FÍSICA

FÍSICA
Departamento de Física Aplicada.
Facultad de Ciencias Químicas. UCLM.
Examen Final. Convocatoria extraordinaria (01/09/05).
Primer Parcial
1. (2.5 puntos) Explicar detalladamente cuáles de las siguientes cantidades: momento
lineal, momento angular, energía cinética, energía potencial y energía total, se conservan o no
en los distintos tipos de colisiones (1.5). Calcular el cambio en la velocidad, el momento lineal y
la energía cinética de una esfera de acero que se mueve con velocidad v0 y choca frontal y
elásticamente contra una pared (1).
Suponiendo que la pared se mantiene siempre en reposo, la pelota rebota elásticamente
cambiando únicamente el sentido de su velocidad. Por ello, tenemos que:
r
r
r
r r
r
Δv = v final − vinicial = v0 i − (−v0 i ) = 2v0 i
r
r
Δp = 2mv0 i
2
ΔEc = (m / 2)(v 2final − vinicial
)=0
2. (2.5 puntos) Definir e indicar el sentido físico del centro de masa y del momento de
inercia en un sólido rígido (1). Calcular la aceleración del centro de masas de un yo-yo que gira
según desciende verticalmente (1). ¿Cómo cambian su momento de inercia, su momento angular
y los distintos términos que integran su energía total durante el movimiento? (0.5)
Durante el movimiento de caída del yo-yo, las fuerzas que actúan sobre él son el peso y la
tensión del hilo, T. De este modo, las ecuaciones de la dinámica de translación y de rotación del
yo-yo son:
MaCM = Mg − T
Iα = I
aCM
= TR
R
combinando ambas aCM =
Mg
M + I / R2
EL momento de inercia permanece constante pues sólo depende de la forma y masa del objeto.
El momento angular aumenta pues gira aceleradamente. Al ser un sistema bajo fuerzas
conservativas, la energía total permanece constante. Debido al descenso, la energía potencial
disminuye mientras aumentan los términos de energía cinética de translación y de rotación
(caída con giro acelerado)
3. (5 puntos) Un esquiador de 70 kg de masa desciende por un trampolín que consta de
una parte inclinada (tramo AB) y de una parte curva (tramo BC). Dicho esquiador parte del
reposo en el punto A, alcanza el punto B con una velocidad vB=40m/s y deja el trampolín en el
punto C con una velocidad vC=35 m/s y un ángulo respecto de la horizontal, θ=20º, para
terminar describiendo una trayectoria parabólica en el aire (véase la figura). Teniendo en cuenta
que α=30º, h0=100m y h1=10m, responder a los apartados siguientes:
B
(a) Calcular la energía perdida por rozamiento tanto en el tramo lineal como en el curvo
(1). Determinar el coeficiente de rozamiento (dicho coeficiente es el mismo en ambos tramos)
(1)
(b) Calcular la altura
máxima y el desplazamiento
horizontal máximo que alcanza
el esquiador en su trayectoria
parabólica (3).
A
h0
h1
α B
C
θ
Solución del primer problema
(a) En general, ΔE = ΔEp+ΔEc = Wno conservativo = Wrozamiento.
En el tramo lineal, Wrozamiento = (Ep,B-Ep,A) + (Ec,B-Ec,A) = mg(h1 - h0) + (m/2)(vB2 - vA2) = 70·10·90 + (70/2)(402 - 02) = -7000 J.
B
En el tramo curvo, Wrozamiento = (Ep,C-Ep,B) + (Ec,C-Ec,B) = 0 + (m/2)(vC2 - vB2) = (70/2)(352 402) = -13125 J.
B
El coeficiente de rozamiento se calcula del siguiente modo: en el tramo lineal, la fuerza de
rozamiento que actúa durante la distancia d es constante y, por tanto, Wrozamiento = Frozamiento·d = - μmgcos30·d. Igualando este resultado al obtenido anteriormente, llegamos a
que: μ=Wrozamiento,lineal/mgcos30·d. Sabiendo que d=(h0-h1)/sen30, entonces μ=0.06.
(b) Las ecuaciones de la cinemática del esquiador en su trayectoria parabólica son las
siguientes (el origen se ha tomado en el suelo, debajo del punto C).
x = v x ·t = vC cos 20·t
y = h1 + vC sen20·t − gt 2 / 2 donde x es el eje horizontal e y el
perpendicular al suelo. Para calcular la altura máxima, basta imponer que vy=0. Esto implica
que 0=vC sen20-gtH y, por tanto, tH=vC sen20/g. La altura máxima será el valor de y tal que
y(tH)=17,16 metros sobre el suelo.
