∩ 𝐵) = P(A/B)·P(B)
Pero si los sucesos son independientes la fórmula se convierte en: P(A∩ 𝐵) = P(A)·P(B)
o Sucesos dependientes: P(A/B) ≠ 𝑃(𝐴) → P(A∩ 𝐵) = P(A/B) ·P(B)
o Sucesos independientes: P(A/B) = 𝑃(𝐴) →
P(A∩ 𝐵) = P(A)·P(B)
Tabla de contingencia o tabla de doble entrada
En algunos problemas de probabilidad nos ayudaremos de esta tabla para solucionarlos:
B
Bc
Total
A
P(A∩B)
P(A∩ Bc)
P(A)
Ac
P(Ac ∩B)
P(Ac ∩ Bc)
P(Ac)
Total
P(B)
P(Bc)
1
Árbol
En algunos problemas de probabilidad nos ayudaremos de un árbol para solucionarlos:
1. En un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un suceso A es 0.68, la de que ocurra otro suceso B es 0.2,
y la de que no ocurra ninguno de los dos es 0.27. Halle la probabilidad de que:
a) Ocurran los dos a la vez.
b) Ocurra B pero no A.
c) Ocurra B, sabiendo que no ha ocurrido A.
2. Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que
𝑃(𝐴) = 0.8, 𝑃(𝐵) = 0.7, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.94.
a) ¿Son A y B sucesos independientes?
b) Calcule 𝑃(𝐴/ 𝐵).
c) Calcule 𝑃(𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 ).
3. Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que:
𝑃(𝐴) = 0.4, 𝑃(𝐵) = 0.5 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.2.
a) Calcule las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵), 𝑃(𝐴/𝐵) y 𝑃(𝐵/𝐴𝑐 ).
b) Razone si A y B son sucesos incompatibles.
c) Razone si A y B son independientes.
4. En una capital se editan dos periódicos, CIUDAD y LA MAÑANA. Se sabe que el 85% de la población lee alguno de
ellos, que el 18% lee los dos y que el 70% lee CIUDAD.
Si elegimos al azar un habitante de esa capital, halle la probabilidad de que:
a) No lea ninguno de los dos.
b) Lea sólo LA MAÑANA.
c) Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA.
5. Un turista que realiza un crucero tiene un 50% de probabilidad de visitar Cádiz, un 40% de visitar Sevilla y un 30% de
visitar ambas ciudades. Calcule la probabilidad de que:
a) Visite al menos una de las dos ciudades.
b) Visite únicamente una de las dos ciudades.
c) Visite Cádiz pero no visite Sevilla.
d) Visite Sevilla, sabiendo que ha visitado Cádiz.
6. De los sucesos aleatorios independientes A y B se sabe que 𝑃(𝐴) = 0.3 y que
probabilidades
a) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).
b) 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ). c) 𝑃(𝐴/𝐵𝑐 ).
𝑃(𝐵𝑐 ) = 0.25. Calcule las siguientes
7. De los sucesos independientes A y B se sabe que 𝑃(𝐴𝑐 ) = 0.4 y 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.8.
a) Halle la probabilidad de B.
b) Halle la probabilidad de que no se verifique B si se ha verificado A.
c) ¿Son incompatibles los sucesos A y B ?
8.
Se sabe que dos alumnos de la asignatura de Matemáticas asisten a clase, de forma independiente, el primero a un 85%
de las clases y el segundo a un 35%. Tomado al azar un día de clase, calcule la probabilidad de cada uno de los
siguientes sucesos:
a) Que los dos hayan asistido a clase ese día.
b) Que alguno de ellos haya asistido a clase ese día.
c) Que ninguno haya asistido a clase ese día.
d) Que haya asistido a clase el segundo, sabiendo que el primero no ha asistido.
9. Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen las probabilidades 𝑃(𝐴) = 0.60 y 𝑃(𝐵) = 0.25.
Determine las probabilidades que deben asignarse a los sucesos 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐴 ∩ 𝐵 en cada caso:
a) Si A y B fuesen incompatibles.
b) Si A y B fueran independientes.
c) Si 𝑃(𝐴/𝐵) = 0.40.
10.
a)
b)
c)
Sean dos sucesos, A y B, tales que 𝑃(𝐴) = 0.5, 𝑃(𝐵) = 0.4 y 𝑃(𝐴/𝐵) = 0.5.
Halle la probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.
Calcule la probabilidad de que no se verifique B si se ha verificado A.
¿Son independientes los sucesos A y B? Razone la respuesta.
11. En una empresa, el 65% de sus empleados habla inglés, y de éstos, el 40% habla también alemán. De los que
no hablan inglés, el 25% habla alemán. Se escoge un empleado al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable ambos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alemán?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que habla alemán, hable también inglés?
12. Un Centro de Salud propone dos terapias, A y B, para dejar de fumar. De las personas que acuden al Centro para dejar
de fumar, el 45% elige la terapia A, y el resto la B. Después de un año el 70% de los que siguieron la terapia A y el
80% de los que siguieron la B no han vuelto a fumar.
Se elige al azar un usuario del Centro que siguió una de las dos terapias:
a) Calcule la probabilidad de que después de un año no haya vuelto a fumar.
b) Si transcurrido un año esa persona sigue sin fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A.
c) Si transcurrido un año esa persona ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A.
13. En un servicio técnico especializado en cámaras fotográficas, el 70% de las cámaras que se reciben son del modelo A
y el resto del modelo B. El 95% de las cámaras del modelo A son reparadas, mientras que del modelo B sólo se reparan
el 80%. Si se elige una cámara al azar:
a) Calcule la probabilidad de que no se haya podido reparar.
b) Si se observa que no ha sido reparada, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B?
14. Una bolsa contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 4 negras. Ana saca una bola, anota su color y la devuelve a la bolsa, a
continuación extrae otra bola y anota su color.
a) Calcule la probabilidad de sacar una bola blanca y una bola negra
b) Calcule la probabilidad de sacar la primera blanca y la segunda negra
15. Calcule la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de sus puntuaciones sea múltiplo de 4.
16. Un ilusionista tiene seis cartas: cuatro ases y dos reyes. Saca una carta, la enseña al público y, sin verla, la vuelve a
mezclar con las demás. A continuación saca una segunda carta que resulta ser un as.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido también un as?
b) ¿Cuál sería la probabilidad si el ilusionista no devolviera la primera carta a la baraja?
17. Un dado tiene seis caras, tres de ellas marcadas con un 1, dos marcadas con una X y la otra marcada con un 2. Se lanza
tres veces ese dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres veces el 1? ¿Y de obtener dos X y un 2 en cualquier orden?