Mecánica I Tema 4 Ecuaciones Generales de la Dinámica

Mecánica I
Tema 4
Ecuaciones Generales de la Dinámica
Manuel Ruiz Delgado
29 de octubre de 2010
Principios y modelos
Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . .
Comentarios a las leyes de Newton .
Sistemas inerciales. . . . . . . . . . . . .
Limitaciones de las Leyes de Newton
Ecuaciones de Newton-Euler . . . . . .
Postulados rigurosos . . . . . . . . . . .
Consecuencias de los postulados . . .
Principio de Hamilton . . . . . . . . . .
Lı́mites de la mecánica clásica . . . . .
Sistemas a considerar. . . . . . . . . . .
Conceptos auxiliares . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
masas
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
18
21
24
25
26
27
28
29
31
32
Trabajo y Potencial
Trabajo elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trabajo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo del trabajo: Caso F(r, ṙ, t). . . . . . . . . . . . .
Cálculo del trabajo: Caso F(r) . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo del trabajo: fuerzas conservativas . . . . . . . .
Propiedades del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo del potencial: EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo del potencial: integración. . . . . . . . . . . . . .
Potenciales simples: peso-centrifuga-muelle-gravedad
Potencial de un par de fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
34
35
36
37
38
40
42
43
44
51
1
.
.
.
.
.
.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
15
16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ecuaciones generales
Ecuación de la cantidad de movimiento . . .
Ecuación del momento cinético . . . . . . . . .
Momento cinético en punto móvil . . . . . . .
Momento cinético absoluto en punto móvil .
Momento cinético relativo en punto móvil. .
Ecuación de la energı́a . . . . . . . . . . . . . . .
Integral de la energı́a . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación de la energı́a respecto al centro de
7 Ecuaciones generales de los sistemas . . . .
Principio de corte de Euler-Cauchy . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energı́a potencial - Potencial de un campo
Trabajo de un par de fuerzas. . . . . . . . . .
Trabajo sobre un sólido . . . . . . . . . . . . .
Potenciales no estacionarios . . . . . . . . . .
Ejemplo: potencial de un sólido . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
55
56
58
60
Principios y modelos
Ecuaciones generales
Trabajo y Potencial
Manuel Ruiz - Mecánica I
2 / 64
3 / 64
Principios y modelos
Principios y modelos
Leyes de Newton
Comentarios a las leyes de Newton
Sistemas inerciales
Limitaciones de las Leyes de Newton
Ecuaciones de Newton-Euler
Postulados rigurosos
Consecuencias de los postulados
Principio de Hamilton
Lı́mites de la mecánica clásica
Sistemas a considerar
Conceptos auxiliares
Manuel Ruiz - Mecánica I
3 / 64
3
Leyes de Newton
Las tres leyes de Newton son los principios de la Mecánica Clásica:a
1. Inercia: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilı́neo a no
ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado.
F=0
⇒
m r̈ = 0
2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la lı́nea recta
a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.
d
F = m r̈ =
(m ṙ)
dt
3. Acción-reacción: Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria. O sea, las
acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.
Fij = −Fji
Manuel Ruiz - Mecánica I
a
4 / 64
Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1647
Comentarios a las leyes de Newton
La constante de la segunda ley (masa inerte) es proporcional a la de la ley de la gravitación
(masa gravitatoria). No se ha detectado ninguna desviación en la relación. Escogiendo las
unidades adecuadamente, se pueden considerar como la misma magnitud (principio de
equivalencia de Einstein).
La primera ley ya fue enunciada por Galileo. Es el comienzo de la ciencia moderna. Aristóteles
pensaba que el movimiento necesita una acción continua que lo mantenga, lo que daba lugar a
ideas bizarras y erróneas (torbellinos de aire propulsores).
En la tercera ley se pueden distinguir dos grados o formulaciones:
• débil: igual dirección y sentido contrario,
Fij = −Fji
• fuerte: además, son colineales,
i
b
Fij = −Fji = λ rij
j
i
b
b
j
b
La 3a ley no se cumple en efectos relativistas (fuerzas de Lorentz)
Manuel Ruiz - Mecánica I
5 / 64
4
Sistemas inerciales
Las leyes de Newton tienen su forma más sencilla en el espacio absoluto, que no es fácilmente
observable; él consideraba que se podrı́a encontrar “en la región de las estrellas fijas”.
Más tarde (Lange, 1816) se introduce el concepto de sistema inercial, como sistema de
referencia en el que se cumplen las leyes de Newton.
Conocido un sistema inercial, cualquier otro sistema que se mueva con velocidad rectilı́nea y
uniforme, sin girar —transformación de Galileo— es también inercial o galileano. Esto constituye
el principio de relatividad de Galileo, y se deduce directamente de la segunda ley.
En la teorı́a especial de la Relatividad de Einstein también se postula un sistema de referencia
inercial global, pero ahora la transformación no es la de Galileo sino la de Lorentz.
Finalmente, en la teorı́a general de la Relatividad no hay sistemas inerciales globales.
Manuel Ruiz - Mecánica I
6 / 64
Limitaciones de las Leyes de Newton
Los conceptos de masa y fuerza no están claros: las definiciones pecan de circulares. Incluso
cuando se define una fuerza por la deformación estática (dinamómetros). Lo que sı́ es una
magnitud perfectamente clara y medible es la aceleración.
En la mecánica clásica, las fuerzas pueden depender de la posición de las partı́culas, de su
velocidad, y del tiempo, pero no de las aceleraciones: F(ri , ṙi , t) (¡lo que observamos son
aceleraciones!)
Por tanto, la segunda ley se puede expresar diciendo que las aceleraciones se pueden expresar
mediante una relación funcional sencilla de las posiciones, velocidades, y del tiempo.
La segunda ley se aplica también a sistemas de masa variable. Hay que usar entonces la forma
d
dt (m v), que da lugar al empuje: −ṁ v.
Newton habla solo de cuerpos, sin aclarar mucho, lo que corresponde a la partı́cula material. Para
poder tratar sólidos o medios continuos hay que hacer hipótesis adicionales, como las de Euler.
Manuel Ruiz - Mecánica I
