x - Universidad Nacional de Tucumán

Universidad Nacional de Tucumán
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y TECNOLOGIA
MAGISTER EN
METODOS
NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES
EN INGENIERIA
MATEMATICA
NUMERICA
2
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Tema 2
Resolución de ecuaciones
no lineales
OBJETIVOS
Familiarizarse con los métodos numéricos de
búsqueda de raíces de ecuaciones no lineales
Aprender a usar Matlab para resolver problemas
de ciencias e ingeniería que involucren el cálculo
de raíces
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Tema 2
Resolución de ecuaciones
no lineales
TEMAS
Planteo del problema. Característica de los
algoritmos: medida de la velocidad de convergencia, valores iniciales y criterio de aproximación.
Iteración funcional. Aproximaciones sucesivas.
Métodos de iteración de dos puntos: falsa
posición, secante y bisección. Método de
Newton-Raphson. Promoción de la convergencia,
algoritmo de Aitken. Raíces de polinomios,
deflación, métodos para raíces reales y
complejas. Aplicación empleando Matlab.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
PLANTEO DEL PROBLEMA
Dada una función f(x) de una
única variable x, encontrar la
raíz de la ecuación
f(x) = 0
significa encontrar el valor x*,
tal que verifique esa igualdad
f(x*) = 0
Si f(x) es un polinomio de
orden n
f(x) = an x n + an-1x
n-1
+
+ … + a1x + a0,
La ecuación f(x) = 0 tiene n
raíces (reales o complejas)
Raíz
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
PLANTEO DEL PROBLEMA
Si f(x) es una función trascendente, el
problema de la existencia y unicidad de la
solución de la ecuación es complejo.
No tiene solución
Tiene 1 raíz
Tiene 2 raíces
Tiene 3 raíces
Tiene infinitas raíces
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
PLANTEO DEL PROBLEMA
Gráficamente se ve distintas
situaciones cuando se analiza a
f(x) en un intervalo acotado.
No tiene
solución
Tiene
1 raíz
Tiene 2
raíces
Tiene 3
raíces
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
PLANTEO DEL PROBLEMA
Puede haber situaciones en las que existan raíces múltiples. En ese caso, f(x) y la derivada f’(x) se anulan para
el valor de la raíz.
Raíz
Doble
Raíz
Triple
Esto es importante ya que puede
condicionar la solución numérica
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
PLANTEO DEL PROBLEMA
Son dos las
situaciones
que pueden
surgir:
(A) Se necesita calcular
una determinada raíz
real de la función f(x)
(B) La función en cuestión es
un polinomio P(x) y se necesita
evaluar todas sus raíces
La estrategia a emplear en
diferente en cada caso
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
CALCULO DE UNA RAIZ - ALGORITMOS
(A) Métodos de cómputo
de una raíz real de la
función f(x).
Involucra dos pasos:
1) Determinación de intervalo de búsqueda,
esto es, los límites superior e inferior en el
que la raíz puede estar. Esto en general se
podrá conocer, cuando la ecuación se vincula
al modelo de un sistema físico.
2) Selección y aplicación de un método
numérico apropiado para determinar la raíz
con la exactitud adecuada.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
CALCULO DE UNA RAIZ - ALGORITMOS
(A) Métodos de
cómputo de una
raíz real de la
función f(x).
Métodos Cerrados
BISECCION
REGULA FALSI
Métodos Abiertos
SUSTITUCION SUCESIVA
NEWTON-RAPHSON
SECANTE
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA BISECCION
Paso 1: Elegir xL y xU los extremos del intervalo entre
los que se encuentra la raíz, verficando que se
cumpla que f(xL)*f(xU) < 0.
