Cátedra de Ingeniería Rural Tema 3: FORMULAS DE LA FLEXION

Cátedra de Ingeniería Rural
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
Tema 3: FORMULAS DE LA FLEXION
− Fórmula general de la flexión: Momento de inercia y módulo resistente.
− Efecto de la forma de la sección transversal.
− Variación de la sección en el sentido longitudinal.
− Esfuerzo cortante en la flexión. Momento estático.
− Influencia de la forma de la sección transversal.
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FORMULA GENERAL DE LA FLEXION
Después de la deformación, los planos de las dos secciones laterales
adyacentes mn y pq se cortan en O. Designando por dθ el ángulo que forman
estos planos se observa que:
dx = ρ ⋅ dθ
1
dθ = ⋅ dx
ρ
siendo
1
la curvatura del eje neutro.
ρ
Se traza por el punto b del eje neutro una recta p’q’ paralela a mn para
indicar la orientación primitiva de la sección transversal antes de la flexión.
El segmento cd de una fibra distante y de la superficie neutra se alarga
una magnitud dd’ ( dd' = y ⋅ dθ ). Como la longitud inicial de dd’ era dx, la
deformación correspondiente es:
εx =
δ dd' y ⋅ dθ
=
=
l dx
dx
y
εx =
ρ
Fibras cara convexa: alargamiento → TRACCION
Fibras cara cóncava: acortamiento → COMPRESION
La tensión de cada fibra será directamente proporcional a su deformación
longitudinal:
σx = εx ⋅ E =
E
⋅y
ρ
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DETERMINACION DEL EJE NEUTRO
El fuerza que actúa sobre un elemento de área dA es σx⋅dA
Aplicando la ecuación σ x = ε x ⋅ E =
E
⋅y
ρ
se tiene que el elemento de fuerza que actúa sobre el área dA es:
E 
σ x ⋅ dA =  ⋅ y  ⋅ dA
ρ 
Puesto que NO debe haber fuerza normal resultante Nx (FLEXION
PURA)
∑F = 0
∫σ
A
x
E 
E
⋅ dA = ∫  ⋅ y  ⋅ dA = ⋅ ∫ y ⋅ dA = 0
A ρ
ρ A