Para calcular el desplazamiento máximo (el punto de llegada al suelo), se debe imponer la
condición de que y=0. Resolviendo la ecuación llegamos al resultado de talcance=3s. El
desplazamiento máximo será el valor de x tal que x(talcance)=100 metros a partir del origen.
Segundo parcial
1. (2.5 puntos) Aplicando los principios de la termodinámica, describir esquemáticamente
el funcionamiento de una máquina térmica y de un refrigerador (1). Una máquina térmica
trabaja con un rendimiento del 10% entre dos focos térmicos a temperaturas de 200K y 100K,
respectivamente. Si absorbe 100 calorías de uno de los focos, calcular la variación de entropía
total (1). ¿Funciona reversible o irreversiblemente? (0.5)
Dado que el rendimiento de una máquina térmica se define como η=Wrealizado/Qabsorbido, tenemos
que Wrealizado=0.1·Qabsorbido=10 cal. Obviamente el calor cedido al foco frío será Qcedido=90 cal. La
variación de entropía será la suma de las correspondientes a ambos focos, esto es:
ΔS = ΔS fococaliente + ΔS focofrío = −
Qabsorbido Qcedido
100 90
+
=−
+
= 0.4 cal / K
Tcal
T frío
200 100
La máquina térmica funciona irreversiblemente dado que ΔS>0.
2. (2.5 puntos) Explicar las leyes de Kepler (1.5). Calcular el radio de la órbita circular de
un satélite geoestacionario en torno a la Tierra (es decir, que en su movimiento está
constantemente sobre el mismo punto de la superficie terrestre) (1). Dato: MTierra=5,98·1024 Kg,
constante de la Gravitación Universal G=6.67·10-11 N·m2/Kg2.
Aplicando la tercera ley de Kepler (ley de los periodos), T2=(4π2/GMTierra)r3 y sabiendo que
T=24horas, llegamos al resultado de que r=42264 Km.
3. (5 puntos) Dos planos paralelos de área S y separados entre sí una distancia D están
cargados eléctricamente con cargas +Q y –Q, respectivamente. A continuación se sitúa
paralelamente a los planos y en el centro del espacio intermedio, una lámina metálica de espesor
D/2 y con carga eléctrica neta nula.
(a) Explicar detalladamente la disposición espacial que adoptan las cargas eléctricas de la
lámina conductora debido a la acción del campo eléctrico creado por los planos (1.5)
(b) Obtener la dirección, módulo y sentido del campo eléctrico resultante en cualquier
punto del espacio (2)
(c) Si del plano cargado positivamente se desprendiera un protón, ¿cuál sería su velocidad
final al llegar al plano cargado negativamente? (suponer que pudiera atravesar la lámina
conductora) (1.5)
Solución del segundo problema
(a) Dado que la lámina introducida es metálica, sus cargas pueden desplazarse libremente
por dicho material. Como estas cargas se encuentran en una zona (espacio intermedio
entre dos placas cargadas) donde ya existe un campo eléctrico externo, la posición final
de dichas cargas dependerá de su signo. Así, las cargas positivas de la lámina se
dispondrán en la superficie cercana a la placa negativa (lado derecho) mientras que las
cargas negativas se situarán en la superficie cercana a la placa positiva (lado izquierdo)
(véase dibujo). Para mantener la conservación de la carga eléctrica, el número de cargas
positivas desplazadas seguirá siendo igual al de negativas. Por otro lado y al ser una
lámina metálica, en el estado final de equilibrio se debe cumplir que el campo eléctrico
en su interior sea nulo. Esto obliga además a que la carga eléctrica desplazada o
inducida en cada superficie sea la misma que en cada plano.
+Q
E
-Q
+Q -Q
+Q -Q
1- 2
-
D
D/4
+ 3
+
+
+
+
+
D/4
(b) Tras la disposición espacial final de cargas que se ha detallado en el apartado anterior,
tenemos que el condensador inicial (placas cargadas) se ha divido en dos condensadores
(regiones 1 y 3) con un espacio intermedio (interior de la lámina conductora, región 2)
donde el campo eléctrico es nulo. De manera resumida, el módulo del campo eléctrico
resultante es E1=σ/εo, E2=0 y E3=σ/εo.
(c) Un protón que se desprendiera de la placa positiva (izquierda) sería repelido hacia la
derecha y llegaría a la lámina conductora con una velocidad vllegada=(2ae)1/2, donde a es
la aceleración que sufre en la región 1 y e=D/4 el espacio recorrido. La mencionada
aceleración se puede calcular de la ley fundamental de la dinámica, a=F/m=qprotónE1/m=
qprotónσ/ εom. Substituyendo en la expresión anterior quedaría, vllegada=[2(
qprotónσ/ εom)(D/4)]1/2=[D qprotónσ/ 2εom]1/2. El protón atravesaría la lámina sin modificar
su velocidad porque no existe campo eléctrico en la región 2 y entraría en la región 3.