7 / 64
5
Ecuaciones de Newton-Euler
Para poder tratar sólidos con las ecuaciones de Newton, hacen falta hipótesis adicionales:
Un método es suponer que las fuerzas internas entre las partı́culas de un sólido siguen la tercera
ley de Newton en su formulación fuerte.
Otro camino, seguido por Euler, es postular la ecuación del momento cinético como principio
independiente.
Por tanto, Euler formula dos principios básicos para la dinámica de cualquier sistema:
1. Cantidad de movimiento:
F=
2. Momento de la cantidad de movimiento:
d
dt
MG =
(mvG )
d
dt
(HG )
También fue Euler el primero en escribir la segunda ley en la forma hoy conocida, F = m r̈G
Manuel Ruiz - Mecánica I
8 / 64
Postulados rigurosos
Para superar las limitaciones de las leyes de Newton, se han buscado principios más rigurosos; por
ejemplo:
1. A cada partı́cula material se le asigna un escalar positivo, que llamamos masa.
2. En ciertos sistemas inerciales aislados, el sistema de vectores
ΣF = Σmi r̈i
que llamamos fuerzas, es nulo. Esto supone que se anula la resultante ΣF y el momento en
cualquier punto MO .
3. Las fuerzas tienen expresiones funcionales simples:
(≡ 2o Ley de Newton)
Fi = Fi (rj , ṙj , t)
X
Fi =
Fij
j
Fij decrecen con la distancia → sistema aislado
Manuel Ruiz - Mecánica I
9 / 64
6
Consecuencias de los postulados
Masas: dependen de las unidades → masa patrón.
Ax1 y1 z1 Inercial
⇔ ω 01 = 0 ; r̈B
01 = 0
Bx0 y0 z0 Inercial
~
Partı́cula aislada: r̈ = 0 ⇒ ṙ = Cte
(≡ 1a ley de Newton)
Dos partı́culas aisladas:
(≡ 3a ley de Newton)
Fij + Fji = 0
Definir qué partı́culas forman parte del sistema:
• Fuerzas interiores: ejercidas sobre una partı́cula del sistema por otra también del sistema
• Fuerzas exteriores: ejercidas por partı́culas que no son parte del sistema
j
j
b
b
ij interiores
b
Todas
interiores
i
b
k
b
i
k
ik, jk exteriores
b
Manuel Ruiz - Mecánica I
10 / 64
Principio de Hamilton
La mecánica clásica puede basarse en un solo principio variacional.
Sistema material de coordenadas x1 , . . . , xn . El movimiento xi (t) es una curva entre dos puntos
del espacio [x1 , . . . , xn , t].
El sistema se mueve de modo que el funcional acción tenga un valor estacionario:
δI = δ
Z
xn
t2
L(xi , ẋi , t) dt = 0
t1
t1
donde L = T − V (mec. clásica)
x3
b
b
t2
t
x2
x1
Las funciones xi (t) que hacen δI = 0 son las que cumplen las ecuaciones de Euler del cálculo de
variaciones:
∂L
d ∂L
−
= 0, i = 1...n
dt ∂ ẋi ∂xi
que en mecánica se llaman ecuaciones de Lagrange.
Manuel Ruiz - Mecánica I
11 / 64
7
Principio de Hamilton
Ventajas:
Único, simple, elegante.
Da directamente un número mı́nimo de ecuaciones (= GDL)
Más generalidad: relativista, cuántica, medios continuos.
Inconvenientes
Base matemática no se explica en primeros cursos.
Forma más sencilla no válida para:
• Fuerzas no potenciales
• Sistemas no holónomos (ej.: rodadura sin deslizamiento)
aunque puede extenderse, pero ya no es único y simple.
No permite tratar el rozamiento (importante en ingenierı́a).
No aparecen las fuerzas de ligadura (puede ser una ventaja, pero es un inconveniente en
ingenierı́a).
Matemático. La fı́sica está en la Lagrangiana L , distinta en Mecánica clásica, relativista, etc.:
incompleto
Manuel Ruiz - Mecánica I
12 / 64
Lı́mites de la mecánica clásica
Teorı́a especial de la relatividad: La velocidad de la luz es igual en todos los sistemas inerciales:
h
i
2 1/2
transformación de Lorentz: 1 − vc2
, espacio-tiempo de Minkowski. Apreciable en grandes
distancias y cuando v → c
Teorı́a general de la relatividad: Espacio de Riemann (espacio-tiempo-masa) que incorpora la masa
en la matriz métrica: la gravedad curva el espacio. No hay sistemas inerciales globales. Válido en
la proximidad de grandes masas. Despreciable cuando r r ∗ ' KGm/c2 (K ' 105 , espacio
plano)
Sol: GM /c2 = 1,47 km; Mercurio:
rmer
GM /c2
= 260684;
r⊕
GM /c2
' 108
Mecánica Cuántica: A nivel de partı́culas (átomos, moléculas), los intercambios de energı́a están
cuantificados: ~ν. Despreciable para un número grande de partı́culas, cuando el momento
cinético sea grande frente a la constante de Plank: H ~
La mecánica clásica es el lı́mite exacto de estas teorı́as cuando la relación de parámetros
∗
caracterı́sticos tiende a cero: vc = rr = H~ → 0.
Manuel Ruiz - Mecánica I
13 / 64
8
Lı́mites de la mecánica clásica
H/}
Espacio plano
80
10
Tierra
T
E
R
Astronaves
Vehı́culos
Tierra
Mercurio
Mercurio
T
G
R
Aeronaves
Agujero
negro
0, 1
1
Vehı́culos
terrestres
v/c
10
Mec. Cuántica
0
105
108
r c / Gm/c2
Manuel Ruiz - Mecánica I
14 / 64
Sistemas a considerar
Partı́cula:
3 Grados De Libertad
• 2a Ley de Newton:
F = mr̈
3 ECs ↔ 3 GDL
Sistema de N partı́culas:
• 2a Ley de Newton:
3N GDL
Fi = mi r̈i
3N ECs ↔ 3N GDL
• O bien combinaciones de las 3N ecuaciones:
◦
◦
◦
◦
P
P
Cantidad de movimiento:
Fi =
mi r̈i
P
P
Momento cinético:
ri ∧ Fi = ri ∧ mi r̈i
P
P
Energı́a:
ri · Fi = ri · mi r̈i
Si no son suficientes, se divide el sistema (principio de corte).
Sólido:
3 Ec
3 Ec
1 Ec
6 GDL
P
• Cantidad de movimiento:
• Momento cinético:
F = m r̈G
MG = ḢG
Manuel Ruiz - Mecánica I
3 Ec
3 Ec
15 / 64
9
Conceptos auxiliares
F = m ·r̈
Trabajo
Cantidad de movimiento
Centro de masas
Potencial
Momento cinético
Tensor de inercia
Ligaduras
Modelo de
sólido como
N masas
distribuidas
Energı́a cinética
Modelo de
sólido como
continuo
i
δm = ρ dxdydz
S
Ω
αM =
N
P
αM =
αi mi
R
α(r) δm
Ω
i=1
Los dos modelos son equivalentes para N → ∞, mi → 0
Tratamos el sólido como N partı́culas: evitamos el teorema del transporte para derivar
la integral.
Manuel Ruiz - Mecánica I
16 / 64
Ecuaciones generales
17 / 64
Ecuaciones generales
Ecuación de la cantidad de movimiento
Ecuación del momento cinético
Momento cinético en punto móvil
Momento cinético absoluto en punto móvil
Momento cinético relativo en punto móvil
Ecuación de la energı́a
Integral de la energı́a
Ecuación de la energı́a respecto al centro de masas
7 Ecuaciones generales de los sistemas
Principio de corte de Euler-Cauchy
Manuel Ruiz - Mecánica I
17 / 64
10
Ecuación de la cantidad de movimiento
j
b
FIji
b
FIij
i
k
b
En un sistema de N partı́culas, el movimiento está determinado por las
3N ecuaciones de cantidad de movimiento (CM) de las partı́culas:
N
X
FE
i = 1...N
+
FIij = mi r̈i
i
j=1
j6=i
FE
i
Suele ser útil obtener combinaciones lineales de estas ecuaciones. Por ejemplo, sumar para todo el
sistema:

3a ley (débil)



N
N
P
P


E
I
E

Fi +
Fij = R
d
j=1
i=1
(M ṙG ) = RE
j6=i

dt

N
N

P

d2 P
d2

r
=
mi r̈i = dt
m
M
r
=
M
r̈
i i
G
G 
2
dt2
i=1
i=1
Este es el teorema de la cantidad de movimiento, o la ecuación de la cantidad de movimiento del
sistema, M vG ; a veces se llama momento lineal, p = M vG .
Manuel Ruiz - Mecánica I
18 / 64
Ecuación de la cantidad de movimiento
El sistema se mueve como si toda la masa estuviera en el centro de masas, sometida a la
resultante de las fuerzas exteriores.
Las fuerzas interiores no influyen directamente en el movimiento del centro de masas (uno no
puede levantarse tirándose de las orejas).
• ¿Cómo se mueve una nave en el espacio?
• Si en el sistema rifle-bala se conserva la cantidad de movimiento, ¿por qué la bala mata y el
rifle no?
• Nube de basura espacial tras la explosión de un satélite.
Pueden influir indirectamente: cambiando la disposición de las partes del sistema pueden
cambiar las fuerzas exteriores (mover los alerones → modificar la sustentación).
Manuel Ruiz - Mecánica I
19 / 64
11
Ecuación de la cantidad de movimiento
Se obtiene directamente una integral primera [ f (rj , ṙj , t) = Cte ] si se anula la resultante exterior en
una dirección fija:
RE · u = 0 =
d
u̇=0 d
(M ṙG ) · u −−−→
(M ṙG · u) = 0
dt
dt
⇒
ṙG · u = Cte
Si la dirección no es fija, u̇ 6= 0, no hay integral primera por este motivo.
Ejemplo: tiro libre en el vacı́o.
vx
b
  

