Electricidad y magnetismo
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5-9-2011 UNAM ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO TEMA UNO | ING. SANTIAGO GONZÁLEZ LÓPEZ ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Vector Unitario Un vector unitario es aquel que tiene modulo uno. Para halla un vector unitario, a partir de cualquier vector hay que dividir este último por su módulo. Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así para los ejes cartesianas x, y, z se emplean los vectores i, j, k: Vectores unitarios paralelos ejes cartesianos. Los vectores unitarios sirven para especificar una dirección determinada. La orientación de estos ejes cartesianos puede cambiarse siempre y cuando su orientación relativa sea la misma. ¿Cómo se obtiene? Sea v=ci+ bj+ zk; entonces 2 ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Objetivo Carga Eléctrica Los antiguos griegos descubrieron en 600 A.C, que cuando frotaban ámbar con lona, el ámbar atraía otros objetos. La carga eléctrica es una propiedad de la materia. Procesos de carga: Frotamiento Contacto: carga -Electrostática -Interacción entre cargas eléctricas que están en reposo ( casi) Inducción: carga Procesos de descarga Conexión a tierra. Ionización del aire. Luz UV. Viento eléctrico. Serie Triboeléctrica Frotamiento: Al frotar barras de vidrio con seda, las barras de vidrio adquieren carga eléctrica. Ala carga adquirida por la barra de vidrio se le llama (+) positiva. Si ambas barras de vidrio se ponen una cerca de la otra, estas se repelen. 3 Dos barras de vidrio, frotadas con seda se repelen mutuamente. Si frotamos una barra de plástico con piel esta adquiere lo que llamamos carga (-) negativa. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Ahora si acercamos una barra de plástico con carga (-) a una barra de vidrio o con carga (+) están se atraerán mutuamente. 4 Estos experimentos demuestran la existencia de dos tipos de carga, que Benjamín Franklin (1706-1790), sugirió se llamaran carga (+) y carga (-). Por lo tanto dos cargas positivas o dos cargas negativas, se repelen mutuamente, una carga (-) y una carga (+) se atraen una a la otra. CARGA ELÉCTRICA Y ESTRUCTURA DE LA MATERIA Cuando una barra se carga, frotándola con piel o seda, no hay cambio visible alguno en apariencia en la barra. ¿Qué ocurre cuando la barra se carga? Estructura del átomo -Electrón Tres partículas -Protón -Neutrón Masas de las partículas Masa del electrón Masa del protón Átomo de Litio 5 Carga del electrón Núcleo atómico ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS a) Se considera un átomo neutro, características de la materia. b) Se considera ION (+) carga eléctrica (+). c) Se llama ION (-) se considera con carga eléctrica (-). Ion (-) ha ganado uno o más electrones. Ion (+) ha perdido uno o más electrones. Ionización Principio de conservación de la carga La suma algebraica de todos las cargas eléctricas cualquier sistema cerrado es constante. Barra de vidrio + seda (+) (-) Gana electrones Piel (+) más plástico (-) de la barra de vidrio. No cambia la carga eléctrica total de los dos cuerpos juntos. La suma algebraica de todas las caras eléctricas de cualquier sistema cerrado es constante. El primer principio. La magnitud de la carga del electrón o del protón es una unidad natural de la carga Segundo principio La magnitud de la carga del electrón o del protón es una unidad natural de carga. Características de los materiales. Aislantes Conductores Semiconductores Vidrio Aislantes: Caucho ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Madera 6 Oro Conductores Aluminio Cobre Plata Lo metales son buenos conductores o conductor de Cu tomando con la mano porque no atrae papeles? Si el Cu está unido a material aislante o porque atrae los papeles. Semiconductores Sus propiedades eléctricas se encuentran entre las de los aislantes y las de los conductores. Transistores Ge Germanio Si Silicio Proceso de Contacto Por contacto tomamos la barra superior con una barra frotada (vidrio carga (+)) ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS 8 Si tomamos otra barra de vidrio y tocamos el electroscopio, generamos un aumento de carga (+) 9 Qué ocurre si a cercamos ahora una barra de plástico frotando con piel? Este pierde carga (+) y gane (-). Por lo tanto decrece en su magnitud. 