Modelos estadísticos aplicados en administración de

Modelos estadísticos aplicados en
administración de negocios que
generan ventajas competitivas
Videoconferencias semana de estadística Universidad Latina, Campus
Heredia Costa Rica
Universidad del Valle de México. Campus Guadalajara Sur.
México
Porfirio Pérez
1
Modelo Matemático
Modelo matemático es una representación mental de la
realidad, utilizando conceptos e ideas que definen un
evento físico.
En la administración de los negocios, el uso de estos
modelos debe de ser herramienta común, pero falta
mayor aplicación.
Como ejemplo de la gran utilidad de los modelos
matemáticos planteamos lo siguiente:
Requerimos pintar una superficie de 3m base por 8 m de
altura. ¿ Si un bote de pintura cubre 4 m2, cuantos botes
de pintura compramos?
2
Seguro que contestaríamos casi en forma reactiva que compramos
6 botes de pintura.
Usted ya tomo una decisión que puede ser acertada o no para su
empresa.
Analizamos mas de cerca:
Para tomar la decisión,
se tomo un modelo matemático
denominado RECTANGULO , que solo es un concepto mental
creado para representar la realidad, y usted lo adaptó al problema,
sin revisar si cumplía o no con los requisitos de este concepto.
Un rectángulo es un polígono de 4 lados (una figura plana de lados
rectos) en donde cada ángulo es un ángulo recto (90°).
También los lados opuestos son paralelos y de igual longitud.
3
Conclusión:
Se usa un modelo matemático y se da por asentado
su idoneidad a la realidad. Pero realmente se adapta
al problema real? Suponemos que si y lo usamos
Por lo que concluimos que requerimos el uso de
modelos matemáticos y verificación de su aplicación
Si el problema es mas complicado, y generalmente
en la administración de negocios lo es , QUE HACER?
4
Objetivo de la sesión
La estadística para este tipo de situaciones es
universal y robusta solo hay que conocer su
aplicación y validación de los Modelos estadísticos
existentes y aplicarla a la administración de los
negocios, este es el objetivo de esta sesión, exponer
los principios sobre los que se basan los modelos
estadísticos y como se interpretan y adecuan a la
realidad, utilizando
modelos de uso común
demostrando la universalidad de la estadística para
la administración de los negocios
5
Modelos estadísticos
Se presentaran , aplican e interpretaran 2
modelos estadísticos que por su gran
aplicación en la administración de los negocios
son muy importantes
1. Modelo Lineal y no lineal aplicado a
correlación de dos o mas variables aplicado a
publicidad
2. Modelo suavizamiento exponencial aplicado
a pronósticos
6
• Modelo de correlación
lineal y no lineal
7
Modelo Lineal aplicado a correlación
de dos o mas variables
Aplicación: PUBLICIDAD
Cuando en la administración de los negocios existen dos o mas variables que
pueden estar relacionadas entre si como pudiera ser la publicidad y las ventas
nos interesa conocer si se relacionan( correlación), como se relacionan
(métrica), y como en base a este modelo se puede pronosticar el efecto de la
publicidad sobre las ventas( pronóstico)
Iniciemos la idea:
Considerar que puede existir relación entre la inversión en publicidad de un
producto y los beneficios de las ventas de este, si se puede determinar como
se relacionan, podemos entonces decidir si aumentamos los costos de
publicidad , los reducimos o los eliminamos.
Se parte del siguiente modelo: Y = f(x)= ax + b
8
MODELO LINEAL y=f(x)=ax +b y
correlación
Esta relación entre f(x) y x se conoce como
relación lineal o como función de primer
grado. Ejemplo: Y = 2 X + 4
Grafica de primer orden
14
12
10
Y
8
6
4
2
0
-3
-2
-1
0
1
X
2
3
4
5
9
Y=2X+4
Donde:
b= intersección eje y
a= pendiente de la recta.
Si a= 1 Angulo =45º
Al modificar “a” la inclinación de la recta disminuye o
aumenta
Al modificar “b” el cruce con el eje “y” disminuye o
aumenta
..\Ing. Porfirio\PRINCIPAL\ESTADISTICA\GRAFICA Primer Grado.xls
10
Aplicación del modelo
Si suponemos que este modelo se aplica a los gastos en
publicidad y el total de ventas, entonces :
b= Ventas que se realizan, con o sin publicidad
a= Si es Positiva aumenta publicidad, aumenta ventas
Si es Negativa aumenta publicidad, disminuye
ventas
Entonces todo se resume a preguntarnos:
1) Se relacionan publicidad y ventas?
2) Cuanto vale “a” y “b” ?