ẍ  0 
m ÿ =
0
  

z̈
−mg
⇒
b


⇒
F · i = 0 ⇒ ẋ = Cte
F · j = 0 ⇒ ẏ = Cte
F · k 6= 0 ⇒ E.D.O. para z

b
vx
vx
g
Manuel Ruiz - Mecánica I
20 / 64
Ecuación del momento cinético
j
b
FIji
FIij
b
rj
i
FE
i
ri
Partiendo de las ecuaciones de cantidad de movimiento de cada partı́cula,
N
X
FE
i = 1...N
+
FIij = mi r̈i
i
j=1
j6=i
se toman momentos en un punto fijo O y se suma para todo el sistema.
O
El momento de las fuerzas interiores se anula dos a dos, si se cumple la tercera ley de Newton en
su formulación fuerte:
ri ∧
FIij
+ rj ∧
FIji
3a ley fuerte
= rj + r
ji ∧
FIij
+ rj ∧
FIji
Solo queda el momento resultante de las fuerzas exteriores:
N
X
= rj ∧
3a ley débil I
F
FIij+
ji
=0
E
ri ∧ FE
i = MO
i=1
Manuel Ruiz - Mecánica I
21 / 64
12
Ecuación del momento cinético
j
b
FIji
El momento cinético de una partı́cula Mi en O es:
FIij
b
rj
Mi
i
HM
O = ri ∧ m i v
i
FE
i
Como O es un punto fijo, vMi = ṙi , y al derivar,
d Mi
∧
m
H =
ṙi i ṙi + ri ∧ mi r̈i
dt O
ri
O
Sumado tenemos la derivada del momento cinético (MC) del sistema en O:
N
X
i=1
N
d X
ri ∧ mi r̈i =
ri ∧ mi ṙi = ḢO
dt
i=1
Finalmente tenemos la ecuación del momento cinético en un punto fijo O (o teorema del momento
cinético, MC o momento angular):
d
HO = ME
O
dt
Manuel Ruiz - Mecánica I
22 / 64
Ecuación del momento cinético
El momento cinético del sistema solo puede variar con momentos exteriores
• Conservación del momento cinético en el sistema solar
• Maniobras de satélites: cohetes/ruedas de maniobra
• Saltos de trampolı́n
Si no hay momento en una dirección fija, se obtiene una integral primera:
d
u̇=0 d
·
H
(HO · u) = 0 ⇒ HO · u = Cte
−−→
u
=
0
=
ME
O ·u −
O
dt
dt
• Momento cinético constante y velocidad variable, distribuyendo la masa: patinador.
• Separación del sistema Tierra-Luna al disipar energı́a por las mareas.
Ecuación poco intuitiva: giróscopo.
Manuel Ruiz - Mecánica I
23 / 64
13
Momento cinético en punto móvil
S2
S0
A veces es útil tomar momentos en un punto O móvil:
FIij
ri0
b
N
X
O
i
FE
i
ri0
∧
FE
i
=
ME
O
=
i=1
N
X
ri0 ∧ mi r̈i
i=1
La parte derecha es más complicada: ahora ṙi0 6= ṙi y el momento cinético tiene dos formas:
ri
O1
Momento en O de las cantidades de movimiento absolutas:
H21
O =
N
X
Mi
ri0 ∧ mi ṙ21
i=1
Momento en O de las cantidades de movimiento relativas:
H20
O
=
N
X
Mi
ri0 ∧ mi ṙ20
i=1
S2 es el sistema de puntos; S0 son paralelos a los fijos con origen en O.
Manuel Ruiz - Mecánica I
24 / 64
Momento cinético absoluto
en punto móvil
S2
S0
Buscamos una relación
FIij
ri0
O
rO
b
i
ME
O =
FE
i
N
X
Mi
ri0 ∧ mi r̈21
←→
Ḣ21
O
i=1
ri
O1
E
E
Por campo de momentos, ME
O1 = MO + rO ∧ R
Partimos de la ecuación del MC en el punto fijo O1 , y sustituimos ri = ri0 + rO :
d X 0
ri + rO ∧ mi ṙi =
dt
X
X
d X 0
=
ri ∧ mi ṙi + ṙO ∧
mi ṙi + rO ∧
mi r̈i
{z
} |
{z
}
|dt
{z
} |
Ḣ21
O1 =
O ∧M vG
v01
21
Ḣ21
O
21
como ME
O1 = ḢO1
→
rO ∧RE
21
O
G
ME
O = ḢO + v01 ∧ M v21
Por ser O móvil, aparece un término corrector.
Manuel Ruiz - Mecánica I
25 / 64
14
Momento cinético relativo en punto móvil
S2
S0
En la ecuación del MC absoluto en punto móvil,
FIij
ri0
b
O
21
O
G
ME
O = ḢO + v01 ∧ M v21
i
FE
i
rO
aplicamos composición de movimientos
20
01
Ḣ21
O = ḢO + ḢO
ri
O1
La derivada del momento cinético de arrastre vale:
Ḣ01
O =
X
X
d X 0
Mi
O
O
O
=
mi v20
+
mi ri0 ∧ v̇01
=
ri ∧ mi v01
∧ v01
dt
X
Mi
O
O
O
G
O
O
∧ v01
=
mi v20
+ M OG ∧ v̇01
= M v21
∧ v01
+ M OG ∧ v̇01
+ v01
Sustituyendo, tenemos la ecuación del MC relativo en punto móvil; también aparece un término
corrector, pero distinto:
20
O
ME
O = ḢO + M OG ∧ v̇01
Manuel Ruiz - Mecánica I
26 / 64
Ecuación de la energı́a
j
b
FIji
FIij
drj
b
dri
Otra manera de obtener combinaciones de las ecuaciones de CM es dar un desplazamiento a cada partı́cula y multiplicar escalarmente:
N
X
i
FE
i
i=1
N
X
I
r̈
dri · FE
+
F
=
m
i i
i
ij
j=1
j6=i
Por definición, el término de la izquierda es el trabajo elemental de las fuerzas:
N
X
dri ·
i=1
FE
i
+
N
X
FIij
j=1
j6=i
= δ WE + δ WI
El de la derecha se puede relacionar con la energı́a cinética:
mi
dvi
dri
1
· dri = mi dvi
= mi dvi vi = mi d vi2 = dTi
dt
dt
2
Se obtiene la Ecuación de la energı́a:
δ W E + δ W I = dT
Manuel Ruiz - Mecánica I
27 / 64
15
Integral de la energı́a
Se ha obtenido la ecuación de la energı́a en forma diferencial:
δ W E + δ W I = dT
Se puede expresar como derivada (potencia) o como integral (trabajo finito):
Ẇ
E
Z
I
+ Ẇ = Ṫ
2
δW
E
+
1
Z
2
δ W I = T2 − T1
1
En general, δ W no es una diferencial exacta. Lo es si las fuerzas derivan de un potencial. Entonces, la
ecuación de la energı́a se integra directamente para obtener la integral de la energı́a:
δ W = −dV = dT
T +VE +VI =E
⇒
donde la constante E es la energı́a mecánica del sistema.
De las ecuaciones globales (CM, MC, EN), solo la de la energı́a recoge el efecto de las fuerzas
interiores.
Manuel Ruiz - Mecánica I
28 / 64
Ecuación de la energı́a respecto al centro de masas
Tenemos la ecuación de la energı́a en ejes inerciales:
S0
E
I
+ δ W21
= dT21
δ W21
i
Podemos plantearla respecto a unos ejes S0 paralelos a los fijos (ω 01 = 0) con
origen en el centro de masas del sistema G:
G
S2
N
X
O1
Mi
dr20
·
FE
i
+
i=1
N
X
j=1
j6=i
PN
FIij
Mi
i=1 dr20
Por definición,
Por composición de aceleraciones,
=
N
X
Mi
Mi
· dr20
mi v̇21
i=1
· FE
i +
PN
j=1
j6=i
E + δ WI
FIij = δ W20
20
Mi
Mi
Mi
Mi
∧ v20
= v̇20
+ 2
ω 01
v̇21
+ v̇01
db
Podemos sustituir en el término de la derecha y aplicar da
dt db = da dt :
N
N
X
X
Mi
Mi
Mi
Mi
Mi
Mi
mi v̇20 + v̇01 · dr20 =
mi dv20 + dv01 · v20
i=1
i=1
Manuel Ruiz - Mecánica I
29 / 64
16
Ecuación de la energı́a respecto al centro de masas
S0
E
δ W20
+
I
δ W20
=
i
G
N
X
i=1
Mi
Mi
Mi
+ dv01
· v20
mi dv20
Mi
G:
El movimiento de arrastre es una traslación: v01