10 Por lo tanto de carga por contacto adquiere la misma carga que se obtuvo en el proceso de frotamiento. Proceso de Carga por inducción Si tenemos un generador Van de Graff Durante el proceso de inducción, se cumple “cargas de signo contrario se atraen”, por lo tanto en la esfera asilada las cargas de signo contrario a las del casco del generador, se concentran en el área de la esfera aislada, ms cercana al casco. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Frotamiento Vidrio + Seda 11 Cuando se acerca al electroscopio sin tocarla las cargas negativas se concentran en su parte superior y atraído por la barra de vidrio, cerrándose las varillas del electroscopio. Procesos de Descarga 12 Ionización Al colocarlo al casco del generador este pierde su carga. 13 ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Luz UV Al iluminar el casco del generador con la luz UV, este pierde su carga eléctrica. 14 Vientos Eléctricos Al cargar un generador, que contiene una punta en sus superficies, esta se disipa para el ambiente por este punto. Ejemplo para laboratorio. 15 La Carga Eléctrica esta cuantizada Cuando transferimos carga de un objeto a otro, la transferencia no puede efectuarse en unidades arbitrariamente pequeñas. En otras palabras, el flujo de carga como corriente no es continuo, si no que consta de elementos discretos. Los experimentos demuestran que la carga eléctrica siempre existe solo en cantidades que son múltiples enteros de carga. Electrón carga=-e Protón carga=+e ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS La ecuación q=ne nos dice que es posible tener, en objeto, una carga neta de +10 e o de -6e, pero nunca una de 3.57e. Cuando los valores de una propiedad quedan restringidos a múltiplos discretos de una magnitud básica, decimos que la propiedad esta cuan tizada. Ley de Coulomb Hasta ahora: 1. Dos tipos de cargas (+) y (-). Estas ejercen fuerzas de Atracción Repulsión Los primeros experimentos cuantitativos exitosos con que se estudió la fuerza entre las cargas eléctricas fueron realizados por Charles Agustín Coulomb (1736-1806), quien midió las atracciones y repulsiones eléctricas, deduciendo la ley que las rige. Conclusiones de coulomb 16 Donde q1=carga de la esfera. q2= carga de la esfera. r= Distancia entre sus centros. La fuerza en una carga debido a la otra actúa en la línea que los conecta. | || | K: constante de proporcionalidad. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Ley de Coulomb Forma vectorial La fuerza también posee propiedades direccionales por ser un vector. En el caso de esta ley, su dirección la determine el signo relativo de las dos cargas eléctricas. Repulsión 17 La forma vectorial de la ley de Coulomb es útil porque contiene la información direccional alrededor de F e indica si la fuerza atrae o se repelé. Aquí representa la magnitud del vector dirección de . Esto es ̂ . ̂ | | y , e indica el vector unitario en la ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̂ ̂ Fuerzas de igual magnitud pero de sentido contrario Vector unitario Los vectores unitarios tienen de modulo la unidad. Normalizar un vector, obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide este por su módulo. ̅ ̅ | | Principio de Superposición de Fuerzas En este caso la ecuación de Coulomb se utiliza cuando se trata de fuerzas que operan sobre más de dos cargas. La fuerza total de una se calculara tomando las fuerzas debidas a cada una de las cargas restante. 18 El vector unitario r determina la dirección y sentido de la fuerza ̂ No existe en este caso componente en z. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS El campo eléctrico Cuando dos partículas con cargas eléctricas en el espacio vacío interactúa. ¿Cómo sabe cada una que la otra esta hay? Carga Carga Interacción Carga campo carga En otras palabras, la primera carga crea un campo eléctrico y la segunda interactúa con el campo eléctrico de la primera. El problema de determinar la interacción entre las cargas se reduce cada uno de ello a dos problemas separados. Determinar por medición o cálculo el campo eléctrico creado por la primera carga en todos los lugares del espacio. Calcular la fuerza que el campo ejerce sobre la segunda carga ubicada en un punto particular del espacio. Definición de “E” El campo eléctrico E en un punto en el espacio se define como la fuerza eléctrica Fe, que actúa sobre una carga de prueba positiva qo colocada en dicho punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba qo. ̅ ̅̅̅ [ ] 19 La fuerza eléctrica sobre un cuerpo con carga eléctrica sobre un cuerpo con carga es ejercida por el campo eléctrico creado por otros cuerpos con carga. El campo eléctrico da en la dirección de la fe. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Campo Eléctrico Si definimos como vector intensidad de campo eléctrico en un punto dado de una región, a la fuerza eléctrica por unidad de carga colocada en el punto, entonces a cada punto dela región donde existe carga eléctrica podemos asociar a un vector intensidad de campo eléctrico. Dicha región une función vectorial variable vectorial, usualmente se dice que existe un campo eléctrico. Cuando al colocar una carga q en un punto cualquiera experimentara una fuerza eléctrica F, entonces. 20 ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̂ En otras palabras la carga q1 crea un campo eléctrico y q2 interactúa con el campo eléctrico de q1. a) Coordenadas cartesianas (x,y,z) ̂ ̂ ̂ b) Coordenadas cilíndricas (r, ,z) ̂ ̂ c) Coordenadas esféricas (r, , ) ̂ ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Principio de Superposición Si se tiene dos o más cargas puntuales y se desee calcular intensidad de campo eléctrico en un punto aplicamos el principio de superposición, que es la suma vectorial de los campos producidos por cada uno de las cargas que existen en la región. Implica que el campo eléctrico que produce una carga que existe en la región. Implica que el campo eléctrico que produce una carga no se verá afectado por la presencia de otras cargas. Para n-cargas puntuales. ̅ ̂ [ ] ∑ ̅ ̅ ̅ | | ̂ Sust (2) en (1) ̅ | ̅ | ̂ | | ̅ | | ̂ ̂ Campo de un Dipolo Eléctrico Problema de un cálculo 21 campo eléctrico en el punto (0,0) ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Por el principio de superposición, el campo en el origen es la suma de los campos que creo con la carga. Se observa que la suma vectorial de los cuatro vectores es nula ya que E1 y E3 son dos vectores de igual modulo, misma dirección y sentidos contrarios. Lo mismo con E2 y E4. Por lo tanto el campo eléctrico total es nulo. ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Distribución de carga En general el exceso de carga en los cuerpos puede presentarse distribuido en un volumen, uno superficie o una línea. 22 Campo eléctrico producido por una distribución volumétrico ̅ | | ̂ ̂ ∭ ̂ Distribuciones continúas de carga Hasta ahora hemos visto como calcular las fuerzas debidas a cargas puntuales. Pero en muchas aplicaciones las fuerzas son ejercidas por objetos cargados como varillas, placas o solidos (aislantes). Carga 1nC=10(checar subíndice) 10 cargas puntuales. Por ello haremos las siguientes consideraciones para distribuciones continuas de carga. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS 1. Densidad lineal de carga ( ). 2. Densidad superficial de carga ( ). 3. Densidad volumétrica de carga ( ). Densidad lineal de carga ( ). Posee el mismo valor en todas sus partes. 