PAM en banda base - Luca Martino Home Page

PAM en banda base -­‐ Comunicaciones Digitales Luca Mar8no y Francisco J. Rodríguez Ruiz Apuntes-­‐Laboratorio no revisados (cuidado!!!) Modulación lineal •  Desde el punto de vista teórico se han estudiado diferentes casos en este orden (desde Teoría de la Comunicación hasta Com. Digitales) Trasmisión de un solo símbolo, con N coordenadas de la constelación, y señales entre 0 y T. Trasmisión indefinida de símbolos, con N coordenadas de la constelación, y señales entre 0 y T. Trasmisión indefinida de PAM en símbolos, con N=1, y señales que banda base duren más que un periodo de símbolo. …. …. Señal modulada (caso general) •  Transmisión indefinida mul8dimensional (N) de símbolos N −1
un espacio S[k] = ( A0 [k],..., AN −1[k])
s(t) = ∑ ∑ A j [k]φ j (t − kT)
k
en Coordenadas del k-­‐esimo Símbolo enviado j =0
•  Donde asumimos las condiciones (vamos a ver luego el porqué) +∞
€j ] Base ortonormal φ
(t)
φ
(t)dt
=
δ
i
−
[
∫ −∞ i j
€
Y luego nos gustaría (no siempre es posible): Criterio de Nyquist €
p j (t)
nT
= φ j (t) ∗ h(t) ∗ f j (t)
nT
= δ [n]
Canal Filtro en el receptor €
j = 0,....,N −1
Señal modulada (k=0, N genérico) •  Supongamos de querer transmi8r un solo símbolo (paso temporal, n=0) en un espacio mul8dimensional (N) u8lizando una modulación de este 8po N −1
s(t) = ∑ A j φ j (t)
j =0
S = [A0 ,..., AN −1 ]
Coordenadas del símbolo •  En este caso la única condición es €
€ +∞φ (t)φ (t)dt = T φ (t)φ (t)dt = δ [i − j ]
∫ i j
∫ i j
−∞
0
Donde estamos considerando solo señales entre 0 y T. €
•  Este es el caso que se ha estudiado en profundidad en Teoría de la Comunicación. PAM banda base (k genérico, N=1) •  En este caso s(t) = ∑ A0 [k]φ 0 (t − kT) = ∑ A0 [k]g(t − kT)
k
k
€
φ 0 (t − kT) = g(t − kT)
0
€
Ejemplo constelación con 4 símbolos €
A0 [k]
¿Por que más de un periodo de símbolo? •  Las señales s(t) de duración finita en el 8empo (entre 0 y T, por ejemplo) ocupan un ancho de banda infinito. Este fenómeno empeora a medida que T0 (aumentamos la velocidad de transmisión), dado que en este caso s(t) Delta(t) y S(w)1 (la señal con8ene todas las frecuencias, “excitadas” en igual medida). •  En las aplicaciones reales, podemos u8lizar sólo un ancho de banda finito. Por esto hay que plantearse el uso de señales que excedan el intervalo símbolo [nT, (n+1)T]. Duración infinita Ancho de banda finito €
€
Esquema general (PAM banda base) •  Diagrama de bloque …… A[n]
g(t)
€
h(t)
n(t)
Modulador €
s(t)
r(t)
Canal €
€
€
s(t) = ∑ A0 [k]φ 0 (t − kT) = ∑€A0 [k]g(t − kT)
k
k
r(t) = s(t) ∗ h(t) + n(t)
q(t)
f (t)
q[n]
nT
Demodulador €
€
€
Decisor q[n]
€
q(t) = r(t) ∗ f (t)
€
q(t) = s(t) ∗ h(t) ∗ f (t) + n(t) ∗ f (t) = s(t) ∗ h(t) ∗ f (t) + z(t)
z(t)
Aˆ [n]
Demodulación (PAM banda base) •  Volvemos a la señal q(t) = r(t) ∗ f (t)
r(t)
f (t)
q(t)
q(t) = s(t) ∗ h(t) ∗ f (t) + n(t) ∗ f (t)
q[n]
nT
Demodulador €
€
q(t) = s(t) ∗ h(t) ∗ f (t) + z(t)
€
€
€
€
€
⎛
⎞
€
q(t) = ⎜ ∑ A0 [k]g(t − kT)⎟ ∗ h(t) ∗ f (t) + z(t)
Intercambiamos el ⎝ k
⎠
orden de los q(t) = ∑ A0 [k]( g(t − kT) ∗ h(t) ∗ f (t)) + z(t)
k
integrales y de la suma p(t − kT)