3) Como pronosticar ventas con gasto de publicidad
11
Cualquier respuesta a estas útiles preguntas tiene un
origen en común, DATOS ESTADISTICOS
Estos datos son información disponible en el ámbito de
la administración de las empresas, por lo que no hay
problema para obtenerlas. Ejemplos de datos
estadísticos:
n es el número de pares de datos = 6
Publicidad
Ventas
X
Y
65
71
79
85
93
100
75
84
85
90
94
102
12
Con solo datos estadísticos se elabora la
gráfica de dispersión :
Gráfica de Dispersión
110
VENTAS
105
100
95
90
$
85
80
75
70
60
70
80
$
90
100
110
PUBLICIDAD
13
Agregando línea de tendencia:
Gráfica de Dispersión
110
VENTAS
100
$
105
85
95
90
80
75
70
60
70
80
$
90
100
110
PUBLICIDAD
14
En el contexto del análisis matemático se
desprende lo siguiente:
Coeficiente de correlación
r = SC(xy) / √ SC(x).SC(y)
Si se correlacionan r tiene valor cercano a +/- 1.
Si NO se correlacionan r tiene valor cercano a 0.
a = SC(xy) / SC(x)
b = (∑Y- (m.∑ X ))/n
15
Pasando a los cálculos con los datos:
Publicidad
Ventas
X
Y
X2
Y2
X.Y
65
71
79
85
93
100
75
84
85
90
94
102
493.0
530.0
4225
5041
6241
7225
8649
10000
0
41381.0
5625
7056
7225
8100
8836
10404
0
47246.0
4875
5964
6715
7650
8742
10200
0
44146.0
∑y
∑x2
∑y2
∑ xy
∑x
16
Calculo de sumas de cuadrados
Para realizar cálculos con estos datos , definimos
las suma de cuadrados de x , y , x2, y2, xy como:
SC(x) = ∑x2- ((∑ x )2/ n )
SC(y) = ∑y2- ((∑ y )2/ n )
SC( x.y ) = ∑ ( x.y )- ((∑ x )(∑ xy)/ n )
Sustituyendo los valores obtenidos tenemos:
SC(x) = 872.83
SC(y) =429.33
SC( x.y ) =597.67
17
SC(x) = 872.83 SC(y) = 429.33 SC(xy) = 597.67
Estos resultados estadísticos nos sirven para calcular :
r = SC(xy) / √ SC(x).SC(y)
a = SC(xy) / SC(x)
b = (∑Y- (m.∑ X ))/n
Resultados:
r = 0.9763 R2 = 0.953
a = 0.68
b = 32.07
18
Significado de los cálculos
Porcentaje de datos que siguen el modelo lineal:
r = 0.9763
97.63 % por lo que si hay correlación
Porcentaje de ajuste del pronóstico:
R2 = 0.953
95.3 %
Cambio en la publicidad por cambio en las ventas 0.68 , es
positivo por lo que al incrementar la publicidad se
incrementa las ventas
a = 0.68
Intersección de la recta con el eje de las ventas a publicidad
Cero, es decir ventas sin publicidad
b = 32.07
$32.07 (miles)
19
Ajuste del modelo
Ventas = 0.68 . Publicidad + 32.07
En base a esta información estadística concluimos:
Si hay una correlación positiva entre publicidad y ventas
Si no realizamos publicidad tendíamos ventas por $32.07
Se puede realizar pronósticos o evaluar errores del modelo.
Ejemplo de pronostico:
Si gastamos de publicidad $90.00 esperamos ventas
pronosticadas de $ 93.70 ( seguros en un 95.3% )
20
Errores del modelo
Si gastamos de publicidad $85.00 esperamos ventas
pronosticadas de:
Ŷ = $ 90.2734 ( valor pronosticado)
De acuerdo a la información:
Publicidad
Ventas
X
Y
65
71
79
85
93
100
75
84
85
90
94
102
Error del modelo: 0.2734
21
Cálculo de los errores del modelo
De forma similar:
2
Ŷ
e
e
ei-ei-1
( ei-ei-1 )
76.58
80.69
86.16
90.27
95.75
100.54
530.0
1.5786
-3.3130
1.1650
0.2734
1.7514
-1.4554
0.0
2.4919
10.9757
1.3572
0.0748
3.0673
2.1182
20.1
-4.892
4.478
-0.892
1.478
-3.207
-3.0
23.927
20.052
0.795
2.184
10.284
57.2
2
22
Evaluación de MAD y MSE
• Si Error de pronostico = Valor real- Valor pronosticado
Se definen:
MAD =
 |Error| /n
MAD que es promedio de la desviación absoluta:
MSE =
 (Error)
2
/n
MSE promedio del cuadrado del error:
Cuando se tienen resultados de MAD y MSE de dos o mas
pronósticos se elige el que tenga el menor valor del
parámetro.