Paso 2: Estimar la raíz en la mitad del intervalo
(bisección).
xM = 0.5*(xL + xU)
Paso 3: Determinar el nuevo intervalo de búsqueda.
if f(xM)*f(xL) < 0
xU = xM
esle
xL = xM
end
Paso 4: Repetir la iteración hasta lograr la presición
requerida
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA BISECCION
f(x)
xM=0.5(xL+xU)
xL
o
xU
Nuevo intervalo
de búsqueda
x
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA BISECCION
El análisis del algoritmo permite mostrar las
siguientes características, comunes a todos los
métodos:
(1)El algoritmo genera una sucesión
Sn = x0, x1, x2, ..., xn que representa las
sucesivas aproximaciones a la raíz real x*.
(2)Dos aspectos asociados a la sucesión Sn son
importantes: convergencia y velocidad de
convergencia.
(3)Hay que establecer algún criterio para
decidir cuando una aproximación de la raíz
real tiene la precisión adecuada.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
ALGORITMOS DE BUSQUEDA DE RAICES
CONVERGENCIA
Una sucesión de las sucesivas aproximaciones
Sn = x0, x1, x2, ..., xn es convergente
a la raíz real x* si se cumple que: lim Sn x *
n
El error ek que se comete
en la iteración k es:
La sucesión converge
con velocidad r si
existe el límite y C es
una constante no nula
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
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ALGORITMOS DE BUSQUEDA DE RAICES
CONVERGENCIA
r = 1 Convergencia lineal ( C < 1)
r > 1 Convergencia superlinear
r = 2 Convergencia cuadrática
Con convergencia lineal, se gana un
dígito de precisión en cada iteración.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
ALGORITMOS DE BUSQUEDA DE RAICES
CONVERGENCIA
Las dos medidas de exactitud
de la solución obtenida son:
El error en la ecuación f(x) = 0
debe ser menor que una cantidad
(tolerancia) especificada.
El requisito de error de la variable
independiente se expresa por medio
de la aproximación de dos
iteraciones sucesivas en forma
relativa (tolerancia) o número de
cifras significativas (m)
f(x)
Tol 2
xk
xk
1
xk
xk
1
xk
Tol1
10
m
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
ALGORITMOS DE BUSQUEDA DE RAICES
CONDICION DEL SISTEMA
f(x) bien
condicionada
f(x) mal
condicionada
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA BISECCION
¿Cuándo se
detiene el
proceso?
a
xk 1 xk ε1
xa1
o
f ( x ) ε2
x*
bx2
b
Raíz, cuyo
valor se
desconoce
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA BISECCION
Las características más
relevantes del método son:
(1)Es probablemente el método más simple
y robusto, que asegura la obtención de
la raíz con una precisión determinada
en un número finito de iteraciones
10 m
log
b a
Nro de iter
log 0.5
(2)La velocidad de convergencia puede ser
relativamente lenta (lineal).
METODO DE LA REGULA FALSI
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
y
o
(xM,0)
xL
o
xU
xM
xU
x
x U xL
f(x U )
f(x U ) f(x L )
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA REGULA FALSI
Paso 1: Elegir xL y xU los extremos del intervalo entre
los que se encuentra la raíz, verficando que se
cumpla que f(xL)*f(xU) < 0.
Paso 2: Estimar la raíz usando una aproximación lineal
(la recta que pasa por los puntos extremos).
xM
xU
x U xL
f(x U )
f(x U ) f(x L )
Paso 3: Determinar el nuevo intervalo de búsqueda.
if f(xM)*f(xL) < 0
xU = xM
else
xL = xM
end
Paso 4: Repetir hasta lograr la precisión requerida
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA REGULA FALSI
¿Es este método
superior al de la
Bisección?
(b, f (b))
a
x*
b
(a+b)/2
(a, f (a))
x
a
f(a)
b a
f(b) f(a)
METODO DE LA REGULA FALSI
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Las características más relevantes son:
(1)Método robusto, que asegura la obtención de
la raíz con una precisión determinada en un
número finito de iteraciones.
(2)Requiere 2 puntos iniciales.
(3)Convergencia superlineal.