q(t) = ∑ A0 [k]p(t − kT) + z(t)
€
k
€
p(t) = g(t) ∗ h(t) ∗ f (t)
P(ω ) = G(ω )H(ω )F(ω )
Canal discreto equivalente •  Muestreando cada nT instantes q[ n ] = ∑ A0 [k]p(nT − kT) + z(nT) = ∑ A0 [k]p((n − k)T) + z(nT)
k
k
q[ n ] = ∑ A0 [k]p[ n − k ] + z[n] = A0 [ n ] p[0] + ∑ A0 [k]p[ n − k ] + z[n]
k
€
p(t) = g(t) ∗ h(t) ∗ f (t)
p(t) nT = p(nT) = p[n]
€
z(t) nT = z(nT) = p[n]
€
€
€
k ≠n
ISI “Fuentes” de error •  Dada la expresión q[ n ] = A0 [ n ] p[0] + ∑ A0 [k]p[ n − k ] + z[n]
k ≠n
•  En general, tenemos 2 fuentes de error:   ISI €
  ruido z[n] •  nos gustaría que el ruido fuera blanco (además que nos exista ISI), para que el decisor símbolo a símbolo fuera óp8mo (no necesitamos más información para decidir de forma óp8ma). Criterio de Nyquist para ausencia de ISI •  Hemos visto que nos gustaría que Dado que es no nulo solo para t=nT p[ n ] = p(t) nT = p(nT) = δ [ n ]
•  La condición de arriba, es equivalente a escribir +∞
€
+∞
∑ p(nT)δ (t − nT) = δ (t)
n =−∞
n =−∞
•  Y en frecuencia €
p(t) ∑δ (t − nT) = δ (t)
Hay un factor 1/(2*pi) porque es una convolución con deltas en w (es decir,2*pi* f)…. €
⎛
1 +∞ ⎛
2πk ⎞
2π
2πk ⎞
P⎜ω −
⎟ = 1
P(ω ) ∗
δ ⎜ω −
⎟ = 1
∑
∑
T k =−∞ ⎝
T ⎠
T k =−∞ ⎝
T ⎠
•  el criterio de Nyquist es también conocido como forzador de ceros. +∞
Ruido z[n] •  Vamos a analizar el ruido n(t)
f (t)
z(t)
z[n]
nT
Demodulador €
€
€
2
€ Sz (ω ) = Sn (ω ) F(ω )
€
N
Si S (ω ) = 0
n
2
+∞
€ Sz (ω ) =
N0
2
F(ω )
⎛ ω 2πk ⎞
N0
jω
Sz (e ) =
F ⎜ −
⎟
∑
2T k =−∞ ⎝ T
T ⎠
2
€
€
€
2
Ruido z[n] •  El ruido z[n] será blanco si 2
+∞
⎛ ω 2πk ⎞
N0
jω
Sz (e ) =
∑ F ⎜ − T ⎟⎠ = const.
2T k =−∞ ⎝ T
€
n(t)
El hecho de escalar en frecuencia no afecta a la condición f (t)
z(t)
z[n]
nT
Demodulador €
€
€
€
•  Nota que, aparte de una constante, es € exactamente igual al criterio de Nyquist para la ausencia de ISI. •  Entonces si rf (t)
nT
= f (t) ∗ f (−t) nT ∝ δ [n]
Es importante notar que en ningún momento estamos haciendo referencia al filtro transmisor. •  el ruido z[n] será blanco. Proporcional (luego u8lizaremos siempre un =) €
Lo que nos gustaría •  En general buscamos conseguir 3 cosas:   ausencia de ISI Si se cumplen estas 2 condiciones, decidir símbolo a símbolo es óp8mo.   que z[n] sea blanco   maximizar la SNR Es evidente que a mayor SNR, menor probabilidad de error en decisión. •  en el caso general (canal con distorsión, ruido etc.), no podemos conseguir que se cumplan las tres condiciones simultáneamente. Condición 1) ausencia de ISI •  Primero, nos gustaría que q[ n ] = p[0] A0 [ n ] + z[n]
O directamente €
Esto ocurre si q[ n ] = A0 [ n ] + z[n]
p[ n ] = p(t) nT = δ [ n ]
€
•  Se cumple si elegimos 1) y 2) €
f (t) = g(−t)
€
G(ω ) =
Y (ω )
H(ω )
Donde Y (ω )
Es cualquier función que cumple Nyquist, es decir y(t) nT = δ [n]
Condición 1) ausencia de ISI •  De hecho si elegimos 1) f (t) = g(−t)
y 2) €
G(ω ) =
•  Tenemos €
Y (ω )
H(ω )
Donde Y (ω )
Es cualquier función que cumple Nyquist, es decir y(t) nT = δ [n]
€
P(ω ) = G(ω )H(ω )F(ω )
€
2
P(ω ) = G(ω )H(ω )G* (ω ) = H(ω ) G(ω )
Y (ω )
P(ω ) = H(ω )
= Y (ω )
H(ω )
Condición 2) z[n] blanco •  Para que el ruido z[n] sea blanco Sz (e jω ) = const.