En esa zona, el protón sería acelerado nuevamente por el campo eléctrico E3. La
velocidad con la que llegaría a la placa negativa se calcula de modo similar al paso
anterior:
v final = vinicial + 2ae =
2
Dq protónσ
2ε 0 m
⎛ q protónσ
+ 2⎜⎜
⎝ ε 0m
q protónσD
⎞⎛ D ⎞
⎟⎟⎜ ⎟ =
ε 0m
⎠⎝ 4 ⎠
Tercer parcial
1. (2.5 puntos) Demostrar y explicar detalladamente la ley de Faraday-Lenz (1.5). Se
tiene un campo magnético B orientado perpendicularmente al plano de una espira cuadrada de
lado a. El módulo de B varía con el tiempo según B(t)=(t-1)2. Determinar el valor y (0.5) sentido
(0.5) de la corriente inducida en la espira. Dato: resistencia eléctrica de la espira, R.
El flujo magnético es Φ=BS=(t-1)2a2. Dado que F depende del tiempo, el voltaje y corriente
eléctrica inducida vendrán determinados por la ley de Faraday-Lenz, ε = -dΦ/dt = -2(t-1)a2 e
Inducida=2(t-1)a2/R. Para valores de t tales que 0<t<1 el flujo disminuye luego el sentido de la
corriente inducida será el adecuado para aumentar Φ. Para valores de t superiores a 1, el flujo
aumenta por lo que el sentido de la corriente eléctrica inducida deberá cambiar para intentar
disminuir Φ.
2. (2.5 puntos) Relacionar justificadamente la conservación de la carga eléctrica y de la
energía con las leyes de Kirchoff para un circuito eléctrico (1). ¿En qué consiste el efecto Joule?
(1) Se desea fabricar una bombilla que soporte una potencia y corriente máxima de 100W y 1A,
respectivamente. Calcular la longitud del filamento empleado si éste tiene una sección de 1 mm2
y una resistividad eléctrica, ρ= 10 μΩ·cm (0.5).
A partir del dato de que Pmax=Imax2R=100W, llegamos a R=100 Ω. También sabemos que
R=ρL/S, luego L=RS/ρ=100Ω·10-2cm2/(10·10-6Ωcm)=105 cm.
3. (5 puntos) Se tiene un conductor cilíndrico de radio interno R1 y externo R2 por donde
circula una corriente eléctrica I0 uniformemente a través de su sección (véase el dibujo).
(a) Calcular el campo magnético creado por el conductor a las siguientes distancias de su
centro: r < R1, R1 < r < R2 y R2 < r (3)
(b) Posteriormente se sitúa a una distancia r del centro del conductor cilíndrico un hilo
rectilíneo por donde circula una corriente eléctrica I1. Determinar la fuerza por unidad de
longitud ejercida por el conductor cilíndrico sobre la corriente rectilínea en los casos: r < R1, R1
< r < R2 y R2 < r (2).
I0
I0
R2
I1
r
R1
Solución del tercer problema
(a) Aplicando el teorema de Ampère a un contorno circular y concéntrico al conductor
tenemos que el campo magnético creado por la corriente eléctrica I a una distancia r del
eje de simetría es B=μ0I/2πr. Si r<R1, el contorno no encierra corriente eléctrica alguna
por lo que B(r<R1)=0.
Si R1<r<R2, el contorno encerrará parte de la corriente. Para calcularla bastará
establecer la siguiente proporcionalidad en relación a los datos del problema:
μ 0 I 0 (πr 2 − πR12 )
I0
I
=
de modo que ahora B( R1 < r < R2 ) =
πR22 − πR12 πr 2 − πR12
2πr (πR22 − πR12 )
En el caso de que R2<r, el contorno encerrará toda la corriente I0, luego
B(R2<r)=μ0I0/2πr.
(b) La fuerza magnética entre las dos corrientes se calcula mediante la
expresión: F =
r
I
B
hilo
conductor ⊗ dl donde dl son trozos infinitesimalmente pequeños del
∫
hilo
hilo. Al ser corrientes eléctricas paralelas, la expresión anterior se simplifica notablemente
hasta llegar a F=IhiloBconductorL. Cuando el hilo se sitúa a distancias tales que r<R1, F= 0 pues
B
Bconductor=0. En el caso de que R1<r<R2, F( R1 < r < R2 ) / L =
B
último, si R2<r, entonces F(R2<r)/L=μ0I0I1/2πr.
μ 0 I 0 I1 (πr 2 − πR12 ) . Por
2πr (πR22 − πR12 )