23
Correlación no-lineal
Pero, ¿Como trabajar cuando consideramos mas de una
variable ?
Para hacerlo mas interesante en base a los datos suponemos
que la relación no es relación lineal, y que sigue el modelo
matemático:
Y = f(x)= a x12 + b x1+ c
A este modelo se le conoce como modelo no lineal o modelo
de segundo orden. Los nuevos datos son:
DATOS
Yi
Xi
2
3
3
10
8
30
7
50
9
40
8
20
4
55
Elaborando el diagrama de dispersión :
24
Diagrama de Dispersión
Datos reales
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
$ de Publicidad
25
Con línea de tendencia
Datos reales
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
$ de Publicidad
26
MODELO NO LINEAL y=f(x)=ax2 +bx + c
correlación
Ejemplo:
y = f(x) = -2 X 2 + 9 X 1 + 1
Gráficamente:
15
2.0, 11 2.5, 11
10
1.5, 10
3.0, 10
1.0, 8
5
3.5, 8
0.5, 5
4.0, 5
0, 1
0
0
1
2
3
4
5
27
Aplicación del modelo
Si consideramos , basándonos en el diagrama de dispersión de
los datos reales, que las ventas son función de la publicidad al
cuadrado, es decir, una función de segundo grado, que
representa una curva.
• Tendríamos:
• MODELO y=f(x)= β0 + β1 x1 + β2 x12
Interpretación de los parámetros:
β0 = Intersección con eje “y” de la curva
β1 = Intersección con eje horizontal en β0
β2 = Positivo la curva tiene un mínimo, negativo máximo
28
MODELO y=f(x)= β0 + β1 x1 + β2 x12
y = f(x) = 1 X 2 + 3 X 1 + 5
Ejemplo:
30
25
20
15
10
5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
29
• El modelo es entonces:
• Y = β0 + β1 x1 + β2 x12
• Cambio a lineal :
• Y = β0 + β1 x1 + β2 x2
• Donde: x2 = x12
30
MODELO
• Y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x2
Nos queda un sistema de 3 x 3 con 3 incógnitas
• β0 n + β1 ∑x1 + β2 ∑x2 = ∑y
• β0 ∑x1 + β1 ∑x21 + β2 ∑x1 .x2 = ∑x1 .y
• β0 ∑x2 + β1 ∑x1 .x2 + β2 ∑x22 = ∑x2 .y
31
Usando información estadística
DATOS
Yi
Xi
2
3
3
10
8
30
7
50
9
40
8
20
4
55
x1
x2
3
10
30
50
40
20
55
Σ
41 208
208
Ỹ 5.8571 29.714
Número datos:
9
100
900
2,500
1,600
400
3,025
8,534
x 22
81
10,000
810,000
6,250,000
2,560,000
160,000
9,150,625
18,940,706
x 12
9
100
900
2,500
1,600
400
3,025
8,534
y. x 1
6
30
240
350
360
160
220
1,366
y. x 2
18
300
7,200
17,500
14,400
3,200
12,100
54,718
x1 x2
27
1,000
27,000
125,000
64,000
8,000
166,375
391,402
7
Sustituyendo sumas de datos
• β0 7 + β1 208 + β2 8534 = 41
• β0 208 + β1 8534 + β2 391402 = 1366
• β0 8534 + β1 391402 + β2 18940706 = 54718
32
Resolviendo el sistema
Calculo de Determinante
7
Δ
=
Calculo de Determinante
Δ
41
Δ β0 =
Calculo de Determinante
Calculo de Determinante
Δ
208
8534
Δ
7
Δ β2 =
8534
7
208
208
8534
8534 391402
=
7669956000
=
-3000136200
β0
=
-0.391
=
4260521540
β1
=
0.555
=
-64532380
β2
=
-0.008
β0
208
8534
1366 8534
391402
54718 391402 18940706
7
Δ β1 =
208
208 8534
391402
8534 391402 18940706
41
208
1366
8534
54718 391402
β1
41
1366
54718
8534
391402
18940706
7
41
208
1366
8534 54718
β2
208
208 8534
8534 391402
41
1366
54718
7
208
208
8534
8534 391402
33
Los resultados son:
β0 = -0.3912
β1 = 0.5555
β2 = -0.0084
Por lo que el modelo estadístico que
representa estos datos es:
Ŷ = -0.391 + 0.555 x1 + -0.008 x2
Donde: x2 = x12
34
Calculo de la bondad de ajuste
Yi
2.0
3.0
8.0
7.0
9.0
8.0
4.0
Σ
Xi
3.0
10.0
30.0
50.0
40.0
20.0
55.0
SCR
( Ŷ-Ỹ )2
Ŷ
Ỹ
5.9
5.9
5.9
5.9
5.9
5.9
5.9
1.20
4.32
8.70
6.35
8.37
7.35
4.71
SCE
( Yi -Ŷ)2
21.7
2.4
8.1
0.2
6.3
2.2
1.3
0.64
1.75
0.49
0.42
0.40
0.42
0.50
42.2
4.63
Calculo del coeficiente de determinación multiple( R ):
% de datos que se ajustan a este modelo matemático:
SC total
46.9
0.90124076
90.12%
35
Conclusiones del modelo
matemático
En base a los análisis presentados se puede
afirmar que:
• Este modelo es un modelo fácil de usar, interpretar y aplicar a
problemas reales
• Visualizar el comportamiento de la variable es fácil y por tanto el
pronosticar sus valores también
• Es una herramienta estadística muy práctica y poderosa y se puede
aplicar a cualquier disciplina por lo que es universal
Conocer el comportamiento de los modelos lineales y no lineales son
fundamentales para los problemas aplicados en administración de
negocios, mejorando notablemente el entendimiento del
comportamiento de las variables, generando ventajas
competitivas para quien los usa.
36
•Modelo suavizamiento
exponencial
37
Modelo suavizamiento exponencial
Aplicación: PRONOSTICOS
Cuando en la administración de los negocios existe necesidad de
realizar pronósticos de variables un método muy utilizado es el de
suavizamiento exponencial .
Iniciemos la idea:
Considerar que el valor de un periodo en una serie de tiempo
depende del valor anterior y de un factor .
Se parte del siguiente modelo:
y1 = Y1 ( Valor inicial pronosticado es el valor inicial de
serie)
yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi ( siguiente valor pronosticado )
38
Modelo
yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi
• Como ejemplo, consideramos la siguiente
serie de tiempo:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Yt
71
70
69
68
64
65
72
78
75
75
75
70
75
75
74
78
86
82
75
73
72
73
72
77
83
81
81
85
85
84
39
Gráfica de los datos contra el tiempo
40
MODELO: y1
= Y1 yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi
Suavizamiento exponencial
Constante de suavizamiento:
α
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Yt
St
71
70
69
68
64
65
72
78
75
75
75
70
75
75
74
78
86
82
75
73
72
73
72
77
83
81
81
85
85
84
0.1
71.0
70.9
70.7
70.4
69.8
69.3
69.6
70.4
70.9
71.3
71.7
71.5
71.8
72.2
72.3
72.9
74.2
75.0
75.0
74.8
74.5
74.4
74.1
74.4
75.3
75.8
76.4
77.2
78.0
78.6
Constante de suavizamiento:
α
St
0.5
71
70.5
69.8
68.9
66.4
65.7
68.9
73.4
74.2
74.6
74.8
72.4
73.7
74.4
74.2
76.1
81.0
81.5
78.3
75.6
73.8
73.4
72.7
74.9
78.9
80.0
80.5
82.7
83.9
83.9
41
MODELO: y1 = Y1 yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi
42
MODELO: y1 = Y1 yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi
43
Conclusiones del modelo
matemático
• Se observa que con el coeficiente de 0.5 da una
aproximación mejor a los datos reales, por lo que se
utiliza para realizar el pronostico del siguiente
periodo
• Si queremos una mejor aproximación, se tendrá que
utilizar un modelo que incluya varios factores mas, y
de acuerdo a la curva podría ser comportamientos
senoidales, cosenoidales y alguna otra función.
• Esto nos lleva a modelos estadísticos econométricos
44
Modelos econométricos
Son modelos estadísticos de la forma:
Y= a0+a1X1+a2X2+………………………..….akXk
Donde cada a k coeficiente se debe de especificar de
acuerdo al comportamiento de la variable y cada Xk
es una función que caracteriza la gráfica de datos
reales, pudiendo ser graficas lineales, no lineales,
exponenciales, senoidales, etc.