Como
E
≠ 0 se deduce que
ρ
Recordando que
se tiene
∫
A
yc =
∫
A
∫
A
y ⋅ dA = 0
y ⋅ dA
A
y ⋅ dA = y c ⋅ A = 0
Como A =/ 0 yc=0, lo que indica que el EJE NEUTRO de la sección recta
pasa por su centro de gravedad.
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Las tensiones distribuidas en la sección recta deben originar un par
resistente M.
σx⋅dA
El momento de la fuerza elemental
sección es dM=σx⋅dA⋅y.
respecto al eje neutro de la
La suma de los momentos elementales en el área total debe producir el
momento de flexión M en esta sección. Así:
M = ∫ y ⋅ σ x ⋅ dA =
A
E
⋅ ∫ y 2 ⋅ dA
ρ A
I = ∫ y 2 ⋅ dA
A
1
M
=
ρ E ⋅I
E⋅I se denomina rigidez de la flexión de la viga.
σx = ε x ⋅ E =
Combinando las expresiones
tiene que
σx =
Cara inferior (convexidad)
Cara superior (concavidad)
E
⋅y
ρ
y
1 M
=
,
ρ E ⋅I
se
M⋅ y
I
TRACCION
COMPRESION
Llamando c1 y c2 a las distancias a las fibras extremas en tracción y
compresión, respectivamente:
σT =
M ⋅ c1
I
σC =
M⋅c2
I
Si la sección transversal es simétrica con respecto a su eje de gravedad,
c1=c2=c y las tensiones de las fibras extremas en tracción y compresión son
iguales.
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Introduciendo las notaciones
W1 =
I
c1
y
W2 =
I
c2
llamados
MODULOS DE RESISTENCIA o MOMENTOS RESISTENTES de la sección,
se tiene:
σT =
M
W1
σC =
M
W2
• En el caso de una sección rectangular de anchura b y altura h
c1 = c 2 =
I=
h
2
b ⋅ h3
12
b ⋅ h3
I
b ⋅ h2
12
W1 = W2 = =
=
h
c
6
2
• En el caso de una sección circular de diámetro d
c1 = c 2 =
I=
d
2
π ⋅ d4
64
W1 = W 2 =
π ⋅ d3
32
• En el caso de una sección trapecial
Si c1<c2 → W1>W2 → σT<σC
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EFECTO DE LA FORMA DE LA SECCION TRANSVERSAL
• Si el material tiene la misma resistencia a tracción que a compresión, lo
lógico será elegir formas de sección transversal cuyo c.d.g. esté en el
plano medio de la viga.
∗ Secciones simétricas
∗ Si la sección no es simétrica, el material se suele distribuir entre
la cabeza y la base de modo que su c.d.g. esté próximo a la
paralela media.
• Si el material NO tiene la misma resistencia a tracción que a
compresión, la mejor sección recta es asimétrica con respecto al eje
neutro.
Las distancias c1 y c2 deben guardar la misma proporción que las
resistencias del material a tracción y compresión.
En el diseño de una viga que ha de estar expuesta a flexión, no sólo
deben ser satisfechas las condiciones de resistencia, sino que debe satisfacerse la
condición de economía de peso de la viga.
Dos secciones con el mismo momento resistente, la más económica será la
de menor área.
• Sección rectangular de altura h y anchura b
W=
b ⋅ h2 A ⋅ h
=
6
6
• Sección circular de diámetro d
W=
π ⋅ d3 A ⋅ d
=
= 0.125 ⋅ A ⋅ d
32
8
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Comparando una sección circular y una sección cuadrada del mismo área, se tiene:
h2 =
π ⋅ d2
4
W=
A ⋅h A π
= ⋅
⋅ d = 0.148 ⋅ A ⋅ d
6
6 12
→
h=
π
⋅d
2
Por tanto, una sección transversal cuadrada es más económica que una
circular.
Para el proyecto más económico, la mayor parte del material de la viga
debe estar situado tan lejos del eje neutro como sea posible.
Caso ideal teórico:
2
A h
A ⋅ h2
I = 2⋅ ⋅  =
2  2
4
A ⋅ h2
A ⋅h
W= 4 =
h
2
2
Para una sección de ala ancha normalizada:
W≅
A ⋅h
3
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VARIACION DE LA SECCION EN SENTIDO LONGITUDINAL
Vigas que se aproximan a las condiciones de igual resistencia en sus diversas secciones
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TENSIONES DE CIZALLADURA EN LA FLEXION
τr :
Tensiones rasantes
τt :
Tensiones tangenciales
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Suponemos AB = 1
Las fuerzas normales en las dos caras serán:
σ ⋅ dh ⋅ 1
(σ + dσ) ⋅ dh ⋅ 1
y
Las tensiones rasantes en A serán:
τ r ⋅ dl ⋅ 1
y
τ t ⋅ dh ⋅ 1
y
(τ t + dτ t ) ⋅ dh ⋅ 1
Las tensiones rasantes en B serán:
(τr
+ dτr ) ⋅ dl ⋅ 1
Tomando momentos respecto a A:
(σ + dσ) ⋅ dh ⋅ dh − σ ⋅ dh ⋅ dh + (τ t + dτ t ) ⋅ dh ⋅ dl − (τ r + dτ r ) ⋅ dl ⋅ dh = 0
2
2
Despreciando infinitésimos de 3er orden:
τ r ⋅ dl ⋅ dh = τ t ⋅ dl ⋅ dh
⇒ τr = τ t
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ESFUERZO CORTANTE en la FLEXION
En una viga sometida a flexión, en cada sección transversal hay momento
flector y esfuerzo cortante.
El MOMENTO FLECTOR representa la RESULTANTE de una cierta
distribución lineal de las TENSIONES NORMALES σ en la sección.
El ESFUERZO CORTANTE debe ser la RESULTANTE de una cierta
distribución de TENSIONES CORTANTES τ en la sección.
¿Cómo es la distribución de τ en la sección para satisfacer las condiciones
de equilibrio?
La tensión cortante τ debe variar con la distancia y al eje neutro, siendo
nula para y = ±
h
2
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ESFUERZO CORTANTE en la FLEXION.
MOMENTO ESTATICO
• Si M es constante, dσ = 0, y en ambas caras hay la misma distribución de
tensiones normales σ.
Entonces τ = 0, lo que confirma que la flexión pura no produce tensiones
cortantes en la viga.
• Caso general: Momento flector variable.
La fuerza que actúa sobre un área elemental dA a la izquierda del bloque
(cara pn):
σ ⋅ dA =
M⋅ y
⋅ dA
I
Sobre toda la cara:
M⋅ y
∫y1 I ⋅ dA
c1
(1)
La fuerza que actúa sobre un área elemental dA a la derecha del bloque
(cara p1n1):
∫
c1
y1
(M + dM) ⋅ y ⋅ dA
(2)
I
La fuerza cortante que actúa sobre la cara superior del bloque es:
τ ⋅ b ⋅ dx
(3)
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Si establecemos el equilibrio entre (1), (2) y (3), se tiene:
τ ⋅ b ⋅ dx = ∫
c1
y1
(M + dM) ⋅ y ⋅ dA −
I
∫
c1
y1
M⋅ y
⋅ dA
I
Por tanto
dM ⋅ y
⋅ dA
y1
I
τ ⋅ b ⋅ dx = ∫
τ=
c1
dM 1 c 1
⋅
⋅ y ⋅ dA
dx I ⋅ b ∫y1
Q=
dM
dx
c1
S = ∫ y ⋅ dA
y1
es el momento
τ=
estático
Q⋅S
I⋅b
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CORTANTE en la FLEXION. MOMENTO ESTATICO.
SECCION RECTANGULAR
τ=
Q⋅S
I⋅b
c1
S = ∫ y ⋅ dA
y1
dA = b ⋅ dy
c1 =
Al ser la sección rectangular,
h
2
h/2
S=∫
h/2
y1
y ⋅ b ⋅ dy = b ⋅ ∫
h/2
y1
y2 
y ⋅ dy = b ⋅ 
2 y
=
1