•  Hemos ya visto que esto se cumple si €
rf (t)
nT
= f (t) ∗ f (−t) nT = δ [n]
•  donde f(t) es el filtro en el demodulador. €
n(t)
z(t)
f (t)
nT
Demodulador €
€
z[n]
€
Condición 3) maximizar SNR •  Ahora intentamos maximizar la relación señal a ruido. •  Asumimos, ahora, enviar un único símbolo. En este caso s(t) = A[0]g(t)
•  pasando por el canal y filtrando €
r(t) = A[0]g(t) ∗ h(t) + n(t)
q(t) = A[0]g(t) ∗ h(t) ∗ f (t) + n(t) ∗ f (t)
€
q(t) = A[0]gr (t) ∗ f (t) + z(t)
€
q[0] = q(t) t =0 = A[0]( gr (t) ∗ f (t))
€
t =0
+ z[0]
Variable de decisión Condición 3) maximizar SNR •  Seguimos desarrollando q(t) t =0 = A[0]( gr (t) ∗ f (t))
t =0
+ z[0]
+∞
q[0] = q(t) t =0 = A[0] ∫ −∞ gr (τ ) f (t − τ )dτ
€
+∞
q[0] = A[0] ∫ −∞ gr (τ ) f (−τ )dτ +
∫
+
t =0
∫
+∞
−∞
n(τ ) f (t − τ )dτ
+∞
−∞
n(τ ) f (−τ )dτ
Valor cuadrá8co medio 2
N0
E [q[0] ] = E s ∫ −∞ gr (τ ) f (−τ )dτ +
2
2
€
(
+∞
)
E s = E [ A 2 [0]]
€
Determinista +∞
2
f
∫ −∞ (−τ )dτ
N0
= E [ n(t)]
2
Determinista t =0
Condición 3) maximizar SNR •  La SNR es en (
+∞
E s ∫ −∞ gr (τ ) f (−τ )dτ
⎛ S ⎞
⎜ ⎟ =
N 0 +∞ 2
⎝ N ⎠ q
f (−τ )dτ
∫
−∞
2
)
2
•  por la desigualdad de Cauchy-­‐Schwarz tenemos €
€
(
⎛ S ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ N ⎠ q
∫ gr (τ ) f (−τ )dτ
Es
(∫
+∞
) (
g (τ ) f (−τ )dτ
−∞ r
N0
2
∫
+∞
−∞
2
f (−τ )dτ
2
)
2
≤
2
g
∫ r (τ )dτ
+∞
)( ∫
f 2 (−τ )dτ
)
+∞
E s ∫ −∞ gr2 (τ )dτ ∫ −∞ f 2 (−τ )dτ E s 2
≤
=
N 0 +∞ 2
N0
f
(−
τ
)d
τ
∫
2 −∞
∫
+∞ 2
−∞ r
g (τ )dτ
Condición 3) maximizar SNR •  Hemos llegado a (
+∞
E s ∫ −∞ gr (τ ) f (−τ )dτ
⎛ S ⎞
⎜ ⎟ =
N 0 +∞ 2
⎝ N ⎠ q
f (−τ )dτ
∫
−∞
2
)
2
E2
≤ s
N0
∫
+∞ 2
−∞ r
g (τ )dτ
•  donde la igualdad se cumple sólo cuando €
f (t) = Kgr (−t)
•  donde K es una constante. €
€
gr (t) = g(t) ∗ h(t)
Condición 3) maximizar SNR •  Entonces, cuando f(t) es adaptado a gr(t) (respuesta conjunta del canal h(t) y g(t)) se maximiza la SNR cuando enviamos un sólo símbolo. •  Hallar una expresión parecida (que maximice la SNR) cuando hay una transmisión indefinida de símbolos es bastante complejo. Filtro en el demodulador •  En general: Y (ω )
H(ω )
  ausencia de ISI f (t) = g(−t) G(ω ) =
  que z[n] sea blanco €
rf (t) = f (t) ∗ f (−t) €
= δ [n]
nT
nT
€
y(t) nT = δ [n]
gr (t) = g(t) ∗ h(t)
  maximizar la SNR €
f (t) = gr (−t)
€
€
Pero maximiza la relación señal a ruido cuando se considera la transmisión de un único símbolo (esta hipótesis no se cumple en un sistema real). Resumen: diseño f(t) •  Hemos visto 3 criterios para diseñar f(t): 1) para eliminar la ISI, 2) para que el ruido z[n] sea blanco, 3) para maximizar la SNR cuando transmi8mos solo un símbolo. •  En general, cuando hay un canal con distorsión lineal no se pueden cumplir las tres condiciones simultáneamente. •  Hay también otros posibles criterios. Por ejemplo, maximizar la relación potencia del símbolo deseado frente a ISI y ruido: [
E ( A[n]p[0])
2
]
⎡⎛
⎞ 2 ⎤
E ⎢⎜ ∑ A[k]p[n − k] + z[n]⎟ ⎥
⎢⎣⎝ k ≠n
⎠ ⎥⎦
Diseño f(t) -­‐ posibilidad 4) •  Realmente hay otra posibilidad, que permite eliminar (teóricamente) la ISI y al mismo 8empo hacer que el ruido z[n] sea blanco (las dos cosas simultáneamente).   sin ISI   z[n] blanco 1) ELEGIMOS f(t) tal que rf (t)
2) ELEGIMOS y(t) tal que y(t) nT = δ [n]
nT
= f (t) ∗ f (−t)
nT
= δ [n] Así que el ruido z[n] será blanco €
3) ELEGIMOS g(t) tal que €
G(ω ) =
Y (ω )
H(ω )F(ω )
De este modo tenemos P(ω ) = G(ω )H(ω )F(ω ) =
Y (ω )
H(ω )F(ω ) = Y (ω )
H(ω )F(ω )€
que cumple el criterio de Nyquist para la ausencia de ISI Diseño f(t) -­‐ posibilidad 4) •  Pero de todas formas este esquema 8enes unos inconveniente. Y (ω )
G(ω ) =
H(ω )F(ω )
•  Aparte de que se necesita el conocimiento de la respuesta del canal H(w) (como en todos los otros casos), H(w) aparece en el €
denominador, así que la transformada G(w) puede ser infinita cuando H(w)0. Esto significa que necesitaríamos una potencia infinita en el transmisor (o, más en general, necesitamos una potencia muy elevada cuando la respuesta del canal H(w) es cercana a 0). Canal sin distorsión •  Cuando suponemos un canal sin distorsión, podemos lograr las 3 condiciones simultáneamente q(t)
r(t)
f (t)
g(t)
  ausencia de ISI s(t)
n(t)
  que z[n] sea blanco €
Canal €
€
  maximizar la SNR €
€
€ f (t) = g(−t)
•  esto puede ser logrado u8lizando un filtro adaptado. De hecho, con €
p(t) nT = rg (t) = g(t) ∗ g(−t) = δ [n]
nT
nT
se cumplen las 3 condiciones anteriores! Canal sin distorsión •  En este caso, con la elección f (t) = g(−t)
p(t) = rg (t) = g(t) ∗ g(−t)
y(t) = p(t)
€
rf (t) = rg (t)
g(t)
r(t)
g(−t)
s(t)
n(t)
Canal €
gr (t) = g(t)
€
€ ADEMÁS ELEGIMOS g(t) tal que €
€
€ p(t) nT = rg (t) nT = g(t) ∗ g(−t) nT
€
€
€
= δ [n] 1) Ausencia de ISI se cumplen las 3 condiciones anteriores! rf (t)
nT
= rg (t)
2) z[n] blanco nT
= δ [n]
f (t) = gr (−t) = g(−t)
3) SNR máxima q(t)