(4)Convergencia lenta
con funciones
altamente convexas
o cóncavas.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE SUSTITUCION SUCESIVA
Este método se conoce también como Método
de las Iteraciones Funcionales o Método del
Punto fijo.
Si la ecuación
a resolver es:
f(x)
0
Se la re-escribe
como:
Se genera la ley
de recurrencia
como:
xk
1
g(xk )
x g(x)
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE SUSTITUCION SUCESIVA
y
x
Si la ecuación
a resolver es:
f(x)
0
y g(x)
Se la re-escribe
como:
y f(x)
RAÍZ
x g(x)
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE SUSTITUCION SUCESIVA
Paso 1: Elegir una
aproximación inicial
x0 (guess).
Paso 2: Calcular la
siguiente
aproximación con:
xk
1
g(xk )
Paso 3: Repetir hasta
lograr la precisión
requerida
X*
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE SUSTITUCION SUCESIVA
Existen infinitas posibilidades
para elegir la función g(x).
Podrían definirse
las funciones g(x):
Para la función:
¿Con qué criterio se elige g(x)?
METODO DE SUSTITUCION SUCESIVA
y
p1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
y
y=x
y=x
p0
y=g(x)

p0

p1
y=g(x)
x
x0
x1
x
x*
y
y=g(x)
p0
x0
x*
x1
y
y=x
y=x
y=g(x)
p0

p1
p1
x
x1 x0 x*

x
x0 x*
x1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE SUSTITUCION SUCESIVA
(1)La condición para que el método sea
x (a, b)
convergente es que g' (x) 1
(Teorema 2.3, Burden y Faires)
(2)Se puede probar que tiene convergencia
lineal. (Teorema 2.7, Burden y Faires)
(3)Este método resulta particularmente útil
cuando se debe resolver un conjunto de
ecuaciones en secuencia, en el que en la
primera se propone una aproximación inicial
y con la última se verifica si es correcta.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE NEWTON RAPHSON
• Paso 1: Elegir una
aproximacion inicial
x0 (guess).
• Paso 2: Calcular la
siguiente aproximación con:
xk
1
xk
f(x k )
f' (xk )
• Paso 3: Repetir
hasta lograr la
precisión requerida
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE NEWTON RAPHSON
Desarrollando al expansión de Taylor hasta el
término de orden cuadrático, con x0 x*，
f ( )
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
( x x0 )2， pertenece a
2!
(x,x0)
Haciendo x = x* y despreciando el
término cuadrático (x* x0)2
LINEAL
f ( x0 )
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
x* x 0
f ( x0 )
y
x
x*
x0
xi
1
xi
f(x i )
f (xi )
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE NEWTON RAPHSON
(1)Requiere un solo valor inicial y no es
preciso encontrar un intervalo en el que se
encuentre la raíz.
(2)Convergencia cuadrática. Esto indica que si
se dan las condiciones, la convergencia es
rápida.
(3)Tiene problemas de convergencia, por
ejemplo si f’’(x) = 0 en las proximidades de
la raíz x* o cuando hay raíces múltiples.
(4)El algoritmo permite la estimación de raíces
complejas si el valor inicial es un complejo.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO
DE
NEWTON
RAPHSON
Tres casos
en los que el
Método falla
para
encontrar la
raíz
f’’(x) = 0 en
adyacencias de x*
Con valores
iníciales en la
proximidades de
f’(x) = 0
Cuando la función oscila
en las proximidades x*
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE NEWTON RAPHSON
Aciertos y fallos
x
0
x0 x
0
x*
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE NEWTON RAPHSON
Regla de Fourier
SI en el intervalo [a,b] existe una raíz x* de la
ecuación f(x) = 0 y que f’(x) y f’’(x) no se anulan
en ningún punto del intervalo [a,b] (ambas derivadas tienen signo constante en dicho intervalo).