23 Un elemento pequeño de la varilla (dx) tiene una carga (dq) expresada por dq= dx. Si la varilla presenta una carga uniforme de modo que una carga total “q” se distribuya uniformemente por “L” q/L Si una carga “q” se distribuye uniformemente e un área de superficie “A”, entonces =q/A. Si la carga “q” se distribuye uniforme mente en todo el volumen V, entonces q/v. 24 Un elemento pequeño de la superficie (dA) tiene una carga (dq), expresando por dq= dA. 25 ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Un elemento pequeño de volumen (dv). Tiene una carga (dq), expresado por dq= dV. Para ejemplificar los conceptos anteriores calcularemos expresiones referentes a la fuerza que sobre una carga puntual ejerce una distribución continua de carga. Al ampliar estos métodos es posible calcular la fuerza ejercida por una distribución de cargo continua sobre otra. Procedimiento para calcular la fuerza que una distribución de carga ejerce sobre una carga puntual . 1. Se supone que la distribución continua de carga está dividida en elementos pequeños de carga. 2. Se selecciona un elemento arbitrario y se expresa su carga dq según el tipo de distribución de que se trate. 3. Por eso dq infinitesimalmente pequeña, se trata como una carga puntual. 4. Determine la dirección F. 5. Se calcula (expresión matemática). Línea con carga uniforme 26 De acuerdo con Coulomb ̅ | | En este caso ̂ ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS | ̅ | ̂ ∫ ∫ ̅ ∫ ∫ √ ̅ ∫ ∫ Integrando ̅ ∫ Cuando ̅ Anillo con carga 27 √ ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS ̅ Precisamente la expresión de la fuerza de una carga puntual sobre otra. La varilla se parece a una carga puntual. ̅ El anillo se parece a una carga puntual Disco con carga 28 ̅ √ Anillo delgado de radio R que tiene carga positiva q distribuida uniformemente. 29 1. Elemento del anillo con carga pequeña dq tiene una longitud o igual a Rdq ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Por dq= 2. d ̅ Rd . ̂ d̅ ̂ 3. Podemos servimos de un argumento de simetría para probar que la única componente no cero de ̅ es una componente de . Por cada elemento d del anillo, habrá otro elemento de igual carga dq en el extremo opuesto de un diámetro que cruza el centro del anillo; cuando se unen los elementos de fuerza sobre provenientes de los dos elementos, se cancelaron todos los elementos de fuerza, excepto . Con , tenemos. ∫ 4. ∫ ∫ ̂ ∫ ∫ Cuando z Expresión que vuelve a darnos el resultado de las cargas puntuales. Aparecerá como una carga puntual cuando estemos lejos del anillo. Campo Eléctrico y Distribuciones de Carga En general el exceso de carga en los cuerpos puede presentarse distribuido, en un volumen, unas superficies o una línea. Sabemos que: ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS ̂ Para encontrar el campo total en un punto cualquiera, se toma la contribución de cada elemento de carga dq, el cual se puede considerar con una carga puntual y se integra en toda la región. ̅ ̂ ∫ ̅ ̂ ∫ Campo eléctrico debido a una carga q. Con objeto de resolver esta integral se utiliza los conceptos de densidad lineal de carga densidad de superficie de carga y densidad volumétrica de carga. , Si la carga se encuentra distribuida en un volumen. ̅ ∭ ̂ Campo Eléctrico por un segmento de línea cargada Una carga eléctrica positiva Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud 2a, que yace sobre el eje “y” entre y=-a y y=+a Halle el campo eléctrico en el punto P, situado sobre el eje de las x, a una distancia x del origen. 30 ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Utilizando la expresión de densidad lineal de carga. Sabemos además ̂ ̅ ̂ ̅ ̂ ̅ ̂ ̅ Por simetría en el eje ∫ ̅ Por qué no hay una cara sobre este eje. ∫ ̂ ̅ ̅ ∫ Resolviendo la integral ̅ | | ̂ ̂ = distancia del punto de análisis de la carga. Líneas de Campo Eléctrico Michael Faraday preparo una representación gráfica donde imagino que el espacio alrededor de una carga eléctrica estaba lleno de líneas de fuerza, que hoy llamamos líneas del campo eléctrico. Propiedades. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS 1. Las líneas del campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas. 2. El número de líneas del campo eléctrico es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. 3. No se cruzan. 