= v01
N
X
S2
O1
Mi
mi dv01
Mi
· v20
=
G
dv01
·
i=1
Solo queda
N
X
Mi
mi v20
=
G
dv01
·M
G≡G
G
v20
=0
i=1
N
X
Mi
mi dv20
·
Mi
v20
i=1
=
N
X
1
i=1
2
2
Mi
= dT20
mi d v20
Podemos ya plantear la ecuación de la energı́a respecto al centro de masas:
E
I
δ W20
+ δ W20
= dT20
Respecto al centro de masas: respecto a unos ejes paralelos a los fijos con origen en el centro de
masas del sistema.
Manuel Ruiz - Mecánica I
30 / 64
7 Ecuaciones generales de los sistemas
Hemos visto siete ecuaciones globales de los sistemas:
3
CM
RE = M r̈G
MCa
21
ME
O1 = ḢO1
MCb
21
O
G
ME
O = ḢO + v01 ∧ M v21
MCc
20
O
ME
O = ḢO + M OG ∧ v̇01
ENa
E + δ W I = dT
δ W21
21
21
ENb
E + δ W I = dT
δ W20
20
20
3
1
Las tres formas de MC y dos de EN no son independientes:
MCb = f (CM, MCa )
ENb = f (CM, ENa )
MCc = f (CM, MCa )
Toda la información está en las 3N ecuaciones de las partı́culas.
Las 7 globales pueden ser más sencillas o convenientes.
Si no son suficientes, se divide el sistema
Manuel Ruiz - Mecánica I
31 / 64
17
Principio de corte de Euler-Cauchy
i
j
Considerando el sistema completo, las fuerzas internas no aparecen en las ecuaciones de CM ni MC:
Fij = −Fji
k
al sumar para todo el sistema se anula la resultante
(3a ley débil) y el momento resultante (3a ley
fuerte).
Si se necesitan más de las 7 ecuaciones generales,
se puede dividir el sistema en partes, pero entonces
las fuerzas internas entre partı́culas de ambas partes
deben contarse como exteriores.
i
j
k
Manuel Ruiz - Mecánica I
32 / 64
Trabajo y Potencial
33 / 64
Trabajo y Potencial
Trabajo elemental
Trabajo finito
Cálculo del trabajo: Caso F(r, ṙ, t)
Cálculo del trabajo: Caso F(r)
Cálculo del trabajo: fuerzas conservativas
Propiedades del potencial
Cálculo del potencial: EDP
Cálculo del potencial: integración
Potenciales simples: peso-centrifuga-muelle-gravedad
Potencial de un par de fuerzas
Energı́a potencial - Potencial de un campo
Trabajo de un par de fuerzas
Trabajo sobre un sólido
Potenciales no estacionarios
Ejemplo: potencial de un sólido
Manuel Ruiz - Mecánica I
33 / 64
18
Trabajo elemental
dr
M
b
α
Una partı́cula M está sometida a una fuerza F. Se le da a la partı́cula un desplazamiento diferencial dr. Se llama trabajo elemental al producto escalar de la fuerza
por el desplazamiento:
F
δW = F · dr = |F| · |dr| cos α
dr
M
b
El trabajo elemental es positivo (motor), nulo (⊥) o negativo (resistente) según el
ángulo de la fuerza con el vector desplazamiento (S π/2)
α
F
El trabajo es aditivo respecto a la fuerza y respecto al desplazamiento:
X
δW =
δW i = (F1 + · · · + Fn ) · dr
X
δW =
δW i = F · (dr1 + · · · + drn )
por ser distributivo el producto escalar respecto a la suma de vectores.
Se usa δ porque, en general, δW no es la diferencial de una función.
Manuel Ruiz - Mecánica I
34 / 64
Trabajo finito
M
Una partı́cula M se mueve a lo largo de la trayectoria C desde el punto
r1 al r2 sometida a la fuerza F.
Se llama trabajo de la fuerza F en ese desplazamiento a la integral de
lı́nea
I r2
I r2
W12 =
F · dr =
(Fx dx + Fy dy + Fz dz)
C
b
b
F
r1
r2
O
r1
r1
calculada a lo largo de la curva C.
Para calcular el trabajo, hay que conocer F y dr como funciones del mismo parámetro:
I
r2
r1
F · dr =
I
r2 (u)
0
F(u) · r (u)du =
r1 (u)
Z
u2
f (u) du
u1
En general, esto solo se conoce una vez resuelto el problema, por lo que esta ecuación no es muy útil
al principio.
Manuel Ruiz - Mecánica I
35 / 64
19
Cálculo del trabajo: Caso F(r, ṙ, t)
En el caso más general, la fuerza depende de la posición, la velocidad y el tiempo: F(r, ṙ, t) .
Para calcular el trabajo necesitamos conocerlos los tres en función del mismo parámetro.
Lo normal es que el parámetro sea el tiempo: necesitamos las ecuaciones horarias r = r(t) ; es
decir, solo podemos calcular el trabajo cuando el problema está completamente resuelto.
Conocidas las ecuaciones horarias se calcula el trabajo:
I
r2 (t)
F [r(t), ṙ(t), t] · ṙ(t)dt =
r1 (t)
Z
t2
f (t) dt = W (t1 , t2 )
t1
Obviamente, en el caso general esta ecuación no es muy útil para resolver el problema directo,
porque para calcularla hay que tenerlo ya resuelto.
Manuel Ruiz - Mecánica I
36 / 64
Cálculo del trabajo: Caso F(r)
Si la fuerza depende solo de la posición, F(r) , solo necesitamos conocer la trayectoria C sin
referencia al tiempo.
Lo más cómodo es conocer las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, r(u). No es necesario
que el parámetro sea el tiempo ni el parámetro natural longitud de arco.
Conocidas las ecuaciones paramétricas se calcula el trabajo:
I
r2 (u)
0
F(u) · r (u)du =
r1 (u)
Z
u2
f (u) du
u1
Esta ecuación es algo más útil que la anterior: la velocidad con que se recorra, o el momento en
que se pase por cada punto no influyen en el trabajo. Hay movimientos en que es fácil calcular la
trayectoria pero no las ecuaciones horarias (órbitas keplerianas, por ejemplo).
Manuel Ruiz - Mecánica I
37 / 64
20
Cálculo del trabajo: fuerzas conservativas
El trabajo elemental es la diferencial exacta de una función si la fuerza es conservativa, es decir:
La fuerza es el gradiente de una función escalar de la posición:
∂V ∂V ∂V
F (r) = −∇V (r) = −
,
,
∂x ∂y ∂z
Se dicen entonces que la fuerza deriva de un potencial V (r).
El trabajo depende de los puntos inicial y final, pero no del camino recorrido:
W 12 = W 12 (r1 , r2 ) = −V (r2 ) + V (r1 )
El campo de fuerzas es irrotacional:
i
j
k ∂
∂
∂ ∇ ∧ F = ∂x ∂y
∂z = 0
F F F x
y
z
Manuel Ruiz - Mecánica I
38 / 64
Cálculo del trabajo: fuerzas conservativas
Las tres condiciones son equivalentes (⇔):
F (r) = −∇V (r)
⇒
δW = −
=−
Z
r2
r1
O bien
Z
r2
r1
∂V ∂V ∂V
,
,
∂x ∂y ∂z
· dr =
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