ENTONCES el método de Newton-Raphson es
convergente a la única raíz x* siempre que se
tome como valor inicial a:
Esta regla es una condición suficiente para
garantizar la convergencia, pero no es necesaria,
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE NEWTON RAPHSON
Regla de Fourier
La Regla
de Fourier
indica
cómo
elegir el
punto
inicial x0
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA SECANTE
• Paso 1: Elegir una
aproximación inicial
x0 (guess).
• Paso 2: Calcular la
siguiente aproximación con:
xk
1
xk
f(x k )(xk 1 xk )
f(x k 1 ) f(x k )
• Paso 3: Repetir
hasta lograr la
precisión requerida
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA SECANTE
Surge como variación del método de Newton Raphson.La pendiente
de la recta (derivada) se estima por diferencias finitas entre dos
puntos.
SECANTE
TANGENTE
Método de
Newton
x1 x0
Pendiente TANGENTE
f ( xk )
f ( xk ) f ( xk 1 )
xk xk 1
Pendiente SECANTE
xk
1
xk
f ( xk )( xk xk 1 )
f ( xk ) f ( xk 1 )
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODO DE LA SECANTE
(1)Requiere dos valores iniciales. No es preciso
acotar un intervalo en el que se encuentre la
raíz x*.
(2)Convergencia superlineal. Se puede probar
que el orden de convergencia es 1.62.
(3)Tiene problemas de
convergencia similares
a los del método de
Newton Raphson.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
METODOS LA FALSA POSICION Y
DE LA SECANTE - COMPARACION
f(x) = ln(x).
1ª Iter.
Regula Falsi
2ª Iter.
Secante
COMPARACION ENTRE METODOS
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COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Método
Ventajas
Desventajas
Fácil de implementar. Robusto
Garantiza una reducción del eror
de estimación del 50 % en cada
iteración
Convergencia linear
Puede ser muy eficiente
dependiendo de la fórmula de
recursión empleada.
Requiere un solo punto para
iniciar la iteración.
Puede diverger.
La ecuación de recursión que
garantiza convergencia puede no
ser obvia.
La performance depende de la
ecuación de recursión.
Newton
Raphson
Convergencia local cuadrática.
Requiere un solo punto para
iniciar la iteración.
Puede diverger cuando f’(x) es
muy pequeña o muy grande.
Requiere el cómputo de f’(x).
Secante
Convergencia casi cuadrática
(1.628).
Fácil de implementar.
Puede diverger cuando el
gradiente de la función es muy
pequeño o muy grande.
Sensible a la estimación inicial
de la pendiente.
Fácil de implementar.
Robustez, con garantía de
convergencia.
La velocidad de convergencia
puede ser muy baja, especialmente para funciones altamente
cóncavas o convexas.
Bisection
Sustitución
Suceciva
Regula falsi
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
COMPARACION
ENTRE
METODOS
Velocidad de
convergencia.
Caso de la ecuación:
f(x) exp( x) x 0
x* 0.567...
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RAICES MULTIPLES
Raíz
Doble
Raíz
Triple
f(x) (x 3)(x 1)(x 1)
f(x) (x 3)(x 1)(x 1)(x 1)
f(x) x 3 5x2 7x 3
f(x) x 4 6x3 12x2 10x 3
PROBLEMAS
Las funciones no cambian de signo cuando tienen multiplicidad par.
f’(x) se aproxima a cero con muy baja velocidad de convergencia
(la pendiente es nula en raíces múltiples).
RAICES MULTIPLES
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Extensión del Método de Newton-Raphson
El método original de
Newton-Raphson:
Introduciendo una
nueva función u(x) que
se anula cuando f(x)
se hace cero:
El Método de
Newton para raíces
mútiples resulta:
xk
1
xk
f(x k )
f' (xk )
f(x)
u(x)
f' (x)
xk
1
xk
u(xk )
u' (xk )
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
RAICES MULTIPLES
La fórmula
de recurrencia
resulta:
xk
1
xk
f(x k )f' (xk )
2
f' (xk )
f(x k )f' ' (xk )
Recupera la convergencia original del
método de Newton (cuadrática)
La extensión del método de la secante
para raíces múltiples resulta en forma
análoga:
xk
1
xk
u(xk )(xk 1 xk )
u(xk 1 ) u(xk )
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
RAICES MULTIPLES
Otra Extensión del Método de NewtonRaphson
El método de
Newton-Raphson:
xk
1
xk
f(x k )
f' (xk )
Ralston y Rabinowitz proponen que se
introduzca un coeficiente m que representa la
multiplicidad de la raíz. Se puede lograr
convergencia cuadrática.