4. La dirección de cada línea coincide en cada punto con la dirección del campo eléctrico. 31 Nota: La tangente a la línea del campo eléctrico que cruza un punto cualquiera del espacio denota la dirección del campo eléctrico ahí. Ley de Gauss En el tema anterior mostramos como calcular el campo eléctrico ( ̅) generado por una distribución de cargas dadas. La ley de Gauss es más convincente para calcular los campos eléctricos de distribuciones de carga muy simétricas y permite hacer útiles razonamientos cualitativos al tratar problemas amplificados. “Flujo Eléctrico” Aprovechando el concepto introducido por Faraday denominado líneas de campo eléctrico. Imaginando un campo eléctrico uniforme tanto en magnitud como en direccional que se muestra en la figura. 32 ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Las líneas solo sirven para visualizar el concepto. Las líneas de campo penetran en una superficie rectangular de área “A” cuyo plano esta orientado perpendicularmente en relación con el campo. Recuerda que el número líneas por unidad de área (densidad de líneas) es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. Por lo tanto, el total de líneas que penetran en la superficie es proporcional al producto ̅A. A este producto de la magnitud del campo eléctrico ̅y el área superficial A perpendicular ̅ al campo eléctrico s ele conoce como flujo eléctrico “Unidades de Flujo Eléctrico” Con base en el S.I. de unidades, vemos que el producto ̅ puede expresarse como: El flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que penetra en una superficie. Si la superficie en cuestión no es perpendicular al campo. El flujo que pasa atreves de él debe ser menor que el que resulta si se utiliza la ecuación (1). Consideremos la figura (2). 33 Donde la normal en relación con la superficie a está formando un ángulo en relación con el campo eléctrico uniforme. Observe que el número de líneas que atraviesan el área A es igual al número de líneas que atraviesan el área A, la cual es una proyección del área “A” a un plano orientado perpendicularmente en relación con el campo. En la figura podemos observar que ambas áreas están relacionadas por la formula ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Dado que el flujo que atraviesa A es igual al flujo que atraviesa A´, podemos concluir que el flujo que pasa a través de A es: A partir de este resultado vemos que el flujo que atraviesa una superficie de área A, tiene un valor máximo ̅ cuando la superficie es perpendicular al campo . Le flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo . “Generalización de la Ley de Gauss” Hemos supuesto un campo eléctrico uniforme en el análisis precedente. En situaciones más generales el campo eléctrico puede variar a lo largo de una superficie. Por lo tanto nuestra definición de flujo da por la ecuación (2), tiene un significado solo a lo largo de un pequeño elemento de área. Consideremos una superficie dividida en un gran número de elementos, cada uno de área La variación del campo eléctrico a lo largo de un elemento es superficialmente pequeño. puede despreciarse si este Es conveniente definir un vector cuya magnitud representa el área del elemento de orden i sobre la superficie y cuya dirección está definida como perpendicular el elemento de superficie como se muestre en la figura (3). 34 Por lo tanto el flujo eléctrico ̅ ̅ a través de este elemento es: ̅ Donde utilizamos la definición del producto escalar (producto punto): ̅ ̅ . Haciendo la suma de todas las contribuciones de todos los elementos, obtendremos el flujo total a través de la superficie. Si suponemos que el área de cada elemento se acerca a cero, entonces el número de elementos se acercaría a infinito y la suma se reemplaza por una integral. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS “Definición general de flujo” Por lo tanto, la definición general de flujo eléctrico es: ∑̅ ̅ ∫ ̅ ̅ La ecuación (4) es una integral de superficie, lo que significa que debe ser que evalúa sobre una superficie en cuestión. En general el valor de depende tanto del patrón de campo de la superficie. “Superficies Cerradas” A menudo nos interesa la evaluación del flujo que pasa atreves de una superficie cerrada misma no se define como aquella superficie que divida el espacio en una región exterior y una región interior, de manera que no es posible pasar de una región a otra sin atravesarla, ejemplo de una esfera. Figura de una esfera (4). 35 Los vectores apuntan en diferentes direcciones para varios elementos superficiales, pero con cada de ellos estos vectores son normales ala superficie y por regla convencional se apuntan hacia afuera. Para el caso uno, tenemos flujo positivo. Para el caso dos, tenemos flujo igual a cero. Para el caso tres, tenemos flujo negativo. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS “Flujo neto” El flujo neto a través de la superficie es proporcional al número neto de líneas que salen de la superficie, menos la cantidad de líneas que entren. Por lo tanto si salen más líneas que las que entran el flujo es positivo, si entran más líneas que las que salen el flujo es negativo. Por lo tanto podemos decir que el flujo es neto ∮̅ ̅ a través de una superficie cerrada es: ∮ “Ley de Gauss” Analizaremos una relación de tipo general entre el flujo eléctrico neto atreves de una superficie cerrada (Superficie de Gauss) y la carga encerrada por la superficie. La ley de Gauss, es de importancia fundamental en el estudio de los campos eléctricos. Supongamos una esfera de radio r, que contiene una carga puntual localizada en el centro, como se observa en la figura (5). 36 Sabemos que la magnitud del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de la esfera es: En cada punto de la superficie ̅ es paralelo al vector superficie, por lo tanto. ̅ que rodea al punto en la ̅ Y dela ecuación (5) encontremos que el flujo neto a través de la superficie Gaussiana es igual a: ∮̅ ̅ ∮ ∮ ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Donde lo hemos pasado E fuera de la integral ya que, por simetría E es constante a lo largo de la superficie y está dada por . Además enviste que la superficie es esférica. ∮ Por lo tanto el flujo neto a través de la superficie Gaussiana es: = Permitividad del espacio vacío El flujo neto es proporcional a la carga existente al interior de una superficie cerrada, e independiente del radio r, y es independiente de la forma de la superficie. Por lo tanto la Ley de Gauss dice que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es: ̅ ∮̅ Aplicaciones de la Ley de Gauss 1. De la Ley de Gauss y de la Ley de Coulomb 37 ∮̅ ̅ ̅ Posee la misma magnitud en todos los puntos de la esfera. ̅∮ ̅ ̅ ̂ ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS 2. Líneas Infinitas de Carga En la figura se incluyen una sección de una línea infinita de carga con densidad lineal positiva. A continuación determinaremos el campo eléctrico a una distancia r de la línea. 38 Para casos 1 y 3 (tapas del cilindro) ̅ ̅ Para caso 2. ∮̅ ̅ ̅ Área del cilindro ̂ 3. Hoja infinita de carga Deformación de un anillo o cilindro con carga 39 ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS ̅ ∮̅ ̅∮ ∯̅ ̅ ∯̅ ∬ ̅ Aplicando Gauss ̅ 4. Cascaron esférico con carga (Imagen) ̅ ̅ Un cilindro solido recto muy largo de radio R tiene una densidad de carga uniforme volumétrica. Calculo de intensidad del campo eléctrico a una distancia r del eje donde r<R. (Imagen) ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS 1. Para y ̅ ̅ 2. Para ̅ ∮̅ Campo eléctrico uniforme ̅ ̅ ∮̅ ̅ Área del cilindro Aplicando Gauss ̅ Volumen del cilindro Sustituyendo (2) en (1) ̅ ̅ ̂ Ley de Gauss y Los conductores Campo electrostático Conductores: q fluye fácilmente Materiales Semiconductores Aislantes ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS 1. Cuando se aplica un ̅ a un material conductor los electrones se mueven libremente. 