45
Función Seno y coseno
Tenemos las gráficas
Y = A Seno [ ( 2π / B ) ( x - C ) ] + D
15.00
10.00
5.00
0.00
-5.00
-10.00
-15.00
-15
-10
-5
0
5
10
15
:..\Ing. Porfirio\PRINCIPAL\FUNCIONES\FUNCION SENO.xls
46
Modelos econométricos
•
Como ejemplo:
Modelo Senoidal
Periodo de ciclo
=
Término independiente =
•
y las funciones:
•
=
0.43
Coeficiente variable X2
=
8
Coeficiente variable X3
=
-3.23
Coeficiente variable X4
=
-0.21
Coeficiente variable X5
=
0.01
Valor de π
=
3.142
=
X2
=
X4
Siendo el modelo:
Coeficiente variable X1
X1
X3
X5
10
68.85
t
(
= Sen
(
= t Cos (
= t Sen (
Cos
2 π t / 10 )
2 π t / 10 )
2 π t / 10 )
2 π t / 10 )
Ŷt =68.85 + 0.43 t + 8 Cos ( 2 π t / 10 ) + -3.2 Sen ( 2 π t / 10 ) + -0.2 t Cos (
2 π t / 10 ) + 0.01 t Sen ( 2 π t / 10 )
47
Cálculos para el modelo
Tiempo
Valor
Valores
del
ciclo
observado
Valor
Error de
predicción
predicción
Error de
predicción
t
Yt
Cos
Sen
t Cos
t Sen
Ŷt
Yt-Ŷt
(Yt-Ŷt)2
1
2
3
4
5
6
71
70
69
68
64
65
0.81
0.31
-0.31
-0.81
-1.00
-0.81
0.59
0.95
0.95
0.59
0.00
-0.59
0.81
0.62
-0.93
-3.24
-5.00
-4.85
0.59
1.90
2.85
2.35
0.00
-3.53
73.69
69.00
64.82
62.90
64.05
67.84
-2.69
1.00
4.18
5.10
-0.05
-2.84
7.23
1.00
17.48
25.99
0.0025
8.07
7
72
-0.31
-0.95
-2.16
-6.66
72.85
-0.85
0.72
8
78
0.31
-0.95
2.47
-7.61
77.24
0.76
0.58
9
75
0.81
-0.59
7.28
-5.29
79.51
-4.51
20.33
10
11
75
75
1.00
0.81
0.00
0.59
10.00
8.90
0.00
6.47
79.05
76.35
-4.05
-1.35
16.40
1.82
12
70
0.31
0.95
3.71
11.41
72.75
-2.75
7.54
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
FIN
75
75
74
78
86
82
75
73
72
73
72
77
83
81
81
85
85
84
-0.31
-0.81
-1.00
-0.81
-0.31
0.31
0.81
1.00
0.81
0.31
-0.31
-0.81
-1.00
-0.81
-0.31
0.31
0.81
1.00
0.95
0.59
0.00
-0.59
-0.95
-0.95
-0.59
0.00
0.59
0.95
0.95
0.59
0.00
-0.59
-0.95
-0.95
-0.59
0.00
-4.02
-11.33
-15.00
-12.94
-5.25
5.56
15.37
20.00
16.99
6.80
-7.11
-19.42
-25.00
-21.03
-8.34
8.65
23.46
30.00
12.36
8.23
0.00
-9.40
-16.17
-17.12
-11.17
0.00
12.34
20.92
21.87
14.11
0.00
-15.28
-25.68
-26.63
-17.05
0.00
69.86
68.96
70.45
73.78
77.70
80.79
82.05
81.25
79.01
76.49
74.91
75.02
76.85
79.72
82.56
84.35
84.59
83.45
5.14
6.04
3.55
4.22
8.30
1.21
-7.05
-8.25
-7.01
-3.49
-2.91
1.98
6.15
1.28
-1.56
0.65
0.41
0.55
SCE =
2
26.39
36.48
12.60
17.80
68.87
1.45
49.72
68.06
49.13
12.19
8.45
3.93
37.82
1.64
2.42
0.42
0.17
0.30
505.00
48
Gráfica del modelo
49
Conclusiones del modelo
matemático
En base a los análisis presentados se puede
afirmar que:
• Este modelo es un modelo que requiere definir el coeficiente de
suaviza miento pero es fácil de usar y aplicar a problemas reales
• Es un modelo aproximado por lo que el comportamiento de la
variable es algo diferente a la real, pero se usa con excelentes
resultados en pronosticar sus valores
• Es una herramienta estadística muy práctica y poderosa y se puede
aplicar a cualquier disciplina por lo que es universal
Los modelos estadísticos aplicados en administración de negocios,
mejoran notablemente el entendimiento del comportamiento de
las variables, generando ventajas competitivas para quien los usa.
50
Gracias por su atención
Sesión de preguntas y respuestas
Universidad del Valle de México. Campus Guadalajara Sur.
México
Porfirio Pérez
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