El Método para raíces
mútiples resulta:
xk
1
xk
f(x k )
m
f' (xk )
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
PROMOCION DE LA CONVERGENCIA
El método de sustitución sucesiva puede no converger. Y
en caso se convergencia, en alguno casos puede hacerlo a
baja velocidad. Para mejorar la convergencia existen
métodos. El más conocido es el Método de Aitken:
Paso 1: Elegir una aproximacion inicial x0 (guess).
Paso 2: Calcular dos aproximaciones:
x1
g(x0 ) ; x 2
g(x1 )
Paso 3: Evaluar la raíz corregida con la expresión:
x̂
Seguir empleando:
x0
xk
1
(x1 x 0 ) 2
x 0 2x1 x 2
xk
(xk
2
xk
2
2
x
)
1
k 2
2xk 1 xk
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
PROMOCION DE LA CONVERGENCIA
y
y = g(x)
y=x
Interpretación
gráfica del
Método de Aitken
P(x1, x2)
P(x0, x1)
x
x1
x* x2
x̂
x0
x̂
x0
(x1
x0
x0 )2
2x1 x 2
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
PROMOCION DE LA CONVERGENCIA
Una variante menor en la forma de aplicar el algoritmo
de Delta de Aitken es el Método de Steffensen que
produce buenos resultados:
Paso 1: Elegir una aproximacion inicial x0 (guess).
Paso 2: Calcular dos aproximaciones:
x1
g(x0 ) ; x 2
g(x1 )
Paso 3: Evaluar la raíz con la expresión:
2
x̂
Paso 4: Haga x0
x0
(x1 x 0 )
x 0 2x1 x 2
x1 ; x1
y vuelva al Paso 1
x2 ; x2
xˆ
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
PROMOCION DE LA CONVERGENCIA
Otra forma para expresar el algoritmo de Aitken se
conoce como Método de Wegstein
La iteración funcional calcula de
xk con:
xk
g(xk 1 )
El gradiente de g(x) se puede
estimar en xk con:
dg x
dx
xk
g xk
xk
g xk
xk 1
Y esto mejora la estimación de la función para la
próxima iteración:
Resultando:
xk
1
1
s
g xk
1
g xk
(1 q)g xk
s xk
qx k ; q
1
xk
s
s 1
xk
1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
RAICES DE POLINOMIOS
Los polinomios son funciones de relevancia en
modelos matemáticos en ciencias e ingeniería.
El teorema fundamental del álgebra y sus
corolarios siguen las siguientes reglas:
Un polinomio de orden n tiene n raíces que
pueden ser reales o complejas, simples o
múltiples.
Si los coeficientes del polinomio son reales,
y el orden es impar, al menos hay una raíz
real.
Si los coeficientes del polinomio son reales,
hay una raíz compleja, el conjugado también
es raíz.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
RAICES DE POLINOMIOS
Para el polinomio:
Px
an xn an 1xn
1
 a1 x a 0
0
Si x* es una raíz encontrada por alguno de los
procedimientos de búsqueda de raíces, entonces:
Px
x x * Q(x)
x x * bn 1xn
Px
bn 1x

n
bn
2
1
bn 2 xn
b n 1x * x
2
 b1 x b 0
n 1
bn
3
0
bn 2x * x
n 2
b 0 b1 x * x b 0 x* 0
Las raíces de Q(x) son también raíces de P(x). Este
procedimiento se denomina deflación polinomial.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
RAICES DE POLINOMIOS
Comparando
coeficientes:
bn
1
an
bn
2
an
1
b n 1x *
bn
3
an
2
bn 2x *

b1
a2 b2x *
b0
a1 b1 x *
Así se obtienen los coeficientes del polinomio
deflacionado Q(x) al que se le puede aplicar
de nuevo un algorimo de búsqueda de raíces.