 ∂Fz −
i
j
k 
 ∂y
∂
∂
∂ ∂Fx
=
∇ ∧ F = ∂x ∂y ∂z
 ∂z −
F F F 
 ∂Fy −
x
y
z
∂x

∂Fy

∂z 

∂Fz
∂x 

∂Fx 
∂y
=−
 ∂2V
−


 ∂z∂y
∂2V
= − ∂x∂z −


 ∂2V
∂y∂x −
Z
r2
dV = V (r1 ) − V (r2 )
r1

∂2V

∂y∂z 

∂2V
∂z∂x 

∂2V 
∂x∂y
=0
que resulta ser la igualdad de derivadas cruzadas; y ası́ hasta las seis demostraciones. . .
Manuel Ruiz - Mecánica I
39 / 64
21
Propiedades del potencial
El trabajo de una fuerza conservativa en una curva cerrada es nulo:
W 11 = V (r1 ) − V (r1 ) = 0
La función potencial está definida ± una constante arbitraria:
V = V (x, y, z) + Cte.
que no influye para nada porque se usa la derivada o el incremento:
F = −∇V
W 12 = V (r1 ) − V (r2 ) + C
−
C
A veces se usa la función de fuerzas, que es la misma función potencial con el signo cambiado:
F = −∇V = +∇U
Se usa en mecánica orbital y geofı́sica, mientras que el potencial se usa en mecánica general.
Manuel Ruiz - Mecánica I
40 / 64
Propiedades del potencial
∇V
La función potencial está definida más/menos una constante arbitraria:
V = V (r) ± Cte.
dr
Dando valores a la constante, se tiene una familia de superficies
C3
fi ≡ V (r) = Ci
C2
C1
i = 1, · · · , n
en las que la función potencial es constante: las superficies equipotenciales.
La fuerza es normal a la superficie equipotencial que pasa por ese punto:
F = −∇V k n
Al moverse por la superficie equipotencial, el trabajo es nulo:
⊥
dW = F · dr = 0
Manuel Ruiz - Mecánica I
41 / 64
22
Cálculo del potencial: EDP
Dos caminos:
Sistema de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDP).
Integrar el trabajo entre un punto fijo arbitrario y otro genérico.
El primer método puede ser el más sencillo si se aprovechan las simetrı́as de la fuerza:
∂V ∂V ∂V
,
,
Cartesianas: F(x, y, z) = −∇V (x, y, z) =
∂x ∂y ∂z
∂V 1 ∂V ∂V
Cilı́ndricas:
F(r, θ, z) = −∇V (r, θ, z) =
,
,
∂r r ∂θ ∂z
∂V
1 ∂V 1 ∂V
,
,
Esféricas:
F(r, θ, φ) = −∇V (r, θ, φ) =
∂r r cos φ ∂y r ∂φ
Hay que tener cuidado con la definición de las esféricas: latitud desde el ecuador φ o colatitud desde el
polo ϕ = π2 − φ.
Manuel Ruiz - Mecánica I
42 / 64
Cálculo del potencial: integración
Para fuerzas conservativas, el trabajo solo depende del punto inicial y final, no del camino. Se puede
calcular el potencial integrando el trabajo de la fuerza entre un punto fijo r0 y otro genérico r :
z
r
b
r0
W (r0 , r) = V (r0 ) − V (r)
y
b
⇒
⇒
V (x, y, z) = −W (r0 , r) + V (r0 )
Como es independiente del camino, se busca el más sencillo:
x
W (r0 , r) =
Z
=
x,y,z
F · dr =
x0 ,y0 ,z0
Z
x,y0 ,z0
Fx (ξ, y0 , z0 ) dξ +
x0 ,y0 ,z0
Z
x,y,z0
Fy (x, η, z0 ) dη +
x,y0 ,z0
Z
x,y,z
Fz (x, y, ζ) dζ =
x,y,z0
= −V (r) + V (r0 ) = −V (x, y, z) + C
Manuel Ruiz - Mecánica I
43 / 64
23
Potenciales simples: peso
z
M
b
Cerca de la superficie, la gravedad se puede considerar constante y vertical descendente:
F = −mg k = −∇V (r)
mg
O
y
x
Es trivial calcular el rotacional ∇ ∧ F y comprobar que es nulo, o ver que
las derivadas cruzadas son todas nulas.
El sistema de EDP en cartesianas es trivial:
−
∂V
∂x
=
0
−
∂V
∂y
=
0
−
∂V
∂z
Manuel Ruiz - Mecánica I









⇒
V = V (z) = mg z + C







= −mg 
44 / 64
Potenciales simples: fuerza centrı́fuga
z
M
Suponemos un sistema de referencia que gira alrededor del eje Oz con
velocidad angular ω. La fuerza centrı́fuga tiene la forma:
b
ω
Fc
Fc = mω 2 (x i + y j) = −∇V (r)
O
y
x
Por derivadas cruzadas, se ve que es potencial:
∂Fx
∂y
El sistema de EDP en cartesianas es bastante simple:

∂V
−

= mω 2 x 


∂x




∂V
2
⇒ V = f1 (x) + f2 (y) =
−
= mω y

∂y





1

∂V

= − mω 2 x2 + y 2 + C
−
=
0
2
∂z
Manuel Ruiz - Mecánica I
24
=
∂Fy
∂z
45 / 64
Potenciales simples: fuerza centrı́fuga
z
M
r
La fuerza centrı́fuga es mucho más simple si se aprovecha la simetrı́a
axial: se toman coordenadas cilı́ndricas de eje el de revolución:
b
ω
Fc
Fc = mω 2 r ur = −∇V (r, θ, z)
O
y
θ
x
El sistema de EDP en cilı́ndricas es trivial:
∂V
−
∂r
=
mω 2 r
−
1 ∂V
r ∂θ
=
0
−
∂V
∂z
=
0
Manuel Ruiz - Mecánica I









⇒








1
V = V (r) = − mω 2 r 2 + C
2
46 / 64
Potenciales simples: muelle
z
Se tiene un muelle ideal de longitud nula, con un extremo fijo en el
origen:
F = −k OM = −k (x, y, z) = −∇V (x, y, z)
M
b
F
O
b
y
Es obvio que la fuerza es potencial, porque todas las derivadas cruzadas
son nulas.
x
Como la fuerza es lineal, el sistema de EDP en

∂V
−
= −k x 



∂x




∂V
⇒
−
= −k y

∂y






∂V
−
= −k z 
∂z
Manuel Ruiz - Mecánica I
cartesianas es relativamente sencillo:

V = f1 (x) + f2 (y) + f3 (z) =







1
= k x2 + y 2 + z 2 + C =
2






1

= k OM2 + C
2
25
47 / 64
Potenciales simples: muelle
z
M
La fuerza de un muelle con un extremo fijo en el origen tiene simetrı́a
central, por lo que lo más simple es tomar coordenadas esféricas:
b
F
O
F = −k OM = −k r ur = −∇V (r, θ, φ)
φ
b
y
θ
x
El sistema de EDP en esféricas es trivial:
∂V
−
∂r
−
1 ∂V
r cos φ ∂θ
−
Manuel Ruiz - Mecánica I
1 ∂V
r ∂φ


= −k r 







=
0








=
0 
⇒
V = f (r) =
1 2
kr +C
2
48 / 64
Potenciales simples: gravitación
z
m2
b
F
m1
b
y
x
Lejos de la superficie de la tierra, hay que usar la expresión general de
la gravitación. Tomando origen en una de las masas, m1 , la fuerza que
actúa sobre la otra es:
 
 x
Gm1 m2
y = −∇V (x, y, z)
F=−
(x2 + y2 + z 2 )3/2  z 
La fuerza es no lineal, y el sistema de EDP en cartesianas no parece simple:
−
∂V
∂x
= −
Gm1 m2
(x2 +y 2 +z 2 )3/2
x
−
∂V
∂y
= −
Gm1 m2
(x2 +y 2 +z 2 )3/2
y
−
∂V
∂z
= −
Gm1 m2
(x2 +y 2 +z 2 )3/2
z
Manuel Ruiz - Mecánica I
49 / 64
26
Potenciales simples: gravitación
z
m2
Parece conveniente aprovechar la simetrı́a central, y usar coordenadas
esféricas:
Gm1 m2
F=−
ur = −∇V (r, θ, φ)
r2
b
F
m1
φ
b
y
θ
x
El sistema de EDP en esféricas es trivial:
−
∂V
−
∂r
=
− Gmr12m2
1 ∂V
r cos φ ∂θ
=
0
1 ∂V
r ∂φ
=
−
0
Manuel Ruiz - Mecánica I