b  h2
⋅ 
− y 12 
2  4

El momento estático se puede expresar como producto del área de la sección por
la distancia desde el cdg hasta el eje neutro.
h

Area = b ⋅  − y 1 
2

h

 − y1 
 = y 1 + h − y 1 = 1 ⋅  h + y 1 
da = y 1 +  2
4 2 2 2
 2 






h
 1 h
 b  h2
Area ⋅ da = b ⋅  − y 1  ⋅ ⋅  + y 1  = ⋅  − y 12 
 2 2
2
 2  4

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τ=

 Q  h2
Q ⋅ S Q ⋅ b  h2
⋅  − y 12 
⋅  − y 12  =
=
I⋅b
I⋅b ⋅ 2  4

 2 ⋅I  4
I=
En una sección rectangular,
1
⋅ b ⋅ h3
12
El esfuerzo máximo se produce en el eje neutro
τmáx =
Para una sección circular,
Q
2⋅
Variación PARABOLICA
1
⋅ b ⋅ h3
12
⋅
τ máx =
⇒
y1 = 0
h2 3 Q
3 Q
= ⋅
= ⋅
4 2 b ⋅h 2 A
4 Q
⋅
3 A
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CORTANTE en la FLEXION. MOMENTO ESTATICO. VIGA en I
h1
h h1 



− y1 
− 


h

h h  h

S = b ⋅  − 1  ⋅  1 + 2 2  + e ⋅  1 − y1  ⋅  y1 + 2
2 
2 
2
 
2 2   2








h
y 
h h 
h h  h
h
 
S = b ⋅  − 1  ⋅  1 + − 1  + e ⋅  1 − y1  ⋅  y1 + 1 − 1 
4 2
2 2   2 4 4 
2
 
h 
h h  h h
h
 y
S = b ⋅  − 1  ⋅  1 +  + e ⋅  1 − y1  ⋅  1 + 1 
4
2 2   2 4
2
 2
S=
τ=
y1 = 0
Q⋅S
I⋅b
⇒

b  h 2 h12  e  h12
⋅  −  + ⋅  − y 12 
2  4
4 2  4

(Expresión genérica; en el alma b = e)
τ máx
τ máx =
y1 =
h1
2
⇒
Q  b  h 2 h12  e ⋅ h12 
⋅ ⋅  −  +
I ⋅ e  2  4
4
8 
τ mín
τ mín =
Q  b  h 2 h12  
⋅ ⋅  −  
I ⋅ e  2  4
4 
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