Este procedimiento se conoce como División
Simétrica. (Regla de Ruffini)
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
RAICES DE POLINOMIOS
La División Simétrica empleada en conjunción con un
método de búsqueda de raíz (por ej. Método de
Newton, permite encontrar recursivamente las raíces
de P(x).
La derivada P’(xk), para aplicar el Método de Newton
se estimar con Q(xk).
P(x) (x xk )Q(x) R
P(xk )
(xk
xk )Q(xk ) R
R
Derivando P(x)
P' (x) Q(x) (x xk )Q'(x)
P' (xk )
Q(xk )
Teorema
del resto
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
RAICES DE POLINOMIOS
El algoritmo (Newton-Hörner) parte de un valor
inicial de raíz x0:
1.Se calcula P(xk)
2.Se calculan los coeficientes de Q(x) usando
División Simétrica.
3.Se estima P’(xk) = Q(xk)
4.Se aplica la fórmula de Newton Raphson
xk+1 = xk- P(xk)/Q(xk)
5.Se controla convergencia y se vuelve a 1 de
ser necesario
Notar: Se requiere una aproximación inicial de la raíz
en cada etapa. Una vez encontrada la primera, se
suele emplear ésta como aproximación de la siguiente.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
RAICES DE POLINOMIOS
Para raíces complejas y polinomio de coeficientes
reales, se debe trabajar con factores cuadráticos:
x1
a jb , x 2
a jb
(x - x1 )(x - x 2 ) x 2 (x1 x 2 )x x1x 2
x 2 px q
Entonces, el polinomio P(x) original de orden n se
deflaciona en dos órdenes al dividirlo por el factor
cuadrático.
P(x) (x 2 px q)Q(x) Residuo
(x 2 px q)(b n 2 x n
2
bn 3 xn
3
... b1x b 0 )
A(x p) B
Como antes, al multiplicar e igualar coeficientes se
obtiene:
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
RAICES DE POLINOMIOS
bn
bn
bn
an
a n 1 pb n 2
a n 2 pb n 3 qb n
2
3
3

A
B
a1 pb 2 qb 3
a 0 pb 1 qb 2
2
El Método de Bairstow,
es uno de los algoritmos
que emplea este esquema de deflación, calculando las raíces de a
pares.
Para que p y q correspondan a las
raíces de P(x), el residuo debe ser
nulo, es decir, se debe cumplir:
A(p, q) 0
B(p,q) 0
El algoritmo de Bairstow resuelve este sistema
no-lineal empleando el Método de Newton para
dos incógnitas.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
FUNCIONES DE MATLAB
fzero
Encuentra la raíz de una función de una variable
Sintaxis
x = fzero(fun,x0)
x = fzero(fun,x0,options)
x = fzero(fun,x0,options,P1,P2,...)
Algoritmo
fzero es un comando en un archivo M. El algoritmo se debe a
T. Dekker, que usa una combinación de los métodos de la
bisección, de la secante y de la interpolación inversa cuadrática.
(Forsythe, G. E., M. A. Malcolm, and C. B. Moler, Computer
Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, 1976).
Limitaciones
Encuentra raíces de funciones continuas que cambian de signo,
cortando el eje de las abscisas.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
FUNCIONES DE MATLAB
roots
Encuentra todas las raíces de un polinomio con coeficientes
reales.
Sintaxis
r = roots(c)
Con c el vector de los coeficientes del polinomio ordenados de
mayor grado al término independiente.
Algoritmo
Se computan las raíces a partir de los autovalores de una
matriz que tiene dicho polinomio característico.