⇒
V = f (r) = −









Gm1 m2
+C
r
50 / 64
Potencial de un par de fuerzas
z
M2
z
F12
Trasladando el origen, tenemos el de un muelle con los dos extremos
en puntos arbitrarios:
F21
M1
y
x
x
Potencial de un muelle con un extremo en el origen:
1
1
V (r2 ) = k OM2 2 = k x2 2 + y2 2 + z2 2
2
2
O
1
V (r1 , r2 ) = k M1 M2 2 =
2
i
1 h
= k (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
2
El potencial es simétrico respecto los dos puntos: potencial del par.
y
El mismo potencial genera la acción y la reacción, derivando respecto a las coordenadas del
punto sobre el que actúa la fuerza:
∂V ∂V ∂V
∂V ∂V ∂V
− F21 = ∇2 V =
−F12 = ∇1 V =
,
,
,
,
∂x1 ∂y1 ∂z1
∂x2 ∂y2 ∂z2
1 m2
Lo mismo con el potencial gravitatorio: V = − Gm
|r1 −r2 |
Manuel Ruiz - Mecánica I
51 / 64
27
Energı́a potencial - Potencial de un campo
Potencial: Función potencial de una fuerza que actúa sobre una partı́cula:
Fi = −∇V (ri , . . . )
Es el efecto: solo existe si una partı́cula recibe esa fuerza. La causa serı́a la partı́cula que ejerce
la fuerza y crea el campo de fuerzas.
Función de fuerzas: La misma función potencial, cambiada de signo:
Fi = −∇V (ri , . . . ) = +∇U (ri , . . . )
U = −V
Energı́a potencial de una partı́cula o sistema: Suma de los potenciales de todas las fuerzas
conservativas que actúan sobre la partı́cula o sistema:
N N
X
X
E
I
1
V (ri , . . . ) + 2
V (ri , rj )
V (ri , . . . ) =
i=1
j=1
j6=i
1/2 porque sumamos dos veces el potencial del par V I (ri , rj ).
(. . . ) por coordenadas de partı́culas exteriores al sistema.
Manuel Ruiz - Mecánica I
52 / 64
Energı́a potencial - Potencial de un campo
Campo de fuerzas: Una masa o carga produce una fuerza sobre cualquier otra carga/masa del
espacio. Es la causa; el efecto es la fuerza que experimenta una partı́cula, y la función potencial.
Potencial del campo: Trabajo que hay que realizar contra el campo para llevar una carga/masa
unidad desde ∞ hasta el punto r.
Z r
F
V (r) V (∞)
Vc (r) =
−
· dr =
−
m
m
m
∞
Se mira la causa, no el efecto: carga/masa unidad (carga de prueba)
Vc
r
Medir el trabajo desde ∞ equivale a escoger la constante para que V (∞) = 0.
Tiene sentido para fuerzas que decrecen con la distancia: el potencial tiene
tangente horizontal en ∞.
Para aplicarlo a fuerzas crecientes (muelle, centrı́fuga), habrı́a que partir desde
0, no de ∞
Manuel Ruiz - Mecánica I
53 / 64
28
Energı́a potencial - Potencial de un campo
z
m2
Ejemplo: Se tiene una masa m1 fija en el origen, y otra masa m2 en un punto
arbitrario.
b
r
m1
y
1 m2
− Gm
|r2 |
Energı́a potencial de m2 :
z
Añadimos otra partı́cula m3 en un punto arbitrario:
m2
m3
1
− Gm
r
Potencial del campo creado por m1 : igual
b
b
m1
1
− Gm
r
Potencial del campo creado por m1 :
θ
x
1 m2
− Gm
|r2 |
Potencial de la fuerza sobre m2 :
φ
b
1 m2
−
− Gm
|r2 |
Energı́a potencial de m2 :
b
Gm3 m2
|r2 −r3 |
y
x
1 m3
− Gm
−
|r3 |
{z
|
Energı́a potencial del sistema m2 , m3 :
3 m2
− Gm
|r2 −r3 |
} | {z }
Gm1 m2
|r2 |
E
I
1 m3
1 m2
− Gm
− Gm
−
|r3 |
|r2 |
{z
|
Energı́a potencial del sistema m1 , m2 , m3 :
Gm3 m2
|r2 −r3 |
}
I
Manuel Ruiz - Mecánica I
54 / 64
Trabajo de un par de fuerzas
z
M2
F12
u
M1
F21
F12 = −F21 = f (r) u
O
x
Sean dos partı́culas M1 y M2 sometidas a un par de acción reacción. Por
la 3a ley de Newton (fuerte):
y
donde
u=
r2 − r1
|r2 − r1 |
El trabajo del par al moverse las partı́culas será:
δW = F12 · dr1 + F21 · dr2 = f (r) u · (dr1 − dr2 ) = f (r) u · d (r u) =
:⊥
= f (r) u · (dr u + r du) = f (r) dr + f (r) r u
· du
⇒
δW = f (r) dr
Pues u es un vector unitario, u · u = 1, y por tanto, derivando, u · du = 0.
Un par de fuerzas solo trabaja si las partı́culas varı́an su distancia mutua
En un sólido (distancias constantes), las fuerzas internas son pares de acción reacción y no
trabajan.
Manuel Ruiz - Mecánica I
55 / 64
29
Trabajo sobre un sólido
z1
Sea un sólido formado por un número grande de partı́culas Mi (en el lı́mite,
∞); sobre cada una actúa una fuerza Fi (en el lı́mite, diferencial). El trabajo
del sistema de fuerzas sobre el sólido es:
Mi
Fi
O
b
O1
δW =
y1
x1
∞
X
Fi · dri =
i=1
∞
X
Fi · vi dt
i=1
vi = vO + ω ∧ OMi
Podemos aplicar el campo de velocidades del sólido:
prod. mixto
δW = dt
∞
X
Fi · vO + dt
i=1
=
∞
X
i=1
∞
X
i=1
Fi · ω ∧ OMi
Fi
!
=
· vO dt + ω ·
∞
X
OMi ∧ Fi
i=1
⇒
!
dt
⇒
δW = RE · vO dt + ME
O · ω dt
Manuel Ruiz - Mecánica I
56 / 64
Trabajo sobre un sólido
Propiedades del trabajo sobre un sólido:
Las fuerzas internas sobre un sólido no trabajan: sus puntos mantienen distancias constantes.
Si las fuerzas son conservativas, el potencial puede depender de la posición del punto de
referencia y de los parámetros de orientación:
O
E
E
δW = RE · vO dt + ME
O · ω dt = R · dr + MO · dΘ =
= −dV (xO , y O , z O , ψ, θ, ϕ)
Un sistema de fuerzas nulo (RE = 0, ME
O = 0) puede trabajar sobre un sistema deformable,
pero no sobre un sólido.
Manuel Ruiz - Mecánica I
57 / 64
30
Potenciales no estacionarios
Potencial ordinario estacionario V (r): Depende solo de las posiciones de las partı́culas. Se
conserva la energı́a:
dV = Vx dx + Vy dy + Vz dz = ∇V · dr = −δW
dT − δW = dT + dV = d(T + V ) = 0
→
T +V =E
Potencial ordinario no estacionario V (r, t): Depende de la posición y del tiempo. La fuerza sigue
siendo F = −∇V , pero no se conserva la energı́a.
dV = Vx dx + Vy dy + Vz dz + Vt dt = ∇V · dr + Vt dt = −δW + Vt dt
dT − δW = dT + dV − Vt dt = 0
→
d(T + V ) = Vt dt 6= 0
Potencial generalizado V (r, v, t): Depende de la posición, de la velocidad y del tiempo (ej: fuerzas
de inercia, como la de Coriolis; fuerzas electromagnéticas). No se estudian en este curso.
Manuel Ruiz - Mecánica I
58 / 64
Potenciales no estacionarios
Un potencial ordinario puede depender del tiempo:
Porque una fuerza externa (un motor) mueva a la partı́cula que crea el campo; esta fuerza
aporta o quita energı́a al sistema.
Un sistema globalmente conservativo puede convertirse en no conservativo al separar una parte y
despreciar efectos muy pequeños: sistema solar - satélite artificial.
Sistema completo conservativo: +W −
W = 0. Todos los cuerpos se influyen:
V =−
Gm m⊕
−
|r − r⊕ |
Gm ms
Gms m⊕
−
−
|r − rs |
|rs − r⊕ |
Sol-Tierra: el trabajo +W del satélite les afecta
(no conservativo), pero se desprecia su efecto
por la desproporción de masas (→ conservativo)
ms m , m⊕
Sol
Sat
Satélite aislado: no conservativo.
• Masa muy pequeña. El trabajo −W
del resto tiene un efecto no despreciable
• r (t), r⊕ (t) conocidas (efemérides): se mueven independientemente del
satélite
Gm m⊕
−
V (t) = −
|r (t) − r⊕ (t)|
Gm ms
Gms m⊕
−
−
|r (t) − rs |
|rs − r⊕ (t)|
⊕
Tierra
Manuel Ruiz - Mecánica I
59 / 64
31
ds
Ejemplo: potencial de un sólido
Una varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cada elemento
de masa con una fuerza proporcional a la masa y a la distancia al eje, de
constante ω 2 . Determinar la función de fuerzas del sólido.
La configuración de la varilla se determina con las coordenadas (ξ, η) del
centro de masas, y el ángulo con Ox, θ.
s
δF
θ
ξ
G
η
Se necesitan dos integrales: en dr de la fuerza al potencial, y en δm para extenderlo a todo el sólido.
El orden no importa.
Empezaremos por la del potencial. La fuerza elemental δF obviamente deriva de una función de
fuerzas, análoga a la centrı́fuga:
δF = ω 2 x δm i = +∇δU (x)
⇒
1
δU = ω 2 x2 δm
2
también elemental, pues afecta solo al elemento de masa δm.
Ahora hay que integrar para toda la varilla. Como solo tiene una dimensión, usaremos la densidad
lineal σ:
m
δm = σ ds =
ds
L
Manuel Ruiz - Mecánica I
60 / 64
Ejemplo: potencial de un sólido
ds
La coordenada x del elemento de masa δm también depende de la coordenada
interna s que lo identifica:
s
δF
θ
ξ
x = ξ + s cos θ
G
η
Sustituyendo, tenemos el potencial elemental en función del parámetro s:
1 2 2
1
m
ω x δm = ω 2 (ξ + s cos θ)2 ds
2
2
L
Integramos ahora para todo el sólido. Como es una integral de masa, las coordenadas del sólido ξ, θ
se dejan constantes:
δU =
U=
Z
δU =
V
ω2m
2L
Z
L/2
−L/2
ξ 2 + 2ξ cos θ s + cos2 θ s2 ds =
L/2
ω2 m 2
s3
mω 2
L2
2
2
2
θ s + cos θ
=
= U=
cos θ + C
ξ s +
ξ cos
ξ +
2L
3 −L/2
2
12
Manuel Ruiz - Mecánica I
61 / 64
32
ds
Ejemplo: potencial de un sólido
s
δF
θ
ξ
Otro camino es integrar primero el trabajo elemental para todo el sólido en
s, y luego integrar el potencial. Y para calcular el trabajo también hay varios
caminos. Uno es calcular el trabajo de la fuerza elemental al moverse el sólido:
G
δδW = δF · δr(s)
η
Donde el trabajo es elemental por dos motivos: por dar un desplazamiento elemental al sólido,
(δξ, δη, δθ), y por ser un elemento de masa δm.
La fuerza, la posición y el desplazamiento son:

δF = ω 2 (ξ + s cos θ) δm i 
r = (ξ + s cos θ, . . . )
δδW = ω 2 (ξ + s cos θ) (δξ − s sin θδθ) δm =

δr = (δξ − s sin θδθ, . . . )
= ω 2 ξδξ + (cos θδξ − ξ sin θδθ) s − sin θ cos θδθ s2 δm
Integrando para toda la varilla en la variable s:
L2
2
δW = ω m ξδξ −
sin θ cos θδθ
12
Manuel Ruiz - Mecánica I
62 / 64
ds
Ejemplo: potencial de un sólido
s
δF
El trabajo elemental sobre todo el sólido también se puede calcular mediante
la resultante y el momento resultante en G:
θ
ξ
δF =
G
δMG = −ω 2 (ξ + s cos θ) s sin θ δm k
η
Sustituyendo δm =
ω 2 (ξ + s cos θ) δm i
m
L
ds e integrando para toda la varilla, se tiene:
R = ω2 m ξ i
MG = −
ω 2 mL2
sin θ cos θ k
12
El trabajo elemental, teniendo en cuenta que ω = θ̇ k, será:
L2
2
G
δW = R · δr + MG · ω dt = ω m ξδξ −
sin θ cos θδθ
12
naturalmente, el resultado es el mismo.
Manuel Ruiz - Mecánica I
63 / 64
33
Ejemplo: potencial de un sólido
Solo queda comprobar que es una diferencial exacta y calcular el potencial.
L2
2
sin θ cos θδθ = −V ξ dξ − V θ dθ = −dV (ξ, θ)
δW = ω m ξδξ −
12
Las derivadas cruzadas son nulas,
V ξθ = V θξ = 0
y el potencial se calcula directamente, porque es la suma de dos funciones de una variable:
Z
Z
ω 2 m 2 L2
2
V = V ξ (ξ) dξ + V θ (θ) dθ = −
ξ +
cos θ + C
2
12
El segundo sumando se podrı́a escribir también como − sin2 θ, porque la diferencia es una constante.
El resultado es, como se esperaba, el opuesto de la función de fuerzas U .
Manuel Ruiz - Mecánica I
64 / 64
34