2. En condiciones estáticas el campo dentro de un conductor es cero E=0 aun cuando lleve una carga neta. (Imágenes) a) Una plancha grande de conductor se pone en un campo eléctrico uniforme ̅ los electrones se desplazan hacia arriba en respuesta al campo. Flujo eléctrico y Ley de Gauss Existen dos características fundamentales de los campos vectoriales que nos permitirán describir las leyes del electromagnetismo de manera simple; estos son: a) flujo b) circulación El flujo eléctrico de cualquier campo vectorial C atreves de un elemento de superficie dA se define como: (Imagen) Nota: ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Producto Punto= coseno Para superficies cerradas la dirección del vector ̅ fuera. ̅ ̅ ̅ ∬ a la superficie, apuntando hacia a ̅ Cuando se obtiene el flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada contiene una carga neta encerrada, el resultado es: ∯̅ ̅ Ley de Gauss El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta contenida en el interior de la superficie dividida . ∯̅ ̅ ∭ Distribución de densidad volumétrica de carga ∭ La aplicación de la ley de Gauss nos permite obtener la carga contenida en una superficie cerrada imaginaria si se conoce la función que describe el campo en la región. También es útil para calcular la función del campo eléctrico de distribuciones simétricas de la carga. En esta, la aplicación de la ley de Gauss nos permite obtener fácilmente el campo eléctrico. Ley de Gauss en forma diferencial. ̅ Indica que el flujo del campo eléctrico por unidad de volumen en la vecindad de un punto cualquiera será igual a la densidad volumétrica de carga p en el punto dividido . ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Recordando el teorema de la divergencia Flujo ∬ ∭ El flujo de cualquier campo vectorial “C” a través de un elemento de superficie ̂ ̂ ̂ Divergencia de un campo vectorial C. Partiendo de la expresión de Gauss ∯̅ ̅ ∭ Según el teorema de la divergencia ∯̅ ̅ ∭ ̅ Para que la ecuación anterior se cumpla es necesario que los integrados sean iguales, por lo que: ̅ Ley de Gauss en forma diferencial nos indica que el flujo del campo eléctrico por unidad de volumen en la vecindad de un punto cualquiera será igual a la densidad volumétrica de carga en el punto en cuestión, dividendo entre . b) Los electrones se acumulan en la superficie superior, dejando iones positivos en el fondo. Estas cargas crean un campo ̅ . c) Dentro de la plancha el campo neto es cero . ̅ ̅ ̅ ̅ d) Fuera de la plancha, las hojas con carga de las dos superficies producen campos eléctricos que se cancelan, dejando inalterado allí el campo neto. Material Aislantes Un aislante puede transportar cualquier distribución de carga en su superficie o en su ̅ puede tener valores diferentes a cero. interior y ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS e) Un exceso de carga puesta en un conductor aislado se dirige en totalidad hacia la superficie externa del conductor. f) Ninguna parte del exceso se encuentra en el cuerpo del conductor. La Energía eléctrica y el Potencial Eléctrico Abordaremos el método de energía para estudiar la electrostática. Muchos fenómenos eléctricos se relacionan con la transferencia de grandes cantidades de energía. Parecido entre Fuerzas: ̅ | || | ̅ La (1) es de atracción y repulsión. La (2) únicamente de atracción. Ambos dependen del cuadrado inverso de la distancia que las separa. Potencia Eléctrico 1. Energía Eléctrica eléctricos. 2. Potencial Eléctrico Ayuda para resolver problemas que involucran campos (Imagen) En alguna región del espacio (Será acelerada) Para que q permanezca en equilibrio ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS ̅ ̅ Si queremos desplazar (Imagen) No importa la trayectoria seguida ̅ Realizaremos ∫ ̅ ∫ ̅ ̅ Esta ecuación se puede representar en forma equivalente como una diferencia de Energías Potenciales Eléctricas . Para obtener la energía Potencial Eléctrica en un punto se considera arbitrariamente que en una cierta región dicha energía (potencial). (Imagen)Región del espacio Definiremos la energía potencial eléctrica de la carga q en el punto A por medio de la relación siguiente. ∫ ̅ Potencial Eléctrico en el Pro A. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS ∫ ̅ ∫ ̅ Si existe (Potencial eléctrico en el punto B). Si ambos puntos se encuentran en diferentes potenciales, entre ambos tendremos una Diferencia Potencial Además ̅ ∫ ̅ Y ∫ ̅ ̅ Como el campo eléctrico es conservativo es válido escribir. ∫ ̅ ̅ ∫ ̅ ∫ ̅ ̅ Sustituyendo (2) en (1) Cualquiera que sea la posición B ∫ ̅ ̅ Diferencia de Potencia Voltaje Tensión. Para la fuerza gravitacional En el caso de la fuerza gravitacional se demuestra que cuando un objeto con , se desplaza desde una posicion hasta una posicion de . La diferencia de energia potencial es: Esta diferencia de Energia Potencial se relaciona con el sistema ENTERO , constituido por y , no con ninguno de los objetos de los objetos solos. Conclusion: Respecto a la fuerza electrostatica que ala gravitacional. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS La fuerza electrostatica es conservativa y por tanto, una energia potencial se relaciona con la configuración (la posicion relativa de los objetos) de un sistema donde operan fuerzas electrostaticas. La energia nos permite determinar como cambia un sistema al pasar de un estado inicial a cierto estado final. F. Gravitacional F.Electrostatica Atraccion Atracción o Repulsión Diferencia Tal diferencia influye en el SIGNO de la energia potencial. Energia Potencial Electrica [J] 1.Energia (U) generada por la interaccion entre dos cargas eléctricas. i)Inicialmente consideraremos dos cargas para ampliarnos en el caso de mas de dos cargas. (imagen) ̅ Vector desplazamiento (INFINITESIMAL) linea que conecta r= Posicion de respecto al origen. Calcularemos el cambio de Energia Potencial cuando una carga Sometida a la fuerza de otra carga en reposo. pasa por el punto a al b. ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS ̅ , representa un desplazamiento infinitesimal en direccion del movimiento. La fuerza ̅ y el desplazamiento ̅ son paralelos ̅ ̅ ̅ En el movimiento indicado en la figura Direccion del desplazamiento =Direccion Radial. i) ii) iii) Porque el desplzamiento sigue invariablemente la direccion de r(posicion). iv) Cambio de Energia Potencial (U). ∫ ̅ ̅ ∫ F=ley de Coulomb ̂ ∫ Al realizar la integral tenemos: ( Esta ecuacion es valida sin importar si ) se acerca o se aleja de i) Cuando se dirije a entonces Es decir la energia potencial aumento. ii) Cuando se alejo de , entonces y . Es decir la energia potencial disminuye. Cuando las cargas tienen signo opuesto de modo que (ATRACCIÓN ). Cuando las cargas se aproximan. Cuando se alejan Repulsión. iii) y . . es negativo: Superficie Equipotenciales Suponga que ahora movemos en una direccion que no sigue la linea que conecta . ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS (imagen) Donde ̅ ̅ ̅ ̅ La fuerza electrostatica no opera en esta trayectoria. 2° La Energia Potencial de un Sistema de Cargas (imagen) Se forma un sistema de tres cargas a partir de separaciones incialmente infinitas. La energia potencial electrica total de todo el sistema es generalizando lo anterior. [ ] La Energia Potencial Electrica de un sistema de cargas puntuales fijas en reposo en igualdad al trabajo que debe ejecutar un agente exterior para ensamblar el sistema trayendo las cargas desde una distancia infinita donde no se encuentran en reposo. Potencial Electrico y Diferencia de Potencial (imagen) ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Si Ademas si es directamente proporcional a la carga de prueba. Dicho de otras palabras No depende de la magnitud de la carga de prueba . Definimos: Diferencia de Potencial Electricos o simplemente Potencial. [ ] Relación entre Trabajo y Energia Potencial Donde Trabajo efectuado por la fuerza electrostatica que q ejerce sobre carga de prueba pasa ‘a’ a ‘b’. , cuando la De ecuacion (A) De manera general. Cuando una carga cualquiera se mueve (q) entre dos puntos cuya por la ecuacion anterior. ; la se expresa ELÉCTRICIDAD Y MÁGNETISMO CÁMPO Y POTENCIA ELÉCTRICOS Potencial generado por cargas puntuales. De la ecuación anterior. Pero:
